高中一年級(jí)數(shù)學(xué)必修一函數(shù)講義

..第二章、函數(shù)第一節(jié)、函數(shù)一、函數(shù)1、函數(shù)的定義：設(shè)集合A是一個(gè)非空的數(shù)集,對(duì)A中的任意數(shù)x,按照確定的法則f,都有唯一確定的數(shù)y與它對(duì)應(yīng),這種對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做集合A上的一個(gè)函數(shù),記作,。其中,x叫做自變量,自變量的取值范圍叫做函數(shù)的定義域。所有函數(shù)值構(gòu)成的集合,即叫做這個(gè)函數(shù)的值域。2、檢驗(yàn)兩個(gè)給定的變量之間是否具有函數(shù)關(guān)系,需檢驗(yàn)：〔1定義域和對(duì)應(yīng)法則是否給出；〔2根據(jù)給出的對(duì)應(yīng)法則,自變量x在其定義域中的每一個(gè)值,是否都能確定唯一的函數(shù)值y。AxAxBCDxxxyyyyoooo例2、下列等式中,能表示y是x的函數(shù)的是〔A.B.C.D.3、如何判斷函數(shù)的定義域：〔1分式的分母不能為零；〔2開偶次方根的被開方數(shù)要不小于零；〔3多個(gè)函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算混合得到的函數(shù)定義域是多個(gè)定義域的交集；〔4函數(shù)中不為零。例3、求下列函數(shù)的定義域〔1；〔2；〔3；〔4例4、求下列函數(shù)值域〔1〔2〔3〔44、函數(shù)的3要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則。判斷兩個(gè)函數(shù)相同的依據(jù)就是函數(shù)的三要素完全相同。注：在函數(shù)關(guān)系式的表述中,函數(shù)的定義域有時(shí)可以省略,這時(shí)就約定這個(gè)函數(shù)的定義域就是使得這個(gè)函數(shù)關(guān)系式有意義的實(shí)數(shù)的全體構(gòu)成的集合。例5、下列各對(duì)函數(shù)中,是相同函數(shù)的是〔A.B.C.D.5、區(qū)間：設(shè)a,bR,且a＜b,滿足a≤x≤b的全體實(shí)數(shù)x的集合,叫做閉區(qū)間,記作[a,b]；滿足a＜x＜b的全體實(shí)數(shù)x的集合,叫做開區(qū)間,記作﹙a,b﹚；滿足a≤x＜b或a＜x≤b的全體實(shí)數(shù)x的集合,都叫做半開半閉區(qū)間,分別記作[a,b﹚或﹙a,b]；分別滿足x≥a,x＞a,x≤a,x＜a的全體實(shí)數(shù)的集合分別記作[a,﹢∞﹚,﹙a,﹢∞﹚,﹙﹣∞,a],﹙﹣∞,a﹚。6、映射：設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合,如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng),那么就稱對(duì)應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射．其中x叫做原象,y叫做象。注：映射可以是多對(duì)一,不可以一對(duì)多。即A中元素不可剩余,B中元素可以剩余。特別的,集合B中的任意元素在集合A中有且只有一個(gè)原象的映射,叫做一一映射。7、映射個(gè)數(shù)的確定：若集合A有m個(gè)元素,集合B中有n個(gè)元素,則A到B的映射有個(gè)。例6、已知集合。問：<1>Ａ到Ｂ的不同映射ｆ：有多少個(gè)？<2>Ｂ到Ａ的不同映射ｇ：有多少個(gè)？8、映射與函數(shù)的關(guān)系：函數(shù)是特殊的映射。9、復(fù)合函數(shù)：二、函數(shù)的表示方法1、列表法：通過列出自變量與對(duì)應(yīng)函數(shù)值的表格來表示函數(shù)關(guān)系；2、圖像法：用圖像表示函數(shù)關(guān)系；3、解析法〔公式法：用代數(shù)式表示函數(shù)關(guān)系。三、分段函數(shù)在函數(shù)的定義域內(nèi),對(duì)于自變量x的不同取值區(qū)間,有著不同的對(duì)應(yīng)法則,這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù)。例7、已知函數(shù)〔1用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù)；〔2畫出該函數(shù)的圖像；〔3寫出該函數(shù)的值域。四、函數(shù)的單調(diào)性1、增函數(shù)和減函數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?如果對(duì)于定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)自變量,當(dāng)時(shí),都有,那么就說在區(qū)間上是增函數(shù).區(qū)間稱為的單調(diào)增區(qū)間；如果對(duì)于區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值,當(dāng)時(shí),都有,那么就說在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間稱為的單調(diào)減區(qū)間。2、圖像特點(diǎn)：增函數(shù)：自左向右圖象是上升的減函數(shù)：自左向右圖象是下降的3、函數(shù)單調(diào)性的判定方法〔1定義法：任取,且,判斷的符號(hào),若＞0,在D上單調(diào)遞增,若＜0,在D上單調(diào)遞減；〔2圖像法：根據(jù)圖像直觀地判斷函數(shù)的單調(diào)性；〔3直接法：根據(jù)一些特殊函數(shù)的性質(zhì),直接得出函數(shù)的單調(diào)性,如一次函數(shù)中的k＞0,直接得出函數(shù)為增函數(shù)；〔4結(jié)論：①具有相反的單調(diào)性；②與〔c為常數(shù)具有相同的單調(diào)性；③a＞0時(shí),與具有相同的單調(diào)性,a＜0時(shí),與具有相反的單調(diào)性；④若,則具有相反的單調(diào)性；⑤時(shí),與具有相同的單調(diào)性；⑥若與具有相同的單調(diào)性,則與和都具有相同的單調(diào)性。例8、討論下列函數(shù)的單調(diào)性〔1〔2〔3〔4例9、證明函數(shù)在上是減函數(shù)。例10、求函數(shù)在區(qū)間上的最小值。4、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷：同增異減例11、判斷函數(shù)在〔-2,+∞上的單調(diào)性五、函數(shù)的奇偶性1、奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義：一般地,對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)的任意一個(gè),都有,且,那么就叫做奇函數(shù),,那么就叫做偶函數(shù)。例12、判斷奇偶性〔1〔2〔3〔4例13、判斷函數(shù)的奇偶性2、圖像特征：〔1奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；〔2奇函數(shù)的定義域?yàn)镈,若,則。3、函數(shù)奇偶性的判定：〔1根據(jù)定義：①首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,如果不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則函數(shù)沒有奇偶性；②若定義域關(guān)于原定對(duì)稱,再確定與的關(guān)系；③最后作出相應(yīng)結(jié)論：若或,則是奇函數(shù),若或,則是偶函數(shù)?！?根據(jù)圖像：若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,則函數(shù)為偶函數(shù)。〔3根據(jù)性質(zhì)：奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)；偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)；；；〔4函數(shù)的分拆：任何一個(gè)函數(shù)都可以拆分成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和,即,其中〔偶函數(shù),〔奇函數(shù)。4、復(fù)合函數(shù)的奇偶性若函數(shù)的定義域都是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的,那么由的奇偶性得到的奇偶性的規(guī)律是:函數(shù)奇偶性奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)即當(dāng)且僅當(dāng)和都是奇函數(shù)時(shí),復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù).5、利用奇偶性求函數(shù)解析式：例14、若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,求當(dāng)時(shí),函數(shù)的解析式。6、函數(shù)奇偶性與單調(diào)性綜合應(yīng)用：例15、函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),在上是增函數(shù),且,則滿足成立的的取值范圍是。例16、定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),為減函數(shù),若成立,求的取值范圍。第二節(jié)、一次函數(shù)和二次函數(shù)一、一次函數(shù)的性質(zhì)與圖像1、一次函數(shù)的概念：函數(shù)叫做一次函數(shù),定義域和值域都為R,它的圖像是直線,其中叫做該直線的斜率,叫做該直線在軸上的截距。2、一次函數(shù)的性質(zhì)與圖像：一次函數(shù)圖像性質(zhì)單調(diào)性奇偶性增函數(shù)奇函數(shù)增函數(shù)非奇非偶函數(shù)減函數(shù)奇函數(shù)減函數(shù)非奇非偶函數(shù)例1、已知函數(shù)為何值時(shí),〔1這個(gè)函數(shù)為正比例函數(shù)；〔2這個(gè)函數(shù)為一次函數(shù)；〔3函數(shù)值隨的增大而減小；〔4這個(gè)函數(shù)的圖像與直線的交點(diǎn)在軸上。例2、如果一次函數(shù)的圖像經(jīng)過一、三、四象限,那么〔A、B、C、D、例3、直線過點(diǎn)和,求直線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積。二、二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像1、二次函數(shù)的概念：形如的函數(shù)叫做二次函數(shù)．其定義域是R。2、二次函數(shù)的解析式：一般式：；頂點(diǎn)式：,是二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；兩根式：,是二次函數(shù)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。3、二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像二次函數(shù)圖像定義域R值域?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)奇偶性單調(diào)性是減函數(shù),是增函數(shù)是增函數(shù),是減函數(shù)最值時(shí),時(shí),例4、設(shè)abc＞0,二次函數(shù)f<x>＝ax2＋bx＋c的圖象可能是〔4、與二次函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立問題：〔1ax2＋bx＋c>0恒成立的充要條件是eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a>0,Δ<0>>；〔2ax2＋bx＋c<0恒成立的充要條件是eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a<0,Δ<0>>；例5、設(shè),當(dāng)時(shí),恒成立,求的取值范圍。三、待定系數(shù)法一般的,在求一個(gè)函數(shù)時(shí),如果知道這個(gè)函數(shù)的一般式,可先把所求函數(shù)寫為一般形式,其中系數(shù)待定,然后再根據(jù)題設(shè)條件求出這些待定的系數(shù),這種通過求待定系數(shù)來確定變量之間關(guān)系式的方法叫做待定系數(shù)法。例6、已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過和,求這個(gè)函數(shù)的解析式。例7、已知二次函數(shù)的圖像過兩點(diǎn),它的對(duì)稱軸為直線,求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。第三節(jié)、函數(shù)與方程一、函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù),把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。即函數(shù)的圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)。例1、下列函數(shù)中沒有零點(diǎn)的是〔A.B.C.D.2、零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有,那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。既存在,使得,這個(gè)就是方程的根。例2、若方程在內(nèi)恰有一解,則的取值范圍是〔A.B.C.D.3、函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)：〔1對(duì)于二次函數(shù),圖像是連續(xù)的,那么當(dāng)它通過零點(diǎn)〔不是二重零點(diǎn)時(shí),函數(shù)值變號(hào),這種零點(diǎn)叫變號(hào)零點(diǎn)；當(dāng)函數(shù)通過二重零點(diǎn)時(shí),函數(shù)值的符號(hào)不改變,這種零點(diǎn)叫不變號(hào)零點(diǎn)；〔2如果函數(shù)的圖像是連續(xù)的,那么在相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)。4、二次函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)：〔１△＞０,方程有兩不等實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；〔２△＝０,方程有兩相等實(shí)根〔二重根,二次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)；〔３△＜０,方程無實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與軸無交點(diǎn),二次函數(shù)無零點(diǎn)。二、二分法1、二分法的定義：每次取區(qū)間的中點(diǎn),將區(qū)間一分為二再經(jīng)比較,按需要留下其中一個(gè)小區(qū)間的方法叫做二分法。注：二分法只能判斷變號(hào)零點(diǎn),不能判斷不變號(hào)零點(diǎn)。例3、函數(shù)圖象與軸均有交點(diǎn),其中不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的是〔DABCDABC2、給定精確度,用二分法求方程的近似解的基本步驟如下：〔1精確區(qū)間,使；〔2取區(qū)間的中點(diǎn),計(jì)算,=1\*GB3\*MERGEFOR