平均變化率的概念及幾何意義

一對一輔導教案學生姓名性別年級學科授課教師上課時間年月日第（）次課共（）次課課時：課時教學課題平均變化率的概念及幾何意義；教學目標.了解平均變化率的幾何意義；.會求函數(shù)在某點處附近的平均變化率教學重點與難點平均變化率的概念，導數(shù)的幾何意義教學過程教學過程一■復習預習問題1氣球膨脹率我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程，可以發(fā)現(xiàn)，隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學角度,如何描述這種現(xiàn)象呢？問題2高臺跳水在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：$）存在函數(shù)關系h（t）二-4.9t2+6.5t+10.如何用運動員在某些時間段內(nèi)的平均速v度粗略地描述其運動狀態(tài)？二,知識講解本節(jié)課主要知識點解析，中高考考點、易錯點分析考點1:平均變化率概念1.上述問題中的變化率可用式子f,f（］）表示，稱為函數(shù)f（x）從x到x的平均變化率x—x 1 22 1.若設Ax=x2-%,8=f（x2）-f（xi）（這里Ax看作是對于I的一個“增量”可用x「Ax代替.同樣N=Ay=f（x2）-f（xi））.則平均變化率為乎=A-二于（x2）-f（xJ=于（r）-f-AxAx x2-xi Ax考點2導數(shù)的概念從函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是：f(X+晨)-f(x) Nflim 0 e-=lim——Nxf0 N Nx-0NTOC\o"1-5"\h\z我們稱它為函數(shù)y=f(x)在x=x出的導數(shù)，記作f'(X)或y?，即0 0 x=x0f(x+Nx)-f(x)f(x)=lim 0 00Nx-0 N說明：(1)導數(shù)即為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率(2)Nx=x-x，當Nx-0時，xfx，所以f(x)=limf(x)~f(x0)0 0 0 Nx-0 x-x0考點/3導數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)等于在該點(x0,f(x0))處的切線的斜率，f(x+Nx)-f(x)7即f(x)=lim 0 0-二k0Nx-0 Nx說明：求曲線在某點處的切線方程的基本步驟：①求出P點的坐標；②求出函數(shù)在點x處的變化率f(x)=lim"%+尸，f(x0)=k，得到曲線在點(x,f(x))的切線的斜率;

0 0 Nx-0 Nx 0 0③利用點斜式求切線方程.三■例題精析【例題1】已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象上的一點A(-1,-2)及臨近一點B(-1+Ax,-2+Ay)，則Ax【答匐3-Nx【解析】解：-2+Ny=-(-1+Nx)2+(-1+Nx)，Ny —(-1+Nx)2+(-1+Nx)—2——= =3-NxNx Nx【例題2】求y=x2在x=x0附近的平均變化率【解析】解：ny=a。"Ay，所以n二x2+2xNx+Nx2-x2=-0 0 0-=2x+NxNx 0

所以y=x2在x=x0附近的平均變化率為2x0+Ax【例題3】求函數(shù)y=3%2在x=1處的導數(shù).【答案】6【解析】：先求八f八y=f(l+Ax)-f(l)=6Ax+(Ax)2再求—=6+Ax再求lim-=6Ax Ax-0Ax【例題4］：求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.【答觸2%-y=0【解析】y'l=【解析】y'l=limx=1 一x1Ax.0[(1+Ax)2+1]-(12+1)Ax2Ax+Ax2=lim =2,Axf0 Ax所以，所求切線的斜率為2,因此，所求的切線方程為y-2=2(x-1)即2x-y=所以，所求切線的斜率為2,因此，所求的切線方程為y-2=2(x-1)即2x-y=0I,課堂運用【基礎】.求y=2x2+1在x到x+Ax之間的平均變化率，并求x=1,Ax=1時平均變化率的值.【解析】當變量從x0變到x0+Ax時，函數(shù)的平均變化率為f(x+Ax)-f(x) [2(x+Ax)2+1]-[2x2+1]0 0AxAx=4x+2AxT, 1 一C1 -當x0=1,Ax=-時，平均變化率的值為：4義1+2x-=5..求函數(shù)y=5x2+6在區(qū)間[2,2+Ax]內(nèi)的平均變化率【解析】 Ay=5(2+Ax)2+6-(5*22+6)=20Ax+5Ax2,所以平均變化率為為A=2°+5Ax【現(xiàn)卸1 1.自由落體運動的運動萬程為s=-gt2，計算t從3s到3.1s,3.01s,3.001s各段內(nèi)的平均速度(位21移s的單位為m)。As【解析】要求平均速度，就是求一的值，為此需求出As、At。At設在［3,3.1］內(nèi)的平均速度為v1，貝！A(=3.1-3=0.1(s),1 1 -As=s(3.1)-s(3)=-g*3.12--g義32=0.305g(m)。] 2f 2f*, As 0.305*, As 0.305g所以V1=A；=0.1=3.05g(m/s)。- As同理V=-- As同理V=-2-=2At20.01V=絲=0.0030005g=3.0005g(m/s)。3At 0.00132.過曲線y=f(x)=x3上兩點P(1,1)和Q(1+Ax,1+Ay)作曲線的割線，求出當Ax=0.1時割線的斜率.【解析】當A=0.1時(1+Ay)-1Ay f(1+Ax)-f(1)(1+Ax)3-1 1.13-1k= = = = = =3.31PQ (1+Ax)-1Ax Ax Ax 0.1【拔高】1.用導數(shù)的定義，求函數(shù)y=f(x)=工在x=1處的導數(shù)7x???Ay=f(1+Ax)-f(1)=-=L=-1V1+Ax1-、；1+Ax_ 1-1-Ax11+Ax (1+<1+Ax)11+Ax-Ax(1+<1+Ax)V1+Ax.包=1??Ax (1+1+Ax)1+Ax..f'(1)=lim——=—。A-0Ax 22.已知函數(shù)f(x)可導,若f(1)=3，f'(1)=3，求吧L

【解析】limf(X2)-3=lim[f(x2)-3?(x+1)] (f(1)=3)x-1x_1 x_1x2_1二lim[f(x2)-f(1).(x+1)]x-1 X2-1TOC\o"1-5"\h\z「f(x2)-f(1)「/ 1、人=lim -lim(x+1) (令t=x2,x-1,t-1)x—1 x2—1 x—1二2lim于任)-f⑴t—1 t-1=2f'(1)=2x3=6課程小結.函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率函數(shù)尸f(x)從x1到x2的平均變化率f1f)若Ax=x2—x],Ay=f(x2)—f(xJ，則平均變化率可表示為言..函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)⑴定義.八Ay(x0)=liAxrr0ax._相應地，切線方程為y稱函數(shù)y.八Ay(x0)=liAxrr0ax._相應地，切線方程為yliAxn>0fx0+1Ax一"0^為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)，記作f(x0)或y/Ix=x0，即f'(2)幾何意義函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f(x0)的幾何意義是在曲線y=f(x)上點(x0,f(x0))處切線的斜率—f(x0)=f/(x0)(x—x0).課后作業(yè)【基礎】1.利用導數(shù)的定義求下列函數(shù)的導數(shù):(1)f(x)=C；f(x)=x；f(x)=x2；

1(4)f(x)二一x【解析】(1)Ay=f(x+Ax)-f1(4)f(x)二一x【解析】(1)Ay=f(x+Ax)-f(x)=c-c=0,?Ay=f(x+Ax)-f(x)Ax二y'"limAx—0Ax竺二lim0=0。AxAx-0Ay=f(x+Ax)-f(x)=x+Ax-x=Ax,-竺二Ax-一—,Ax Ax二y'=lim包=lim1=1。Ax—0AxAx—0Ay=f(x+Ax)-f(x)=(x+Ax)2-x2=2x-Ax+(Ax)2,Ay2x-Ax+(Ax)2?.—= ——=2x+AxAxAx?y'=lim—=lim(2x+Ax)=2x。Ax-0AxAx-0Ay=f(x+Ax)-f(x)=1 x-x-Ax-Axx+Axx(x+Ax)-x(x+Ax)-x'.Ay_ 1,Ax (x+Ax)-x?y'=lim-=limAx—0AxAx—0(x+Ax)-x x2【現(xiàn)卸1.求曲線y=f(x)=x2+i在點p(i,2)處的切線方程.【解析】y'I=limx=1Ax——0[(1+Ax)2+1]-(12+1)Ax2Ax+Ax2=lim =2,A—0 Ax所以，所求切線的斜率為2,因此，所求的切線方程為y-2=2(x-1)即2x-y=02.求函數(shù)y=3x2在點(1,3)處的導數(shù).【解析】因為y'I=lim3x2312=lim3(x212)=lim3(x+1)=6

x=1x—1x-1 x—1x-1x—1所以，所求切線的斜率為6,因此，所求的切線方程為y-3=6（x-1）即6x-y-3=0【拔高】TOC\o"1-5"\h\z.已知函數(shù)f(x)可導，若f(3)=2,尸(3)=2，求lim2x-3f(x)x-3 X—3一「2x-3f(x) 「(2x-6)+6-3f(x)[解析lim-二lim^ )八)x-3 x—3 x-3 x—3二lim{2+3[2-f(x)]}x—3 x—3二2+3lim小3x—3 x—3二2-3lim/(x)—于⑶x—3x—3"2—3f'(3)=2—3x(—2)=8.在曲線y=x2上過哪一點的切線:（1）平行于直線y=4x-5；（2）垂直于直線2x-6y+5=0；（3）與x軸成135°的傾斜角。f(x+Ax)—f(x) (x+Ax)2—x2解析]尸(x)=lim- 八=lim TOC\o"1-5"\h\zAx—0 ^x Ax—0 Ax設所求切點坐標為P（x0，y0），則切線斜率為k=2x0（1）因為切線與直線y=4x：5平行，所以2x0=4,；0=2,y「4，即P（2，4）。.. . 一1一. 3 9（2）因為切線與直線2x-6y+5=0垂直，所以2x義=—1，得x=——，y=—，03 0 2 04?39、即P（—。）。24 一一…“…人”, _ _ 1 1（3）因為切線與x軸成135°的傾斜角，所以其斜率為一1。即2x=-1，得x=--，y=，0 0 2 0 4,11、P(—,一)即24課后作業(yè)［基礎］函數(shù)在某一點的導數(shù)是（）A.在該點的函數(shù)的增量與自變量的增量的比

一個函數(shù)C.一個常數(shù)，不是變數(shù)D.函數(shù)在這一點到它附近一點之間的平均變化率喀案】【解析】由導數(shù)定義可知，函數(shù)在某一點的導數(shù)，就是平均變化率的極限值.【現(xiàn)卸質(zhì)點M的運動規(guī)律為5=41+412,則質(zhì)點M在t=10時的速度為()A.4+410 B.0810+4 D.410+412【答剽C【解析】As=s(0+At)7(10)=4A12+4At+8t0At,生-4At+4+81TOC\o"1-5"\h\zt 0，limAS-lim(4At+4+8%)-4+8%.At-0AtAt-0 0 0【拔高】.函數(shù)y=f(x)，當自變量x由x0改變到x0