2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材新高考第9章 第3節(jié)第1課時(shí)隨機(jī)事件、頻率與概率

8/8隨機(jī)事件與概率第1課時(shí)隨機(jī)事件、頻率與概率[考試要求]1.結(jié)合具體實(shí)例，理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義，理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系.2.了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義，掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則.3.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別．1．隨機(jī)試驗(yàn)及其特點(diǎn)(1)定義：對隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡稱試驗(yàn)，常用字母E表示．(2)特點(diǎn)：①試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．2．樣本空間(1)隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，常用ω表示；(2)全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，常用Ω表示樣本空間，稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．3．事件的分類(1)隨機(jī)事件我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件．隨機(jī)事件一般用大寫字母A，B，C，…表示．在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生．(2)必然事件Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為必然事件．(3)不可能事件空集?不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會發(fā)生，我們稱?為不可能事件．4．兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算事件的關(guān)系或運(yùn)算含義符號表示圖形表示包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A?B并事件(和事件)A與B至少一個(gè)發(fā)生A∪B或A＋B交事件(積事件)A與B同時(shí)發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時(shí)發(fā)生A∩B＝?互為對立A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生A∩B＝?，A∪B＝Ω提醒：對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件．5．頻率與概率(1)事件的概率對隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．(2)頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)．我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定．一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)在大量重復(fù)試驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值． ()(2)兩個(gè)事件的和事件發(fā)生是指這兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生． ()(3)必然事件一定發(fā)生． ()[答案](1)√(2)√(3)√二、教材習(xí)題衍生1.下列事件不是隨機(jī)事件的是()A．東邊日出西邊雨 B．下雪不冷化雪冷C．清明時(shí)節(jié)雨紛紛 D．梅子黃時(shí)日日晴B[B是必然事件，其余都是隨機(jī)事件．]2．一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對立事件是()A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶D[“至少有一次中靶”的對立事件是“兩次都不中靶”．]3．容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻率為()A．0.35 B．0.45C．0.55 D．0.65B[由表知[10,40)的頻數(shù)為2＋3＋4＝9，所以樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻率為eq\f(9,20)＝0.45.]4．把語文、數(shù)學(xué)、英語三本書隨機(jī)分給甲、乙、丙三位同學(xué)，每人一本，記事件A為“甲分得語文書”，事件B為“乙分得數(shù)學(xué)書”，事件C為“丙分得英語書”，則下列說法正確的是()A．A與B是不可能事件B．A＋B＋C是必然事件C．A與B不是互斥事件D．B與C既是互斥事件也是對立事件C[事件A，事件B，事件C都是隨機(jī)事件，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故A，B兩項(xiàng)錯(cuò)誤；事件A，事件B可能同時(shí)發(fā)生，故事件A與事件B不是互斥事件，C項(xiàng)正確；事件B與事件C既不互斥，也不對立，D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．]考點(diǎn)一隨機(jī)事件與樣本空間 1．下列事件中是必然事件的是()A．任意買一張電影票，座位號是2的倍數(shù)B．13個(gè)人中至少有兩個(gè)人生肖相同C．車輛隨機(jī)到達(dá)一個(gè)路口，遇到紅燈D．明天一定下雨B[生肖有12個(gè)，因此13個(gè)人中必定至少有2個(gè)人的生肖相同，所以“13個(gè)人中至少有兩個(gè)人生肖相同”是必然事件．]2.(多選)袋中裝有標(biāo)號分別為1、3、5、7的四個(gè)相同的小球，從中取出兩個(gè)，下列事件是基本事件的是()A．取出的兩球標(biāo)號為3和7B．取出的兩球標(biāo)號的和為4C．取出的兩球的標(biāo)號都大于3D．取出的兩球的標(biāo)號的和為8ABC[基本事件即只含有一個(gè)樣本點(diǎn)的事件，選項(xiàng)A，B，C都只含有一個(gè)樣本點(diǎn)，是基本事件，D中包含取出標(biāo)號為1和7,3和5兩個(gè)樣本點(diǎn)，所以D不是基本事件．]3．從1,2,3，…，10中任意選一個(gè)數(shù)，這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間為________，“它是偶數(shù)”這一事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}5[任選一個(gè)數(shù)，共有10種不同選法，故樣本空間為Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，其中偶數(shù)共有5種，故“它是偶數(shù)”這一事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.]1.判斷事件類型要看事件的發(fā)生是否具有隨機(jī)性，搞清事件的條件．2．確定樣本空間的方法(1)必須明確事件發(fā)生的條件；(2)根據(jù)題意，按一定的次序列出問題的答案．特別要注意結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會是均等的，按規(guī)律去寫，要做到既不重復(fù)也不遺漏．考點(diǎn)二事件的關(guān)系與運(yùn)算 1．盒子里有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)事件A＝{3個(gè)球中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球}，事件B＝{3個(gè)球中有2個(gè)紅球，1個(gè)白球}，事件C＝{3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球}，事件E＝{3個(gè)紅球}，那么事件C與A，B，E的運(yùn)算關(guān)系是()A．C＝(A∩B)∪E B．C＝A∪B∪EC．C＝(A∪B)∩E D．C＝A∩B∩EB[由題意可知C＝A∪B∪E.]2．(多選)從2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋中任取2個(gè)小球，則下列結(jié)論正確的是()A．“至少一個(gè)紅球”和“都是紅球”是互斥事件B．“恰有一個(gè)黑球”和“都是黑球”是互斥事件C．“至少一個(gè)黑球”和“都是紅球”是對立事件D．“恰有一個(gè)紅球”和“都是紅球”是對立事件BC[不妨記兩個(gè)黑球?yàn)锳1，A2，兩個(gè)紅球?yàn)锽1，B2，從中取出2個(gè)球，則所有樣本點(diǎn)如下：A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，恰有一個(gè)黑球包括：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，都是黑球包括A1A至少一個(gè)黑球包括：A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，都是紅球包括B1B2兩個(gè)事件沒有共同的樣本點(diǎn)，且兩者包括的樣本點(diǎn)的并集為全部樣本點(diǎn)，故對立，C正確．同理可知A、D都不正確，故選BC．]3．對飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝{兩次都擊中飛機(jī)}，B＝{兩次都沒擊中飛機(jī)}，C＝{恰有一次擊中飛機(jī)}，D＝{至少有一次擊中飛機(jī)}，其中彼此互斥的事件是________，互為對立事件的是________．A與B，A與C，B與C，B與DB與D[設(shè)I為對飛機(jī)連續(xù)射擊兩次所發(fā)生的所有情況，因?yàn)锳∩B＝?，A∩C＝?，B∩C＝?，B∩D＝?，故A與B，A與C，B與C，B與D為互斥事件．而B∩D＝?，B∪D＝I，故B與D互為對立事件．]1．判斷互斥、對立事件的兩種方法(1)定義法：判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件．(2)集合法：①由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．②事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．2．進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析．也可類比集合的關(guān)系和運(yùn)算用Venn圖分析事件．考點(diǎn)三隨機(jī)事件的頻率與概率 [典例]某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量Y(單位：萬千瓦時(shí))與該河上游在六月份的降雨量X(單位：毫米)有關(guān)．據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)X＝70時(shí)，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值為140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的頻率分布表：近20年六月份降雨量頻率分布表降雨量70110140160200220頻率eq\f(1,20)eq\f(4,20)eq\f(2,20)(2)假定今年6月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490(萬千瓦時(shí))或超過530(萬千瓦時(shí))的概率．[解](1)在所給數(shù)據(jù)中，降雨量為110毫米的有3個(gè)，為160毫米的有7個(gè)，為200毫米的有3個(gè)，故近20年六月份降雨量頻率分布表為降雨量70110140160200220頻率eq\f(1,20)eq\f(3,20)eq\f(4,20)eq\f(7,20)eq\f(3,20)eq\f(2,20)(2)由已知可得Y＝eq\f(X,2)＋425，故P(“發(fā)電量低于490萬千瓦時(shí)或超過530萬千瓦時(shí)”)＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝eq\f(1,20)＋eq\f(3,20)＋eq\f(2,20)＝eq\f(3,10).頻率與概率的區(qū)別頻率本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)之前是無法確定的，在相同的條件下做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)，得到的事件的頻率值也可能會不同概率本身是一個(gè)在[0,1]內(nèi)的確定值，不隨試驗(yàn)結(jié)果的改變而改變eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5保費(fèi)/元0.85a1.251.51.752隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表：出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010(1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”，求P(A)的估計(jì)值；(2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”，求P(B)的估計(jì)值；(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值．[解](1)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2的頻率為eq\f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估計(jì)值為0.55.(