中學數(shù)學建模課件

黑龍江省教育學院數(shù)學系曲巍中學數(shù)學建模應用黑龍江省教育學院數(shù)學系曲巍中學數(shù)學建模應用函數(shù)與不等式數(shù)列三角幾何函數(shù)與不等式函數(shù)與不等式一次函數(shù)模型二次函數(shù)模型冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型不等式模型函數(shù)與不等式一次函數(shù)模型建模(或知識應用)提示1.實際問題中的數(shù)量關系模糊,數(shù)據(jù)孤立,要對有關數(shù)據(jù)作適當處理后借助于其內(nèi)在規(guī)律或經(jīng)驗,將其理想化、函數(shù)模型化.2.抓住相關變量中的主要參變量關系展開分析與討論.3.實際問題中的量具有特殊的含義,在建立函數(shù)或不等式關系時需注意其有意義的變化范圍,不能只考慮純數(shù)學關系.4.問題所討論的結果最好具有范式,具有可推廣性.建模(或知識應用)提示一次函數(shù)模型高跟鞋問題如何選擇廣告上的優(yōu)惠計劃包裝與價格一次函數(shù)模型高跟鞋問題高跟鞋問題設某人下肢軀干部分長為x厘米,身高為l厘米,鞋跟高d厘米高跟鞋問題設某人下肢軀干部分長為x厘米,鞋跟高度與好看程度的關系原比(x/l)身高(cm)鞋跟高度(cm)新比值０．６０７１０．６０７１０．６０７１０．６０７１１６８１６８１６８１６８２．５３．５５４．５４．７７４８０．６１２９０．６１５１０．６１７３０．６１８鞋跟高度與好看程度的關系原比(x/l)身高(cm)鞋跟高度新如何選擇廣告上的優(yōu)惠計劃[實際背景]

為配合不同客戶的需要,廣告商設有以下優(yōu)惠計劃,以供客戶選擇.計劃A:即時直接對話+自動數(shù)字傳呼計劃B:即時直接對話+自動數(shù)字傳呼每月基本服務費﹩98﹩168免費通話時間首60分鐘首500分鐘以后每分鐘收費﹩0.38﹩0.38留言信箱服務(選擇性項目)﹩30﹩30如何選擇廣告上的優(yōu)惠計劃[實際背景]為配合不同客戶的需要,[問題]在兩個計劃中選擇,你選擇哪一項?[分析](1)兩項服務的不同點:計劃A的每月基本服務費比計劃B少,而計劃B比計劃A給客戶的首段免費通話時間多.(2)模型假設與建立設t(分鐘)為通話時間,而C(﹩)是所需付出的費用,則可列出計劃A與計劃B的付費函數(shù)關系式為:[問題]在兩個計劃中選擇,你選擇哪一項?計劃A:

(t>60)計劃B:(t>500)計劃A:

(t>60)計劃B:(t>500)(3)究竟通話時間超過多少分鐘,計劃B會較計劃A為優(yōu)?0.38(t-60)+98=168得t=244.21(分鐘)故當客戶使用該服務的時間超過244分鐘(約4小時)時,計劃B較優(yōu).(4)問題推廣若客戶真的選擇了計劃B,最多可以比選擇計劃A省多少錢?(3)究竟通話時間超過多少分鐘,計劃B會較[解決]由圖可知,起初計劃A比計劃B便宜﹩70,當使用時間超過60分鐘,則兩者差距縮小,直到Q點,兩者已無差距,即表示兩個計劃在此時的優(yōu)惠相同.由圖,用戶所得最大優(yōu)惠差額為﹩970C16898P60Q244SR500計劃B計劃At[解決]0C16898P60Q244SR500計劃B計劃At包裝與價格

某種冰淇淋是用球形塑料殼包裝的,有60g裝和150g裝兩種規(guī)格.假設,冰淇淋售價=(冰淇淋成本+包裝成本)(1+利潤率),并且,包裝成本與球形外殼表面積成正比.已知60g裝冰淇淋售價1.50元,其中冰淇淋成本為每克1分錢,利潤率為25%,問在利潤率不變的情況下,150g裝冰淇淋應售價多少?兩種規(guī)格中,買哪種比較合算(≈3.684可供參考)?包裝與價格某種冰淇淋是用球形塑料殼包裝的,有60g裝和[分析]設60g裝冰淇淋的包裝成本為x元,根據(jù)題意,得解得x=0.60(元)又設60g裝和150g裝兩種規(guī)格外殼表面積分別為s1、s2,容積為v1、v2,150g裝冰淇淋包裝成本為y元,根據(jù)題意,得[分析]所以從而所以從而故買大包裝合算故買大包裝合算二次函數(shù)模型漁場實際應養(yǎng)多少魚關于飲水機的思考資金分配問題二次函數(shù)模型漁場實際應養(yǎng)多少魚漁場實際應養(yǎng)多少魚[問題]某漁場中漁群的最大養(yǎng)殖量為一定值m噸.為保證漁群的生產(chǎn)空間,實際養(yǎng)殖量不能達到最大養(yǎng)殖量,必須留出適當?shù)目臻e量.由長期的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知,魚群的年增長量和實際養(yǎng)殖量與空閑率的乘積成正比,要想魚群的年增長量最大,實際應養(yǎng)多少魚?漁場實際應養(yǎng)多少魚[問題]某漁場中漁群的最大養(yǎng)殖量為一定值m[建模分析]這一問題中涉及最大養(yǎng)殖量、實際養(yǎng)殖量、空閑量、空閑率、年增長量等多個量，其中最大養(yǎng)殖量為定值m噸，空閑量、空閑率、年增長量都隨實際養(yǎng)殖量的變化而變化。[建模分析]這一問題中涉及最大養(yǎng)殖量、實際養(yǎng)殖量、空閑量、空[建立模型]假設實際養(yǎng)殖量為x噸，年增長量為y噸，則空閑量為(m-x)噸，空閑率為，由問題概述可建立目標函數(shù)為[建立模型]假設實際養(yǎng)殖量為x噸，年增長量為y噸，則空閑量為中學數(shù)學建模課件即實際養(yǎng)殖量為最大養(yǎng)殖量的一半時，魚群的年增長量最大，最大增長量為噸。即實際養(yǎng)殖量為最大養(yǎng)殖量的一半時，魚群的年增長量最大，最關于飲水機的思考基本假設（１）忽略飲水機啟動時所需的電能（２）當人回來時，水的溫度恰為制熱所能達到的最高溫度．關于飲水機的思考基本假設符號的約定飲水機的制熱功率（單位：Ｗ）飲水機的保溫功率（單位：Ｗ）飲水機的制熱最低溫度（單位：）飲水機的保溫最低溫度（單位：）飲水機機內(nèi)水的質(zhì)量（單位：kg）

符號的約定

飲水機的電阻（單位：）飲水機的工作電壓（單位：Ｖ）把水從室溫加熱到的時間（單位：s）在保溫情況下，從降到的間（單位：s）水的比熱（單位：kg）飲水機的電阻（單位：）在保溫過程中,水吸收的熱量:水散失的熱量:單位時間內(nèi)水散失的熱量:在保溫過程中,水吸收的熱量:水散失的熱量:單位時間內(nèi)水散失的當外出開著飲水機時,在外出時間t內(nèi),消耗的電能:當外出關掉飲水機時,回來后重新啟動,飲水機消耗的電能:當外出開著飲水機時,在外出時間t內(nèi),消耗的電能:當外出關掉飲1.當時,則外出時開著飲水機較為省電,即所以2.當時,則外出時關掉飲水機較為省電,即1.當時,則外出時開著飲水機模型的應用與評價一臺TC-9901LW型的飲水機,經(jīng)測量,所需的數(shù)據(jù)如下:則模型的應用與評價一臺TC-9901LW型的飲水機,經(jīng)測量,所資金分配問題有甲、乙兩種商品,經(jīng)營銷售這兩種商品所獲得的利潤依次為P萬元和Q萬元.它們與投入資金ｘ萬元有如下經(jīng)驗公式:現(xiàn)有3萬元資金投入經(jīng)營甲、乙兩種商品,為獲得最大利潤,對甲、乙兩種商品的資金應如何分配投入?資金分配問題有甲、乙兩種商品,經(jīng)營銷售這兩種商現(xiàn)有3萬元資金[建模分析]設對甲種商品投入ｘ萬元,則投入乙種商品為(3-ｘ)萬元,所獲得的利潤總額(萬元)為[建模分析][模型求解]設,則則原函數(shù)變形為[模型求解]則原函數(shù)變形為當時,即因此,為獲取最大利潤,對甲、乙兩種商品的資金投入應分別為0.75萬元和2.25萬元,獲得的最大利潤為1.05萬元.當冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型基本處理方法冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型基本處理方法中學數(shù)學建模課件中學數(shù)學建模課件交通流量問題[生活背景]由于人口的增加,人們生活水平的提高,社會擁有車輛的數(shù)量在快速增加,許多大中城市都車滿為患,塞車現(xiàn)象處處可見,所以每一位司機和乘客,都會共同關心交通流量的問題交通流量問題[生活背景]由于人口的增加,人們生活交通流量的定義設某一輛車的車頭與隨后的車相隔的距離為ｄ,而行駛的車速為ｖ,定義單位時間內(nèi)通過的車輛數(shù)為交通流量,則交通流量ｆ有以下關系式:交通流量的定義分析

定義車距:前車車尾至后車車頭間的距離,記為,L表示車長.則(1)在交通擁擠的情況下,由于,故(2)在交通暢通的情況(如高速公路)下,由于,故分析(1)在交通擁擠的情況下,(2)在交通暢通的情況(如高速由于,其中t為煞車前的反應時間,(交通擁擠時)(交通暢通時)所以故由于,其中t為煞車前的反應時評價遇上交通擁擠時,影響交通流量的主要是車速與車長,在這種情況下,車速自然要放慢,否則只會發(fā)生意外.因此,影響最大的因素就是車長,在馬路上排隊的短身車輛,明顯地對交通流量增加有不小的“貢獻”.至于在高速公路上,影響交通流量的最主要因素不是速度而是架車者的反應.評價

不等式模型洗衣問題挑選水果問題足球射門問題不等式模型洗衣問題中學數(shù)學建模課件中學數(shù)學建模課件中學數(shù)學建模課件中學數(shù)學建模課件洗衣問題用洗衣機洗衣時,洗滌并甩干后進入漂洗階段,漂洗階段由多次漂洗和甩干組成,每次漂洗后可使殘留物均勻分布,每次甩干后(包括洗滌后的甩干)衣物中的殘留水分(含有殘留物)的重量相同.若漂洗的總用水量為ａ千克,漂洗并甩干的次數(shù)為3次,為使漂洗后衣物中的殘留物最少,該如何確定每次漂洗的用水量?洗衣問題用洗衣機洗衣時,洗滌并甩干后進入漂洗階段,漂洗階段由

設每次甩干后衣物中的殘留水分(含有殘留物)的重量為ｍ,洗滌并甩干后衣物中的殘留物(不含水分)為,三次漂洗并甩干后衣物中的殘留物(不含水分)分別為,三次用水量分別為.(以上各量單位皆為千克)設每次甩干后衣物中的殘留水分(含有殘留物)的重量為ｍ,則由已知,得

則由已知,得同理可得同理可得由及平均值定理,得當且僅當時等號成立.

由故當且僅當時等號成立.則將ａ千克的水平均分成三次使用可使衣物上的殘留物最少.故當且僅當挑選水果問題果皮較厚且核較小的水果（如西瓜、橘子等）設水果果皮厚度為ｄ，則

可食率ｄ為常數(shù)，當Ｒ越大即水果越大，則越小，可食率越大dR挑選水果問題果皮較厚且核較小的水果（如西瓜、橘子等）設水果果果皮較厚且核（或籽集）較大的水果設核半徑為kR(０<k<１)，則可食率k為常數(shù)，Ｒ越大，可食率越大kRRd果皮較厚且核（或籽集）較大的水果設核半徑為kR(０<k<１)

設有兩堆體積相等的球，甲堆有m個，半徑分別為；乙堆有n個（），半徑分別為其中果皮較薄，但考慮衛(wèi)生與外界污染，必須去皮食用果皮較薄，但考慮衛(wèi)生與外界污染，必須去皮食用中學數(shù)學建模課件因因中學數(shù)學建模課件中學數(shù)學建模課件從而有即這與矛盾故不成立，于是從而有即這與矛盾故不成立，于是足球射門問題在足球比賽中，甲方邊鋒從乙方所守球門附近帶球過人，沿直線向前推進，如圖所示。已知前進方向的直線與底線垂直，交底線于球門AB的延長線上的D點，試求在距底線多遠處射門，可有最大的入射范圍角CABDxab足球射門問題在足球比賽中，甲方邊鋒從乙方所守球門附近帶球過[分析與解]設甲方邊鋒所在位置C距底線的距離為x,即CD=x,并設DB=b,DA=a,a>b>0,a,b為定值,再設ABDxabC[分析與解]設甲方邊鋒所在位置C距底線的距離為x,即CD=xABDxabCABDxabC中學數(shù)學建模課件中學數(shù)學建模課件數(shù)列模型建模(或知識應用)提示1.要熟悉相關行業(yè)的一些基本知識,專業(yè)術語.2.在解決某一問題時,必須實事求是地搜集大量的有關信息、資料、數(shù)據(jù).3.對取得的信息、數(shù)據(jù)要進行整理、處理.數(shù)列模型建模(或知識應用)提示4.進行合理的數(shù)學假設.5.數(shù)列知識的應用相當廣泛,經(jīng)濟領域中如銀行的存貸款、證券、期貨、保險、企業(yè)的產(chǎn)值、成本、倉儲;社會問題中的人口增加、人口質(zhì)量、土地及資源的利用及配置;環(huán)境問題中的水資源保護、空氣污染、森林覆蓋等等,都可運用數(shù)列知識解決或部分解決.6.建立起模型后,一般應回到實際問題中加以檢驗,如若不符,應加以調(diào)整,直至基本符合.4.進行合理的數(shù)學假設.如何存款問題

中國人民銀行公布(1999年)現(xiàn)行銀行整存整取利率如表所示.現(xiàn)有一位剛升入初一的學生家長,欲為其存1萬元以供6年后上大學使用,問采取怎樣的方案存款,可使6年所獲收益最大?最大收益多少?一年期二年期三年期五年期2.25%2.43%2.70%2.88%如何存款問題中國人民銀行公布(1999年)現(xiàn)行銀行整存[分析]首先可以作出數(shù)學假設:在此期間利率不變.一般來說,對于存款,銀行只計單利不計復利,所以是等差數(shù)列.倘若某人將定期存款到期后把本利又轉(zhuǎn)入第二個定期,此時才可計復利.[分析]

解:設ｎ年期存ｍ次(按復利計算)獲利金額記作簡記作;存一次ｎ年期再存一次k年期獲利金額記作

于是,一年期存兩次獲利金額(精確到分)為

兩年期存一次獲利金額為

所以,解:設ｎ年期存ｍ次(按復利計算)獲利金于是,一年期存兩次存一次一年期再存一次兩年期的獲利金額為三年期存一次獲利金額為所以存一次一年期再存一次兩年期的獲利金額為三年期存一次獲利金額為存一次兩年期再存一次三年期的獲利金額五年期存一次的獲利金額為所以存一次兩年期再存一次三年期的獲利金額所以三年期存兩次的獲利金額為兩年期存三次的獲利金額為三年期存兩次的獲利金額為兩年期存三次的獲利金額為存一次五年期再存一次一年期的獲利金額為所以且故存一次五年期一次一年期所獲收益最大,為1697.40元存一次五年期再存一次一年期的獲利金額為所以分期付款問題李師傅準備購置一套商品房,需要向銀行貸款8萬元才行.經(jīng)咨詢知道銀行貸款月利為0.01且為復利,貸款期為25年.李師傅每月穩(wěn)定可有950元的結余,如果他準備按月償還貸款,是否具有償還能力?分期付款問題李師傅準備購置一套商品房,需要向[解]設貸款A元,按月復利r計算,到n月末的本利和為元.另一方面,若每月償還金為a元,利息同上,則n月末的本利合計為[解]設貸款A元,按月復利r計算,到中學數(shù)學建模課件三角模型建?；蛑R應用提示1.凡與周期性振動有關或類似的問題,如水流、水波、聲波、爆炸物爆炸后引起的振動等等,適宜建立三角函數(shù)模型.2.一些與角有關的問題如視角、方位角,以及與旋轉(zhuǎn)有關的問題也可以建立三角函數(shù)模型.三角模型建?；蛑R應用提示3.對于周期性變化的問題,要認真、準確、真實地收集數(shù)據(jù),要從不同渠道、不同角度去取得數(shù)據(jù).4.認真處理收集到的數(shù)據(jù),結合合理的數(shù)學假設,最終確定有效數(shù)據(jù).5.可以擬定幾個不同的方案建立數(shù)學模型,然后利用已有數(shù)據(jù)或付之實踐加以檢驗,通過對比誤差或經(jīng)過若干次適當調(diào)整后,確定最后方案.3.對于周期性變化的問題,要認真、準確、真實地收集數(shù)據(jù),要從怎樣搬運家具一轉(zhuǎn)角沙發(fā)能否水平般進房間?房門的寬為0.9米,墻厚0.28米,將轉(zhuǎn)角沙發(fā)進行適當簡化,其俯視圖及尺寸如圖所示1.3米0.48米1.3米0.48米怎樣搬運家具一轉(zhuǎn)角沙發(fā)能否水平般進房間?1.3米0.48米1AGFEBMCKDNAGFEBMCKDN中學數(shù)學建模課件中學數(shù)學建模課件中學數(shù)學建模課件幾何模型建模(或知識應用)提示1.分割不規(guī)則的或非常復雜的幾何體,進行簡化與假設.2.進行數(shù)學抽象.3.同一幾何問題可以從不同角度加以研究.4.善于歸類.5.幾何問題一般可分為兩類.(1)數(shù)學問題建立幾何模型.(2)其他數(shù)學知識解決幾何問題.幾何模型建模(或知識應用)提示設計穿衣鏡[背景]近年來,一座座大商場相