初中數(shù)學冀教版八年級上冊第十二章分式和分式方程單元復習-第十二章分式和分式方程

第十二章分式和分式方程1.了解分式的概念,掌握分式的基本性質,并能用其進行約分和通分.2.理解和掌握分式加、減、乘、除的運算法則,會進行簡單的分式的加、減、乘、除的運算.3.了解分式方程的概念,會解一些簡單的可化為一元一次方程的分式方程,懂得解分式方程可能產生增根,理解檢驗的必要性,并會進行檢驗.4.通過與分數(shù)的類比,學習分式的性質及其運算;能建立分式方程模型解決有關的實際問題.1.在判斷分式的過程中,讓學生會區(qū)分整式和分式.2.在了解分式的基本性質的基礎上,掌握分式的約分和通分法則.3.能按照分式的四則運算法則進行分式的加、減、乘、除及混合運算,掌握計算的方法和技巧,會解分式方程并進行檢驗.1.在認識分式的過程中,讓學生體驗知識之間的必然聯(lián)系,體會類比思想的運用,激發(fā)學生愛數(shù)學、學數(shù)學的興趣.2.培養(yǎng)學生養(yǎng)成認真仔細計算的良好習慣,認識數(shù)學是解決實際問題和進行交流的重要工具.3.結合分析和解決實際問題,討論可以化為一元一次方程的分式方程,掌握這種方程的解法,體會解方程中的化歸思想.本章主要內容是通過現(xiàn)實情境建立分式的概念,探索分式的基本性質,進行分式的加、減、乘、除運算,建立分式方程并解分式方程.分式的運算實質是轉化為整式的運算來進行的,分式的通分與約分一般需要分解因式,因此,分式的運算是整式的運算及多項式因式分解的綜合運用和進一步發(fā)展,也是學習分式方程、函數(shù)等內容的重要基礎.本章內容呈現(xiàn)方式及特點:(1)突出了模型的建立過程.教材通過用代數(shù)式表示現(xiàn)實問題中的數(shù)量關系,并對代數(shù)式進行分類、比較,建立起分式的概念;在與已學過的方程進行比較的過程中,抓住了知識的“生長點”,建立了分式方程的概念.本章突出了模型思想和建立模型的過程,降低了概念過分形式化的要求.(2)突出了“類比”過程,類比是合情推理的重要方式之一,是“發(fā)現(xiàn)”和“創(chuàng)新”的重要手段,也是解決問題的常用方法.本章讓學生充分經歷了與分數(shù)類比、提出猜想、獲得分式的基本性質和運算法則的過程.(3)突出了“轉化”過程,轉化是解決問題常用的思想方法,教材在異分母分式的加減運算和解分式方程中都突出了轉化的過程,進一步使學生感悟數(shù)學思想,積累解決問題的經驗.【重點】1.能用分式的基本性質進行約分和通分,會進行分式的混合運算.2.能解可化為一元一次方程的分式方程.3.能用分式方程解決一般的實際問題.【難點】1.對分式概念及其基本性質的理解.2.能進行分式的約分、通分,體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學模型.1.讓學生充分經歷概念的形成過程,學生獲得知識必須建立在數(shù)學思考的基礎上,因此,對于分式、分式方程和分式方程的增根等概念,要創(chuàng)設情境,向學生提供充足的素材,促進數(shù)學思考的發(fā)展.教學中,還可以補充一些更具有現(xiàn)實性和挑戰(zhàn)性的問題.2.分式的通分、約分和運算的教學,實際上是分式基本性質、運算法則的運用,應通過適當?shù)倪\算讓學生進一步理解運算的意義,掌握算法,在理解算理的基礎上選擇適當?shù)乃惴?不要追求訓練的數(shù)量和技巧,不要增加繁難的計算題.3.解分式方程時,要理解去分母的目的和由此產生增根的原因,從而體會去分母的意義和對根進行檢驗的必要性.能解可化為一元一次方程的分式方程即可,不必增加難度和進行大量的訓練.總之,本章的知識是傳統(tǒng)的代數(shù)基本知識,但在知識的呈現(xiàn)方式上作了較大的改進,在教學要求上也有所不同.在教學過程中,不要認為知識太簡單而不留給學生探索與思考的時間和空間,“一講到底”.對每一個新知識的教學,要有與學生一起思考的活動,要有與學生一起探索的過程,要有與學生一起分享成功的喜悅.本教材內容嚴格按照課程標準的要求,切實改變繁難偏舊的狀況,教學時要把握教材的要求,不要隨意增加例題和習題的難度,不要隨意拔高要求,以免增加學生不必要的負擔.分式2課時分式的乘除2課時分式的加減2課時分式方程1課時分式方程的應用2課時回顧與思考1課時分式1.了解分式的概念,明確分式中分母不能為0是分式成立的條件.2.了解分式的基本性質,掌握分式的約分法則.經歷與分數(shù)類比學習分式的過程,學會與他人合作,并獲得代數(shù)學習的一些常用方法:類比轉化、合情推理、抽象概括等.1.認識和體會特殊與一般的辯證關系,提高數(shù)學運用能力.2.通過類比分數(shù)、分數(shù)的基本性質及分數(shù)的約分,推測出分式、分式的基本性質及分式的約分,在學生已有數(shù)學經驗的基礎上,提高學生學數(shù)學的樂趣.【重點】分式的意義、分式的基本性質、最簡分式和約分.【難點】分式的特點及要求;分子、分母是多項式的分式約分.第課時1.使學生了解分式的概念,明確整式和分式的區(qū)別,能用分式表示現(xiàn)實情境中的數(shù)量關系.2.明確分式中分母不能為0是分式成立的條件.3.使學生能求出分式有意義的條件.4.使學生初步掌握分式的基本性質,并能用它進行分式的約分.啟發(fā)學生學會觀察、分析、尋找解題的途徑,提高分析問題、解決問題的能力.1.通過豐富的數(shù)學活動,獲得成功的經驗,體驗數(shù)學活動充滿著探索和創(chuàng)新,體會分式的模型思想.2.通過分數(shù)與分式的比較,培養(yǎng)學生良好的類比習慣和思想方法,并培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W態(tài)度.【重點】1.分式的概念,分式有意義的條件.2.分式的基本性質.【難點】分式有意義的條件,分式的值為0的條件及分式的基本性質.【教師準備】相關課件.【學生準備】復習小學學過的分數(shù)和初中學習過的整式.導入一:某種商品,原來每盒售價為p元,現(xiàn)在每盒的售價降低了2元.用500元錢購買這種商品,現(xiàn)在比原來可多買多少盒?怎樣用代數(shù)式表示現(xiàn)在比原來可多買多少盒?500p-[設計意圖]通過教材章前圖,引導學生列出分式,感知分式的特點,為學習本課時做認知準備.導入二:如果在一條公路上,同向行駛且前后相鄰的兩輛車的車頭與車頭之間的平均距離為d(米/輛),車輛的平均速度為v(m/s),那么vd(輛/秒)叫做這條公路的同向行駛的車流量問題:如果知道vd中兩個字母所代表的數(shù)量,你能求出此時的車流量嗎[設計意圖]通過教材中習題的車流量的情境,幫助學生感受用“分式”表示生活中數(shù)量關系的方便性和準確性.導入三:面對日益嚴重的土地沙化問題,某縣決定分期分批固沙造林,一期工程計劃在一定期限內固沙造林2400公頃,實際每月固沙造林的面積比原計劃多30公頃,結果提前4個月完成原計劃任務.原計劃每月固沙造林多少公頃?如果設原計劃每月固沙造林x公頃,那么原計劃完成一期工程需要個月,實際完成一期工程用了個月.

讓學生討論并填空:生:原計劃完成一期工程需要2400x個月,實際完成一期工程用了2400x[設計意圖]通過土地沙化問題,進一步豐富問題的實際背景,激發(fā)學生的求知欲望,讓學生探索問題中的數(shù)量關系,并且體會保護人類生存環(huán)境的重要性.活動一:做一做——感知分式[過渡語](針對導入一)剛才我們列出的式子是不是整式呢?接下來我們就一起探究這個問題.(一)出示教材第2頁做一做1.一項工程,甲施工隊5天可以完成.甲施工隊每天完成的工程量是多少?3天完成的工程量又是多少?如果乙施工隊a天可以完成這項工程,那么乙施工隊每天完成的工程量是多少?b(b<a)天完成的工程量又是多少?2.已知甲、乙兩地之間的路程為mkm.如果A車的速度為nkm/h,B車比A車每小時多行20km,那么從甲地到乙地,A車和B車所用的時間各為多少?(二)嘗試對所列代數(shù)式分類師:同學們能列出這兩個問題中的相關代數(shù)式嗎?生:(列代數(shù)式、老師隨時板書)15,35;1a,ba;師:剛才同學們列出的代數(shù)式有什么共同特點?你能把它們分成兩類嗎?預設:生1:都是分數(shù).生2:按照分母是否含有字母分兩類.生3:按照分子是否含有字母分兩類.[設計意圖]通過分類活動,讓學生積極參與到課堂思考活動當中,在分類中發(fā)現(xiàn)分母含有字母這個重要特征,為總結和理解分式的概念奠定基礎.活動二:大家談談——總結分式定義[過渡語]大家按照分母是否含有字母把這些式子分成兩類,我們給這些分母中含有字母的式子下個定義吧!思路一問題:1.以上代數(shù)式中哪些是整式?哪些不是整式?2.不是整式的代數(shù)式有哪些共同特征?教師向學生指出,類比和歸納是探索新概念的重要方法.在學生觀察、歸納的基礎上,教師板書分式定義:一般地,把形如AB的代數(shù)式叫做分式,其中,A,B都是整式,且B含有字母.A叫做分式的分子,B叫做分式的分母類比分數(shù)剖析分式概念:形式:與分數(shù)一樣,分式也是由分子、分母和分數(shù)線組成.內容:分數(shù)的分子、分母都是整數(shù),分式的分子、分母都是整式.要求:分式的分母中必須含字母;分子中可以含字母,也可以不含字母.思路二師:下面請同學們看一下這四個式子,看它們有什么相同點和不同點?107,sa,20033學生根據(jù)自己的觀察,說出:107,20033是分數(shù),師:而另兩個式子,看它們有什么特點?請同學們自己總結一下.學生思考后說:分母中有字母.引導學生歸納:一般地,把形如AB的代數(shù)式叫做分式,其中,A,B都是整式,且B含有字母.A叫做分式的分子,B叫做分式的分母活動三:例題講解——深化對分式的認識指出下列各式中,哪些是整式,哪些是分式.x-2,x+35,5x2,x-33x+2思考:1.含有分母的式子就是分式嗎?(不是,分式的分母中必須含有字母)2.分式和整式有什么關系?(分式可以看成兩個整式相除的商,除式中要含有字母)學生分析,得出結論.解:x-2,x+35,5x2,1因為x-33x+2,abx[設計意圖]通過觀察、歸納、總結出整式與分式的異同,類比分數(shù),合理聯(lián)想,獲得分式概念,通過問題分析加深學生對分式概念的理解,從而揭示分式概念的本質.活動四:大家談談——分式的字母可以任意取值嗎在什么情況下,下列各分式無意義?2x,x-3問題:1.分數(shù)在什么情況下無意義?2.分式中分母的字母可以任意取值嗎?3.在什么情況下上面的三個分式無意義?[處理方式]學生交流、老師總結強調.(1)分式有意義,需要分母不為0,需要解一個帶“≠”的不等式;反之,當分式無意義時,則分母為0.(2)分式的值為0,既要分子等于0,也要分母不為0.可以用方程和不等式組成條件組表示上述條件.[設計意圖]由學生自己發(fā)現(xiàn)問題、解決問題并找出關鍵所在,既能激發(fā)學生的求知欲望,又能有效深化知識.同時通過形象比喻“分數(shù)線是路面,分母是陷阱”使學生品味數(shù)學的趣味性.(補充例題)當x取什么值時,下列分式有意義?(1)x-14x+1;(2)x1-x;〔解析〕只有當分母不為零時,分式才有意義.解:(1)要使x-14x+1有意義,必須使4x+1≠0,即x≠-14.所以當x≠-(2)要使x1-x有意義,必須使1-x≠0,即x≠±1,所以當x≠±1時,(3)要使1x+3-1x-2有意義,必須使x+3≠0且x-2≠0,即x≠-3且x≠2.所以當x≠-3且x≠2時,強調:在解答分式有意義、無意義、值為零的題型時,一定要緊扣分式的概念.如分式AB有意義時,必須滿足B≠0;無意義時,必須滿足B=0;值為零時,必須滿足A=0且B≠0.其中值為零已經隱含了分式有意義,只是值為零而已,注意區(qū)別[知識拓展]對于分式的定義和成立的條件要注意以下幾點:1.分式的形式與分數(shù)類似,但它們是有區(qū)別的,分數(shù)是整式,不是分式,分式是兩個整式相除的商式,其根本區(qū)別如下表:分式分數(shù)整式區(qū)別分母中含有字母分子、分母中都不含有字母分母中不含有字母2.分式與分數(shù)是相互聯(lián)系的,由于分式中的字母可以表示不同的數(shù),所以分式比分數(shù)更具有一般性;分數(shù)是分式中字母取特殊值后的特殊情況.3.注意分母含π的代數(shù)式容易判斷錯誤,如:52π不是分式,因為π不是字母,4.注意分式的值為0時,容易忽略分母不為0的條件.活動五:分式的基本性質[過渡語]剛才我們研究了分式有意義的條件,小學我們學過分數(shù).請同學們思考:你覺得13,26和4下面我們來看看分式是否具有類似的性質?1.請看下面的問題:填空:23=學生獨立思考,根據(jù)分數(shù)的基本性質,23的分子、分母同乘2,可得46,10100的分子、分母同除以10,思考:分式的分子和分母同乘(或除以)一個不等于0的整式,分式的值會怎樣?歸納:分式的分子和分母同乘(或除以)一個不等于0的整式,分式的值不變.用式子表示為:AB=A×MB×M,【注意】因為0不能作除數(shù),所以分式的分子、分母同乘(或除以)的這個整式不能等于0.2.“做一做”.分式a-ba(a-b)與b引導學生得到:把a-ba(a-b)的分子、分母同除以(a-b)得到1a;學生舉出具有同樣特點的兩個分式.[知識拓展]理解分式的基本性質應注意以下幾點:分式的基本性質與分數(shù)的基本性質類似,要特別注意“不等于0”“同乘(或除以)”這些關鍵詞.“同乘(或除以)”說明分子與分母都乘或都除以,并且分子與分母乘或除以的整式是相同的;“不等于0”是對分子與分母乘或除以的整式的限制條件.若原分式的分子(或分母)是多項式,運用分式的基本性質時,要先把分式的分子(或分母)用括號括上,再乘(或除以)非零整式.知識總結知識方法要點關鍵總結注意事項分式的概念一般地,把形如AB的代數(shù)式叫做分式,其中A,B是整式,且B中含有字母,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母分母含π的代數(shù)式容易判斷錯誤.分式有意義或無意義或分式值為0的條件(1)分式有意義:分母不為0;(2)分式無意義:分母為0;(3)分式值為0:分子為0且分母不為0.判斷分式的值為0時,容易忽略分母不為0的條件.分式的基本性質分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式,分式的值不變.規(guī)律方法總結1.判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母,分母中含有字母的代數(shù)式是分式.2.(1)分式的基本性質的作用:分式進行變形的依據(jù).(2)在運用分式基本性質時,必須注意乘或除以的是同一個整式,且不為0.(3)分式基本性質的研究方法:從分數(shù)→分式;從特殊→一般.1.如果分式3x-1有意義,那么x的取值范圍是 A.任意數(shù) =1≠1 =0解析:分式有意義,分母x-1≠0,據(jù)此可以求得x的取值范圍是x≠1.故選C.2.若將分式a+bab(a,b均為正數(shù))中的字母a,b的值分別擴大為原來的2倍,則分式的值 A.擴大為原來的2倍B.縮小為原來的1C.不改變D.縮小為原來的1解析:分式中的字母分別擴大為原來的2倍,分式的分子擴大為原來的2倍,分式的分母擴大為原來的4倍,所以分式的值縮小為原來的12.故選B3.下列代數(shù)式是分式的有.(填序號)

①12π;②23x;③2x5x-y解析:判斷一個代數(shù)式是不是分式,看分母中是否含有字母,若分母含有字母,則是分式;若分母不含有字母,則不是分式.23x,2x5x-y,3x2k,z2x中分母都含有字母,是分式,12ab-23ac和x24.已知分式x2-9x+3,當x=解析:根據(jù)分式無意義,分母等于0列式計算即可得解.根據(jù)題意,得x+3=0,解得x=-3.故填-3.5.判斷下列從左到右的變形是否正確.(1)ba=aba2(2)ba=b+c(3)ba=bcac.(4)bcac=ba.解析:此類題主要考查分式的基本性質.對于ba,條件中隱含a≠0,分子、分母同時乘a,可得ba=aba2成立,因此(1)正確;分子、分母加上c,只有當c=0時一定成立,其余條件下不一定成立,因此(2)錯誤;當c=0時,ba=bcac不成立,因此(3)錯誤;在bcac=ba中,隱含c答案:(1)(2)×(3)×(4)6.已知分式x-nx+m,當x=-3時,該分式沒有意義;當x=-4時,該分式的值為0,求(m解析:分式沒有意義時,分母為0;分式的值為0時,分子為0,分母不為0.解:根據(jù)分式沒有意義的條件,有x+m=0,則x=-m,當x=-3時,m=3,再根據(jù)分式的值為0的條件,可求得n的值為-4,所以(m+n)2023=(3-4)2023=1.7.不改變分式的值,把式子12x解析:利用分式的基本性質,分子與分母同時乘6即可.解:12x+1第1課時活動一:做一做——感知分式活動二:大家談談——總結分式定義分式定義活動三:例題講解——深化對分式的認識例1活動四:大家談談——分式的字母可以任意取值嗎?例2活動五:分式的基本性質AB=A×MB×M一、教材作業(yè)【必做題】1.教材第3頁練習第1題.2.教材第4頁習題第1,2題.【選做題】教材第4頁習題第3題.二、課后作業(yè)【基礎鞏固】1.代數(shù)式的家中來了幾位客人:2x,x+y5,12-a,xπ-1,x個個個個2.當分式1x-2沒有意義時,x的值是 3.下列關于分式的判斷,正確的是 ()A.當x=2時,x+1B.當x≠3時,x-C.無論x為何值,3xD.無論x為何值,3x【能力提升】4.若5x-3是一個整數(shù),則x的最大的整數(shù)值為 5.當x=3時,分式1x-26.當m=時,分式(m-7.某工廠計劃a天生產60件產品,則平均每天生產該產品件.

8.觀察下列式子:4×45=4-45,5×56=5-56,6×67=6-67,設n表示正整數(shù)(9.下列各式中,哪些是整式?哪些不是整式?兩者有什么區(qū)別?12a,2x+y,x-y2,1a,x-【拓展探究】10.在學習中小明和小麗都遇到了“當x取何值時,x+2x2-4有意義”?小明的做法是:先化簡x+2x2-4=x+2(x+2)(x-2)=1x-2,要使1x-2有意義,必須x-2≠0,即x≠2;小麗的做法是:要使x+2x2【答案與解析】(解析:分式與整式的區(qū)別主要在于分母中是否含有未知數(shù).2x,12-a,x2x+1這3個式子分母中含有字母,因此是分式.其他式子分母中均不含有字母,(解析:分式無意義的條件:分母為零.)(解析:根據(jù)分式的值為0的條件,以及分式有意義的條件即可求解.當x=2時,x+1x-2無意義,故A錯誤;當x≠0時,x-3x有意義,故B錯誤;當x=2時,3x+1得整數(shù)值,故C錯誤;分母x2+1大于0,分子大于0,故無論x為何值(解析:如果5x-3是一個整數(shù),那么x-3是5的約數(shù),則x-3=±1或±5.即x=4或2或8或-2,所以x的最大整數(shù)值是(解析:將x=3代入分式,即可求得分式的值.)(解析:由(m-1)(m-3)=0,m2-3m+2≠0,解得m=3.故填3.)7.60a(解析:工作效率=工作總量÷工作時間,把相關數(shù)值代入即可.×nn+1=n-nn+1(解析:觀察等式可得等號左邊的第一個因數(shù)與第二個因數(shù)的分子、等號右邊的被減數(shù)、等號右邊減數(shù)的分子相同9.解:整式:12a,2x+y,x-y2,3a,5;不是整式:1a,x-3yx.它們的區(qū)別在于分母中是否含有字母10.解:要使x+2x2-4有意義,必須x2-4≠0,即x2≠4,所以x1≠-2,x2≠2.故小麗的做法正確,小明的做法使原來的分式中字母從相等分數(shù)的變形依據(jù),分數(shù)的基本性質作為復習引入,類比到相等分式的變形依據(jù),歸納概括出分式的基本性質.對分數(shù)的基本性質和分式的基本性質做了對比研究,實現(xiàn)了從“數(shù)”到“式”的提升.1.在教學過程中,對于學生的指導還有些不夠到位的地方,如:對分式有意義、無意義和值為零類解答題的解答過程示范不夠到位.2.讓部分因式分解不熟練的學生沒有積極投入到分式基本性質的學習中來.1.注意加深整式和分式的區(qū)別,加強解答題目過程的示范,進一步關注數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系.2.在例題選配上,還需要進一步突破應用分式的基本性質對分式進行變形這一難點,增設判斷從左到右的變形是否正確這一類例題.練習(教材第3頁)1.解:(1)x≠1.(2)x≠-322.解:(1)正確.(2)不正確.(3)正確.(4)正確.習題(教材第4頁)1.解:當v=20m/s,d=10米/輛時,vd=2010=2(輛2.解:要使分式xx+1有意義,則必有x+1≠0,所以x≠-1,所以當x≠-1時,分式xx+1有意義.要使分式xx+1的值為0,則必有x=0,x+1≠0,所以x=3.解:(1)是分子、分母同時乘x2得到的.(2)是分子、分母同時除以x得到的.(3)是分子、分母同時乘5得到的.(4)是分子、分母同時除以x-2得到的.4.解:答案不唯一.如105x2,重難點突破建議分式是在學生學過分數(shù)、整式的基礎上對代數(shù)式的進一步研究.分式與分數(shù)類似,但又有所不同,分數(shù)是分式的具體化,分式是分數(shù)的一般形式,這種一般與特殊以及“數(shù)式相通”的類比思想學生還是比較欠缺的.但是八年級的學生具有一定獨立思考、概括歸納的能力,也有很強的合作意識.本課時的重點為分式的概念,難點為理解并掌握分式有意義和值為零的條件.為了能突破這一重、難點,為后續(xù)的學習奠定堅實的基礎,所以本節(jié)的設計中,突出了學生觀察、猜想、分析、思考、歸納等過程,讓學生真正地參與到學習中去,提高他們的學習興趣.當x時,分式x2+4〔解析〕分子x2+4>0,分子與分母異號時,分式的值為負數(shù),即x-2<0,x<2.學生小組合作,并交流解析過程.故填<2.[設計意圖]盡管有一定的難度,但學生通過小組合作交流,沒有畏懼感,發(fā)揮了學生解決問題的主動性,使每個學生在探究中有所收獲.下列各式中,哪些是整式?哪些是分式?2π,1x,-2zx2y,x5-zy,〔解析〕區(qū)分整式與分式的標準就是看分母,分母中不含字母的是整式,分母中含有字母的是分式.解:整式有:2π,a2+b23,12x2+y.分式有:1x[解題策略]注意辨析一些特殊的代數(shù)式,如2π中π是常數(shù),故2π是整式;x5-zy容易看出zy是分式,x5是整式,x取什么值時,分式x+5(解:x≠-1且x≠-2時,分式x+5([解題策略]要使分式有意義,應使分式的分母不為零,對(x+1)(x+2)≠0來說,欲使其成立,必須x≠-1,同時x≠-2,即x≠-1且x≠-2.[方法提示]只要分式中的分母不等于0,分式就有意義.第課時1.類比分數(shù)的約分,理解分式約分的意義.2.會用分式的基本性質進行約分,掌握分式約分的方法與步驟.通過類比分數(shù)的約分,探索分式的約分法則,學會運用類比轉化的思想研究數(shù)學問題.1.通過研究解決問題的過程,培養(yǎng)學生合作交流的意識與探究精神.2.通過對分式約分的探究,讓學生充分參與到數(shù)學學習的過程中來,使他們體驗到成功的樂趣.【重點】運用分式的基本性質正確地進行分式的約分.【難點】約分時,最簡公因式的確定.【教師準備】課件1~11.【學生準備】復習分數(shù)的約分和分式的基本性質.導入一:【課件1】怎樣把分數(shù)24,-5-25約分?你做這些題目的依據(jù)是什么?8m2學生將24,-5-25約分后,仿照分數(shù)約分的方法,根據(jù)分式的基本性質,約去分式8m2n【教師點撥】分式8m2n2m導入二:【課件2】下面的等式中右式是怎樣從左式得到的?這種變換的理論根據(jù)是什么?(1)6a2b38a3解:(1)式中的左邊,分式的分子與分母都除以2a2b2,得到右式,這里a≠0,b≠0.(2)式中的左邊,分式的分子與分母都除以(x+y),得到右式,這里(x+y)≠0.這種變換的根據(jù)是分式的基本性質:分式的分子與分母都乘(或除以)同一個不等于零的整式,分式的值不變.【課件3】化簡:(1)1824,(2)176264,并說出這是什么運算?解:(1)1824=34.(2)176264師:什么是分數(shù)的約分?約分的方法是什么?約分的目的是什么?生:把一個分數(shù)化為與它相等,但是分子、分母都比較小的分數(shù),這種運算叫做分數(shù)的約分.對于一個分數(shù)進行約分的方法是:把分子、分母都除以它們的公約數(shù)(1除外).約分的目的是把一個分數(shù)化為最簡分數(shù).師:分式的約分和分數(shù)的約分類似,下面討論分式的約分.導入三:同學們,想一想,對分數(shù)812怎樣化簡【課件4】思考:下列分式是怎樣從左邊變形到右邊的?(1)b2x=by2xy(y≠0);(3)x+2反過來,把一個分式的分子、分母都除以公因式之后,就完成了約分.下面我們先來看看分式的約分.(板書課題)[設計意圖]按由特殊到一般的思路讓學生回憶有關內容,為學習新知識做好鋪墊.在這個活動中,首先激活學生原有的知識,體現(xiàn)了學習是在原有知識的基礎上自我生成的過程.活動一:分式的約分和最簡分式[過渡語]怎樣進行分式的約分?分式的約分的依據(jù)是什么?思路一1.分式的約分分式ab+acbd+cd能不能化簡?如果能教師指導學生將分式的分子和分母先因式分解,然后再約分.展示【課件5】教師根據(jù)學生化簡的過程進行講解.歸納:(1)分式約分的依據(jù)是根據(jù)分式的基本性質.(2)約分:依據(jù)分式的基本性質,把分式的分子與分母的公因式約去,叫做分式的約分.思考:若分子、分母都是單項式時,如何找公因式?當分子、分母都是多項式時,又如何找公因式?生討論回答后總結:約分的步驟:①先找分子與分母中的公因式.②分子與分母同時除以公因式.公因式的確定方法:①當分子與分母都是單項式時,所分離出的公因式的系數(shù)應是分子系數(shù)與分母系數(shù)的最大公約數(shù),字母因式是分子、分母相同字母的最低次冪的乘積.②當分子與分母都是多項式時,應先分別進行因式分解,再找出它們的公因式.進一步理解以上幾句話【課件6】找出下列分式中分子與分母的公因式(口答):(1)8bc12ac;(2)3a3b3c(4)x2+xy(x+y2.最簡分式學生思考并交流:如果幾個分式約分后,分別得到了12a,x4y,x2生交流討論后回答:不能再約分了.師總結:這幾個分式的分子與分母,除1以外沒有其他的公因式,不能繼續(xù)約分了,這樣的分式叫最簡分式.即分子和分母(除1以外)沒有公因式的分式叫做最簡分式.【課件7】在化簡分式5xy20x2小穎:5xy小明:5xy你對他們倆的解法有何看法?說說看!引導學生分析得出小穎在化簡時,沒有化成最簡分式,她的做法是錯誤的.思路二【課件8】我們觀察:(1)12a7x=36(2)a+bab=(a+b這一過程由左到右是怎樣變形的?根據(jù)的是什么?(小組討論回答)生:(1)式分子與分母同乘3b,(2)式分子與分母同乘(a+b),根據(jù)的是分式的基本性質.師:將以上兩個式子倒過來,又是怎樣變形的?根據(jù)的是什么?生:(1)式分子與分母同除以3b,(2)式分子與分母同除以(a+b),根據(jù)的是分式的基本性質.我們把以上兩式由右到左的變形過程叫分式的約分.(1)中的3b與(2)中的(a+b)分別是分子與分母的公因式.由以上的學習過程,學生總結約分的定義(小組討論回答):利用分式的基本性質,把分式中分子與分母的公因式約去,叫做分式的約分.強調:分式約分的依據(jù):分式的基本性質.分子、分母(除1以外)沒有公因式的分式,叫做最簡分式.【課件9】3ac2a2(a解:不正確.因為分式的分子和分母還能約分,即分子與分母中含有公因式a,所以3ac2[知識拓展]分式的化簡,就是把復雜的分式化為整式或最簡分式,分式的約分是根據(jù)分式的基本性質,約去分子、分母中的公因式,最終變?yōu)檎交蜃詈喎质?活動二:例題講解[過渡語]掌握了分式約分和最簡分式的概念,明確了分式約分的目的就是把分式化成最簡分式或整式.下面我們來做幾道例題,共同來鞏固一下約分的方法.【課件10】約分:(1)35a2b215a3b;(2)教師引導學生發(fā)現(xiàn):①確定分子與分母的最大公因式:各項系數(shù)的最大公約數(shù)和相同因式的最低次冪的積;②分式約分的最后結果應為最簡分式或整式,即分子、分母(除1以外)沒有公因式.學生先練,教師再根據(jù)情況指導.解:(1)35a(2)x2(3)4m[方法歸納](1)如果分式的分子、分母都是單項式,那么直接約去分子與分母的公因式;(2)如果分式的分子、分母是多項式,那么能因式分解的先因式分解,由此找出公因式,再進行約分.(3)約分后,分子與分母(除1外)不能再有公因式.【課件11】教材第6頁“做一做”指導學生分別用直接代入求值和化簡后代入求值這兩種方法解答,并比較哪種方法簡單.【拓展延伸】約分-32a2b3c24師:因為分式的分子與分母都是單項式,所以取分子、分母中相同因式的最低次冪和分子、分母的系數(shù)的最大公約數(shù),把它們的積作為這個分式的分子與分母的公因式.解:-32a2b3c24師:分子或分母的系數(shù)是負數(shù)時,一般先把負號移到分式本身的前邊,這就同時改變了分式本身與分子或分母的符號,所以分式的值不變.[設計意圖]通過具體實例讓學生歸納出約分的具體步驟,明確在進行分式約分時,關鍵是確定分子和分母的公因式.1.約分:(1)分式約分的結果一定要化成最簡.(2)如果分式的分子或分母是多項式,可先考慮把它分解因式,得到因式乘積形式,再約去分子與分母的公因式.如果分子或分母中的多項式不能分解因式,此時就不能把分子、分母中的某些項單獨約分.2.最簡分式:判斷一個分式是不是最簡分式,關鍵是確定其分子和分母(除1以外)是否有公因式.3.分式進行約分的目的是要把這個分式化為最簡分式或整式.分式約分時要注意正確運用乘方的符號法則,如x-y=-(y-x),(x-y)2=(y-x)2,(x-y)3=-(y-x)3.1.化簡a2+2ab+bA.a+ba-b B.ba解析:a2+2ab2.下列約分正確的是 ()A.x6x2=x3 B.C.xx2=解析:A.x6x2=x4,故A選項錯誤;B.x+yx+y=1,故B選項錯誤;C.xx2=1x,3.下列分式是最簡分式的是 ()A.2xx2C.42x 解析:A.2xx2+1不能約分,是最簡分式,B.x-1x2-1=14.下列各式中,正確的是 ()A.6-2x-x+3=C.(a-b)3(b-解析:A.6-2x-x+3=2(3-x)3-x=2,故此選項正確;B.a-b(a5.將下列分式約分.(1)10a3bc-5a2b3c2;(2解析:(1)根據(jù)分式的基本性質,分子、分母同時除以5a2bc;(2)約去分子、分母的公因式(a+b)即可;(3)先把分子中的(a-x)2轉變成(x-a)2,再約分即可;(4)根據(jù)平方差公式和完全平方公式進行因式分解,再約分即可.解:(1)10a3bc-(2)-2a(a(3)(a(4)x26.在給出的三個多項式:x2+4xy+4y2,x2-4y2,x2+2xy中,請你任選出兩個分別作為分子和分母組成分式,并進行化簡運算.解析:任意選出兩個多項式,一個作為分子,另一個作為分母,進行因式分解,再約分即可.解:(本題答案不唯一)選x2+4xy+4y2作分子,x2-4y2作分母,則x2第2課時活動一:分式的約分和最簡分式(1)把分式中分子與分母的公因式約去,叫做分式的約分.(2)分式的分子、分母(除1以外)沒有公因式的分式叫做最簡分式.活動二:例題講解例題一、教材作業(yè)【必做題】1.教材第6頁練習第1,2題.2.教材第6頁習題第1題.【選做題】教材第6頁習題第2,3題.二、課后作業(yè)【基礎鞏固】1.下列式子是分式且不能再約分的是 ()A.x2x C.x-yx2.下列各式不成立的是 ()A.a2-2ab+C.4a2b42ab2=2ab3.化簡ab-ba2-A.aa+1 C.ba+1 4.下列各分式變形正確的是 ()A.ba=b2a2 C.a2-2a+11【能力提升】5.當x<0時,x3-xx的化簡結果是 +1 +16.約分.(1)5x25x2;(2)9ab2(4)x27.若ab+a2b2+ab=【拓展探究】8.將分式-10+10x2x3+2x2【答案與解析】(解析:A.x2x=x,能約分;B.6x25π不是分式;C.分式的分母與分子中除1以外沒有公因式,不能進行約分;D.x2-(解析:A.原式=(a-b)2a(解析:ab-b(解析:A.ba=aba2,故本選項錯誤;B.a2+b2a+b是最簡分式,不能化簡為a+b,故本選項錯誤;(解析:因為x<0,所以x3-xx=-x6.解:(1)5x25x2=15x.(2)9ab2+6abc3a2b7.解:ab+a2b2+ab=a(a+b)b(8.解:-10+10x2x3+2x2-x-2=10(x本節(jié)課體現(xiàn)了學生是學習的主人,學習了類比的思想方法,培養(yǎng)了學生語言表達和概括知識的能力.在分數(shù)約分的基礎上,學習分式約分的方法.這一過程由學生自己學習、歸納,這樣學生可以把新舊知識聯(lián)系起來,學起來也不覺得困難,從而激起學生學習的積極性.高估了學生的基礎,部分學生求最大公約數(shù)不會,造成約分時學生對公因式的確定還不夠準確.針對一些對分數(shù)約分困難的學生,給予幫扶,為進一步學習分式的約分奠定基礎,另外教師在講分式約分前應先花一段時間復習因式分解,使得基礎比較差的學生學習新知識時能較容易接受.練習(教材第6頁)1.解:(1)正確.(2)不正確,應為a22a=a2.(3)不正確,應為mnm2.解:(1)6ab28b3=2b2·3a習題(教材第6頁)1.解:(1)5m2x10mx2=5mx·m5mx·2x=m2x.(2)-2a3a+a2=a·2.解:x2+xyx2+2xy+y2=x(x+3.解:12·3a·2b∶12·4a·3b=(3ab)∶化簡.(1)9x2y-24xy解:(1)原式=y((2)原式=xy([解題策略]本題考查了分式的約分的應用,解此題的關鍵是找出分式中分子和分母的公因式.李紅在化簡分式x2-y2解法1:x2-解法2:x2(x2你認為這兩種解法都正確嗎?談談你的想法.〔解析〕解法1正確,解法2不正確,當x-y=0時,使分式沒有意義.解:解法1正確,解法2不正確,當x-y=0時,不能在分子、分母上乘(x-y).分式的乘除1.使學生掌握分式乘除法的運算法則.2.會進行分式乘除法的運算.3.進一步掌握分式的基本性質,并能用它化簡分式或進行分式變形.1.讓學生類比分數(shù)乘除法的運算法則,探索分式乘除法的運算法則.2.在分式乘除法的運算過程中,體會因式分解在分式乘除法中的作用.3.啟發(fā)學生學會觀察、分析、尋找解題的途徑,提高他們分析問題、解決問題的能力.通過師生共同交流、探討,使學生在掌握知識的基礎上,認識事物之間的內在聯(lián)系,獲得成就感,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和應用數(shù)學的意識.【重點】掌握分式乘除法運算.【難點】分子、分母為多項式的分式乘除法運算.第課時1.理解和掌握分式的乘法法則.2.經歷探索分式乘法法則的過程,體會分式乘法法則的合理性.1.總結分式的乘法法則,會進行分式的乘法運算,進一步運用類比的數(shù)學思想去觀察、分析問題.2.在分式乘法的運算過程中,體會因式分解在分式乘法中的作用,發(fā)展有條理的思考和語言表達能力.1.讓學生通過類比,體會到獲得成功的喜悅,激發(fā)學生的學習熱情.2.在探究分式乘法法則的過程中,進一步體會分類和轉化的思想.【重點】分式的乘法法則.【難點】分子和分母是多項式的乘法.【教師準備】課件1~8.【學生準備】復習已學過的分數(shù)乘法和因式分解.導入一:用下面的話引入新課:上節(jié)課,我們學習了分式的基本性質,我們可以發(fā)現(xiàn)它與分數(shù)的基本性質類似.那么,分式的運算是否也和分數(shù)的運算類似呢?下面我們看投影片,進行探索和交流.【課件1】觀察下列算式:23×回顧分數(shù)與分數(shù)相乘的法則.(分數(shù)與分數(shù)相乘,用分子相乘的積作為積的分子,分母相乘的積作為積的分母)猜一猜:AB×CD【學生活動】仔細觀察,先獨立思考,然后在組內交流.導入二:師:我們一起來看一道計算題,你會做嗎?27×35生:27×35師:你能用文字來敘述出你做這道題的思路嗎?生:分子乘分子得到分子,分母乘分母得到分母.師:對,這就是小學所學的分數(shù)的乘法,這位同學說得很好.我們大家一起來看看分數(shù)的乘法法則.(多媒體出示分數(shù)乘法法則:兩個分數(shù)相乘,分母與分母相乘的積作為積的分母,分子與分子相乘的積作為積的分子)師:剛才我們做的是分數(shù)之間的乘法運算,那換成我們剛學過的分式,ba×dc(生:等于bdac師:同學們還有沒有不同的答案?(讓學生討論)師:對,分式的乘法與分數(shù)乘法類似,那你能說出分式乘法的法則嗎?[設計意圖]導入一和導入二運用類比的方法,讓學生發(fā)現(xiàn)分式的乘法法則,體現(xiàn)知識遷移的過程.導入三:【課件2】受節(jié)約能源宣傳的影響,一向滿不在乎的小剛也開始節(jié)約用水了,他想知道自己過去到底用了多少水,于是他通過調查資料得出一個信息:他平均每天的用水量是cb千克,而他自己的有效利用率為ed,他想了半天也沒有弄明白每天實際有效利用多少水.列式為:cb·ed,(1)這個式子是分式的哪種運算?(2)又應該怎樣計算呢?這節(jié)課我們就來學習——分式的乘法.(板書課題)[設計意圖]通過情境引入,使學生會列分式的乘法算式,從而引出本節(jié)課的課題,為下面的學習設下懸念,引起學生的學習興趣.活動一:分式的乘法法則[過渡語]根據(jù)剛才導入的問題,我們不難得出:AB·CD=A·說明:以小組為單位,仔細觀察,并歸納、交流,得出分式乘法的運算法則.歸納:語言表述:分式與分式相乘,用分子的積作為積的分子,分母的積作為積的分母.字母表述:AB·C活動二:例題講解思路一1.分式的分子和分母是單項式的乘法【課件3】計算下列各式:(1)3y2x·za;(2)〔解析〕(1)將算式對照分式的乘法運算法則,進行運算;(2)強調運算結果如不是最簡分式時,一定要進行約分,使運算結果化為最簡分式或整式.【學生活動】嘗試獨立完成,若有困難,再小組討論解答.說明:學生自己能完成的,一定要讓學生自己完成.解:(1)3y2x(2)8y23[過渡語]剛才我們接觸到的是分式的分子和分母是單項式的乘法,如果遇到分式的分子和分母是多項式的時候又應該怎樣計算呢?回顧:(1)因式分解的概念;(2)因式分解的方法.2.分子和分母是多項式的分式乘法【課件4】計算下列各式:(1)x2-4xx+3·x+3x-師:(1)中的x2-4x和(2)中的a2-4與a2+6a+9是否能進行因式分解?能分解成什么?生:x2-4x=x(x-4);a2-4=(a+2)(a-2);a2+6a+9=(a+3)2.師:下面請你獨立完成.解:(1)x2-4x(2)a2-4強調:當分式的分子和分母是多項式的時候,一定要注意多項式如果能進行因式分解的先因式分解,然后再按照分式的乘法法則進行計算,所得結果要化成最簡分式或整式.3.教材第8頁做一做【課件5】計算下列各式:(1)-3xy2·2x15y2;(2)引導學生觀察(1)這個分式怎樣相乘.生:-3xy2可以看成分母是1的整式,然后與后面的分式相乘.解:(1)-3xy2·2x15y2=(-(2)x-1x[設計意圖]通過“例題”和“做一做”讓學生進一步感受分式乘法的兩種形式,即一種是分子和分母是單項式的分式乘法;另一種是分子和分母是多項式的分式乘法.從而讓學生掌握計算的方法,提高學生解題的能力.思路二【課件6】計算:4x3y·y2【思路點撥】應用分式乘法法則,轉化成4xy3y·2x3,然后找出分子、分母的最大公因式2xy,即2xy【教師活動】操作投影儀,分析例3,并引導學生積極參與.【學生活動】參與教師的分析,對每一步驟說出其依據(jù),歸納運用法則的方法是:(1)運用分式乘法法則;(2)確定分子、分母的最大公因式;(3)約分;(4)檢查結果是否最簡.(小組討論、歸納運用法則的方法)[設計意圖]通過教師啟發(fā),引導學生學會分析、學會應用法則,然后在小組討論中歸納分式乘法運算的方法.【課件7】計算:a2-4a+4a【思路點撥】由于各分式分子、分母都是多項式,因此,首先應將這些多項式能分解因式的分解因式,而且要注意分解徹底,然后再應用分式的乘法法則進行運算.【教師活動】分析例4,引導學生正確運用分解因式、分式乘法法則進行運算.【學生活動】參與教師分析,領會法則的應用,小組討論、歸納分式運算方法:(1)分子、分母分解因式;(2)運用分式乘法法則;(3)約分;(4)檢驗分式的運算結果是否最簡.【教師點評】實際上,今后對分式乘法運算熟練之后,分式運算中的乘法法則可以忽略,直接進行約分.解:a-在教師的引導下,共同完成例4,再以小組討論的方式歸納總結分式運算的方法,感受良好的課堂氛圍.【課件8】計算:(1)6m8x·2x23m2解:(1)x2m.(2)[知識拓展](1)分式乘法運算結果如果不是最簡分式,要進行約分.(2)根據(jù)分式乘法法則有:①分式與分式相乘時,如果分子與分母是多項式,那么應先分解因式,看能否約分,再與分式相乘.②整式與分式相乘時,可以直接把整式看成分母是1的代數(shù)式,再與分式相乘.③分式的乘法實質就是約分,所以計算結果如能約分,應約分,或通過分解因式后能約分的也要約分,把結果化為最簡分式或整式.[設計意圖]在學生獨立完成的基礎上,教師講評,以“暴露”學生身上存在的問題,從而也讓學生鞏固了本節(jié)所學的知識.1.分式的乘法法則:分式與分式相乘,用分子的積作為積的分子,分母的積作為積的分母.字母表述:AB·C2.注意事項:(1)在運算過程中,當分子、分母都是單項式時,可直接約分再計算;當分子、分母是多項式時,能分解因式的要先分解因式,再約分、計算.(2)運算結果一定要化成最簡分式或整式.1.計算a3·-1a2的結果是 解析:原式=a3·1a2=a.2.計算x2-2xy+y2A.x-yxC.(x解析:原式=(x-y)23.化簡a2-aa+1·aA.1a C.a+1a解析:原式=a(a-1)a4.計算-2ab3的結果是2a3b3 6a解析:原式分子、分母分別立方,計算即可得到結果.原式=-(2a)3b35.計算-nm·m2-m +1+m 解析:原式=-nm·m(m-1)6.計算3b2a·-a6b2 B.b2 C.b解析:原式=-3ab26ab=7.計算xyx2-2xy+y2A.1y-xC.x+y解析:原式=xy(x-y)2·(8.(2023·寧德中考)化簡x-2x解析:先把分子、分母分解因式,再進一步約分計算得出答案即可解:原式=x-2x9.計算-b2a解析:先計算乘方,再計算乘法即可得到結果.解:原式=-b6a3·4a10.計算.(1)-2ab2·b36a2;解:(1)原式=4a2b(2)原式=x(x-第1課時活動一:分式的乘法法則活動二:例題講解一、教材作業(yè)【必做題】1.教材第8頁練習第1,2題.2.教材第8~9頁習題A組第1,2題.【選做題】教材第9頁習題B組第1,2題.二、課后作業(yè)【基礎鞏固】1.化簡(a-2)·a2-4a2+2C.a+2a-2.計算-n22m·mnmn2 B.mn2 m23.計算3xy24z2· 3x4.化簡5ab3c·12c2A.43 B.4cb C.45.計算8x2y4·-3x4y3·2 6.化簡am2-n2·(n-m)A.am-nam+7.計算-b2a·-4a3bba B.ba b【能力提升】8.計算(xy-x2)·xyx-y9.計算--a2b2·【拓展探究】10.計算.(1)4a+4b(2)x2-4(3)x2+1x【答案與解析】(解析:原式=(a-2)(a+2(解析:原式=-n22m·m2n(解析:原式=-3xy2·8z24(解析:5ab3c·(解析:原式=-8x2y4·(解析:原式=a(m+n)(m-n)·((解析:原式=23·-2a3b(解析:原式=-x(x-y)·xyx-y=-x(解析:--a2b2·-b2a3=-10.解:(1)4a+4b5ab·35a2ba2-b2=4(a+b)5ab·教學的設計以學生自主探索為主,通過復習、類比分數(shù)的乘法導入新課,通過設置相應的問題,讓學生自主探索、合作交流,歸納出分式的乘法法則,加深了學生對分式的乘法法則的理解與記憶,通過對例題的講解加深了學生對分式的乘法常見形式的理解,并能正確地加以運用和計算,培養(yǎng)了學生利用分式乘法法則解決問題的能力.本節(jié)中教師清晰地分出兩種情況進行教學,即分子和分母是單項式的分式乘法;另一種是分子和分母是多項式的分式乘法,強調先因式分解再計算.為學生的學習指引了方向,學生的學習積極性較高,掌握了基本的解題技能.(1)由于部分學生計算能力欠缺,或有些細節(jié)沒注意到,計算上還出現(xiàn)問題.(2)時間安排不是太恰當,學生幫助學生解決問題時耽誤了一些時間,導致最后設計的環(huán)節(jié)沒完成.(3)學生答題的規(guī)范性還差了些,在黑板上的板書不到位.(1)在以后的教學中還應加強計算能力的培養(yǎng).(2)應加強細節(jié)的設置,提高課堂效率,在以后的教學中加強學生的答題規(guī)范性.(3)本節(jié)課用到轉化、猜想、歸納的數(shù)學方法,以后在教學中提醒學生數(shù)學方法的應用.練習(教材第8頁)1.解:(1)x3y3·y2x=x2y2.解:(1)原式=a-bab·2a2b2(a+b習題(教材第8頁)A組1.解:(1)原式=cab.(2)原式=53y.(3)原式=2a33.(42.解:(1)原式=(x+y)2xy(x+y)·yx+y=1x.(2)原式=(x+y)(x-B組1.解:(1)原式=14.(2)原式=(x-y)22.解:(1)原式=b2a2.(2)原式=b4a4.(分式的乘方的教學設計思路一根據(jù)乘方的意義和分式乘法的法則,填空:(1)ab2=ab·(2)ab3=ab·ab(3)ab4=ab·ab·ab教師提出問題.學生思考、交流,回答問題,師生再共同推導:abn=ab·ab歸納分式乘方法則:分式乘方等于分子、分母分別乘方.思路二全班交流分析以下問題的求解思路,教師根據(jù)需要進行板書.(1)正方形的面積原來為1,每次剪去它的12,第1次余下的面積為12;第2次余下的面積為12×12;第3次余下的面積為12×12×12;…;于是,第n次后余下的面積為12×12×…×12n個=12n=12n.若正方形的面積原來為1,每次剪去它的13,則第1次余下的面積為1(2)若正方形的面積為1,每次剪去它的a-ba(a>b),則第1次余下的面積為ba;第2次余下的面積為ba×ba;第3次余下的面積為ba×ba×ba;…;于是,引導學生歸納分式乘方法則:分式乘方等于分子、分母分別乘方.計算.(1)-2a2b3c2;(2解:(1)-2(2)a2b-cd33·d32a[解題策略](1)分式乘方時,一定要把分式加上括號,不要把abn=anbn寫成abn=anb,還應把分子、分母分別看成一個整體的符號,負數(shù)的偶次方為正,負數(shù)的奇次方為負.(3)在一個算式中同時含有分式的乘方、乘法時,應先算乘方,再算乘法,有多項式時應先分解因式,再約分.第課時1.理解和掌握分式的除法法則.2.能通過類比的方法,得到分式的除法法則,并能正確加以計算.1.經歷分式除法轉化為分式乘法的過程,體會轉化的思想在數(shù)學中的應用.2.培養(yǎng)學生解決問題的能力.通過分式除法的教學,進一步培養(yǎng)學生克服困難的精神,樹立學好數(shù)學的自信心.【重點】分式的除法法則的掌握.【難點】能應用分式的除法法則正確加以計算.【教師準備】課件1~5.【學生準備】復習分式的乘法法則.導入一:【課件1】大拖拉機m天耕地a平方千米,小拖拉機n天耕地b平方千米,大拖拉機的工作效率是小拖拉機的工作效率的多少倍?學生討論先分別得出大拖拉機的工作效率是am平方千米∕天,小拖拉機的工作效率是bn平方千米∕天,進一步得出大拖拉機的工作效率是小拖拉機的工作效率的a從上面的問題可知,實際問題中有時需要運用分式的除法.本節(jié)課我們就一起來研究分式的除法運算.[設計意圖]通過實際情境,讓學生感受分式除法在實際生活中的應用,使學生認識到數(shù)學來源于生活,又應用于生活,體現(xiàn)了知識生成的過程.導入二:復習提問:1.分數(shù)的除法法則是什么?計算252.什么是倒數(shù)?學生計算并回答問題,教師及時糾正出現(xiàn)的錯誤.我們在小學學習了分數(shù)的除法,對于分式如何來進行計算呢?這就是我們這節(jié)要學習的內容.[設計意圖]溫故而知新,通過復習分數(shù)的除法導入分式的除法,體現(xiàn)出了類比學習法的重要性.活動一:觀察與思考——探究分式的除法法則[過渡語]我們知道小學學過的分數(shù)的除法法則,它是將分數(shù)的除法轉化為分數(shù)的乘法進行計算的.思路一【課件2】觀察下列運算:23說明:一個分數(shù)除以一個分數(shù),是將除數(shù)的分子與分母顛倒位置后,與被除數(shù)相乘.猜一猜:AB÷教師提出問題.學生思考后在小組內交流.經觀察、類比發(fā)現(xiàn):AB÷C與同伴交流,根據(jù)分數(shù)的除法法則,你能總結一下分式的除法法則嗎?進一步歸納分式的除法法則:分式的除法法則:分式除以分式,把除式的分子與分母顛倒位置后,與被除式相乘.教師適時板書,并引導學生用字母表示.[知識拓展]根據(jù)法則我們知道,分式的除法需轉化為乘法,轉化的過程實際上是“一變一倒”的過程,即除號變乘號,除式的分子和分母顛倒位置.[設計意圖]通過觀察、猜想和小組討論,歸納得出分式除法的法則.思路二師:請大家試一試:45生:45÷12師:現(xiàn)在我們大家來試一試:3x·y生:3x·y師:如果上述的分式乘法改為除法,你會做嗎?生:3x÷y師:你能參照上面我們完成的分式的除法計算,猜想一下:AB÷生:AB÷CD=A師:同學們有不同的答案嗎?你能用語言來敘述分式的除法運算法則嗎?生:除以一個分式等于乘這個分式的倒數(shù).師:說得很好,分式和分數(shù)一樣,除以一個分式等于乘這個分式的倒數(shù),也就是把除式的分子和分母的位置顛倒后再與被除式相乘,然后再按照乘法運算來進行計算,大家來看一下多媒體上的分式除法法則.多媒體出示分式除法法則:兩個分式相除,把除式的分子和分母顛倒位置后,與被除式相乘.[設計意圖]讓學生類比分數(shù)的除法法則,自己總結出分式的除法法則,實現(xiàn)學生主動參與,探究新知的目的,也體現(xiàn)了知識的遷移和轉化的思想.活動二:例題講解——應用新知[過渡語]根據(jù)上面我們的觀察,可以知道分式的除法運算是轉化為分式的乘法運算來進行的.所以在進行分式除法運算時,只要將分式的除法運算轉化為分式的乘法運算,然后再按照分式的乘法法則進行計算即可.【課件3】計算下列各式:(1)5y22x÷y4(3)a2引導學生分析:運用AB÷CD=AB解:(1)5y22x÷(2)2x-6x-2÷x(3)a2+3ab說明:學生獨立完成練習,教師關注學生能否準確、熟練地完成任務,適時加以指導.歸納:分式的除法都是轉化為分式的乘法進行計算的,(1)分式的分子、分母是單項式,直接根據(jù)分式的除法法則進行計算;(2)分式的分子、分母是多項式時,轉化為乘法后,先要分解因式,然后再進行計算.[過渡語]下面來看一個分式的除法應用問題.【課件4】八年級(一)班的同學在體育課上進行長跑訓練,小芳跑完1000m用了ts,小華用相同的時間跑完了800m.這次訓練,小芳的平均速度是小華的平均速度的多少倍?〔解析〕小芳的平均速度是1000tm/s,小華的平均速度是800tm/s,列式為解:小芳的平均速度為1000tm/s,小華的平均速度為800tm/s.1000答:這次訓練,小芳的平均速度是小華的平均速度的倍.【課件5】(補充例題)如圖所示,“豐收1號”小麥的試驗田是邊長為am(a>1)的正方形去掉一個邊長為1m的正方形蓄水池后余下的部分,“豐收2號”小麥的試驗田是邊長為(a-1)m的正方形,兩塊試驗田的小麥都收獲了500kg.(1)哪種小麥的單位面積產量高?(2)高的單位面積產量是低的單位面積產量的多少倍?學生先獨立思考,分小組討論再交流.【教師點撥】因為a>1,所以(a-1)2-(a2-1)=(a2-2a+1)-(a2-1)=-2(a-1)<0,即(a-1)2<a2-1.解:(1)“豐收1號”小麥的試驗田面積是(a2-1)m2,單位面積產量是500a2-1kg,“豐收2號”小麥的試驗田面積是(a-1)2m2,因為a>1,所以(a-1)2>0,a2-1>0.易得(a-1)2<a2-1.所以500a所以“豐收2號”小麥的單位面積產量高.(2)500(a-所以“豐收2號”小麥的單位面積產量是“豐收1號”小麥的單位面積產量的a+1a[設計意圖]通過具體的問題,讓學生自主探索,教師引導、探究,并進行充分的討論,最后統(tǒng)一認識、總結、歸納出進行分式除法計算的具體步驟.1.分式的除法法則:語言敘述:分式除以分式,把除式的分子與分母顛倒位置后,與被除式相乘.字母表示:AB÷C2.注意事項:(1)運用法則時,注意符號的變化;(2)因式分解在分式除法中的應用;(3)步驟要完整,結果要化最簡.最后結果中的分子、分母既可保持乘積的形式,也可以寫成一個多項式的形式.1.化簡a2-1a2A.12 B.aa+1 C.a解析:原式=(a-12.計算a÷ab·ba的結果是 C.1a2 解析:原式=a·ba·ba=3.計算-nm2÷n2A.m2n2 m解析:原式=-nm2×m4.化簡m-1m÷m B.1m D.解析:原式=m-1m·m2m5.化簡(ab+b2)÷a2-b2A.aba-b B.aba+b解析:原式=b(a+b)·a(a+6.計算x2-y2xA.x-yxC.2x-2解析:原式=x2-y2x2-÷b×1b÷c×1c÷d B.aC.ad解析:原式=a×1b×8.計算.(1)x2(2)x2解析:將分式的除法轉化為分式的乘法,然后按照分式的乘法法則進行計算.解:(1)x2(2)x2-19.由甲地到乙地的一條鐵路全程為vkm,火車全程運行時間為ah;由甲地到乙地的公路全程為這條鐵路全程的m倍,汽車全程運行時間為bh.那么火車的速度是汽車速度的多少倍?解析:根據(jù)路程除以時間等于速度分別表示出火車與汽車的速度,即可得出所求.解:火車速度為vakm/h,汽車速度為mvb則va÷mvb=va第2課時活動一:觀察與思考——探究分式的除法法則活動二:例題講解例1例2例3一、教材作業(yè)【必做題】1.教材第10頁練習.2.教材第11頁習題A組第1,2題.【選做題】教材第11頁習題B組第1,2題.二、課后作業(yè)【基礎鞏固】1.a-1y-3A.y-3aC.a(a-2.計算(x2+y)÷x2+yx·xA.x2x2C.1y D.3.化簡16-a2a2+4a+4A.-2 D.24.若a2b2÷ab22=3,則a 5.下列運算正確的是 ()A.1a+b÷(a+b)=1 B.aC.a2-1a÷a2+a【能力提升】6.兵兵、芳芳、婷婷和楊輝在做課外作業(yè)時,對于“計算下列分式:①ab·b2a;②yx÷ba兵兵:只有①;芳芳:只有②;婷婷:①②③;楊輝:①②③④.你認為結果正確的是 ()A.兵兵 B.芳芳 C.婷婷 D.楊輝7.式子x+1x+2÷x-22x≠±2且x≠-32 ≠-2且x≠-≠2且x≠-32 D.8.下面的計算正確的是 ()÷b22=4aB.(a-b)÷1(a-b)C.(a-b)÷1(a-b)2×(÷9.化簡a210.計算16-m211.計算x÷(x-2)·1x-2時解:x÷(x-2)·1x-2=x÷x-2試說明小虎的求解過程是否正確,如果不正確,請你指出錯誤之處,并寫出你認為正確的解答過程.【拓展探究】12.當x取何值時,代數(shù)式(x+1)(x【答案與解析】(解析:原式=a-1y-(解析:原式=(x2+y)·xx2+y(解析:原式=-(a+4)(a-4)(a(解析:因為a2b2÷ab22=a4b2·b4a2=a2b2=3,所以a4b(解析:A.1a+b÷(a+b)=1(a+b)2,所以A選項不正確;B.a2-1a2-a=(a-1)(a+1)a(a(解析:①ab·b2a=12,為整式;②yx÷ba=yx·ab=aybx(解析:根據(jù)分式的意義:分母不為0,除數(shù)不為0,可得x+2≠0,x-2≠0,且2x+3≠0.即x≠±2且x≠-32.(解析:A.原式=8a2·2b2=16a2b2,故A選項錯誤;B.原式=(a-b)·(a-b)2·(a-b)2=(a-b)5,故B選項錯誤,C正確;D.原式=15a2·b39.解:原式=(a+b10.解:原式=(4-m)(4+11.解:不正確,錯誤之處在于先算了乘法,再算除法.正確的解答過程是原式=x·1x-212.解:原式=(x+1)(x+2)(x+2)2·3(x+2)2(x+2)(x-2)·(x+2)(x-2)=3x+32,由代數(shù)式(x+1)(x+2)x2+4x+4·3x+62x2分式的除法的教學是在分數(shù)的除法的基礎上,通過類比讓學生總結出分式的除法法則.同時呈現(xiàn)了分子、分母是單項式的分式的除法,以及分子、分母是多項式的分式的除法.實際上分式的除法就是將分式的除法轉化為分式的乘法進行計算,體現(xiàn)了轉化的思想.同時在教學中,教師注重知識的歸納和總結,培養(yǎng)了學生的邏輯思維能力和類比遷移的能力,學生對分式的除法計算掌握較好,同時通過分式除法的應用,讓學生理解分式的除法在實際問題中的應用,感受到數(shù)學與生活的密切聯(lián)系.由于學生有了分式乘法的基礎,所以本節(jié)課學生學得較為輕松.(1)學生自主學習的空間過少,教師引導的太多,沒有把自主權交給學生.(2)有的題在完成的過程中,沒有達到面向全體學生的目的,而是少部分學生代替了全部.學生能獨立完成的,千萬不要小組合作完成.學生能做到的,一定要學生嘗試做到,要相信學生.尤其是本節(jié)課,學生已經有了分式乘法的基礎,所以教師一定要照顧到全體學生.每一道題的完成盡量全員參與,讓每名學生通過做題發(fā)現(xiàn)自身存在的問題,從而通過教師的講評改正自己的錯誤.練習(教材第10頁)解:(1)2a3m2n÷a6m=2a3m2n·6ma=4mn.(習題(教材第11頁)A組1.解:(1)原式=2b.(2)原式=1xy.(3)原式=x+2x-2.(2.解:(1)設變化后的圓錐的體積為V',則V'=13·S·ah=13ahS,V'÷V=13ahS÷13Sh=a,即變化后的圓錐的體積是原來的a倍.(2)根據(jù)題意,設變化后的圓錐的高是h',則體積為V=13aSh'.而V=13Sh,所以13aSh'=13Sh,B組1.解:(1)原式=(a+1)(a-1)(a+2)2·1a+1·(a+1)(2.解:a2-a=a(a-1)=0,所以a=0或a=1.因為a2-1≠0,所以a≠1,所以a=0.原式=a-1a+2·(a+2)(a-2)(a-1)2·(a+1)(a-1)=(a-2)(a+1)計算.(1)x2-y2xy2÷(x(2)a3-2(3)(9-x2)÷x解:(1)原式=(x+y)2(2)原式=-a32b·-(3)原式=-(x+3)(x-3)·xx(x-許老師講完了分式的乘除一節(jié)后,給同學們出了這樣一道題,若x=-2023,求代數(shù)式x2-4x2+x+1÷x2-2xx3+解:x2-=(x+2)(x=1,即不論x為何值,分式的值都是1,所以小明的說法是正確的.某品牌汽車改進發(fā)動機技術后,平均每天可比原來節(jié)油110,那么相同體積的油,改進發(fā)動機技術后使用的天數(shù)是原來的幾倍解:設原來每天平均用油x升,改進發(fā)動機技術后,平均每天用油1-110由題意得11即改進發(fā)動機技術后,相同體積的油使用的天數(shù)是原來的109倍分式的加減1.使學生會運用同分母分式的加減法的法則進行運算.2.使學生理解并學會通分,并能進行異分母分式的加減運算以及四則混合運算.通過對計算過程的反思,獲得解決問題的經驗,體會在解決問題的過程中與他人合作的重要性.激發(fā)學生強烈的求知欲望,培養(yǎng)學生對數(shù)學學習的感受,并使學生享受運用數(shù)學思想解決生活問題的成功體驗.【重點】同分母的分式加減法及異分母的分式的加減法.【難點】分式的分母是多項式的分式的加減法.第課時1.會利用分式的基本性質對分式進行通分.2.理解分式的加減法法則,并會運用它進行分式的加減法運算.1.通過同分母、異分母分式的加減法運算,復習整式的加減法運算、多項式去括號的法則,培養(yǎng)學生分式運算的能力.2.滲透類比、化歸等數(shù)學思想方法,培養(yǎng)學生計算的能力.在探究分式加減法法則的活動中,培養(yǎng)學生良好的學習習慣,培養(yǎng)學生運用數(shù)學的意識.【重點】運用分式加減法的運算法則進行分式的加減運算.【難點】異分母分式的加減法運算.【教師準備】課件1~8.【學生準備】復習分數(shù)的通分和分數(shù)的加減法法則.導入一:【課件1】大約公元250年前后,希臘數(shù)學家丟番圖研究一個數(shù)學問題:如何把42寫成兩個數(shù)的平方和的形式,即42=x2+y2,演算過程中出現(xiàn)了1652+1252=25625+14425=256+14425=40025=16.由于16=42,于是他求得了一組解:x=[設計意圖]將數(shù)學問題融入具體故事情境,根據(jù)有趣味性的問題,使學生積極主動地投入到數(shù)學活動中去,從而調動學生學習的積極性.導入二:【課件2】甲工程隊完成一項工程需n天,乙工程隊要比甲隊多用3天才能完成這項工程,兩隊共同工作一天完成這項工程的幾分之幾?【思路點撥】這是一道實際應用問題,主要是以“模型”的思想建立分式加減的代數(shù)式,首先應找出甲、乙工程隊每一天的工作效率,分別是甲隊為1n,乙隊為1n+3,然后用和的運算得到兩隊共同工作一天的分式模型【教師活動】組織學生小組合作交流,引導學生回顧曾經學過的有關“工效”問題的應用題的列式方法,并提問個別學生.【學生活動】小組合作交流,對問題取得共識有下面兩點:(1)明確是“工效”(以前學過)模型;(2)所列代數(shù)式是分式加法的形式,這是未學過的運算問題.【提出問題】那么,怎樣來計算分式的加法呢?[設計意圖]以實際問題引入新課,提高學生學習的興趣,同時也為探究本節(jié)課的內容打下基礎.導入三:[過渡語]我們學習過分數(shù)的加減法,我們一起來回顧一下:(1)什么叫通分?通分的作用是什么?(2)通分的關鍵是什么?(3)什么叫最簡公分母?教師提問,學生回憶,引出課題,并板書課題.[設計意圖]復習舊知識,引出新知識,為本節(jié)課的學習做鋪墊.活動一:一起探究——同分母分式加減法思路一[過渡語]下面我們先觀察分數(shù)的加減法運算,請你說出分數(shù)的加減法運算的法則.【課件3】計算:112+312,學生計算,并說出分數(shù)的加減法法則.教師根據(jù)情況板演:112+312=【課件4】類比同分母分數(shù)的加減法運算法則,完成下面同分母分式的加減運算:(1)1a+2a(2)ba+ca(3)5a-2a=(4)ba-ca=答案:(1)3a(2)b+ca(3)3a[過渡語]同分母分式的加減法的實質與同分母分數(shù)的加減法相同,你能說出分式的加減法法則嗎?學生同桌之間互說,再全班交流.教師板書:同分母的兩個分式相加(減),分母不變,把分子相加(減).用式子表示為:AB思路二師:想一想:(1)同分母的分數(shù)如何加減?你能舉例說明嗎?(2)你認為分母相同的分式應該如何加減?【學生活動】討論得出如下內容:同分母的分數(shù)的加減是分母不變,把分子相加減.例如:413分母相同的分式相加減與同分母的分數(shù)相加減一樣,應該是分母不變,把分子相加減.師:現(xiàn)在請你舉出幾個分母相同的分式的加減法,猜想一下,怎樣進行計算?【學生活動】小組交流,舉例說明.師:你能將它推廣,得出分式的加減法法則嗎?說明:教師提出問題,學生列出算式后,小組討論,得到同分母分式的加減法法則.歸納:同分母的分式加減法法則:同分母的兩個分式相加(減),分母不變,把分子相加(減).用式子表示為:AB教師根據(jù)學生歸納的情況,適當點評,并板書.[設計意圖]從學生已有的數(shù)學經驗出發(fā),建立新舊知識之間的聯(lián)系.類比分數(shù)的加減法運算,學生很容易得出同分母的分式的加減法法則.活動二:例題講解【課件5】計算下列各式:(1)4ax-ax;(2)a+bx+〔解析〕(1)和(2)可直接應用同分母分式的加減法法則進行計算;(3)中的第2個分母與其他兩個分母互為相反數(shù),可提取“-”號變成相同的.說明:讓學生獨立完成,然后全班講評.解:(1)4ax-(2)a+(3)a=a2教師在解題時強調分式計算的結果必須化為最簡分式或整式.可以向學生簡單介紹最簡分式的有關知識,可與最簡分數(shù)相類比.引導學生總結:(1)分子如果是一個多項式,此時分數(shù)線還具有括號的作用;(2)最后結果應化成最簡分式或整式.[設計意圖]通過例題,進一步提高學生對同分母分式加減法的認識,為熟練進行異分母分式加減打下基礎.活動三:異分母分式相加減[過渡語]剛才我們研究了同分母分式的加減法,現(xiàn)在來看一下異分母分式的加減法.1.觀察與思考——法則的探究【課件6】觀察與思考:(1)異分母兩個分數(shù)相加減,是將其化為同分母分數(shù)的加減法來進行的.如:12(2)類比異分母分數(shù)的加減,異分母分式的加減應當怎樣進行呢?(3)試計算:ba小組討論,選派代表發(fā)言.小組討論后得出:與異分母分數(shù)加減類似,異分母分式相加減也應該先通分,化成同分母的分式,然后按同分母分式加減法法則進行計算,關鍵是如何通分.【課件7】教師根據(jù)上述內容進行說明,然后交代:像這樣,把幾個異分母分式分別化為與它們相等的同分母分式,叫做分式的通分,這個相同的分母叫做這幾個分式的公分母.幾個分式的公分母不止一個,通分時一般選取最簡公分母.[知識拓展]確定最簡公分母的方法:(1)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)作為公分母的系數(shù);(2)取各分母中相同因數(shù)的最高次冪作為公分母的因式;(3)各分母中出現(xiàn)的因式都必須出現(xiàn)在公分母中.如ac,mac(m為非0整式)都是分式ba,dc的公分母,但ac【提出問題】請你根據(jù)異分母分數(shù)的加減法法則,總結一下異分母分式的加減法法則?歸納:異分母的分式加減法法則.語言表述:異分母的兩個分式相加(減),先通分,化為同分母的分式,再相加(減).字母表示為:AB活動四:例題講解【課件8】計算下列各式:(1)b24a2-ca;引導學生獨立完成.解