人教A版新教材必修第一冊《4.4.3 不同函數(shù)增長的差異》教案（定稿）

4.4.3不同函數(shù)增長的差異學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解常用的描述現(xiàn)實(shí)世界中不同增長規(guī)律的函數(shù)模型.2.了解直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等增長含義.3.能根據(jù)具體問題選擇合適的函數(shù)模型．導(dǎo)語同學(xué)們，等你們大學(xué)畢業(yè)了，顯然要面對一個(gè)現(xiàn)實(shí)的問題，那就是如何使你的收入最大化，如果你現(xiàn)在手里有一筆資金可以用于投資，現(xiàn)在有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)是這樣的：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番．請問，你會選擇哪種投資方案？為了解決這個(gè)問題，讓我們一起開始今天的探究吧！一、幾個(gè)函數(shù)模型增長差異的比較問題1結(jié)合之前所學(xué)，請同學(xué)們自行閱讀課本136頁～138頁，同桌之間可以相互討論，5分鐘后檢查討論結(jié)果．提示通過對y＝2x與y＝2x的比較我們發(fā)現(xiàn)，函數(shù)y＝2x的增長速度保持不變，函數(shù)y＝2x的增長速度在變化，而且增長速度越來越快，雖然函數(shù)y＝2x在一定范圍內(nèi)比函數(shù)y＝2x增長快些，但存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，總有2x>2x，即使一次函數(shù)y＝kx(k>0)，k的值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)中a的值，y＝ax(a>1)的增長速度最終都會大大超過y＝kx(k>0)的增長速度．通過對函數(shù)y＝lgx與y＝eq\f(1,10)x的比較我們發(fā)現(xiàn)，函數(shù)y＝eq\f(1,10)x的增長速度保持不變，函數(shù)y＝lgx的增長速度在變化，而且增長速度越來越慢，雖然函數(shù)y＝lgx在一定范圍內(nèi)比函數(shù)y＝eq\f(1,10)x增長快些，但存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，總有eq\f(1,10)x>lgx，即使對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>1)中底數(shù)a的值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于一次函數(shù)y＝kx(k>0)中k的值，一次函數(shù)y＝kx(k>0)的增長速度最終都會超過對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>1)的增長速度．問題2把一次函數(shù)y＝2x，對數(shù)函數(shù)y＝lgx和指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖象畫到同一坐標(biāo)系下，并比較它們的增長差異．提示一次函數(shù)y＝2x勻速增長，指數(shù)函數(shù)y＝2x增長越來越快，對數(shù)函數(shù)y＝lgx增長最慢．知識梳理三種常見函數(shù)模型的增長差異函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增圖象的變化隨x的增大逐漸變“陡”隨x的增大逐漸趨于穩(wěn)定增長速度不變形象描述指數(shù)爆炸對數(shù)增長直線上升增長速度y＝ax(a>1)的增長速度最終都會大大超過y＝kx(k>0)的增長速度；總存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，恒有l(wèi)ogax<kx增長結(jié)果存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有ax>kx>logax注意點(diǎn)：(1)當(dāng)描述增長速度變化很快時(shí)，常常選用指數(shù)函數(shù)模型．(2)當(dāng)要求不斷增長，但又不會增長過快，也不會增長很大時(shí)，常常選用對數(shù)函數(shù)模型．(3)一次函數(shù)增長速度不變，平穩(wěn)變化．(4)函數(shù)值的大小不等同于增長速度快慢，數(shù)值大不一定增長速度快，增長速度體現(xiàn)在函數(shù)值的變化趨勢上．例1(1)下列函數(shù)中，增長速度最快的是()A．y＝2023x B．y＝x2023C．y＝log2023x D．y＝2023x答案A解析比較一次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)可知，指數(shù)函數(shù)增長速度最快．(2)三個(gè)變量y1，y2，y3隨著變量x的變化情況如表：x1357911y15135625171536356655y2529245218919685177149y356.106.616.957.207.40則與x呈對數(shù)型函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)型函數(shù)變化的變量依次是()A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2答案C解析由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長速率比較，指數(shù)函數(shù)增長最快，對數(shù)函數(shù)增長最慢，由題中表格可知，y1是冪函數(shù)，y2是指數(shù)函數(shù)，y3是對數(shù)函數(shù)．反思感悟常見的函數(shù)模型及增長特點(diǎn)(1)線性函數(shù)模型：線性函數(shù)模型y＝kx＋b(k>0)的增長特點(diǎn)是直線上升，其增長速度不變．(2)指數(shù)函數(shù)模型：指數(shù)函數(shù)模型y＝ax(a>1)的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，即增長速度急劇加快，形象地稱為“指數(shù)爆炸”．(3)對數(shù)函數(shù)模型：對數(shù)函數(shù)模型y＝logax(a>1)的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，即增長速度平緩．(4)冪函數(shù)模型：冪函數(shù)y＝xn(n>0)的增長速度介于指數(shù)增長和對數(shù)增長之間．跟蹤訓(xùn)練1下列函數(shù)中，增長速度越來越慢的是()A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x2 D．y＝6x答案B解析D中一次函數(shù)的增長速度不變；A，C中函數(shù)的增長速度越來越快；只有B中對數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢，符合題意．二、函數(shù)增長速度的比較例2函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3的圖象如圖所示．設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)請指出圖中曲線C1，C2分別對應(yīng)的函數(shù)；(2)結(jié)合函數(shù)圖象，判斷f(6)，g(6)，f(2022)，g(2022)的大?。?1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝x3，C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝2x.(2)因?yàn)閒(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2,2022>x2，從圖象上可以看出，當(dāng)x1<x<x2時(shí)，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6)．當(dāng)x>x2時(shí)，f(x)>g(x)，所以f(2022)>g(2022)．又因?yàn)間(2022)>g(6)，所以f(2022)>g(2022)>g(6)>f(6)．反思感悟指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)增長差異的判斷方法(1)根據(jù)函數(shù)的變化量的情況對函數(shù)增長模型進(jìn)行判斷．(2)根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)時(shí)，通常是觀察函數(shù)圖象上升的快慢，即隨著自變量的增大，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；圖象趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù)．跟蹤訓(xùn)練2函數(shù)f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的圖象如圖所示．(1)試根據(jù)函數(shù)的增長差異指出C1，C2分別對應(yīng)的函數(shù)；(2)以兩圖象的交點(diǎn)為分界點(diǎn)，對f(x)，g(x)的大小進(jìn)行比較．解(1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝0.3x－1；C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝lgx.(2)當(dāng)x<x1時(shí)，g(x)>f(x)；當(dāng)x1<x<x2時(shí)，f(x)>g(x)；當(dāng)x>x2時(shí)，g(x)>f(x)；當(dāng)x＝x1或x＝x2時(shí)，f(x)＝g(x)．三、函數(shù)模型的選擇問題3現(xiàn)在你能對你資金的三種投資方案做出選擇了嗎？方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番．提示如果做短期投資，方案二收益較高；如果做長期投資，顯然方案三最終回報(bào)最高．例3汽車制造商在2022年年初公告：公司計(jì)劃2022年的生產(chǎn)目標(biāo)為43萬輛．已知該公司近三年的汽車生產(chǎn)量如表所示：年份(年)201920202021產(chǎn)量(萬輛)81830如果我們分別將2019,2020,2021,2022定義為第一、二、三、四年．現(xiàn)在有兩個(gè)函數(shù)模型：二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指數(shù)型函數(shù)模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪個(gè)模型能更好地反映該公司年產(chǎn)量y與年份x的關(guān)系？解建立年產(chǎn)量y與年份x的函數(shù)，可知函數(shù)圖象必過點(diǎn)(1,8)，(2,18)，(3,30)．①構(gòu)造二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝8，,4a＋2b＋c＝18，,9a＋3b＋c＝30，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝7，,c＝0，))則f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，與計(jì)劃誤差為1萬輛．②構(gòu)造指數(shù)型函數(shù)模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＋c＝8，,ab2＋c＝18，,ab3＋c＝30，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(125,3)，,b＝\f(6,5)，,c＝－42，))則g(x)＝eq\f(125,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))x－42，故g(4)＝eq\f(125,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))4－42＝44.4，與計(jì)劃誤差為1.4萬輛．由①②可得，二次函數(shù)模型f(x)＝x2＋7x能更好地反映該公司年產(chǎn)量y與年份x的關(guān)系．反思感悟建立函數(shù)模型應(yīng)遵循的三個(gè)原則(1)簡化原則：建立函數(shù)模型，原型一定要簡化，抓主要因素、主要變量，盡量建立較低階、較簡便的模型．(2)可推演原則：建立模型，一定要有意義，既能作理論分析，又能計(jì)算、推理，且能得出正確結(jié)論．(3)反映性原則：建立模型，應(yīng)與原型具有“相似性”，所得模型的解應(yīng)具有說明問題的功能，能回到具體問題中解決問題．跟蹤訓(xùn)練3在飛機(jī)制造業(yè)中，發(fā)現(xiàn)一條規(guī)律：制造第2架飛機(jī)所需的工時(shí)數(shù)是第1架的80%；第4(即22)架是第2架的80%；第8(即23)架是第4架的80%；…，這就是說，通過積累經(jīng)驗(yàn)，可以提高效率．這也是符合學(xué)習(xí)規(guī)律的，這里的80%稱為“進(jìn)步率”，所制造的飛機(jī)架數(shù)與所需工時(shí)數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系所確定的曲線常稱為“學(xué)習(xí)曲線”．設(shè)制造第1架飛機(jī)需要用k個(gè)工時(shí)，進(jìn)步率為r，試求出制造第x架飛機(jī)與需用的工時(shí)數(shù)y之間的函數(shù)表達(dá)式．解由題意，可知第1架用k個(gè)工時(shí)，第2架用kr個(gè)工時(shí)，第22架用kr2個(gè)工時(shí)，…，第2n架用krn個(gè)工時(shí)．令x＝2n，則n＝log2x，因此y＝krn＝，所以制造第x架飛機(jī)與需用的工時(shí)數(shù)y之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝(x＞0)．1．知識清單：三種函數(shù)模型：線性函數(shù)增長模型、指數(shù)型函數(shù)增長模型、對數(shù)型函數(shù)增長模型．2．方法歸納：轉(zhuǎn)化法．3．常見誤區(qū)：不理解三種函數(shù)增長的差異．1．下列函數(shù)中，在(0，＋∞)上增長速度最快的是()A．y＝x2 B．y＝log2xC．y＝2x D．y＝2x答案D2．在一次數(shù)學(xué)試驗(yàn)中，采集到如下一組數(shù)據(jù)：x－2.0－1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02則x，y的函數(shù)關(guān)系與下列哪類函數(shù)最接近？(其中a，b為待定系數(shù))()A．y＝a＋bx B．y＝a＋bxC．y＝ax2＋b D．y＝a＋eq\f(b,x)答案B解析在坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)，知模擬函數(shù)為y＝a＋bx.3．甲從A地到B地，途中前一半路程的行駛速度是v1，后一半路程的行駛速度是v2(v1<v2)，則下圖中能正確反映甲從A地到B地走過的路程s與時(shí)間t的關(guān)系的是()答案B4．現(xiàn)測得(x，y)的兩組對應(yīng)值分別為(1,2)，(2,5)，現(xiàn)有兩個(gè)待選模型：甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又測得(x，y)的一組對應(yīng)值為(3,10.2)，則應(yīng)選用________作為函數(shù)模型．答案甲解析把x＝1,2,3分別代入甲、乙兩個(gè)函數(shù)模型，經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)模型甲較好．1．在某試驗(yàn)中，測得變量x和變量y之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表：x0.500.992.013.98y－1.010.010.982.00則下列函數(shù)中，最能反映變量x和y之間的變化關(guān)系的是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x答案D解析將x＝0.50，y＝－1.01代入計(jì)算，可以排除A；將x＝2.01，y＝0.98代入計(jì)算，可以排除B，C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿足題意．2．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%，要增長到原來的y倍，需經(jīng)過x年，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為()答案B解析根據(jù)題意，得函數(shù)解析式為y＝(1＋10.4%)x＝1.104x(x＞0)，所以函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的底數(shù)1.104＞1，所以函數(shù)單調(diào)遞增，且過點(diǎn)(0,1)．3．有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表所示：t12345s1.55.913.424.137下列所給函數(shù)模型較適合的是()A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)答案C解析由表中數(shù)據(jù)可知，s隨t的增大而增大且其增長速度越來越快，A，D中的函數(shù)增長速度越來越慢；B中的函數(shù)增長速度保持不變；C中的函數(shù)y隨x的增大而增大，且增長速度越來越快．4．小明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間后，為了趕時(shí)間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是()答案C解析小5．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，當(dāng)2<x<4時(shí)，有()A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1答案B解析由題意可知，三個(gè)函數(shù)在區(qū)間(2,4)上都是單調(diào)遞增的，所以4<y1<16,4<y2<16,1<y3<2，所以y3最小，由函數(shù)y1，y2的圖象可知，在區(qū)間(2,4)上，函數(shù)y2的圖象恒在函數(shù)y1的圖象上方，所以y2>y1>y3.6．(多選)下面對函數(shù)f(x)＝與g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在區(qū)間(0，＋∞)上的衰減情況的說法中錯(cuò)誤的有()A．f(x)的衰減速度越來越慢，g(x)的衰減速度越來越快B．f(x)的衰減速度越來越快，g(x)的衰減速度越來越慢C．f(x)的衰減速度越來越慢，g(x)的衰減速度越來越慢D．f(x)的衰減速度越來越快，g(x)的衰減速度越來越快答案ABD解析在平面直角坐標(biāo)系中畫出f(x)與g(x)的圖象如圖所示，由圖象可判斷出衰減情況為f(x)衰減速度越來越慢，g(x)衰減速度越來越慢．7.某工廠8年來某種產(chǎn)品總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系如圖所示．以下四種說法：①前三年產(chǎn)量增長的速度越來越快；②前三年產(chǎn)量增長的速度越來越慢；③第三年后這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)；④第三年后產(chǎn)量保持不變．其中說法正確的序號是________．答案②④解析由圖可知，前三年產(chǎn)量增長的速度越來越慢，故①錯(cuò)誤，②正確；第三年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量保持不變，故③錯(cuò)誤，④正確．8．下列選項(xiàng)是四種生意預(yù)期的收益y關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)，從足夠長遠(yuǎn)的角度看，最有前途的生意是________.①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.答案①解析由于指數(shù)型函數(shù)的底數(shù)大于1，其增長速度隨著時(shí)間的推移是越來越快，∴y＝10×1.05x是最有前途的生意．9．每年的3月12日是植樹節(jié)，全國各地在這一天都會開展各種形式的植樹活動，某市現(xiàn)有樹木面積10萬平方米，計(jì)劃今后5年內(nèi)擴(kuò)大樹木面積，現(xiàn)有兩種方案如下：方案一：每年植樹1萬平方米；方案二：每年樹木面積比上一年增加9%.哪個(gè)方案較好？解方案一：5年后樹木面積為10＋1×5＝15(萬平方米)．方案二：5年后樹木面積是10(1＋9%)5≈15.386(萬平方米)，因?yàn)?5.386>15，所以方案二較好．10．某快捷酒店有150個(gè)標(biāo)準(zhǔn)客房，經(jīng)過一段時(shí)間的試營業(yè)，得到一些每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)客房的價(jià)格和客房的入住率的數(shù)據(jù)如下：標(biāo)準(zhǔn)客房的價(jià)格/元160140120100客房的入住率55%65%75%85%根據(jù)這些數(shù)據(jù)，要使該快捷酒店每天的營業(yè)額最高(入住率越高，營業(yè)額越高)，應(yīng)如何定價(jià)？解設(shè)入住率為y%，標(biāo)準(zhǔn)客房價(jià)格是x元，根據(jù)已知數(shù)據(jù)，得y＝kx＋b，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(160k＋b＝55，,100k＋b＝85，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,2)，,b＝135，))即y＝－eq\f(1,2)x＋135，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝140或x＝120時(shí)也符合．令y＝100，－eq\f(1,2)x＋135＝100，x＝70，此時(shí)入住率是100%，營業(yè)額最高．標(biāo)準(zhǔn)客房的定價(jià)為70元．11．下列函數(shù)圖象中，估計(jì)有可能用函數(shù)y＝a＋blgx(b>0)來模擬的是()答案C解析由于函數(shù)y＝lgx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且是上凸的，又b>0，所以當(dāng)x>0時(shí)，y＝a＋blgx(b>0)的圖象是單調(diào)遞增且上凸的．12.如圖所示，向放在水槽底部的燒杯注水(流量一定)，注滿燒杯后，繼續(xù)注水，直至注滿水槽，水槽中水面上升高度h與注水時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系大致是()答案B解析開始的一段時(shí)間，水槽底部沒有水，燒杯滿了之后水槽中水面上升速度先快后慢，與B圖象相吻合．13．漁民出海打魚，為了保證獲得的魚新鮮，魚被打上岸后，要在最短的時(shí)間內(nèi)將其分揀、冷藏，若不及時(shí)處理，打上來的魚很快地失去新鮮度(以魚肉內(nèi)的三甲胺量的多少來確定魚的新鮮度．三甲胺是一種揮發(fā)性堿性氨，是氨的衍生物，它是由細(xì)菌分解產(chǎn)生的．三甲胺量積聚就表明魚的新鮮度下降，魚體開始變質(zhì)進(jìn)而腐敗)．已知某種魚失去的新鮮度h與其出海后時(shí)間t(分)滿足的函數(shù)關(guān)系式為h(t)＝m·at.若出海后10分鐘，這種魚失去的新鮮度為10%，出海后20分鐘，這種魚失去的新鮮度為20%，那么若不及時(shí)處理，打上來的這種魚在多長時(shí)間后開始失去全部新鮮度(已知lg2≈0.3，結(jié)果取整數(shù))()A．33分鐘 B．40分鐘C．43分鐘 D．50分鐘答案C解析由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(h10＝ma10＝0.1，,h20＝ma20＝0.2，))解得a＝，m＝0.05，故h(t)＝0.05×，令h(t)＝0.05×＝1，得＝20，故t＝＝eq\f(1＋lg2,\f(1,10)lg2)≈eq\f(101＋0.3,0.3)≈43(分鐘)．14.如圖表示一位騎自行車和一位騎摩托車的旅行者在相距80km的甲、乙兩城間從甲城到乙城所行駛的路程與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系，有人根據(jù)函數(shù)圖象，提出了關(guān)于這兩個(gè)旅行者的如下信息：①騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)3h，晚到1h；②騎自行車者是變速運(yùn)動，騎摩托車者是勻速運(yùn)動；③騎摩托車者在出發(fā)1.5h后追上了騎自行車者；④騎摩托車者在出發(fā)1.5h后與騎自行車者速度一樣．其中，正確信息的序號是________．答案①②③解析看時(shí)間軸易知①正確；騎摩托車者行駛的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象是直線，所以是勻速運(yùn)動，而騎自行車者行駛的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象是折線，所以是變速運(yùn)動，故②正確；兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)對應(yīng)于4.5，故③正確，④錯(cuò)誤．15.如圖所示是某受污染的湖泊在自然凈化過程中某種有害物質(zhì)的剩留量y與凈化時(shí)間t(月)的近似函數(shù)關(guān)系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的圖象．有以下敘述：①第4個(gè)月時(shí)，有害物質(zhì)的剩留量低于eq\f(1,5)；②每月減少的有害物質(zhì)量都相等；③若剩留量為eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)時(shí)，所經(jīng)過的時(shí)間分別是t1，t2，t3，則t1＋t2＝t3.其中所有正確敘述的序號是________．答案①③解析根據(jù)題意，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(4,9)))，所以a2＝eq\f(4,9)，解得a＝eq\f(2,3)(負(fù)舍)，故函數(shù)為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))t，當(dāng)t＝4時(shí)，y＝eq\f(16,81)<eq\f(1,5)，故①正確；當(dāng)t＝1時(shí)，y＝eq