4.1 幾何圖形講義 教師版

不同點(diǎn)：□兩個(gè)圖形的面數(shù)不同；□底面的邊數(shù)不同.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是認(rèn)識(shí)立體圖形，掌握常見幾何體的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵拓展點(diǎn)二：幾何圖形的分類例題.將下列幾何體分類，并說明理由(1)正方悴圓往(3)雖方郎(4)燼(5)圓維d二棱錐【分析】可以按平面和曲面進(jìn)行分類，也可以按柱體、錐體和球進(jìn)行分類，方法不同，答案不同，只要合理即可.【解答】解：答案不唯一，如按平面分：正方體，長方體，三棱錐；按曲面分：圓柱，圓錐，球.理由是：正方體的面是六個(gè)正方形組成，長方體的面是六個(gè)長方形組成，三棱錐的面是四個(gè)三角形組成，都是平面圖形；而圓柱和圓錐的側(cè)面都是曲面，球的整個(gè)面是曲面.【點(diǎn)評(píng)】幾何體的分類，從面的角度可以分為平面和曲面兩種，注意結(jié)合實(shí)際幾何體的特征進(jìn)行分類.變式.指出圖中幾何體的名稱.根據(jù)你的觀察.簡要表述它們的特征.0⑺變式.指出圖中幾何體的名稱.根據(jù)你的觀察.簡要表述它們的特征.0⑺分析】根據(jù)圖形的特點(diǎn)回答即可.【解答】解：（1）該圖圖形的名稱是圓柱，由兩個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面構(gòu)成，底面均為平面，側(cè)面是一個(gè)曲面；（2）該圖形是圓錐，由一個(gè)曲面和一個(gè)底面構(gòu)成（3）該圖形是正方體，由6個(gè)平面和12條棱構(gòu)成，每個(gè)面都是一個(gè)正方形；（4）該圖形是長方體，由6個(gè)平面和12條棱構(gòu)成，每個(gè)面都是一個(gè)長方形；（5）該圖形是一個(gè)六棱柱，由8個(gè)平面和18條棱構(gòu)成，每個(gè)側(cè)面都是一個(gè)長方形，每個(gè)底面是一個(gè)六邊形；（6）該圖形是一個(gè)球體，由1個(gè)面構(gòu)成，是一個(gè)曲面；（7）該圖形是一個(gè)四棱錐，由5個(gè)面構(gòu)成，每個(gè)側(cè)面都是一個(gè)三角形，底面是一個(gè)四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是認(rèn)識(shí)立體圖形，掌握常見立體圖形的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．拓展點(diǎn)三：從不同方向看例題．如圖所示，是一個(gè)空心圓柱，它的俯視圖是（）分析】俯視圖是分別從物體的上面看，所得到的圖形．故選B．點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關(guān)鍵．注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在三視圖中．

變式1.從一個(gè)邊長為3cm的大立方體挖去一個(gè)邊長為1cm的小立方體，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的左視圖正確的是（）分析】直接利用左視圖的觀察角度，進(jìn)而得出視圖.【解答】解：如圖所示：□從一個(gè)邊長為3cm的大立方體挖去一個(gè)邊長為1cm的小立方體,故選：C.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了簡單幾何體的三視圖，正確把握觀察角度是解題關(guān)鍵變式2.如圖所示，該幾何體的俯視圖是（）分析】根據(jù)俯視圖是從物體的上面看得到的視圖進(jìn)行解答即可．【解答】解：從上往下看，可以看到選項(xiàng)C所示的圖形.故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三視圖的知識(shí)，掌握俯視圖是從物體的上面看得到的視圖是解題的關(guān)鍵變式3．如圖，是由兩個(gè)相同的小正方體和一個(gè)圓錐體組成的立體圖形，其俯視圖是（）【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在俯視圖中【解答】解：從上面看，圓錐看見的是：圓和點(diǎn)，兩個(gè)正方體看見的是兩個(gè)正方形．故答案為：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三視圖的知識(shí)，關(guān)鍵是掌握三視圖的幾種看法．拓展點(diǎn)四：立體圖形的展開與折疊例題1．如圖1所示，將一個(gè)正四棱錐（底面為正方形，四條測棱相等）的其中四條邊剪開，得到圖2，則被剪開的四條邊有可能是（）A．PA，PB，AD，BCB．PD，DC，BC，ABC．PA，AD，PC，BCD．PA，PB，PC，AD【分析】根據(jù)圖2中正方形左邊的三角形可知需剪開PA、PB,根據(jù)正方形右邊三個(gè)三角形脫離正方形的上下兩邊可知需剪開AD、BC,可得答案.【解答】解：根據(jù)圖2中的展開圖可知,底面正方形ABCD的左邊一個(gè)三角形是獨(dú)立的,據(jù)此可知,需剪開圖1中的PA、PB,根據(jù)正方形右邊三個(gè)三角形脫離正方形的上下兩邊可知,需剪開AD、BC,綜上，被剪開的四條邊可能是：PA、PB、AD、BC,故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幾何體的展開圖,空間的想象力是基礎(chǔ),根據(jù)展開圖逐步分解圖形是解題的關(guān)鍵．例題2．下列不是三棱柱展開圖的是（）分析】根據(jù)三棱柱的兩底展開是三角形,側(cè)面展開是三個(gè)四邊形,可得答案．解答】解：①三棱柱展開圖有3個(gè)四邊形,2個(gè)三角形,□C選項(xiàng)不是三棱柱展開圖,故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何體的展開圖,注意兩底面是對面,展開是兩個(gè)全等的三角形,側(cè)面展開是三個(gè)矩形.變式1.下列四個(gè)圖形中是三棱柱的表面展開圖的是（）【分析】利用棱柱及其表面展開圖的特點(diǎn)解題.【解答】解：A、是三棱柱的平面展開圖；B、圍成三棱柱時(shí)，兩個(gè)三角形重合為同一底面，而另一底面沒有，故不能圍成三棱柱，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、圍成三棱柱時(shí)，缺少一個(gè)底面，故不能圍成三棱柱，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、圍成三棱柱時(shí)，沒有底面，故不能圍成三棱柱，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱柱和棱錐的結(jié)構(gòu)特征，棱柱表面展開圖中，上、下兩底面應(yīng)在側(cè)面展開圖長方形的兩側(cè).變式2.下列四個(gè)圖形中，是三棱錐的表面展開圖的是（）分析】根據(jù)三棱錐的四個(gè)面都是三角形，還要能圍成一個(gè)立體圖形，進(jìn)而分析得出即可.【解答】解：A、能組成三棱錐，是;B、不組成三棱錐，故不是；C、組成的是三棱柱，故不是；D、組成的是四棱錐，故不是；故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三棱錐的表面展開圖和空間想象能力，注意幾何體的形狀特點(diǎn)進(jìn)而分析才行【分析】長方體的表面展開圖的特點(diǎn)，有四個(gè)長方形的側(cè)面和上下兩個(gè)底面組成．【解答】解：A、是長方體平面展開圖，不符合題意；B、是長方體平面展開圖，不符合題意；C、有兩個(gè)面重合，不是長方體平面展開圖，不符合題意；D、是長方體平面展開圖，不符合題意.故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是長方體的展開圖，關(guān)鍵是要注意上下底面的長和寬是否可以圍成長方體

拓展點(diǎn)五：立體圖形的探究問題例題1.十八世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體中頂點(diǎn)數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間存在的一個(gè)有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式．請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題：根據(jù)上面多面體模型，完成表格中的空格：多面體頂點(diǎn)數(shù)(V)面數(shù)(F)棱數(shù)(E)四面體446長方體8612正八面體6812正十二面201230體你發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間存在的關(guān)系式是V+F-E=2.—個(gè)多面體的面數(shù)比頂點(diǎn)數(shù)大8,且有30條棱，則這個(gè)多面體的面數(shù)是20.某個(gè)玻璃鉓品的外形是簡單多面體，它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有24個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處都有3條棱，設(shè)該多面體外表三角形的個(gè)數(shù)為x個(gè)，八邊形的個(gè)數(shù)為y個(gè)，求x+y的值．【分析】(1)觀察可得頂點(diǎn)數(shù)+面數(shù)-棱數(shù)=2；代入(1)中的式子即可得到面數(shù)；

(3)得到多面體的棱數(shù)，求得面數(shù)即為x+y的值.【解答】解：(1)四面體的棱數(shù)為6；正八面體的頂點(diǎn)數(shù)為6；關(guān)系式為：V+F-E=2；由題意得：F-8+F-30=2，解得F=20；□有24個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處都有3條棱，兩點(diǎn)確定一條直線；□共有24x3-2=36條棱，那么24+F-36=2，解得F=14,□x+y=14.故答案為：6，6；E=V+F-2；20；14.【點(diǎn)評(píng)】本題考查多面體的頂點(diǎn)數(shù)，面數(shù)，棱數(shù)之間的關(guān)系及靈活運(yùn)用.變式.如圖所示，若將類似于a、b、c、d四個(gè)圖的圖形稱做平面圖，則其頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)與區(qū)域數(shù)之間存在某種關(guān)系觀察圖b和表中對應(yīng)的數(shù)值，探究計(jì)數(shù)的方法并作某種關(guān)系觀察圖b和表中對應(yīng)的數(shù)值，探究計(jì)數(shù)的方法并作a1)數(shù)一數(shù)每個(gè)圖中各有多少個(gè)頂點(diǎn)、多少條邊，這些邊圍出多少個(gè)區(qū)域并填表：abcdabcd頂點(diǎn)數(shù)(頂點(diǎn)數(shù)(S)邊數(shù)(M)區(qū)域數(shù)(N)根據(jù)表中數(shù)值，寫出平面圖的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間的一種關(guān)系；如果一個(gè)平面圖有20個(gè)頂點(diǎn)和11個(gè)區(qū)域，那么利用(2)中得出的關(guān)系可知這個(gè)平面圖有30條邊．【分析(1)按照自己熟悉的規(guī)律去數(shù)頂點(diǎn)數(shù)，邊數(shù)以及區(qū)域數(shù)；4+3-6=1,7+3-9=1,8+5-12=1,10+6-15=1，所以可得到一般規(guī)律：頂點(diǎn)數(shù)+區(qū)域數(shù)一邊數(shù)=1；邊數(shù)=頂點(diǎn)數(shù)+區(qū)域數(shù)-1.【解答】解：(1)區(qū)域數(shù)(N區(qū)域數(shù)(N)335圖abcd頂點(diǎn)數(shù)(S)47810邊數(shù)(M)691215(2)觀察表中數(shù)據(jù)可得；4+3-6=1,7+3-9=1,8+5-12=1,10+6-15=1□S+N-M=1；(或頂點(diǎn)數(shù)+區(qū)域數(shù)一邊數(shù)=1)由(2)得：邊數(shù)=頂點(diǎn)數(shù)+區(qū)域數(shù)-1=20+11-1=30.

點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生的觀察能力，分析以及合理推理能力．注意應(yīng)按平面圖來進(jìn)行解答．例題2.如圖，是按規(guī)律擺放在墻角的一些小正方體，從上往下分別記為第一層，第二層，第三層…第n層…第三層有6個(gè)小正方體.從第四層至第六層(含第四層和第六層)共有46個(gè)小正方體.第n層有_口第?！獋€(gè)小正方體.若每個(gè)小正方體邊長為a分米，共擺放了n層，則要將擺放的小正方體能看到的表面部分涂上防銹漆,則防銹漆的總面積為弄n(n+1)分米2./lU/lU屮【分析(1)第1個(gè)圖有1層，共1個(gè)小正方體，第2個(gè)圖有2層，第2層正方體的個(gè)數(shù)為1+2，以此類推第三層即可；(2)第4至6層求出每層個(gè)數(shù)相加即可；根據(jù)相應(yīng)規(guī)律可得第n層正方體的個(gè)數(shù)為l+2+3+...+n旦共擺放n層，根據(jù)靠墻小正方形的面的個(gè)數(shù)和與地面接觸小正方形的面的個(gè)數(shù)，求出總面數(shù)再乘每個(gè)小正方形的面積即可.解答】解：(1)第1層，共1個(gè)小正方體，第2層正方體的個(gè)數(shù)為1+2=3，第3層正方體的個(gè)數(shù)為：1+2+3=6．故答案為：6．(2)第4層正方體的個(gè)數(shù)為：10，第5層正方體的個(gè)數(shù)為：15，第6層正方體的個(gè)數(shù)為：21，所以從第四層至第六層(含第四層和第六層)共有：10+15+21=46．故答案為：46．根據(jù)(1)相應(yīng)規(guī)律，可得第n層正方體的個(gè)數(shù)為l+2+3+...+n』?；"；共擺放n層，則靠墻小正方形的面的個(gè)數(shù)：2(l+2+3+...+n)=n(n+1),地面接觸小正方形的面的個(gè)數(shù)：l+2+3+...+n』第D，所以靠墻及地面的部分涂上防銹漆的面積為：［n(n+1)嚴(yán)S：。Z2=|~a2n(n+1)分米2.故答案為：(1)6；(2)41；⑶口?;1〉；(4)|_a2n(n+1).【點(diǎn)評(píng)】此題考查圖形規(guī)律性的變化，得到第n層正方體的個(gè)數(shù)的規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵.變式．將一個(gè)正方體的表面全涂上顏色．如果把正方體的棱2等分，然后沿等分線把正方體切開，能夠得到8個(gè)小正方體，設(shè)其中3面被涂上顏色的有a個(gè)，則a=8；如果把正方體的棱三等分，然后沿等分線把正方體切開，能夠得到27個(gè)小正方體．設(shè)這些小正方體中有3個(gè)面涂有顏色的有a個(gè)，各個(gè)面都沒有涂色的有b個(gè)，則a+b=_L；如果把正方體的棱4等分，然后沿等分線把正方體切開，能夠得到64個(gè)小正方體．設(shè)這些小正方體中有2個(gè)面涂有顏色的有c個(gè)，各個(gè)面都沒有涂色的有b個(gè)，則c+b=32；如果把正方體的棱n等分，然后沿等分線把正方體切開，能夠得到個(gè)小正方體.設(shè)這些小正方體中有2個(gè)面涂有顏色的有c個(gè)，各個(gè)面都沒有涂色的有b個(gè)，則c+b=12(n-2)+(n-2)3.【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)可發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)處的小方塊三面涂色，除頂點(diǎn)外位于棱上的小方塊兩面涂色，涂色位于表面中心的一面涂色，處于正中心的沒涂色．依此可得到(1)棱二等分時(shí)的所得小正方體表面涂色情況；(2)棱三等分時(shí)的所得小正方體表面涂色情況；(3)棱四等分時(shí)的所得小正方體表面涂色情況．(4)根據(jù)已知圖形中沒有涂色的小正方形個(gè)數(shù)得出變化規(guī)律進(jìn)而得出答案．【解答】解：(1)三面被涂色的有8個(gè)，故a=8；三面被涂色的有8個(gè)，各面都沒有涂色的1個(gè)，a+b=8+1=9；兩面被涂成紅色有24個(gè)，各面都沒有涂色的8個(gè)，b+c=24+8=32；由以上可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：能夠得到n3個(gè)小正方體，兩面涂色c=12(n-2)個(gè)，各面均不涂色(n-2)3個(gè)，b+c=12(n-2)+(n-2)3.故答案為：8，9，32，n3，12(n-2)+(n-2)3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方體的組合與分割．要熟悉正方體的性質(zhì)，在分割時(shí)有必要可動(dòng)手操作．易錯(cuò)點(diǎn)一：所見“就”要“所現(xiàn)”例題1．如圖為某幾何體的示意圖，請畫出該幾何體的三視圖．分析】根據(jù)三視圖的觀察角度不同分別得出符合題意的視圖即可．

解答】解：三視圖如下：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了畫三視圖的知識(shí)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：主視圖，左視圖，俯視圖分別為從正面，左面上面看得到的圖形．【分析】根據(jù)主視圖為一個(gè)中間有一條橫線的長方形；左視圖為一個(gè)五邊形；俯視圖為一個(gè)中間有一條橫線的長方形；畫圖即可．【解答】解：如圖所示：【點(diǎn)評(píng)】本題考查三視圖的畫法；用到的知識(shí)點(diǎn)為：三視圖為主視圖，左視圖，俯視圖，分別是從物體的正面，左面，上面看得到的圖形．注意實(shí)際存在，沒有被其他棱擋住，從某個(gè)方向看又看不到的棱應(yīng)用虛線表示．例題2．如圖所示為一幾何體的三視圖：（1）寫出這個(gè)幾何體的名稱；（2）任意畫出這個(gè)幾何體的一種表面展開圖；（3）若長方形的高為10cm，正三角形的邊長為4cm，求這個(gè)幾何體的側(cè)面積.【分析（1）只有棱柱的主視圖和左視圖才能出現(xiàn)長方形，根據(jù)俯視圖是三角形，可得到此幾何體為三棱柱；（2）應(yīng)該會(huì)出現(xiàn)三個(gè)長方形，兩個(gè)三角形；（3）側(cè)面積為3個(gè)長方形，它的長和寬分別為10cm，4cm，計(jì)算出一個(gè)長方形的面積，乘3即可.【解答】解：（1）這個(gè)幾何體是正三棱柱；2）表面展開圖如下：

(3)側(cè)面積:3"0x4=120cm2.【點(diǎn)評(píng)】此題考查從三視圖判斷幾何體，掌握棱柱的側(cè)面都是長方形，上下底面是幾邊形就是幾棱柱是解決問題的關(guān)鍵.變式.某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中有關(guān)數(shù)據(jù)，求這個(gè)幾何體的各個(gè)側(cè)面積之和.【分析】首先根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀，然后根據(jù)尺寸和側(cè)面積計(jì)算方法求得答案即可【解答】解:由三視圖可知，這個(gè)幾何體是三棱柱；□底面是直角三角形，一直角邊長是4,斜邊長是6,□另一直角邊長是附一42=2「豆□三棱柱的側(cè)面積之和為：（4+6+2T虧）燈0=100+20打.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)三視圖判斷該幾何體為三棱柱三棱柱的三個(gè)側(cè)面均為矩形.例題3.（1）由大小相同的小立方塊搭成的幾何體如圖1，請?jiān)趫D2的方格中畫出該幾何體的俯視圖和左視俯視圖左視圉圖.蔓二（2）用小立方體搭一幾何體，使得它的俯視圖和左視圖與你在圖2方格中所畫的圖一致，則這樣的幾何體最少要5個(gè)小立方塊，最多要7個(gè)小立方塊.【分析（1）從上面看得到從左往右3列正方形的個(gè)數(shù)依次為1，2，1，依此畫出圖形即可；從左面看得到從左往右2列正方形的個(gè)數(shù)依次為2，1，依此畫出圖形即可；（2）由俯視圖易得最底層小立方塊的個(gè)數(shù)，由左視圖找到其余層數(shù)里最少個(gè)數(shù)和最多個(gè)數(shù)相加即可.【解答】解：（1）（2）解：由俯視圖易得最底層有4個(gè)小立方塊，第二層最少有1個(gè)小立方塊，所以最少有5個(gè)小立方塊；第二層最多有3個(gè)小立方塊，所以最多有7個(gè)小立方塊．【點(diǎn)評(píng)】用到的知識(shí)點(diǎn)為：三視圖分為主視圖、左視圖、俯視圖，分別是從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形；俯視圖決定底層立方塊的個(gè)數(shù)，易錯(cuò)點(diǎn)是由主視圖得到其余層數(shù)里最少的立方塊個(gè)數(shù)和最多的立方塊個(gè)數(shù)．變式．如圖是用10塊完全相同的小正方體搭成的幾何體（1）請?jiān)诳瞻椎姆礁裰挟嫵鏊娜齻€(gè)視圖；（2）若保持主視圖和俯視圖不變，最多還可以再搭3塊小正方體.分析（1）根據(jù)物體形狀即可畫出左視圖有三列與以及主視圖、俯視圖都有三列，進(jìn)而畫出圖形2）可在最左側(cè)前端放兩個(gè)后面再放一個(gè)即可得出答案.解答】解：（1）如圖所示：

正觀圖左視圖俯視圖（2）保持主視圖和俯視圖不變，最