2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材新高考第八章直線和圓、圓錐曲線教案

105/105全國卷兩年考情圖解高考命題規(guī)律把握1.考查形式本章在高考中一般考查2道小題或者1道解答題，分值占22分.2.考查內(nèi)容(1)對直線方程、圓及圓錐曲線的概念和性質(zhì)的考查一般以選擇題或填空題為主，重在考查學(xué)生的雙基.(2)對直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考查，常以定點問題、最值問題及探索性問題為載體，重在考查等價轉(zhuǎn)化思想、方程思想及數(shù)學(xué)運算能力.直線的方程[考試要求]1.在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.3.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)．1．直線的方向向量(1)設(shè)A，B是直線上的兩點，則eq\o(AB,\s\up8(→))就是這條直線的方向向量．(2)若直線l的斜率為k，則直線l的一個方向向量為(1，k)．2．直線的傾斜角(1)定義：當直線l與x軸相交時，以x軸作為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.3．直線的斜率(1)定義：把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．斜率常用小寫字母k表示，即k＝tanα(α≠90°)．(2)過兩點的直線的斜率公式如果直線經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).4．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不含直線x＝x0斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直線x＝x1和直線y＝y(tǒng)1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用提醒：“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正、可負，也可以是零，而“距離”是一個非負數(shù)．eq\o([常用結(jié)論])1．直線的斜率k和傾斜角α之間的函數(shù)關(guān)系如圖，當α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，斜率k∈[0，＋∞)；當α＝eq\f(π,2)時，斜率不存在；當α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時，斜率k∈(－∞，0)．2．特殊直線的方程(1)直線過點P1(x1，y1)，垂直于x軸的方程為x＝x1；(2)直線過點P1(x1，y1)，垂直于y軸的方程為y＝y(tǒng)1；(3)y軸的方程為x＝0；(4)x軸的方程為y＝0.一、易錯易誤辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)直線的斜率為tanα，則其傾斜角為α. ()(2)直線的傾斜角越大，其斜率就越大． ()(3)經(jīng)過定點A(0，b)的直線都可以用方程y＝kx＋b表示． ()(4)若直線的一個方向向量為(x，y)，則該直線的斜率為eq\f(y,x). ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材習(xí)題衍生1．過A(4，y)，B(2，－3)兩點的直線的一個方向向量為(－1，－1)，則y＝()A．－eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),2)C．－1 D．1C[法一：由直線上的兩點A(4，y)，B(2，－3)，得eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－2，－3－y)，又直線AB的一個方向向量為(－1，－1)，因此(－2)×(－1)－(－3－y)×(－1)＝0，解得y＝－1，故選C．法二：由直線的方向向量為(－1，－1)得，直線的斜率為eq\f(－1,－1)＝1，所以eq\f(y－－3,4－2)＝1，解得y＝－1.故選C．]2．如果AC<0，且BC<0，那么直線Ax＋By＋C＝0不經(jīng)過()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限C[由已知得直線Ax＋By＋C＝0在x軸上的截距－eq\f(C,A)>0，在y軸上的截距－eq\f(C,B)>0，故直線經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限．]3．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三點共線，則x＝________.－3[因為A，B，C三點共線，所以kAB＝kAC，所以eq\f(7－5,4－3)＝eq\f(x－5,－1－3)，所以x＝－3.]4．過點P(2,3)且在兩軸上截距相等的直線方程為__________________．3x－2y＝0或x＋y－5＝0[當縱、橫截距為0時，直線方程為3x－2y＝0；當截距不為0時，設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，則eq\f(2,a)＋eq\f(3,a)＝1，解得a＝5，直線方程為x＋y－5＝0.]考點一直線的傾斜角與斜率 eq[典例1](1)(2021·長沙一中模擬)如圖，在矩形ABCD中，BC＝eq\r(3)AB，直線AC的斜率為eq\f(\r(3),3)，則直線BC的斜率為()A．eq\r(3) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(2\r(3),3) D．2eq\r(3)(2)直線l過點P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，eq\r(3))為端點的線段有公共點，則直線l斜率的取值范圍為________．(1)A(2)(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)[(1)由題意，在Rt△BCD中，∠BCD＝eq\f(π,2)，BC＝eq\r(3)AB＝eq\r(3)CD，∴tan∠CBD＝eq\f(\r(3),3)，∴∠CBD＝eq\f(π,6)，∴直線BC的傾斜角為eq\f(π,3)，故kBC＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3).故選A．(2)如圖，∵kAP＝eq\f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq\f(\r(3)－0,0－1)＝－eq\r(3)，∴k∈(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)．]斜率取值范圍的兩種求法數(shù)形結(jié)合法作出直線在平面直角坐標系中可能的位置，借助圖形，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)圖象法根據(jù)正切函數(shù)圖象，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可提醒：求傾斜角時要注意斜率是否存在，必要時分eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))兩種情況討論．eq\o([跟進訓(xùn)練])1．(1)(多選)如圖，直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，傾斜角分別為α1，α2，α3，則下列選項正確的是()A．k1<k3<k2B．k3<k2<k1C．α3<α2<α1D．α1<α3<α2(2)若直線l的斜率k∈[－1,1]，則直線l的傾斜角θ的范圍是________．(1)AC(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))[(1)如題圖，直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，傾斜角分別為α1，α2，α3，則k2>k3>0，k1<0，即k1＜k3＜k2，故eq\f(π,2)>α2>α3>0，且α1為鈍角，即α3＜α2＜α1，故選AC．(2)當－1≤k＜0時，eq\f(3π,4)≤θ＜π，當0≤k≤1時，0≤θ≤eq\f(π,4).因此θ的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).]考點二直線方程的求法 1．經(jīng)過兩條直線l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交點，且直線的一個方向向量v＝(－3,2)的直線方程為________．2x＋3y－5＝0[聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,2x－y＝1，))解得x＝1，y＝1，∴直線過點(1,1)．∵直線的方向向量v＝(－3,2)，∴直線的斜率k＝－eq\f(2,3).則直線的方程為y－1＝－eq\f(2,3)(x－1)，即2x＋3y－5＝0.]2．過點(2,1)且在x軸上截距與在y軸上截距之和為6的直線方程為________．x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0[由題意可設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝6，,\f(2,a)＋\f(1,b)＝1，))解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.故所求直線方程為x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.]3．已知△ABC的三個頂點分別為A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：(1)BC邊所在直線的方程；(2)BC邊上中線AD所在直線的方程；(3)BC邊的垂直平分線DE的方程．[解](1)因為直線BC經(jīng)過B(2,1)和C(－2,3)兩點，得BC的方程為eq\f(y－1,3－1)＝eq\f(x－2,－2－2)，即x＋2y－4＝0.(2)設(shè)BC邊的中點D(x，y)，則x＝eq\f(2－2,2)＝0，y＝eq\f(1＋3,2)＝2.BC邊的中線AD過A(－3,0)，D(0,2)兩點，所在直線方程為eq\f(x,－3)＋eq\f(y,2)＝1，即2x－3y＋6＝0.(3)由(1)知，直線BC的斜率k1＝－eq\f(1,2)，則直線BC的垂直平分線DE的斜率k2＝2.由(2)知，點D的坐標為(0,2)．所求直線方程為y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.求直線方程的兩種方法考點三直線方程的綜合應(yīng)用 [典例2]已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)證明：直線l過定點；(2)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；(3)若直線l交x軸負半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S(O為坐標原點)，求S的最小值并求此時直線l的方程．[解](1)證明：法一：直線l的方程可化為k(x＋2)＋(1－y)＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1.))∴無論k取何值，直線l總經(jīng)過定點(－2,1)．法二：方程kx－y＋1＋2k＝0可化為y－1＝k(x＋2)，顯然直線l恒過定點(－2,1)．(2)由方程知，當k≠0時，直線在x軸上的截距為－eq\f(1＋2k,k)，在y軸上的截距為1＋2k，要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)≤－2，,1＋2k≥1，))解得k＞0；當k＝0時，直線為y＝1，符合題意，故k的取值范圍是[0，＋∞)．(3)由題意可知k≠0，再由l的方程，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0,1＋2k)．依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)＜0，,1＋2k＞0，))解得k＞0.∵S＝eq\f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k|＝eq\f(1,2)·eq\f(1＋2k2,k)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k＋\f(1,k)＋4))≥eq\f(1,2)×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的條件是k＞0且4k＝eq\f(1,k)，即k＝eq\f(1,2)，∴Smin＝4，此時直線l的方程為x－2y＋4＝0.處理直線方程綜合應(yīng)用的兩大策略(1)求解與直線方程有關(guān)的最值問題，先求出斜率或設(shè)出直線方程，建立目標函數(shù)，再利用基本不等式求解最值．(2)含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時要能夠整理成過定點(或平行)的直線系，即能夠看出“動中有定”．eq\o([跟進訓(xùn)練])2．(1)已知直線l過點M(2,1)，且與x軸、y軸的正半軸分別相交于A，B兩點，O為坐標原點，則當|eq\o(MA,\s\up8(→))|·|eq\o(MB,\s\up8(→))|取得最小值時，直線l的方程為________．(2)已知直線l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，當0＜a＜2時，直線l1，l2與兩坐標軸圍成一個四邊形，當四邊形的面積最小時，實數(shù)a＝________.(1)x＋y－3＝0(2)eq\f(1,2)[(1)設(shè)A(a,0)，B(0，b)，則a>0，b>0，直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1.|eq\o(MA,\s\up8(→))|·|eq\o(MB,\s\up8(→))|＝－eq\o(MA,\s\up8(→))·eq\o(MB,\s\up8(→))＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))－5＝eq\f(2b,a)＋eq\f(2a,b)≥4，當且僅當a＝b＝3時取等號，此時直線l的方程為x＋y－3＝0.(2)由題意知直線l1，l2恒過定點P(2,2)，直線l1在y軸上的截距為2－a，直線l2在x軸上的截距為a2＋2，所以四邊形的面積S＝eq\f(1,2)×2×(2－a)＋eq\f(1,2)×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(15,4)，當a＝eq\f(1,2)時，四邊形的面積最小，故實數(shù)a的值為eq\f(1,2).]

兩條直線的位置關(guān)系[考試要求]1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標.3.探索并掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離．1．兩條直線的平行與垂直(1)兩條直線平行若l1∥l2(斜率均存在)，則l1與l2的傾斜角α1與α2相等，由α1＝α2，可得tanα1＝tanα2，即k1＝k2，因此，若l1∥l2，則k1＝k2.(2)兩條直線垂直設(shè)兩條直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，則直線l1，l2的方向向量分別是a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，于是l1⊥l2?a⊥b?a·b＝0?1×1＋k1k2＝0，即k1k2＝－1，也就是說，l1⊥l2?k1k2＝－1.2．兩條直線的交點坐標已知兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，則交點P的坐標是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．3．三種距離公式(1)平面上的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22).特別地，原點O(0,0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).eq\o([常用結(jié)論])1．兩直線平行的充要條件直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要條件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．2．兩直線垂直的充要條件直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件是A1A2＋B1B2＝0.3．對稱問題(1)點(x，y)關(guān)于x軸的對稱點為(x，－y)，關(guān)于y軸的對稱點為(－x，y)，關(guān)于原點的對稱點為(－x，－y)．(2)點(x，y)關(guān)于y＝x的對稱點為(y，x)，關(guān)于y＝x＋b的對稱點為(y－b，x＋b)，關(guān)于y＝－x的對稱點為(－y，－x)，關(guān)于y＝－x＋b的對稱點為(b－y，b－x)．(3)點(x，y)關(guān)于直線x＝a的對稱點為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對稱點為(x,2b－y)．一、易錯易誤辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)當直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2. ()(2)如果兩條直線l1與l2垂直，那么它們的斜率之積一定等于－1. ()(3)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交． ()(4)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離． ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材習(xí)題衍生1．已知點(a,2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a等于()A．eq\r(2) B．2－eq\r(2)C．eq\r(2)－1 D．eq\r(2)＋1C[由題意得eq\f(|a－2＋3|,\r(2))＝1，即|a＋1|＝eq\r(2)，又a>0，∴a＝eq\r(2)－1.]2．已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直線PQ垂直于直線x＋y＋1＝0，則m＝________.1[由題意知eq\f(m－4,－2－m)＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.]3．若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一點，則m的值為________．－9[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))所以點(1,2)滿足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.]4．已知直線3x＋4y－3＝0與直線6x＋my＋14＝0平行，則它們之間的距離是________．2[由兩直線平行可知eq\f(3,6)＝eq\f(4,m)≠－eq\f(3,14)，即m＝8.∴兩直線方程分別為3x＋4y－3＝0和3x＋4y＋7＝0，則它們之間的距離d＝eq\f(|7＋3|,\r(9＋16))＝2.]考點一兩條直線位置關(guān)系的判斷及應(yīng)用 1．若直線l1：(a－1)x＋y－1＝0和直線l2：3x＋ay＋2＝0垂直，則實數(shù)a的值為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(3,2)C．eq\f(1,4) D．eq\f(3,4)D[由已知得3(a－1)＋a＝0，解得a＝eq\f(3,4).]2．(2021·杭州模擬)設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A[當a＝1時，顯然l1∥l2，若l1∥l2，則a(a＋1)－2×1＝0，所以a＝1或a＝－2.所以a＝1是直線l1與直線l2平行的充分不必要條件．]3．已知三條直線l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m的取值集合為()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(2,3))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，－\f(2,3)))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(2,3)，\f(4,3))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))D[∵三條直線不能構(gòu)成一個三角形，∴①當l1∥l3時，m＝eq\f(2,3)；②當l2∥l3時，m＝－eq\f(4,3)；③當l1，l2，l3交于一點時，也不能構(gòu)成一個三角形，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,4x＋3y＋5＝0，))得交點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))，代入mx－y－1＝0，得m＝－eq\f(2,3).故選D．]解決兩直線平行與垂直的參數(shù)問題要“前思后想”考點二兩條直線的交點與距離問題 eq[典例1](1)(2020·全國Ⅲ卷)點(0，－1)到直線y＝k(x＋1)距離的最大值為()A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2(2)直線l過點P(－1,2)且到點A(2,3)和點B(－4,5)的距離相等，則直線l的方程為________．(3)已知兩直線a1x＋b1y－1＝0和a2x＋b2y－1＝0的交點為P(2,3)，則過兩點Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)(a1≠a2)的直線方程為________．(1)B(2)x＋3y－5＝0或x＝－1(3)2x＋3y－1＝0[(1)法一：由點到直線的距離公式知點(0，－1)到直線y＝k(x＋1)的距離d＝eq\f(|k·0＋－1·－1＋k|,\r(k2＋1))＝eq\f(|k＋1|,\r(k2＋1))＝eq\r(\f(k2＋2k＋1,k2＋1))＝eq\r(1＋\f(2k,k2＋1)).當k＝0時，d＝1；當k≠0時，d＝eq\r(1＋\f(2k,k2＋1))＝eq\r(1＋\f(2,k＋\f(1,k)))，要使d最大，需k＞0且k＋eq\f(1,k)最小，∴當k＝1時，dmax＝eq\r(2)，故選B．法二：記點A(0，－1)，直線y＝k(x＋1)恒過點B(－1,0)，當AB垂直于直線y＝k(x＋1)時，點A(0，－1)到直線y＝k(x＋1)的距離最大，且最大值為|AB|＝eq\r(2)，故選B．(2)當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由題意知eq\f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq\f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－eq\f(1,3)，∴直線l的方程為y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－1，也符合題意．(3)∵P(2,3)在已知的兩條直線上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋3b1＝1，,2a2＋3b2＝1.))∴點Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)是直線2x＋3y＝1上的兩個點，故過Q1，Q2兩點的直線方程為2x＋3y＝1.]1.求過兩直線交點的直線方程的方法求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標，再結(jié)合其他條件寫出直線方程，也可借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程，這樣能簡化解題過程．2．點到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件(1)求點到直線的距離時，應(yīng)先化直線方程為一般式．(2)求兩平行線之間的距離時，應(yīng)先將方程化為一般式且x，y的系數(shù)對應(yīng)相等．eq\o([跟進訓(xùn)練])1．(1)(多選)已知直線l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直線l到直線l1的距離與到直線l2的距離之比為1∶2，則直線l的方程為()A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0(2)求經(jīng)過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程為________．(1)BD(2)5x＋3y－1＝0[(1)設(shè)直線l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直線l到直線l1和l2的距離分別為d1，d2，由題知：d1＝eq\f(|m＋2|,\r(16＋36))，d2＝eq\f(|m＋9|,\r(16＋36))，因為eq\f(d1,d2)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(2|m＋2|,\r(16＋36))＝eq\f(|m＋9|,\r(16＋36))，即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－eq\f(13,3)，即直線l為4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.(2)先解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0，))得l1，l2的交點坐標為(－1,2)，再由l3的斜率eq\f(3,5)求出l的斜率為－eq\f(5,3)，于是由直線的點斜式方程求出l：y－2＝－eq\f(5,3)(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.]考點三對稱問題 中心對稱問題[典例2－1]過點P(0,1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，則直線l的方程為________．x＋4y－4＝0[設(shè)l1與l的交點為A(a,8－2a)，則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點A(4，0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.]軸對稱問題eq[典例2－2](1)已知直線y＝2x是△ABC中角C的平分線所在的直線，若點A，B的坐標分別是(－4,2)，(3,1)，則點C的坐標為()A．(－2,4) B．(－2，－4)C．(2,4) D．(2，－4)(2)已知入射光線經(jīng)過點M(－3,4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為________．(1)C(2)6x－y－6＝0[(1)設(shè)A(－4,2)關(guān)于直線y＝2x的對稱點為A′(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－2,x＋4)×2＝－1，,\f(y＋2,2)＝2×\f(－4＋x,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2，))∴A′(4，－2)，由題意知，A′在直線BC上，∴BC所在直線方程為y－1＝eq\f(－2－1,4－3)(x－3)，即3x＋y－10＝0.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－10＝0，,y＝2x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))則C(2,4)．(2)設(shè)點M(－3,4)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對稱點為M′(a，b)，則反射光線所在直線過點M′，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－4,a－－3)·1＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))解得a＝1，b＝0.即M′(1,0)．又反射光線經(jīng)過點N(2,6)，所以所求直線的方程為eq\f(y－0,6－0)＝eq\f(x－1,2－1)，即6x－y－6＝0.]對稱問題的求解方法(1)點關(guān)于點：點P(x，y)關(guān)于點Q(a，b)的對稱點為(2a－x,2b－y)．(2)線關(guān)于點：直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決．(3)點關(guān)于線：點A(a，b)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0(B≠0)的對稱點A′(m，n)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))(4)線關(guān)于線：直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決．eq\o([跟進訓(xùn)練])2．(1)如圖，已知A(4,0)，B(0,4)，從點P(2，0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點，則光線所經(jīng)過的路程是()A．3eq\r(3) B．6C．2eq\r(10) D．2eq\r(5)(2)若將一張坐標紙折疊一次，使得點(0,2)與點(4,0)重合，點(7,3)與點(m，n)重合，則m＋n＝________.(1)C(2)eq\f(34,5)[(1)直線AB的方程為x＋y＝4，點P(2,0)關(guān)于直線AB的對稱點為D(4,2)，關(guān)于y軸的對稱點為C(－2，0)，則光線經(jīng)過的路程為|CD|＝eq\r(62＋22)＝2eq\r(10).(2)由題意可知紙的折痕應(yīng)是點(0,2)與點(4,0)連線的中垂線，即直線y＝2x－3，它也是點(7,3)與點(m，n)連線的中垂線，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3＋n,2)＝2×\f(7＋m,2)－3，,\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))故m＋n＝eq\f(34,5).]

圓的方程[考試要求]1.回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程.2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題．1．圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心(a，b)，半徑r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)提醒：當D2＋E2－4F＝0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一個點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))；當D2＋E2－4F＜0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0沒有意義，不表示任何圖形．2．點與圓的位置關(guān)系點M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系：(1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.eq\o([常用結(jié)論])1．圓的三個性質(zhì)(1)圓心在過切點且垂直于切線的直線上；(2)圓心在任一弦的中垂線上；(3)兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線．2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.一、易錯易誤辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑． ()(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圓心為(a，b)，半徑為t的一個圓． ()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＝0不一定表示圓． ()(4)若點M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＞0. ()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√二、教材習(xí)題衍生1．圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標和半徑分別是()A．(2,3)，3 B．(－2,3)，eq\r(3)C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，eq\r(13)D[圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圓心坐標是(2，－3)，半徑r＝eq\r(13).]2．已知點A(1，－1)，B(－1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝eq\r(2)C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4A[法一：AB的中點坐標為(0,0)，|AB|＝eq\r([1－－1]2＋－1－12)＝2eq\r(2)，所以圓的方程為x2＋y2＝2.法二：(應(yīng)用常用結(jié)論)以AB為直徑的圓的方程為(x－1)·(x＋1)＋(y＋1)(y－1)＝0，即x2＋y2＝2.]3．過點A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4C[設(shè)圓心C的坐標為(a，b)，半徑為r.因為圓心C在直線x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.]4．在平面直角坐標系中，經(jīng)過三點(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為________．x2＋y2－2x＝0[設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圓經(jīng)過點(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,2＋D＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝0，,F＝0.))∴圓的方程為x2＋y2－2x＝0.]考點一圓的方程 1．若一圓的圓心坐標為(2，－3)，一條直徑的端點分別在x軸和y軸上，則此圓的方程是()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52A[直徑兩端點的坐標分別為(4,0)，(0，－6)，可得直徑長為2eq\r(13)，則半徑長為eq\r(13)，所以所求圓的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.]2．若不同的四點A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圓，則a的值為________．7[設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，分別代入A，B，C三點坐標，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(25＋5D＋F＝0，,1－D＋F＝0，,9＋9－3D＋3E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝－\f(25,3)，,F＝－5.))所以A，B，C三點確定的圓的方程為x2＋y2－4x－eq\f(25,3)y－5＝0.因為D(a,3)也在此圓上，所以a2＋9－4a－25－5＝0.所以a＝7或a＝－3(舍去)．即a的值為7.]3．已知圓C過點A(6,0)，B(1,5)，且圓心在直線l：2x－7y＋8＝0上，則圓C的方程為________.(x－3)2＋(y－2)2＝13[法一：(幾何法)kAB＝eq\f(5－0,1－6)＝－1，則AB的垂直平分線方程為y－eq\f(5,2)＝x－eq\f(7,2)，即x－y－1＝0，聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－1＝0，,2x－7y＋8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，))r＝eq\r(6－32＋0－22)＝eq\r(13)，故圓C的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝13.法二：(待定系數(shù)法)設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6－a2＋0－b2＝r2，,1－a2＋5－b2＝r2，,2a－7b＋8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝2，,r2＝13，))故所求圓C的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝13.]4．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標是________，半徑是________．(－2，－4)5[由已知方程表示圓，則a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.當a＝2時，方程不滿足表示圓的條件，故舍去．當a＝－1時，原方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化為標準方程為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)為圓心，半徑為5的圓．]求圓的方程的兩種方法考點二與圓有關(guān)的最值問題 斜率型、截距型、距離型最值問題eq[典例1－1]已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．[解]原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，eq\r(3)為半徑的圓．(1)eq\f(y,x)的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設(shè)eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.當直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3)(如圖①)．所以eq\f(y,x)的最大值為eq\r(3)，最小值為－eq\r(3).圖①圖②圖③(2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6)(如圖②)．所以y－x的最大值為－2＋eq\r(6)，最小值為－2－eq\r(6).(3)x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，x2＋y2在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值(如圖③)．又圓心到原點的距離為eq\r(2－02＋0－02)＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).建立函數(shù)關(guān)系求最值eq[典例1－2]設(shè)點P(x，y)是圓：x2＋(y－3)2＝1上的動點，定點A(2,0)，B(－2,0)，則eq\o(PA,\s\up8(→))·eq\o(PB,\s\up8(→))的最大值為________．12[由題意，知eq\o(PA,\s\up8(→))＝(2－x，－y)，eq\o(PB,\s\up8(→))＝(－2－x，－y)，所以eq\o(PA,\s\up8(→))·eq\o(PB,\s\up8(→))＝x2＋y2－4，由于點P(x，y)是圓上的點，故其坐標滿足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以eq\o(PA,\s\up8(→))·eq\o(PB,\s\up8(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圓的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以當y＝4時，eq\o(PA,\s\up8(→))·eq\o(PB,\s\up8(→))的值最大，最大值為6×4－12＝12.]1．與圓有關(guān)的最值問題的三種幾何轉(zhuǎn)化法(1)形如μ＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題．(2)形如t＝ax＋by形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題．(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題．2．建立函數(shù)關(guān)系式求最值問題的解題策略根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，利用基本不等式求最值．eq\o([跟進訓(xùn)練])1．(1)(2018·全國Ⅲ卷)直線x＋y＋2＝0分別與x軸、y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是()A．[2,6] B．[4,8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)] D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)](2)一束光線從點A(－3,2)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路徑的長度是()A．4 B．5C．5eq\r(2)－1 D．2eq\r(6)－1(3)已知點P(x，y)為圓C：x2＋y2－4x＋3＝0上一點，C為圓心，則eq\o(PC,\s\up8(→))·eq\o(PO,\s\up8(→))(O為坐標原點)的取值范圍是()A．[－3,1] B．[－1,1]C．[－1,3] D．[1,3](1)A(2)C(3)C[(1)圓心(2,0)到直線的距離d＝eq\f(|2＋0＋2|,\r(2))＝2eq\r(2)，所以點P到直線的距離d1∈[eq\r(2)，3eq\r(2)]．根據(jù)直線的方程可知A，B兩點的坐標分別為A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2eq\r(2)，所以△ABP的面積S＝eq\f(1,2)|AB|d1＝eq\r(2)d1.因為d1∈[eq\r(2)，3eq\r(2)]，所以S∈[2,6]，即△ABP面積的取值范圍是[2,6]．(2)根據(jù)題意，設(shè)A′與A關(guān)于x軸對稱，且A(－3,2)，則A′的坐標為(－3，－2)，又由A′C＝eq\r(25＋25)＝5eq\r(2)，則A′到圓C上的點的最短距離為5eq\r(2)－1.故這束光線從點A(－3,2)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路徑的長度是5eq\r(2)－1，故選C．(3)將圓C的方程x2＋y2－4x＋3＝0化為(x－2)2＋y2＝1，所以圓心C的坐標為(2,0)．所以eq\o(PC,\s\up8(→))＝(2－x，－y)，而eq\o(PO,\s\up8(→))＝(－x，－y)，所以eq\o(PC,\s\up8(→))·eq\o(PO,\s\up8(→))＝x2＋y2－2x.因為x2＋y2－4x＋3＝0，所以x2＋y2＝4x－3，所以eq\o(PC,\s\up8(→))·eq\o(PO,\s\up8(→))＝4x－3－2x＝2x－3.因為(x－2)2＋y2＝1，所以(x－2)2≤1，所以－1≤x－2≤1，即1≤x≤3.因此－1≤2x－3≤3，從而eq\o(PC,\s\up8(→))·eq\o(PO,\s\up8(→))(O為坐標原點)的取值范圍為[－1,3]．故選C．]考點三與圓有關(guān)的軌跡問題 [典例2]已知直角三角形ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角頂點C的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程．[四字解題]讀想算思A(－1,0)，B(3,0)，求直角頂點C的軌跡方程AC⊥BCkAC·kBC＝－1轉(zhuǎn)化化歸直角三角形的性質(zhì)斜邊的中線等于斜邊的一半[解](1)法一：(直接法)設(shè)C(x，y)，因為A，B，C三點不共線，所以y≠0.因為AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3)，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化簡得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．法二：(定義法)設(shè)AB的中點為D，由中點坐標公式得D(1,0)，由直角三角形的性質(zhì)知|CD|＝eq\f(1,2)|AB|＝2.由圓的定義知，動點C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點)．所以直角頂點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)(代入法)設(shè)M(x，y)，C(x0，y0)，因為B(3,0)，M是線段BC的中點，由中點坐標公式得x＝eq\f(x0＋3,2)，y＝eq\f(y0＋0,2)，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此動點M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．求與圓有關(guān)的軌跡問題的四種方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解．(2)定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解．(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)得出方程求解．(4)代入法(相關(guān)點法)：找出要求的點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式求解．eq\o([跟進訓(xùn)練])2．如圖所示，兩根桿分別繞著定點A和B(AB＝2a)在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，并且轉(zhuǎn)動時兩桿保持互相垂直，則桿的交點P的軌跡方程是________．x2＋y2＝a2[如圖，以AB所在直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，則A(－a,0)，B(a,0)．設(shè)P(x，y)，因為PA⊥PB，所以eq\f(y,x＋a)·eq\f(y,x－a)＝－1(x≠±a)．化簡，得x2＋y2＝a2(x≠±a)．當x＝±a時，點P與A或B重合，此時y＝0，滿足上式．故點P的軌跡方程是x2＋y2＝a2.]2.阿波羅尼斯圓如圖，點A，B為兩定點，動點P滿足|PA|＝λ|PB|.則λ＝1時，動點P的軌跡為直線；當λ>0且λ≠1時，動點P的軌跡為圓，后世稱之為阿波羅尼斯圓．證明：設(shè)|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以AB的中點為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系，則A(－m,0)，B(m,0)．又設(shè)P(x，y)，則由|PA|＝λ|PB|得eq\r(x＋m2＋y2)＝λeq\r(x－m2＋y2)，兩邊平方并化簡整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)．當λ＝1時，x＝0，軌跡為線段AB的垂直平分線；當λ>0且λ≠1時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(λ2＋1,λ2－1)m))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(4λ2m2,λ2－12)，軌跡為以點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ2＋1,λ2－1)m，0))為圓心，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2λm,λ2－1)))為半徑的圓．eq[典例3](1)在平面直角坐標系xOy中，設(shè)點A(1,0)，B(3,0)，C(0，a)，D(0，a＋2)，若存在點P，使得|PA|＝eq\r(2)|PB|，|PC|＝|PD|，則實數(shù)a的取值范圍是________．(2)如圖，已知圓O：x2＋y2＝4，點A(4,0)，在x軸上是否存在B(不同于點A)，滿足對于圓O上任意一點P，都有eq\f(PB,PA)為定值？如果存在，試求所有滿足條件的點B的坐標；如果不存在，請說明理由．(1)[－2eq\r(2)－1,2eq\r(2)－1][(1)設(shè)P(x，y)，則eq\r(x－12＋y2)＝eq\r(2)·eq\r(x－32＋y2)，整理得(x－5)2＋y2＝8，即動點P在以(5,0)為圓心，2eq\r(2)為半徑的圓上運動．另一方面，由|PC|＝|PD|知動點P在線段CD的垂直平分線y＝a＋1上運動，因而問題就轉(zhuǎn)化為直線y＝a＋1與圓(x－5)2＋y2＝8有交點．所以|a＋1|≤2eq\r(2).故實數(shù)a的取值范圍是[－2eq\r(2)－1,2eq\r(2)－1]．(2)[解]假設(shè)存在這樣的點B(s,0)，使得eq\f(PB,PA)＝k.設(shè)P(x，y)是圓O上任意一點，由PB2＝k2PA2，得(x－s)2＋y2＝k2[(x－4)2＋y2]．注意到y(tǒng)2＝4－x2，化簡得(8k2－2s)x＋s2－20k2＋4＝0對x∈[－2,2]恒成立．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8k2－2s＝0，,s2－20k2＋4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(s＝1，,k＝\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(s＝4，,k＝1))(舍去)．故存在點B(1,0)對于圓O上任意一點P，都有eq\f(PB,PA)＝eq\f(1,2).eq\o([跟進訓(xùn)練])3．(多選)(2021·重慶八中模擬)在平面直角坐標系xOy中，已知A(－4,0)，B(2,0)，點P滿足eq\f(|PA|,|PB|)＝2，設(shè)點P的軌跡為C，下列結(jié)論正確的是()A．C的方程為(x－4)2＋y2＝9B．在x軸上存在異于A，B的兩個定點D，E，使得eq\f(|PD|,|PE|)＝2C．當A，B，P三點不共線時，∠APO＝∠BPOD．若點Q(0,6)，則在C上存在點M，使得|MQ|＝|MB|BCD[選項A：設(shè)P(x，y)，由條件，eq\r(x＋42＋y2)＝2eq\r(x－22＋y2)，即x2＋y2－8x＝0，所以C的方程為(x－4)2＋y2＝16，故A錯誤；選項B：由對稱性可知，存在D，E滿足條件，故B正確；選項C：eq\o(PA,\s\up8(→))·eq\o(PO,\s\up8(→))＝(－4－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋4x＋y2＝12x，eq\o(PB,\s\up8(→))·eq\o(PO,\s\up8(→))＝(2－x，－y)·(－x，－y)＝x2－2x＋y2＝6x，所以eq\f(\o(PA,\s\up8(→))·\o(PO,\s\up8(→)),|\o(PA,\s\up8(→))||\o(PO,\s\up8(→))|)＝eq\f(\o(PB,\s\up8(→))·\o(PO,\s\up8(→)),|\o(PB,\s\up8(→))||\o(PO,\s\up8(→))|)，故∠APO＝∠BPO，故C正確；選項D：由|MQ|＝|MB|知，M的軌跡是線段BQ的垂直平分線，其方程為l：x－3y＋8＝0，圓C的圓心(4,0)到l的距離d＝eq\f(12,\r(10))<4，所以直線l與圓C相交，故在C上存在點M，使得|MQ|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MB))，故D正確．故選BCD．]

直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系[考試要求]1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題．1．直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置關(guān)系的判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點個數(shù)2個1個0個判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d<rd＝rd>r代數(shù)法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0,x－a2＋y－b2＝r2))消元得到一元二次方程根的判別式ΔΔ>0Δ＝0Δ<02.圓與圓的位置關(guān)系若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形量的關(guān)系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|eq\o([常用結(jié)論])1．當兩圓相交(切)時，兩圓方程(x2，y2項的系數(shù)相同)相減便可得公共弦(公切線)所在的直線方程．2．直線與圓相交時，弦心距d，半徑r，弦長的一半eq\f(1,2)l滿足關(guān)系式r2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)l))eq\s\up12(2).3．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.一、易錯易誤辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解，則兩圓外切． ()(2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，那么兩圓相交． ()(3)從兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程． ()(4)過圓O：x2＋y2＝r2外一點P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則O，P，A，B四點共圓且直線AB的方程是x0x＋y0y＝r2. ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材習(xí)題衍生1．直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系為()A．相切 B．相交但直線不過圓心C．直線過圓心 D．相離B[圓心為(0,0)，到直線y＝x＋1，即x－y＋1＝0的距離d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，而0<eq\f(\r(2),2)<1，但是圓心不在直線y＝x＋1上，所以直線與圓相交，但直線不過圓心．]2．兩圓x2＋y2－2y＝0與x2＋y2－4＝0的位置關(guān)系是()A．相交 B．內(nèi)切C．外切 D．內(nèi)含B[兩圓方程可化為x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4.兩圓圓心分別為O1(0,1)，O2(0,0)，半徑分別為r1＝1，r2＝2.因為|O1O2|＝1＝r2－r1，所以兩圓內(nèi)切．]3．圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦長為________．2eq\r(2)[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4＝0，,x2＋y2－4x＋4y－12＝0，))得兩圓公共弦所在直線方程為x－y＋2＝0.又圓x2＋y2＝4的圓心到直線x－y＋2＝0的距離為eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).由勾股定理得弦長的一半為eq\r(4－2)＝eq\r(2)，所以，所求弦長為2eq\r(2).]4．過點A(3,5)作圓O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切線，則切線的方程為________．5x－12y＋45＝0或x－3＝0[化圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0為標準方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圓心為(1,2)，半徑為2，∵|OA|＝eq\r(3－12＋5－22)＝eq\r(13)>2，∴點A(3,5)在圓外．顯然，當切線斜率不存在時，直線與圓相切，即切線方程為x－3＝0，當切線斜率存在時，可設(shè)所求切線方程為y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圓心為(1,2)，半徑r＝2，而圓心到切線的距離d＝eq\f(|3－2k|,\r(k2＋1))＝2，即|3－2k|＝2eq\r(k2＋1)，∴k＝eq\f(5,12)，故所求切線方程為5x－12y＋45＝0或x－3＝0.]考點一直線與圓的位置關(guān)系 eq[典例1](1)直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．不確定(2)圓(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直線3x＋4y－11＝0的距離等于1的點的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4(1)A(2)C[(1)法一：(代數(shù)法)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx－y＋1－m＝0，,x2＋y－12＝5，))消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因為Δ＝16m2＋20>0，所以直線l與圓相交．法二：(幾何法)∵圓心(0,1)到直線l的距離d＝eq\f(|m|,\r(m2＋1))<1<eq\r(5).故直線l與圓相交．法三：(點與圓的位置關(guān)系法)直線l：mx－y＋1－m＝0過定點(1,1)，∵點(1,1)在圓C：x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，∴直線l與圓C相交．(2)如圖所示，因為圓心(3,3)到直線3x＋4y－11＝0的距離為eq\f(|9＋12－11|,5)＝2，又因為圓的半徑為3，所以直線與圓相交，故圓上到直線的距離為1的點有3個．]1．判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．(3)點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．2．圓上的點到直線距離為定值的動點個數(shù)問題多借助圖形，轉(zhuǎn)化為點到直線的距離求解．如圖①，若圓上恰有一點到直線的距離為t，則需滿足d＝r＋t.如圖②，若圓上恰有三點到直線的距離為t，則需滿足d＝r－t.由圖①②可知，若圓上恰有兩個點到直線的距離為t，則需滿足r－t＜d＜r＋t.若圓上恰有四點到直線的距離為t，則需滿足d＜r－t.eq\o([跟進訓(xùn)練])1．(1)(多選)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直線l：ax＋by－r2＝0與圓C：x2＋y2＝r2，點A(a，b)，則下列說法正確的是()A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切B．若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切(2)(2021·山東煙臺二中三模)已知直線ax＋y－2＝0與圓C：x2＋y2－2x－2ay＋a2－3＝0相交于A，B兩點，且△ABC為鈍角三角形，則實數(shù)a的取值范圍為________．(1)ABD(2)(2－eq\r(3)，1)∪(1,2＋eq\r(3))[(1)對于A，∵點A在圓C上，∴a2＋b2＝r2，圓心C(0,0)到直線l的距離d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝r，∴直線l與圓C相切，A正確．對于B，∵點A在圓C內(nèi)，∴a2＋b2＜r2，圓心C(0,0)到直線l的距離d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＞r，∴直線l與圓C相離，B正確．對于C，∵點A在圓C外，∴a2＋b2＞r2，圓心C(0,0)到直線l的距離d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＜r，∴直線l與圓C相交，C錯誤．對于D，∵點A在直線l上，∴a2＋b2＝r2，圓心C(0,0)到直線l的距離d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝r，∴直線l與圓C相切，D正確．綜上：選ABD．(2)圓C：x2＋y2－2x－2ay＋a2－3＝0化為eq(\a\vs4\al\co1(x－1))2＋eq(\a\vs4\al\co1(y－a))2＝4，故圓心Ceq(\a\vs4\al\co1(1，a))，半徑為2，當△ABC為等腰直角三角形時，點C到直線的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2a－2)),\r(a2＋1))＝eq\r(2)，解得a＝2±eq\r(3)，∵△ABC為鈍角三角形，∴0<d<eq\r(2)，當a＝1時，d＝0，則可得a的取值范圍為eq(\a\vs4\al\co1(2－\r(3)，1))∪eq(\a\vs4\al\co1(1，2＋\r(3))).]考點二圓與圓的位置關(guān)系 [典例2]已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求(1)m取何值時兩圓外切？(2)m取何值時兩圓內(nèi)切，此時公切線方程是什么？(3)求m＝45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．[解]兩圓的標準方程分別為(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圓心分別為M(1,3)，N(5,6)，半徑分別為eq\r(11)和eq\r(61－m).(1)當兩圓外切時，eq\r(5－12＋6－32)＝eq\r(11)＋eq\r(61－m).解得m＝25＋10eq\r(11).(2)法一：(作差法)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x－6y－1＝0，,x2＋y2－10x－12y＋m＝0，))兩式相減得8x＋6y－1－m＝0.又兩圓相內(nèi)切，∴eq\r(61－m)－eq\r(11)＝5，∴m＝25－10eq\r(11).∴所求公切線方程為4x＋3y＋5eq\r(11)－13＝0.法二：(直接法)當兩圓內(nèi)切時，兩圓圓心間距離等于兩圓半徑之差的絕對值．故有eq\r(61－m)－eq\r(11)＝5，解得m＝25－10eq\r(11).因為kMN＝eq\f(6－3,5－1)＝eq\f(3,4)，所以兩圓公切線的斜率是－eq\f(4,3).設(shè)切線方程為y＝－eq\f(4,3)x＋b，則有eq\f(\O(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)×1＋3－b))),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up12(2)＋1))＝eq\r(11).解得b＝eq\f(13,3)±eq\f(5,3)eq\r(11).容易驗證，當b＝eq\f(13,3)＋eq\f(5,3)eq\r(11)時，直線與圓x2＋y2－10x－12y＋m＝0相交，舍去．故所求公切線方程為y＝－eq\f(4,3)x＋eq\f(13,3)－eq\f(5,3)eq\r(11)，即4x＋3y＋5eq\r(11)－13＝0.(3)兩圓的公共弦所在直線的方程為(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.由圓的半徑、弦長、弦心距間的關(guān)系，不難求得公共弦的長為2×eq\r(\r(11)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|4＋3×3－23|,\r(42＋32))))eq\s\up12(2))＝2eq\r(7).1．判斷兩圓位置關(guān)系的方法常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差的絕對值的關(guān)系，一般不用代數(shù)法．2．兩圓公共弦長的求法先求出公共弦所在直線的方程，在其中一圓中，由弦心距d，半弦長eq\f(l,2)，半徑r構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解．eq\o([跟進訓(xùn)練])2．(1)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2eq\r(2)，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是()A．內(nèi)切 B．相交C．外切 D．相離(2)已知點A(0,2)，O(0,0)，若圓C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上存在點M，使eq\o(MA,\s\up8(→))·eq\o(MO,\s\up8(→))＝3，則圓心C的橫坐標a的取值范圍為________．(1)B(2)[0,3][(1)由題意得圓M的標準方程為x2＋(y－a)2＝a2，圓心(0，a)到直線x＋y＝0的距離d＝eq\f(a,\r(2))，所以2eq\r(a2－\f(a2,2))＝2eq\r(2)，解得a＝2，圓M，圓N的圓心距|MN|＝eq\r(2)小于兩圓半徑之和3，大于兩圓半徑之差1，故兩圓相交．(2)設(shè)M(x，y)，因為A(0,2)，O(0,0)，所以eq\o(MA,\s\up8(→))＝(－x,2－y)，eq\o(MO,\s\up8(→))＝(－x，－y)．因為eq\o(MA,\s\up8(→))·eq\o(MO,\s\up8(→))＝3，所以(－x)(－x)＋(2－y)(－y)＝3，化簡得：x2＋(y－1)2＝4，所以M點的軌跡是以(0,1)為圓心，2為半徑的圓．因為M在C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上，所以兩圓必須相交或相切．所以1≤eq\r(a－02＋[a－2－1]2)≤3，解得0≤a≤3.所以圓心C的橫坐標a的取值范圍為[0,3]．]考點三直線、圓的綜合問題 切線問題[典例3－1]已知點P(eq\r(2)＋1,2－eq\r(2))，點M(3,1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求過點P的圓C的切線方程；(2)求過點M的圓C的切線方程，并求出切線長．[解]由題意得圓心C(1,2)，半徑r＝2.(1)∵(eq\r(2)＋1－1)2＋(2－eq\r(2)－2)2＝4，∴點P在圓C上．又kPC＝eq\f(2－\r(2)－2,\r(2)＋1－1)＝－1，∴切線的斜率k＝－eq\f(1,kPC)＝1.∴過點P的圓C的切線方程是y－(2－eq\r(2))＝x－(eq\r(2)＋1)，即x－y＋1－2eq\r(2)＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴點M在圓C外部．當過點M的直線斜率不存在時，直線方程為x＝3，即x－3＝0.又點C(1,2)到直線x－3＝0的距離d＝3－1＝2＝r，即此時滿足題意，所以直線x＝3是圓的切線．當切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，則圓心C到切線的距離d＝eq\f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋1))＝r＝2，解得k＝eq\f(3,4).∴切線方程為y－1＝eq\f(3,