高三理科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案：排列組合總復(fù)習(xí)教學(xué)案

44/44高三理科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案：排列組合總復(fù)習(xí)教學(xué)案【】歡送來到查字典數(shù)學(xué)網(wǎng)高三數(shù)學(xué)教案欄目,教案邏輯思路清晰,符合認(rèn)識規(guī)律,培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)習(xí)慣和能力。因此小編在此為您編輯了此文：高三理科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案：排列組合總復(fù)習(xí)教學(xué)案希望能為您的提供到幫助。本文題目：高三理科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案：排列組合總復(fù)習(xí)教學(xué)案高考導(dǎo)航考試要求重難點(diǎn)擊命題展望排列組合1.理解并運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理解決一些簡單的實(shí)際問題;2.理解排列、組合的概念;能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式,并能解決簡單的實(shí)際問題;3.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理;會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題.本章重點(diǎn)：排列、組合的意義及其計(jì)算方法,二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.本章難點(diǎn)：用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的問題.排列組合是學(xué)習(xí)概率的根底,其核心是兩個根本原理.高考中著重考查兩個根本原理,排列組合的概念及二項(xiàng)式定理.隨機(jī)事件的概率1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性,了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別;2.了解兩個互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率乘法公式;3.理解古典概型及其概率計(jì)算公式;會計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的根本領(lǐng)件的個數(shù)及事件發(fā)生的概率;4.了解隨機(jī)數(shù)的意義,能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率,了解幾何概型的意義.本章重點(diǎn)：1.隨機(jī)事件、互斥事件及概率的意義,并會計(jì)算互斥事件的概率;2.古典概型、幾何概型的概率計(jì)算.本章難點(diǎn)：1.互斥事件的判斷及互斥事件概率加法公式的應(yīng)用;2.可以轉(zhuǎn)化為幾何概型求概率的問題.本局部要求考生能從集合的思想觀點(diǎn)認(rèn)識事件、互斥事件與對立事件,進(jìn)而理解概率的性質(zhì)、公式,還要求考生了解幾何概型與隨機(jī)數(shù)的意義.在高考中注重考查根底知識和根本方法的同時,還?？疾榉诸惻c整合,或然與必然的數(shù)學(xué)思想方法,邏輯思維能力以及運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力.離散型隨機(jī)變量1.理解取有限值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念,了解分布列對于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性;2.理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程,并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用;3.了解條件概率和兩個事件相互獨(dú)立的概念,理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布,并能解決一些簡單的實(shí)際問題;4.理解取有限值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念,能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差,并能解決一些實(shí)際問題;5.利用實(shí)際問題的直方圖,認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.本章重點(diǎn)：1.離散型隨機(jī)變量及其分布列;2.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布.本章難點(diǎn)：1.利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差解決一些實(shí)際問題;2.正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.求隨機(jī)變量的分布列與期望,以及在此根底上進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析是近幾年來較穩(wěn)定的高考命題態(tài)勢.考生應(yīng)注重對特殊分布(如二項(xiàng)分布、超幾何分布)的理解和對事件的意義的理解.知識網(wǎng)絡(luò)12.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理典例精析題型一分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【例1】在1到20這20個整數(shù)中,任取兩個數(shù)相加,使其和大于20,共有種取法.【解析】當(dāng)一個加數(shù)是1時,另一個加數(shù)只能是20,有1種取法;當(dāng)一個加數(shù)是2時,另一個加數(shù)可以是19,20,有2種取法;當(dāng)一個加數(shù)是3時,另一個加數(shù)可以是18,19,20,有3種取法;當(dāng)一個加數(shù)是10時,另一個加數(shù)可以是11,12,,19,20,有10種取法;當(dāng)一個加數(shù)是11時,另一個加數(shù)可以是12,13,,19,20,有9種取法;當(dāng)一個加數(shù)是19時,另一個加數(shù)只能是20,有1種取法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有1+2+3++10+9+8++1=100種取法.【點(diǎn)撥】采用列舉法分類,先確定一個加數(shù),再利用和大于20確定另一個加數(shù).【變式訓(xùn)練1】(2019濟(jì)南市模擬)從集合{1,2,3,,10}中任意選出三個不同的數(shù),使這三個數(shù)成等比數(shù)列,這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為()A.3B.4C.6D.8【解析】當(dāng)公比為2時,等比數(shù)列可為1,2,4或2,4,8;當(dāng)公比為3時,等比數(shù)列可為1,3,9;當(dāng)公比為32時,等比數(shù)列可為4,6,9.同理,公比為12、13、23時,也有4個.應(yīng)選D.題型二分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【例2】從6人中選4人分別到張家界、韶山、衡山、桃花源四個旅游景點(diǎn)游覽,要求每個旅游景點(diǎn)只有一人游覽,每人只游覽一個旅游景點(diǎn),且6個人中甲、乙兩人不去張家界游覽,那么不同的選擇方案共有種.【解析】能去張家界的有4人,依此能去韶山、衡山、桃花源的有5人、4人、3人.那么由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的選擇方案有4543=240種.【點(diǎn)撥】根據(jù)題意正確分步,要求各步之間必須連續(xù),只有按照這幾步逐步地去做,才能完成這件事,各步之間既不能重復(fù)也不能遺漏.【變式訓(xùn)練2】(2019湘潭市調(diào)研)要安排一份5天的值班表,每天有一人值班,現(xiàn)有5人,每人可以值多天班或不值班,但相鄰兩天不準(zhǔn)由同一人值班,問此值班表共有種不同的排法.【解析】依題意,值班表須一天一天分步完成.第一天有5人可選有5種方法,第二天不能用第一天的人有4種方法,同理第三天、第四天、第五天也都有4種方法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有54444=1280種方法.題型三分類和分步計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用【例3】(2019長郡中學(xué))如圖,用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色(4種顏色全部使用),要求每個區(qū)域涂一種顏色,相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色,那么不同的涂色種數(shù)有.【解析】方法一：由題意知,有且僅有兩個區(qū)域涂相同的顏色,分為4類：1與5同;2與5同;3與5同;1與3同.對于每一類有A44種涂法,共有4A44=96種方法.方法二：第一步：涂區(qū)域1,有4種方法;第二步：涂區(qū)域2,有3種方法;第三步：涂區(qū)域4,有2種方法(此前三步已經(jīng)用去三種顏色);第四步：涂區(qū)域3,分兩類：第一類,3與1同色,那么區(qū)域5涂第四種顏色;第二類,區(qū)域3與1不同色,那么涂第四種顏色,此時區(qū)域5就可以涂區(qū)域1或區(qū)域2或區(qū)域3中的任意一種顏色,有3種方法.所以,不同的涂色種數(shù)有432(11+13)=96種.【點(diǎn)撥】染色問題是排列組合中的一類難題.此題能運(yùn)用兩個根本原理求解,要注意的是分類中有分步,分步后有分類.【變式訓(xùn)練3】(2009深圳市調(diào)研)用紅、黃、藍(lán)三種顏色去涂圖中標(biāo)號為1,2,,9的9個小正方形,使得任意相鄰(有公共邊)小正方形所涂顏色都不相同,且1,5,9號小正方形涂相同顏色,那么符合條件的所有涂法有多少種?【解析】第一步,從三種顏色中選一種顏色涂1,5,9號有C13種涂法;第二步,涂2,3,6號,假設(shè)2,6同色,有4種涂法,假設(shè)2,6不同色,有2種涂法,故共有6種涂法;第三步,涂4,7,8號,同第二步,共有6種涂法.由分步乘法原理知共有366=108種涂法.總結(jié)提高分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理答復(fù)的都是完成一件事有多少種不同方法或種數(shù)的問題,其區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理是完成一件事要分假設(shè)干類,類與類之間要互斥,用任何一類中的任何一種方法都可以獨(dú)立完成這件事;分步乘法計(jì)數(shù)原理是完成一件事要分假設(shè)干步,步驟之間相互獨(dú)立,各個步驟相互依存,缺少其中任何一步都不能完成這件事,只有當(dāng)各個步驟都完成之后,才能完成該事件.因此,分清完成一件事的方法是分類還是分步,是正確使用這兩個根本計(jì)數(shù)原理的根底.12.2排列與組合典例精析題型一排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算【例1】計(jì)算：(1)8!+A66A28-A410;(2)C33+C34++C310.【解析】(1)原式=87654321+65432187-10987=576543256(-89)=-5130623.(2)原式=C44+C34+C35++C310=C45+C35++C310=C46+C36++C310=C411=330.【點(diǎn)撥】在使用排列數(shù)公式Amn=n!(n-m)!進(jìn)行計(jì)算時,要注意公式成立的條件：m,nN+,mn.另外,應(yīng)注意組合數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用.【變式訓(xùn)練1】解不等式6.【解析】原不等式即9!(9-x)!9!(11-x)!,也就是1(9-x)!,化簡得x2-21x+1040,解得x8或x13,又因?yàn)?9,且xN*,所以原不等式的解集為{2,3,4,5,6,7}.題型二有限制條件的排列問題【例2】3男3女共6個同學(xué)排成一行.(1)女生都排在一起,有多少種排法?(2)女生與男生相間,有多少種排法?(3)任何兩個男生都不相鄰,有多少種排法?(4)3名男生不排在一起,有多少種排法?(5)男生甲與男生乙中間必須排而且只能排2位女生,女生又不能排在隊(duì)伍的兩端,有幾種排法?【解析】(1)將3名女生看作一人,就是4個元素的全排列,有A44種排法.又3名女生內(nèi)部可有A33種排法,所以共有A44A33=144種排法.(2)男生自己排,女生也自己排,然后相間插入(此時有2種插法),所以女生與男生相間共有2A33A33=72種排法.(3)女生先排,女生之間及首尾共有4個空隙,任取其中3個安插男生即可,因而任何兩個男生都不相鄰的排法共有A33A34=144種.(4)直接分類較復(fù)雜,可用間接法.即從6個人的排列總數(shù)中,減去3名男生排在一起的排法種數(shù),得3名男生不排在一起的排法種數(shù)為A66-A33A44=576種.(5)先將2個女生排在男生甲、乙之間,有A23種排法.又甲、乙之間還有A22種排法.這樣就有A23A22種排法.然后把他們4人看成一個元素(相當(dāng)于一個男生),這一元素及另1名男生排在首尾,有A22種排法.最后將余下的女生排在其間,有1種排法.故總排法為A23A22A22=24種.【點(diǎn)撥】排列問題的本質(zhì)就是元素占位子問題,有限制條件的排列問題的限制主要表現(xiàn)在：某些元素排或不排在哪個位子上,某些元素相鄰或不相鄰.對于這類問題,在分析時,主要按照優(yōu)先原那么,即優(yōu)先安排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子,對于相鄰問題可用捆綁法,對于不相鄰問題可用插空法.對于直接考慮較困難的問題,可以采用間接法.【變式訓(xùn)練2】把1,2,3,4,5這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),并把它們按由小到大的順序排列構(gòu)成一個數(shù)列.(1)43251是這個數(shù)列的第幾項(xiàng)?(2)這個數(shù)列的第97項(xiàng)是多少?【解析】(1)不大于43251的五位數(shù)A55-(A44+A33+A22)=88個,即為此數(shù)列的第88項(xiàng).(2)此數(shù)列共有120項(xiàng),而以5開頭的五位數(shù)恰好有A44=24個,所以以5開頭的五位數(shù)中最小的一個就是該數(shù)列的第97項(xiàng),即51234.題型三有限制條件的組合問題【例3】要從12人中選出5人去參加一項(xiàng)活動.(1)A,B,C三人必須入選有多少種不同選法?(2)A,B,C三人都不能入選有多少種不同選法?(3)A,B,C三人只有一人入選有多少種不同選法?(4)A,B,C三人至少一人入選有多少種不同選法?(5)A,B,C三人至多二人入選有多少種不同選法?【解析】(1)只須從A,B,C之外的9人中選擇2人,C29=36種不同選法.(2)由A,B,C三人都不能入選只須從余下9人中選擇5人,即有C59=C49=126種選法.(3)可分兩步,先從A,B,C三人中選出1人,有C13種選法,再從余下的9人中選4人,有C49種選法,所以共有C13C49=378種選法.(4)可考慮間接法,從12人中選5人共有C512種,再減去A,B,C三人都不入選的情況C59,共有C512-C59=666種選法.(5)可考慮間接法,從12人中選5人共有C512種,再減去A,B,C三人都入選的情況C29種,所以共有C512-C29=756種選法.【點(diǎn)撥】遇到至多、至少的有關(guān)計(jì)數(shù)問題,可以用間接法求解.對于有限制條件的問題,一般要根據(jù)特殊元素分類.【變式訓(xùn)練3】四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共有10個點(diǎn).(1)在其中取4個共面的點(diǎn),共有多少種不同的取法?(2)在其中取4個不共面的點(diǎn),共有多少種不同的取法?【解析】(1)四個點(diǎn)共面的取法可分三類.第一類：在同一個面上取,共有4C46種;第二類：在一條棱上取三點(diǎn),再在它所對的棱上取中點(diǎn),共有6種;第三類：在六條棱的六個中點(diǎn)中取,取兩對對棱的4個中點(diǎn),共有C23=3種.故有69種.(2)用間接法.共C410-69=141種.總結(jié)提高解有條件限制的排列與組合問題的思路：(1)正確選擇原理,確定分類或分步計(jì)數(shù);(2)特殊元素、特殊位置優(yōu)先考慮;(3)再考慮其余元素或其余位置.12.3二項(xiàng)式定理典例精析題型一二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式及應(yīng)用【例1】的展開式中,前三項(xiàng)系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列.(1)求證：展開式中沒有常數(shù)項(xiàng);(2)求展開式中所有的有理項(xiàng).【解析】由題意得2C1n=1+C2n()2,即n2-9n+8=0,所以n=8,n=1(舍去).所以Tr+1=()=(-)r=(-1)r(08,rZ).(1)假設(shè)Tr+1是常數(shù)項(xiàng),那么16-3r4=0,即16-3r=0,因?yàn)閞Z,這不可能,所以展開式中沒有常數(shù)項(xiàng).(2)假設(shè)Tr+1是有理項(xiàng),當(dāng)且僅當(dāng)16-3r4為整數(shù),又08,rZ,所以r=0,4,8,即展開式中有三項(xiàng)有理項(xiàng),分別是T1=x4,T5=358x,T9=1256x-2.【點(diǎn)撥】(1)把握住二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,是掌握二項(xiàng)式定理的關(guān)鍵.除通項(xiàng)公式外,還應(yīng)熟練掌握二項(xiàng)式的指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、展開式的系數(shù)間的關(guān)系、性質(zhì);(2)應(yīng)用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng),如求某一項(xiàng),含x某次冪的項(xiàng),常數(shù)項(xiàng),有理項(xiàng),系數(shù)最大的項(xiàng)等,一般是應(yīng)用通項(xiàng)公式根據(jù)題意列方程,在求得n或r后,再求所需的項(xiàng)(要注意n和r的數(shù)值范圍及大小關(guān)系);(3)注意區(qū)分展開式第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第r+1項(xiàng)的系數(shù).【變式訓(xùn)練1】假設(shè)(xx+)n的展開式的前3項(xiàng)系數(shù)和為129,那么這個展開式中是否含有常數(shù)項(xiàng),一次項(xiàng)?如果有,求出該項(xiàng),如果沒有,請說明理由.【解析】由題知C0n+C1n2+C2n22=129,所以n=8,所以通項(xiàng)為Tr+1=Cr8(xx)8-r=,故r=6時,T7=26C28x=1792x,所以不存在常數(shù)項(xiàng),而存在一次項(xiàng),為1792x.題型二運(yùn)用賦值法求值【例2】(1)(1+x)+(1+x)2++(1+x)n=a0+a1x+a2x2++anxn,且a1+a2++an-1=29-n,那么n=;(2)(1-x)n=a0+a1x+a2x2++anxn,假設(shè)5a1+2a2=0,那么a0-a1+a2-a3++(-1)nan=.【解析】(1)易知an=1,令x=0得a0=n,所以a0+a1++an=30.又令x=1,有2+22++2n=a0+a1++an=30,即2n+1-2=30,所以n=4.(2)由二項(xiàng)式定理得,a1=-C1n=-n,a2=C2n=n(n-1)2,代入得-5n+n(n-1)=0,所以n=6,令x=-1得(1+1)6=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6,即a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=64.【點(diǎn)撥】運(yùn)用賦值法求值時應(yīng)充分抓住代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,通過一些特殊值代入構(gòu)造相應(yīng)的結(jié)構(gòu).【變式訓(xùn)練2】設(shè)(3x-1)8=a0+a1x+a2x2++a7x7+a8x8.求a0+a2+a4+a6+a8的值.【解析】令f(x)=(3x-1)8,因?yàn)閒(1)=a0+a1+a2++a8=28,f(-1)=a0-a1+a2-a3+-a7+a8=48,所以a0+a2+a4+a6+a8=f(1)+f(-1)2=27(1+28).題型三二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用【例3】求證：46n+5n+1-9能被20整除.【解析】46n+5n+1-9=4(6n-1)+5(5n-1)=4[(5+1)n-1]+5[(4+1)n-1]=20[(5n-1+C1n5n-2++Cn-1n)+(4n-1+C1n4n-2++Cn-1n)],是20的倍數(shù),所以46n+5n+1-9能被20整除.【點(diǎn)撥】用二項(xiàng)式定理證明整除問題時,首先需注意(a+b)n中,a,b中有一個是除數(shù)的倍數(shù);其次展開式有什么規(guī)律,余項(xiàng)是什么,必須清楚.【變式訓(xùn)練3】求0.9986的近似值,使誤差小于0.001.【解析】0.9986=(1-0.002)6=1+6(-0.002)1+15(-0.002)2++(-0.002)6.因?yàn)門3=C26(-0.002)2=15(-0.002)2=0.000060.001,且第3項(xiàng)以后的絕對值都小于0.001,所以從第3項(xiàng)起,以后的項(xiàng)都可以忽略不計(jì).所以0.9986=(1-0.002)61+6(-0.002)=1-0.012=0.988.總結(jié)提高1.利用通項(xiàng)公式可求展開式中某些特定項(xiàng)(如常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)等),解決這些問題通常采用待定系數(shù)法,運(yùn)用通項(xiàng)公式寫出待定式,再根據(jù)待定項(xiàng)的要求寫出n、r滿足的條件,求出n和r,再確定所需的項(xiàng);2.賦值法是解決二項(xiàng)展開式的系數(shù)和、差問題的一個重要手段;3.利用二項(xiàng)式定理解決整除問題時,關(guān)鍵是進(jìn)行合理的變形,使得二項(xiàng)展開式的每一項(xiàng)都成為除數(shù)的倍數(shù).對于余數(shù)問題,要注意余數(shù)的取值范圍.12.4隨機(jī)事件的概率與概率的根本性質(zhì)典例精析題型一頻率與概率【例1】某企業(yè)生產(chǎn)的乒乓球被08年北京奧委會指定為乒乓球比賽專用球.日前有關(guān)部門對某批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測,檢查結(jié)果如下表所示.抽取球數(shù)n5010020050010002000優(yōu)等品數(shù)m45921944709541902優(yōu)等品頻率(1)計(jì)算表中乒乓球優(yōu)等品的頻率;(2)從這批乒乓球產(chǎn)品中任取一個,質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率是多少?(結(jié)果保存到小數(shù)點(diǎn)后三位)【解析】(1)依據(jù)公式,計(jì)算出表中乒乓球優(yōu)等品的頻率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知,抽取的球數(shù)n不同,計(jì)算得到的頻率值不同,但隨著抽取的球數(shù)的增多,卻都在常數(shù)0.950的附近擺動,所以質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率為0.950.【點(diǎn)撥】從表中所給的數(shù)據(jù)可以看出,當(dāng)所抽乒乓球較少時,優(yōu)等品的頻率波動很大,但當(dāng)抽取的球數(shù)很大時,頻率根本穩(wěn)定在0.95,在其附近擺動,利用概率的統(tǒng)計(jì)定義,可估計(jì)該批乒乓球的優(yōu)等率.【變式訓(xùn)練1】某籃球運(yùn)發(fā)動在最近幾場比賽中罰球的結(jié)果如下.投籃次數(shù)n8101291016進(jìn)球次數(shù)m6897712進(jìn)球頻率(1)計(jì)算表中進(jìn)球的頻率;(2)這位運(yùn)發(fā)動投籃一次,進(jìn)球的概率是多少?【解析】(1)由公式計(jì)算出每場比賽該運(yùn)發(fā)動罰球進(jìn)球的頻率依次為：(2)由(1)知,每場比賽進(jìn)球的頻率雖然不同,但頻率總在附近擺動,可知該運(yùn)發(fā)動進(jìn)球的概率為.題型二隨機(jī)事件間的關(guān)系【例2】從一副橋牌(52張)中任取1張.判斷以下每對事件是否為互斥事件,是否為對立事件.(1)抽出紅桃與抽出黑桃(2)抽出紅色牌與抽出黑色牌(3)抽出的牌點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)與抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于10.【解析】(1)是互斥事件但不是對立事件.因?yàn)槌槌黾t桃與抽出黑桃在僅取一張時不可能同時發(fā)生,因而是互斥的.同時,不能保證其中必有一個發(fā)生,因?yàn)檫€可能抽出方塊或梅花,因此兩者不對立.(2)是互斥事件又是對立事件.因?yàn)閮烧卟豢赏瑫r發(fā)生,但其中必有一個發(fā)生.(3)不是互斥事件,更不是對立事件.因?yàn)槌槌龅呐泣c(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)與抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于10這兩個事件有可能同時發(fā)生,如抽得12.【點(diǎn)撥】要區(qū)分互斥事件和對立事件的定義.【變式訓(xùn)練2】抽查10件產(chǎn)品,設(shè)事件A：至少有兩件次品,那么A的對立事件為()A.至多兩件次品B.至多一件次品C.至多兩件正品D.至少兩件正品【解析】根據(jù)對立事件的定義得選項(xiàng)B.題型三概率概念的應(yīng)用【例3】甲、乙兩個班級進(jìn)行數(shù)學(xué)考試,按照大于或等于85分為優(yōu)秀,85分以下為非優(yōu)秀,統(tǒng)計(jì)后,得到如以下聯(lián)表.優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲10乙30總計(jì)105從全部105人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為.(1)請完成上面列聯(lián)表;(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),假設(shè)按95%的可靠性要求,能否認(rèn)為成績與班級有關(guān)系(參考數(shù)據(jù)P(K26.635)=0.05);(3)假設(shè)按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的10人按2到11進(jìn)行編號,然后兩次擲一枚均勻的骰子,出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為被抽取人的編號.試求抽到6號或10號的概率.【解析】(1)優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲104555乙203050總計(jì)3075105(2)計(jì)算K2的一個觀測值k==6.109.因?yàn)?.1096.635,所以沒有95%的把握認(rèn)為成績與班級有關(guān).(3)記被抽取人的序號為,那么P(=6)=,P(=10)=,所以P(=6或=10)=P(=6)+P(=10)==.【點(diǎn)撥】此題考查概率的概念在實(shí)際生活中的應(yīng)用.【變式訓(xùn)練3】袋內(nèi)有35個球,每個球上都記有從1~35中的一個號碼,設(shè)號碼為n的球的重量為-5n+20克,這些球以等可能性從袋里取出(不受重量、號碼的影響).(1)如果取出1球,試求其重量比號碼數(shù)大5的概率;(2)如果任意取出2球,試求它們重量相等的概率.【解析】(1)由不等式-5n+20n+5,得n15或n3,由題意知n=1,2或者n=16,17,,35,于是所求概率為.(2)設(shè)第n號和第m號的兩個球的重量相等,其中n所以(n-m)(n+m-15)=0.因?yàn)閚m,所以n+m=15,所以(n,m)=(1,14),(2,13),,(7,8).故所求概率為.總結(jié)提高1.對立事件是互斥事件的一種特殊情況,是指在一次試驗(yàn)中有且僅有一個發(fā)生的兩個事件.集合A的對立事件記作,從集合的角度來看,事件所含結(jié)果的集合正是全集U中由事件A所含結(jié)果組成集合的補(bǔ)集,即A=U,A=.對立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是對立事件.事件A、B的和記作A+B,表示事件A、B至少有一個發(fā)生.當(dāng)A、B為互斥事件時,事件A+B是由A發(fā)生而B不發(fā)生以及B發(fā)生而A不發(fā)生構(gòu)成的.當(dāng)計(jì)算事件A的概率P(A)比擬困難時,有時計(jì)算它的對立事件的概率那么要容易些,為此有P(A)=1-P().2.假設(shè)A與B互相獨(dú)立,那么與,A與,與B都是相互獨(dú)立事件.判斷A與B是否獨(dú)立的方法是看P(AB)=P(A)P(B)是否成立.12.5古典概型典例精析題型一古典概率模型的計(jì)算問題【例1】一汽車廠生產(chǎn)A、B、C三類轎車,每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號,某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛),轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標(biāo)準(zhǔn)型300450600現(xiàn)按分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛,其中有A類10輛.(1)求z的值;(2)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本,將該樣本視為一個總體,從中任取2輛,求至少有1輛舒適型轎車的概率;(3)用隨機(jī)抽樣方法從B類舒適型轎車中抽取8輛,經(jīng)檢測它們的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2把這8輛車的得分看成一個總體,從中任取一個數(shù),求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率.【解析】(1)依題意知,從每層抽取的比率為140,從而轎車的總數(shù)為5040=2000輛,所以z=2000-100-150-300-450-600=400.(2)由(1)知C類轎車共1000輛,又樣本容量為5,故抽取的比率為1200,即5輛轎車中有2輛舒適型、3輛標(biāo)準(zhǔn)型,任取2輛,一共有n=10種不同取法,記事件A：至少有1輛舒適型轎車,那么事件表示抽取到2輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車,有m=3種不同取法,從而事件A包含：根本領(lǐng)件數(shù)為m=7種,所以P(A)=710.(3)樣本平均數(shù)=18(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.0,記事件B：從樣本中任取一數(shù),該數(shù)與樣本平均數(shù)的絕對值不超過0.5,那么事件B包含的根本領(lǐng)件有6種,所以P(B)=68=34.【點(diǎn)撥】利用古典概型求事件的概率時,主要弄清根本領(lǐng)件的總數(shù),及所求事件所含的根本領(lǐng)件的個數(shù).【變式訓(xùn)練1】△ABC的三邊是10以內(nèi)(不包含10)的三個連續(xù)的正整數(shù),求任取一個△ABC是銳角三角形的概率.【解析】依題意不妨設(shè)a=n-1,b=n,c=n+1(n1,nN),從而有a+bc,即n2,所以△ABC的最小邊為2,要使△ABC是銳角三角形,只需△ABC的最大角C是銳角,cosC=(n-1)2+n2-(n+1)22(n-1)n=n-42(n-1)0,所以n4,所以,要使△ABC是銳角三角形,△ABC的最小邊為4.另一方面,從{2,3,4,,9}中,任取三個連續(xù)正整數(shù)共有6種根本情況,△ABC是銳角三角形包含4種情況,故所求的概率為46=23.題型二有放回抽樣與不放回抽樣【例2】現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有10件,其中8件為正品,2件為次品.(1)如果從中取出一件,然后放回,再取一件,求連續(xù)3次取出的都是正品的概率;(2)如果從中一次取3件,求3件都是正品的概率.【解析】(1)有放回地抽取3次,按抽取順序(x,y,z)記錄結(jié)果,那么x,y,z都有10種可能,所以試驗(yàn)結(jié)果有101010=103種;設(shè)事件A為連續(xù)3次都取正品,那么包含的根本領(lǐng)件共有888=83種,因此,P(A)==0.512.(2)方法一：可以看作不放回抽樣3次,順序不同,根本領(lǐng)件不同,按抽取順序記錄(x,y,z),那么x有10種可能,y有9種可能,z有8種可能,所以試驗(yàn)的所有結(jié)果為1098=720種.設(shè)事件B為3件都是正品,那么事件B包含的根本領(lǐng)件總數(shù)為876=336,所以P(B)=3367200.467.方法二：可以看作不放回3次無順序抽樣,先按抽取順序(x,y,z)記錄結(jié)果,那么x有10種可能,y有9種可能,z有8種可能,但(x,y,z),(x,z,y),(y,x,z),(y,z,x),(z,x,y),(z,y,x)是相同的,所以試驗(yàn)的所有結(jié)果有10986=120.按同樣的方法,事件B包含的根本領(lǐng)件個數(shù)為8766=56,因此P(B)=561200.467.【點(diǎn)撥】關(guān)于不放回抽樣,計(jì)算根本領(lǐng)件個數(shù)時,既可以看作是有順序的,也可以看作是無順序的,其結(jié)果是一樣的,但不管選擇哪一種方式,觀察的角度必須一致,否那么會導(dǎo)致錯誤.【變式訓(xùn)練2】有5張卡片,上面分別寫有0,1,2,3,4中的1個數(shù).求：(1)從中任取兩張卡片,兩張卡片上的數(shù)字之和等于4的概率;(2)從中任取兩次卡片,每次取一張,第一次取出卡片,記下數(shù)字后放回,再取第二次,兩次取出的卡片上的數(shù)字之和恰好等于4的概率.【解析】(1)兩張卡片上的數(shù)字之和等于4的情形共有4種,任取兩張卡片共有10種,所以概率為P=410=25;(2)兩張卡片上的數(shù)字之和等于4的情形共有5種,任取兩張卡片共有25種,所以概率為P=525=15.題型三古典概型問題的綜合應(yīng)用【例3】甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球,甲袋裝有2個紅球,2個白球;乙袋裝有2個紅球,n個白球.從甲、乙兩袋中各任取2個球.(1)假設(shè)n=3,求取到的4個球全是紅球的概率;(2)假設(shè)取到的4個球中至少有2個紅球的概率為34,求n.【解析】(1)記取到的4個球全是紅球?yàn)槭录嗀,P(A)=C22C24C22C25=16110=160.(2)記取到的4個球至多有1個紅球?yàn)槭录﨎,取到的4個球只有1個紅球?yàn)槭录﨎1,取到的4個球全是白球?yàn)槭录﨎2.由題意,得P(B)=1-34=14.P(B1)=C12C12C24C2nC2n+2+C22C24C12C1nC2n+2=2n23(n+2)(n+1),P(B2)=C22C24C2nC2n+2=n(n-1)6(n+2)(n+1).所以P(B)=P(B1)+P(B2)=2n23(n+2)(n+1)+n(n-1)6(n+2)(n+1)=14,化簡得7n2-11n-6=0,解得n=2或n=-37(舍去),故n=2.【變式訓(xùn)練3】甲、乙二人參加普法知識競賽,共有10道不同的題目,其中選擇題6道,判斷題4道,甲、乙二人一次各抽取一題.(1)甲抽到選擇題,乙抽到判斷題的概率是多少?(2)甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是多少?【解析】(1)甲從選擇題中抽到一題的可能結(jié)果有C16個,乙從判斷題中抽到一題的的可能結(jié)果是C14,故甲抽到選擇題,乙抽到判斷題的可能結(jié)果為C16C14=24.又甲、乙二人一次各抽取一題的結(jié)果有C110C19=90,所以概率為2490=415.(2)甲、乙二人一次各抽取一題根本領(lǐng)件的總數(shù)是109=90.方法一：(分類計(jì)數(shù)原理)①只有甲抽到了選擇題的事件數(shù)是：6②只有乙抽到了選擇題的事件數(shù)是：6③甲、乙同時抽到選擇題的事件數(shù)是：65=30.故甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是24+24+3090=1315.方法二：(利用對立事件)事件甲、乙二人至少有一個抽到選擇題與事件甲、乙兩人都未抽到選擇題是對立事件.事件甲、乙兩人都未抽到選擇題的根本領(lǐng)件個數(shù)是43=12.故甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是1-1290=1-215=1315.總結(jié)提高1.對古典概型首先必須使學(xué)生明確判斷兩點(diǎn)：①對于每個隨機(jī)試驗(yàn)來說,所有可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)n必須是有限個;②出現(xiàn)的各個不同的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)m其可能性大小必須是相同的.只有在同時滿足①、②的條件下,運(yùn)用的古典概型計(jì)算公式P(A)=mn得出的結(jié)果才是正確的.使用公式P(A)=mn計(jì)算時,確定m、n的數(shù)值是關(guān)鍵所在.2.對于n個互斥事件A1,A2,,An,其加法公式為P(A1+A2++An)=P(A1)+P(A2)++P(An).3.分類討論思想是解決互斥事件有一個發(fā)生的概率的一個重要的指導(dǎo)思想.4.在應(yīng)用題背景條件下,能否把一個復(fù)雜事件分解為假設(shè)干個互相排斥或相互獨(dú)立、既不重復(fù)又不遺漏的簡單事件是解答這類應(yīng)用題的關(guān)鍵,也是考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力的重要環(huán)節(jié).12.6幾何概型典例精析題型一長度問題【例1】如圖,AOB=60,OA=2,OB=5,在線段OB上任取一點(diǎn)C,試求：(1)△AOC為鈍角三角形的概率;(2)△AOC為銳角三角形的概率.【解析】如圖,由平面幾何知識知：當(dāng)ADOB時,OD=1;當(dāng)OAAE時,OE=4,BE=1.(1)當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C在線段OD或BE上時,△AOC為鈍角三角形.記△AOC為鈍角三角形為事件M,那么P(M)=OD+EBOB=1+15=0.4,即△AOC為鈍角三角形的概率為0.4.(2)當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C在線段DE上時,△AOC為銳角三角形.記△AOC為銳角三角為事件N,那么P(N)=DEOB=35=0.6,即△AOC為銳角三角形的概率為0.6.【點(diǎn)撥】我們把每一個事件理解為從某個特定的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn),該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的時機(jī)都一樣,而一個事件發(fā)生那么理解為恰好在上述區(qū)域內(nèi)的某個指定的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn),這樣的概率模型就可以用幾何概型求解.【變式訓(xùn)練1】點(diǎn)A為周長等于3的圓周上的一個定點(diǎn),假設(shè)在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B,那么劣弧AB的長度小于1的概率為.【解析】如圖可設(shè)=1,那么根據(jù)幾何概率可知其整體事件是其周長3,那么其概率是23.題型二面積問題【例2】兩個CB對講機(jī)(CB即CitizenBand民用波段的英文縮寫)持有者,莉莉和霍伊都為卡爾貨運(yùn)公司工作,他們的對講機(jī)的接收范圍為25公里,在下午3：00時莉莉正在基地正東距基地30公里以內(nèi)的某處向基地行駛,而霍伊在下午3：00時正在基地正北距基地40公里以內(nèi)的某地向基地行駛,試問在下午3：00時他們能夠通過對講機(jī)交談的概率有多大?【解析】設(shè)x和y分別代表莉莉和霍伊距基地的距離,于是030,040.他們所有可能的距離的數(shù)據(jù)構(gòu)成有序點(diǎn)對(x,y),這里x,y都在它們各自的限制范圍內(nèi),那么所有這樣的有序數(shù)對構(gòu)成的集合即為根本領(lǐng)件組對應(yīng)的幾何區(qū)域,每一個幾何區(qū)域中的點(diǎn)都代表莉莉和霍伊的一個特定的位置,他們可以通過對講機(jī)交談的事件僅當(dāng)他們之間的距離不超過25公里時發(fā)生(如以下圖),因此構(gòu)成該事件的點(diǎn)由滿足不等式x2+y225的數(shù)對組成,此不等式等價于x2+y2625,右圖中的方形區(qū)域代表根本領(lǐng)件組,陰影局部代表所求事件,方形區(qū)域的面積為1200平方公里,而事件的面積為(14)(25)2=6254,于是有P=62541200=62548000.41.【點(diǎn)撥】解決此類問題,應(yīng)先根據(jù)題意確定該實(shí)驗(yàn)為幾何概型,然后求出事件A和根本領(lǐng)件的幾何度量,借助幾何概型的概率公式求出.【變式訓(xùn)練2】如圖,以正方形ABCD的邊長為直徑作半圓,重疊局部為花瓣.現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一飛鏢,求飛鏢落在花瓣內(nèi)的概率.【解析】飛鏢落在正方形區(qū)域內(nèi)的時機(jī)是均等的,符合幾何概型條件.記飛鏢落在花瓣內(nèi)為事件A,設(shè)正方形邊長為2r,那么P(A)=S花瓣SABCD=12r24-(2r)2(2r)2=-22.所以,飛鏢落在花瓣內(nèi)的概率為-22.題型三體積問題【例3】在線段[0,1]上任意投三個點(diǎn),設(shè)O至三點(diǎn)的三線段長為x、y、z,研究方法說明：x,y,z能構(gòu)成三角形只要點(diǎn)(x,y,z)落在棱長為1的正方體T的內(nèi)部由△ADC,△ADB,△BDC,△AOC,△AOB,△BOC所圍成的區(qū)域G中(如圖),那么x,y,z能構(gòu)成三角形與不能構(gòu)成三角形這兩個事件中哪一個事件的概率大?【解析】V(T)=1,V(G)=13-3131213=12,所以P=V(G)V(T)=12.由此得,能與不能構(gòu)成三角形兩事件的概率一樣大.【點(diǎn)撥】因?yàn)槿我馔兜娜c(diǎn)x,y,z是隨機(jī)的,所以使得能構(gòu)成三角形只與能構(gòu)成三角形的區(qū)域及根本領(lǐng)件的區(qū)域有關(guān).【變式訓(xùn)練3】正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)有一個內(nèi)切球O,那么在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)任取點(diǎn)M,點(diǎn)M在球O內(nèi)的概率是()A.8C.12【解析】設(shè)正方體的棱長為a,那么點(diǎn)M在球O內(nèi)的概率P=V球V正方體=43(a2)3a3=6,選C.總結(jié)提高1.幾何概型是一種概率模型,它與古典概型的區(qū)別是試驗(yàn)的可能結(jié)果不是有限個.其特點(diǎn)是在一個區(qū)域內(nèi)均勻分布,概率大小與隨機(jī)事件所在區(qū)域的形狀和位置無關(guān),只與該區(qū)域的大小有關(guān).如果隨機(jī)事件所在區(qū)域是一個單點(diǎn),其測度為0,那么它出現(xiàn)的概率為0,但它不是不可能事件.如果隨機(jī)事件所在區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個單點(diǎn),其測度為1,那么它出現(xiàn)的概率為1,但它不是必然事件.2.假設(shè)試驗(yàn)的全部結(jié)果是一個包含無限個點(diǎn)的區(qū)域(長度,面積,體積),一個根本領(lǐng)件是區(qū)域中的一個點(diǎn).此時用點(diǎn)數(shù)度量事件A包含的根本領(lǐng)件的多少就毫無意義.等可能性可以理解成對任意兩個區(qū)域,當(dāng)它們的測度(長度,面積,體積,)相等時,事件A對應(yīng)點(diǎn)落在這兩區(qū)域上的概率相等,而與形狀和位置都無關(guān).3.幾何概型并不限于向平面(或直線、空間)投點(diǎn)的試驗(yàn),如果一個隨機(jī)試驗(yàn)有無限多個等可能的根本結(jié)果,每個根本結(jié)果可以用平面(或直線、空間)中的一點(diǎn)來表示,而所有根本結(jié)果對應(yīng)于一個區(qū)域,這時,與試驗(yàn)有關(guān)的問題即可利用幾何概型來解決.12.7條件概率與事件的獨(dú)立性典例精析題型一條件概率的求法【例1】一張儲蓄卡的密碼共6位數(shù)字,每位數(shù)字都可從0~9中任選一個.某人在銀行自動提款機(jī)上取錢時,忘記了密碼的最后一位數(shù)字,求：(1)任意按最后一位數(shù)字,不超過2次就按對的概率;(2)如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù),不超過2次就按對的概率.【解析】設(shè)第i次按對密碼為事件Ai(i=1,2),那么A=A1(A2)表示不超過2次就按對密碼.(1)因?yàn)槭录嗀1與事件A2互斥,由概率的加法公式得P(A)=P(A1)+P(A2)=110+91109=15.(2)用B表示最后一位是偶數(shù)的事件,那么P(A|B)=P(A1|B)+P(A2|B)=15+4154=25.【點(diǎn)撥】此類問題解題時應(yīng)注意著重分析事件間的關(guān)系,辨析所求概率是哪一事件的概率,再運(yùn)用相應(yīng)的公式求解.【變式訓(xùn)練1】設(shè)某種動物從出生算起活到20歲以上的概率為0.8,活到25歲以上的概率為0.4.現(xiàn)有一只20歲的這種動物,問它能活到25歲以上的概率是.【解析】設(shè)此種動物活到20歲為事件A,活到25歲為事件B,所求概率為P(B|A),由于BA,那么P(AB)=P(B),所以P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)P(A)=0.40.8=12.題型二相互獨(dú)立事件的概率【例2】三人獨(dú)立破譯同一份密碼,三人各自破譯出密碼的概率分別為15,14,13,且他們是否破譯出密碼互不影響.(1)求恰有二人破譯出密碼的概率;(2)密碼被破譯與密碼未被破譯的概率哪個大?說明理由.【解析】(1)記三人各自破譯出密碼分別為事件A,B,C,依題意知A,B,C相互獨(dú)立,記事件D：恰有二人破譯密碼,那么P(D)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=1514(1-13)+15(1-14)13+(1-15)1413=960=320.(2)記事件E：密碼被破譯,：密碼未被破譯,那么P()=P()=(1-15)(1-14)(1-13)=2460=25,所以P(E)=1-P()=35,所以P(E)P().故密碼被破譯的概率大.【點(diǎn)撥】解決事件的概率問題的一般步驟：①記取事件;②揭示事件的關(guān)系;③計(jì)算事件的概率.【變式訓(xùn)練2】甲、乙、丙三個口袋內(nèi)都分別裝有6個只有顏色不相同的球,并且每個口袋內(nèi)的6個球均有1個紅球,2個黑球,3個無色透明的球,現(xiàn)從甲、乙、丙三個口袋中依次隨機(jī)各摸出1個球,求恰好摸出紅球、黑球和無色球各1個的概率.【解析】由于各個袋中球的情況一樣,而且從每一個袋中摸出紅球、黑球、無色球的概率均分別為16,13,12,可得P=A33161312=16.題型三綜合問題【例3】某公司招聘員工,指定三門考試課程,有兩種考試方案.方案一：三門課程中至少有兩門及格為考試通過;方案二：在三門課程中隨機(jī)選取兩門,這兩門都及格為考試通過.假設(shè)某應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是a,b,c,且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.(1)分別求該應(yīng)聘者在方案一和方案二下考試通過的概率;(2)試比擬該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小,并說明理由.【解析】記該應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的事件分別為A,B,C,那么P(A)=a,P(B)=b,P(C)=c.(1)應(yīng)聘者在方案一下考試通過的概率P1=P(AB)+P(BC)+P(AC)+P(ABC)=ab(1-c)+bc(1-a)+ac(1-b)+abc=ab+bc+ca-2abc.應(yīng)聘者在方案二下考試通過的概率P2=13P(AB)+13P(BC)+13P(AC)=13(ab+bc+ca).(2)由a,b,c[0,1],那么P1-P2=23(ab+bc+ca)-2abc=23[ab(1-c)+bc(1-a)+ca(1-b)]0,故P1P2,即采用第一種方案,該應(yīng)聘者考試通過的概率較大.【點(diǎn)撥】此題首先以相互獨(dú)立事件為背景,考查兩種方案的概率,然后比擬概率的大小,要求運(yùn)用a,b,c[0,1]這一隱含條件.【變式訓(xùn)練3】甲,乙,丙三人分別獨(dú)立地進(jìn)行某項(xiàng)體能測試,甲能通過測試的概率是25,甲,乙,丙三人都能通過測試的概率是320,甲,乙,丙三人都不能通過測試的概率是340,且乙通過的概率比丙大.(1)求乙,丙兩人各自通過測試的概率分別是多少?(2)測試結(jié)束后,最容易出現(xiàn)幾人通過的情況?【解析】(1)設(shè)乙、丙兩人各自通過的概率分別為x,y,依題意得即或(舍去),所以乙、丙兩人各自通過的概率分別為34,12.(2)因?yàn)槿硕疾荒芡ㄟ^測試的概率為P0=340,三人都能通過測試的概率為P3=320=640,三人中恰有一人通過測試的概率：P1=25(1-34)(1-12)+(1-25)34(1-12)+(1-25)(1-34)12=720=1440,三人恰有兩人通過測試的概率：P2=1-(P0+P1+P3)=1740,所以測試結(jié)束后,最容易出現(xiàn)兩人通過的情況.總結(jié)提高1.互斥事件、對立事件、相互獨(dú)立事件的區(qū)別：對于事件A、B,在一次試驗(yàn)中,A、B如果不能同時發(fā)生,那么稱A、B互斥.一次試驗(yàn)中,如果A、B互斥且A、B中必有一個發(fā)生,那么稱A、B對立.顯然,A+為必然事件,A、B互斥那么不能同時發(fā)生,但可能同時不發(fā)生.兩事件相互獨(dú)立是指一個事件的發(fā)生與否對另一事件的發(fā)生的概率沒有影響.事實(shí)上：A、B互斥,那么P(AB)=0;A、B對立,那么P(AB)=0且P(A)+P(B)=1;A、B相互獨(dú)立,那么P(AB)=P(A)P(B).它們是不相同的.2.由于當(dāng)事件A、B相互獨(dú)立時,P(AB)=P(A)P(B),因此式子1-P(A)P(B)表示相互獨(dú)立事件A、B中至少有一個不發(fā)生的概率.對于n個隨機(jī)事件A1,A2,,An,有P(A1+A2++An)=1-P(),此稱為概率的和與積的互補(bǔ)公式.12.8離散型隨機(jī)變量及其分布列典例精析題型一離散型隨機(jī)變量的分布列【例1】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.30.3求：(1)2X+1的分布列;(2)|X-1|的分布列.【解析】首先列表如下：X012342X+113579|X-1|10123從而由上表得兩個分布列如下：2X+1的分布列：2X+113579P0.20.10.10.30.3|X-1|的分布列：|X-1|0123P0.10.30.30.3【點(diǎn)撥】由于X的不同的值,Y=f(X)會取到相同的值,這時要考慮所有使f(X)=Y成立的X1,X2,,Xi的值,那么P(Y)=P(f(X))=P(X1)+P(X2)++P(Xi),在第(2)小題中充分表達(dá)了這一點(diǎn).【變式訓(xùn)練1】某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感,其中只有A到過渡區(qū),B肯定是受A感染的,對于C,因?yàn)殡y以斷定他是受A還是受B感染的,于是假定他受A和受B感染的概率都是12,同樣也假定D受A、B、C感染的概率都為13,在這種假定之下,B、C、D中受A感染的人數(shù)X就是一個隨機(jī)變量,寫出X分布列,并求均值.【解析】依題知X可取1、2、3,P(X=1)=1(1-12)(1-13)=13,P(X=2)=1(1-12)13+112(1-13)=12,P(X=3)=11213=16,所以X的分布列為X123P均值E(X)=1+2+3=.題型二兩點(diǎn)分布【例2】在擲一枚圖釘?shù)碾S機(jī)試驗(yàn)中,令=如果針尖向上的概率為p,試寫出隨機(jī)變量的分布列.【解析】根據(jù)分布列的性質(zhì),針尖向下的概率是1-p.于是,隨機(jī)變量的分布列是01P1-pp【點(diǎn)撥】此題將兩點(diǎn)分布與概率分布列的性質(zhì)相結(jié)合,加深了兩點(diǎn)分布的概念的理解.【變式訓(xùn)練2】假設(shè)離散型隨機(jī)變量=的分布列為：01P9c2-c3-8c(1)求出c;(2)是否服從兩點(diǎn)分布?假設(shè)是,成功概率是多少?【解析】(1)由(9c2-c)+(3-8c)=1,解得c=13或23.又9c2-c0,3-8c0,所以c=13.(2)是兩點(diǎn)分布.成功概率為3-8c=13.題型三超幾何分布【例3】有10件產(chǎn)品,其中3件次品,7件正品,現(xiàn)從中抽取5件,求抽得次品數(shù)X的分布列.【解析】X的所有可能取值為0,1,2,3,X=0表示取出的5件產(chǎn)品全是正品,P(X=0)=C03C57C510=21252=112;X=1表示取出的5件產(chǎn)品有1件次品4件正品,P(X=1)=C13C47C510=105252=512;X=2表示取出的5件產(chǎn)品有2件次品3件正品,P(X=2)=C23C37C510=105252=512;X=3表示取出的5件產(chǎn)品有3件次品2件正品,P(X=3)=C33C27C510=21252=112.所以X的分布列為X0123P【點(diǎn)撥】在取出的5件產(chǎn)品中,次品數(shù)X服從超幾何分布,只要代入公式就可求出相應(yīng)的概率,關(guān)鍵是明確隨機(jī)變量的所有取值.超幾何分布是一個重要分布,要掌握它的特點(diǎn).【變式訓(xùn)練3】一盒中有12個乒乓球,其中9個新的,3個舊的,從盒中任取3個球來用,用完后裝回盒中,此時盒中舊球個數(shù)X是一個隨機(jī)變量,其分布列為P(X),那么P(X=4)的值為()A.1220B.2755C.27220D.2125【解析】由題意取出的3個球必為2個舊球1個新球,故P(X=4)=C23C19C312=27220.選C.總結(jié)提高1.求離散型隨機(jī)變量分布列的問題,需要綜合運(yùn)用排列、組合、概率等知識和方法.2.求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟：(1)求出隨機(jī)變量的所有可能取值xi(i=1,2,3,(2)求出各取值的概率P((3)列出表格.12.9獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布典例精析題型一相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率【例1】甲、乙、丙三臺機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件,甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為14,乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為112,甲、丙兩臺機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為29.(1)分別求甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率;(2)從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗(yàn),求至少有一個一等品的概率.【解析】(1)設(shè)A、B、C分別為甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件.由題設(shè)條件有即由①③解得P(C)=23,將P(C)=23分別代入③②可得P(A)=13,P(B)=14,即甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率分別是13,14,23.(2)記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗(yàn),至少有一個一等品的事件,那么P(D)=1-P()=1-[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=1-233413=56.故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗(yàn),至少有一個一等品的概率為56.【點(diǎn)撥】相互獨(dú)立事件是發(fā)生的概率互不影響的兩個或多個事件.兩個相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率滿足P(AB)=P(A)P(B),對于求與至少、至多有關(guān)事件的概率,通常轉(zhuǎn)化為求其對立事件的概率.【變式訓(xùn)練1】甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊,甲每次擊中目標(biāo)的概率為12,乙每次擊中目標(biāo)的概率為23.(1)求乙至多擊中目標(biāo)2次的概率;(2)求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率.【解析】(1)乙至多擊中目標(biāo)2次的概率為1-C33(23)3=1927.(2)設(shè)甲恰比乙多擊中目標(biāo)2次為事件A,甲恰擊中目標(biāo)2次且乙恰擊中目標(biāo)0次為事件B1,甲恰擊中目標(biāo)3次且乙恰擊中目標(biāo)1次為事件B2,那么A=B1+B2,B1、B2為互斥事件.P(A)=P(B1)+P(B2)=38127+1829=124.所以,甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率為124.題型二獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)【例2】(2019天津)某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是23,且各次射擊的結(jié)果互不影響.(1)假設(shè)這名射手射擊5次,求恰有2次擊中目標(biāo)的概率;(2)假設(shè)這名射手射擊5次,求有3次連續(xù)擊中目標(biāo),另外2次未擊中目標(biāo)的概率.【解析】(1)設(shè)X為射手在5次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù),那么X～B(5,23).在5次射擊中,恰有2次擊中目標(biāo)的概率P(X=2)=C25(23)2(1-23)3=40243.(2)設(shè)第i次射擊擊中目標(biāo)為事件Ai(i=1,2,3,4,5);射手在5次射擊中,有3次連續(xù)擊中目標(biāo),另外2次未擊中目標(biāo)為事件A,那么P(A)=P(A1A2A3)+P(A2A3A4)+P(A3A4A5)=(23)3(13)2+13(23)313+(13)2(23)3=881.【點(diǎn)撥】獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是同一試驗(yàn)的n次重復(fù),每次試驗(yàn)成功的概率都相同,恰有k次試驗(yàn)成功的概率為Pn(k)=Cknpk(1-p)n-k.【變式訓(xùn)練2】袋子A中裝有假設(shè)干個均勻的紅球和白球,從中摸出一個紅球的概率是13.從A中有放回地摸球,每次摸出一個,有3次摸到紅球即停止.(1)求恰好摸5次停止的概率;(2)記5次之內(nèi)(含5次)摸到紅球的次數(shù)為,求P(2).【解析】(1)P=C24(13)2(23)213=881.(2)P(=2)=C25(13)2(1-13)3=80243,P(=3)=C35(13)3(1-13)2=40243,那么P(2)=P(=2)+P(=3)=4081.題型三二項(xiàng)分布【例3】一名學(xué)生每天騎車上學(xué),從他家到學(xué)校的途中有6個交通崗,假設(shè)他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的,并且概率為13.(1)設(shè)X為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù),求X的分布列;(2)設(shè)Y為這名學(xué)生在首次遇到紅燈前經(jīng)過的路口數(shù),求Y的分布列;(3)求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率.【解析】(1)依題意知X～B(6,13),P(X=k)=Ck6(13)k(23)6-k,k=0,1,2,3,4,5,6.所以X的分布列為X0123PX456P(2)依題意知Y可取0,1,2,3,4,5,6,P(Y=0)=13,P(Y=1)=1323=29,P(Y=2)=13(23)2=427,P(Y=3)=13(23)3=881,P(Y=4)=13(23)4=16243,P(Y=5)=13(23)5=32729,P(Y=6)=(23)6=64729,所以Y的分布列為Y0123456P(3)這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率為P(X1)=1-P(X=0)=1-(23)6=665729.【點(diǎn)撥】解決離散型隨機(jī)變量的分布列問題時,要依據(jù)相關(guān)概念識別離散型隨機(jī)變量服從什么分布,如第(1)問中X服從二項(xiàng)分布,而第(2)問中并不服從二項(xiàng)分布.【變式訓(xùn)練3】某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18、19、20層?？?假設(shè)該電梯在底層載有5位乘客,且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為13,用表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù).求隨機(jī)變量的分布列.【解析】方法一：的所有可能值為0,1,2,3,4,5.P(=0)=2535=32243,P(=1)==80243,P(=2)==80243,P(=3)==40243,P(=4)==10243,P(=5)=135=1243.從而的分布列為012345P方法二：考察一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗(yàn),這是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).故～B(5,13),即有P(=k)=Ck5(13)k(23)5-k,k=0,1,2,3,4,5.由此計(jì)算的分布列如方法一.總結(jié)提高獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是同一試驗(yàn)的n次重復(fù),每次試驗(yàn)結(jié)果的概率不受其他次結(jié)果的概率的影響,每次試驗(yàn)有兩個可能結(jié)果：成功和失敗.n次試驗(yàn)中A恰好出現(xiàn)了k次的概率為Cknpk(1-p)n-k,這k次是n次中的任意k次,假設(shè)是指定的k次,那么概率為pk(1-p)n-k.12.10離散型隨機(jī)變量的期望與方差典例精析題型一期望與方差的性質(zhì)的應(yīng)用【例1】設(shè)隨機(jī)變量的分布列為P(=k)=16(k=1,2,3,4,5,6),求E(),E(2+3)和D(),D(2+3).【解析】E()=x1p1+x2p2++x6p6=3.5,E(2+3)=2E()+3=10,D()=(x1-E())2p1+(x2-E())2p2++(x6-E())2p6=3512,D(2+3)=4D()=353.【點(diǎn)撥】在計(jì)算離散型隨機(jī)變量的期望與方差時,首先要弄清其分布特征及分布列,再準(zhǔn)確運(yùn)用公式,特別是利用性質(zhì)解題.【變式訓(xùn)練1】袋中有20個大小相同的球,其中記上0號的有10個,記上n號的有n個(n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球,表示所取球的標(biāo)號.(1)求的分布列、期望和方差;(2)假設(shè)+b,E()=1,D()=11,試求a,b的值.【解析】(1)的分布列為：01234P所以E()=012+1120+2110+3320+415=1.5,D()=(0-1.5)212+(1-1.5)2120+(2-1.5)2110+(3-1.5)2320+(4-1.5)215=2.75.(2)由D()=a2D(),得a22.75=11,即a=2.又E()=aE()+b,所以當(dāng)a=2時,由1=21.5+b,得b=-2;當(dāng)a=-2時,由1=-21.5+b,得b=4.所以或題型二期望與方差在風(fēng)險決策中的應(yīng)用【例2】甲、乙兩名工人加工同一種零件,兩人每天加工的零件數(shù)相等,所得次品數(shù)分別為,的分布列如下：012P012P試對這兩名工