《橢圓》-完整版課件 市一等獎

橢圓【規(guī)律方法】1.用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的四個步驟(1)作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，還是在y軸上，還是兩個坐標(biāo)軸都有可能.(2)設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)出方程.(3)找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a,b,c的方程組.(4)得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.2.求橢圓離心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解.(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2=a2-c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解.提醒:當(dāng)橢圓焦點(diǎn)位置不明確時，可設(shè)為(m＞0,n＞0,m≠n)，也可設(shè)為Ax2+By2=1(A＞0,B＞0,且A≠B).【變式訓(xùn)練】如圖,橢圓C:(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1,上頂點(diǎn)為B2,右頂點(diǎn)為A2,過點(diǎn)A2作x軸的垂線交直線F1B2于點(diǎn)P,若|PA2|=3b,則橢圓C的離心率為

.【解析】由題意知答案:【加固訓(xùn)練】已知橢圓(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0)、F2(c,0),若橢圓上存在點(diǎn)P使則該橢圓的離心率的取值范圍為

.【解析】依題意及正弦定理,得(注意到P不與F1F2共線),答案：(-1,1)考點(diǎn)3直線與橢圓的位置關(guān)系知·考情直線與橢圓的綜合問題是高考命題的一個熱點(diǎn)問題,主要以解答題的形式出現(xiàn),考查橢圓的定義、幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.明·角度命題角度1:由直線與橢圓的位置關(guān)系研究橢圓的性質(zhì)【典例3】(2014·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)設(shè)F1,F2分別是橢圓C:(a>b>0）的左,右焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個交點(diǎn)為N.(1)若直線MN的斜率為,求C的離心率.(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.【解題提示】(1)將M,F1的坐標(biāo)都用橢圓的基本量a,b,c表示,由斜率條件可得到a,b,c的關(guān)系式,然后由b2=a2-c2消去b2,再“兩邊同除以a2”,即得到離心率e的二次方程,由此解出離心率.(2)利用“MF2∥y軸”及“截距為2”,可得yM==4,然后利用|MN|=5|F1N|及焦半徑公式即可求出a,b的值.【規(guī)范解答】(1)因?yàn)橛深}知，又a2=b2+c2.聯(lián)立整理得：2e2+3e-2=0，解得e=.所以C的離心率為.(2)由三角形中位線知識可知，|MF2|=2×2，即=4.設(shè)|F1N|=m,由題可知|MF1|=4m.由兩直角三角形相似，可得M,N兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為c,-c.由焦半徑公式可得:|MF1|=a+ec,|NF1|=a+e(-c)，且|MF1|∶|NF1|=4∶1,命題角度2:由直線與橢圓的位置關(guān)系研究直線的性質(zhì)【典例4】(2014·天津高考)設(shè)橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1,F2,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.已知|AB|=|F1F2|.(1)求橢圓的離心率.(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn),以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F1,經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l與該圓相切,求直線l的斜率.【解題提示】(1)根據(jù)|AB|=|F1F2|及a2=b2+c2求離心率.(2)以PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F1等價于【規(guī)范解答】(1)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(c,0).由|AB|=|F1F2|，可得a2+b2=3c2，又b2=a2－c2，則所以，橢圓的離心率(2)由(1)知a2=2c2，b2=c2.故橢圓方程為設(shè)P(x0,y0).由F1(－c,0)，B(0,c)，有=(x0+c,y0)，=(c,c).由已知，有即(x0+c)c+y0c=0.又c≠0，故有x0+y0+c=0. ①又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，故

②由①和②可得3x02+4cx0=0.而點(diǎn)P不是橢圓的頂點(diǎn)，故代入①得y0=即點(diǎn)P的坐標(biāo)為設(shè)圓的圓心為T(x1,y1)，則進(jìn)而圓的半徑設(shè)直線l的斜率為k，依題意，直線l的方程為y=kx.由l與圓相切，可得即整理得k2－8k+1=0，解得k=4±.所以，直線l的斜率為4+或4－.悟·技法1.直線與橢圓位置關(guān)系判斷的步驟(1)聯(lián)立直線方程與橢圓方程.(2)消元得出關(guān)于x(或y)的一元二次方程.(3)當(dāng)Δ>0時,直線與橢圓相交;當(dāng)Δ=0時,直線與橢圓相切;當(dāng)Δ<0時,直線與橢圓相離.2.直線與橢圓相交時的常見問題的處理方法涉及問題處理方法弦長根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式(直線與橢圓有兩交點(diǎn))中點(diǎn)弦或弦的中點(diǎn)點(diǎn)差法(結(jié)果要檢驗(yàn))通·一類1.(2015·廈門模擬)已知橢圓E的方程:(a>b>0),它的兩個焦點(diǎn)為F1(-5,0),F2(5,0),P為橢圓的一點(diǎn)(點(diǎn)P在第三象限內(nèi)),且△PF1F2的周長為20+10.(1)求橢圓E的方程.(2)若以點(diǎn)P為圓心的圓過橢圓的左頂點(diǎn)M與點(diǎn)C(-2,0),MP交圓P于另一點(diǎn)N,若點(diǎn)A在橢圓E上,使得=-32,求點(diǎn)A的坐標(biāo).【解析】(1)依題意得|F1F2|=10,又|PF1|+|PF2|=2a,則有2a+2c=20+10.所以a=10,b=5,橢圓E的方程為=1.(2)由(1)得M(-10,0),又C(-2,0),設(shè)點(diǎn)P(m,n),則有m==-6,又=1,所以n=-4,即P(-6,-4),因?yàn)镻為MN的中點(diǎn),可得N(-2,-8),設(shè)A(x,y),所以=(-10-x,-y),=(-2-x,-8-y),所以=(-10-x)(-2-x)+(-y)(-8-y)=x2+12x+20+y2+8y,所以=(x+6)2+(y+4)2-32=-32,得x=-6,y=-4,所以A(-6,-4).2.(2014·北京高考)已知橢圓C:x2+2y2=4.(1)求橢圓C的離心率.(2)設(shè)O為原點(diǎn),若點(diǎn)A在橢圓C上,點(diǎn)B在直線y=2上,且OA⊥OB,試判斷直線AB與圓x2+y2=2的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.【解析】(1)由題意知,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1,所以a2=4,b2=2,從而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=,故橢圓C的離心率(2)直線AB與圓x2+y2=2相切,證明如下:設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.因?yàn)镺A⊥OB,所以=0,即tx0+2y0=0,解得t=當(dāng)x0=t時,y0=代入橢圓C的方程,得t=±,故直線AB的方程為x=±,圓心O到直線AB的距離d=,此時直線AB與圓x2+y2=2相切.當(dāng)x0≠t時,直線AB的方程為y-2=(x-t),即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.此時直線AB與圓x2+y2=2相切.綜上所述，直線AB與圓x2+y2=2相切.規(guī)范解答16與橢圓有關(guān)的綜合問題【典例】(12分)(2014·遼寧高考)圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成一個三角形,當(dāng)該三角形面積最小時,切點(diǎn)為P(如圖),雙曲線C1:過點(diǎn)P且離心率為.(1)求C1的方程.(2)橢圓C2過點(diǎn)P且與C1有相同的焦點(diǎn),直線l過C2的右焦點(diǎn)且與C2交于A,B兩點(diǎn),若以線段AB為直徑的圓過點(diǎn)P,求l的方程.解題導(dǎo)思研讀信息快速破題規(guī)范解答閱卷標(biāo)準(zhǔn)體會規(guī)范(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)(x0>0,y0>0).則切線斜率為-,切線方程為y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4,此時,兩個坐標(biāo)軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為

…………2分由x02+y02=4≥2x0y0知,當(dāng)且僅當(dāng)x0=y0=時,x0y0有最大值,即S有最小值,此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為…………3分由題意知解得a2=1,b2=2,故C1的方程為=1.………5分(2)由(1)知橢圓C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為由此設(shè)C2的方程為其中b1>0.由點(diǎn)P在C2上，得解得b12=3,因此C2的方程為………………7分顯然，l不是直線y=0.設(shè)l的方程為x=my+,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)，由得(m2+2)y2+2my-3=0,又因?yàn)閥1,y2是方程的根,所以……8分由x1=my1+,x2=my2+，得…………9分…………………11分因此直線l的方程為…12分高考狀元滿分心得把握規(guī)則爭取滿分1.注意巧設(shè)直線方程當(dāng)已知