平穩(wěn)性與聯(lián)合

隨機(jī)信號(hào)與系統(tǒng)第3章平穩(wěn)性與功率譜密度2第3章平穩(wěn)性與功率譜密度平穩(wěn)性(Stationarity)的概念隨機(jī)信號(hào)的某些統(tǒng)計(jì)特性對(duì)于參量值“穩(wěn)定不變”的性質(zhì)被稱(chēng)為平穩(wěn)性，相應(yīng)的隨機(jī)信號(hào)被稱(chēng)為平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。

3e.g.nX(n,s2)01……12345678910nX(n,s1)01123456789104e.g.5e.g.其中A~u[-1,1],ω，θ為常數(shù)6e.g.X(t)=acos(ωt+Θ)其中Θ~u[0,2π],a,ω為常數(shù)7第3章平穩(wěn)性與功率譜密度3.1平穩(wěn)性與聯(lián)合平穩(wěn)性3.2循環(huán)平穩(wěn)性3.3平穩(wěn)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)3.4功率譜密度與互功率譜密度3.5白噪聲與熱噪聲3.6應(yīng)用舉例83.1平穩(wěn)性與聯(lián)合平穩(wěn)性平穩(wěn)性（Stationarity）:隨機(jī)信號(hào)的主要（或全部）統(tǒng)計(jì)特性對(duì)于參量t保持不變的特性。包括嚴(yán)格平穩(wěn)性（Strict-sensestationarity）與廣義平穩(wěn)性（Wide-sensestationarity）93.1.1嚴(yán)格與廣義平穩(wěn)信號(hào)定義3.1

隨機(jī)過(guò)程，如果對(duì)任意的和任意滿(mǎn)足的τ值，成立。則稱(chēng)X(t)具有嚴(yán)格平穩(wěn)性（或強(qiáng)平穩(wěn)性），也稱(chēng)X(t)是嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)（或強(qiáng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)）,記作SSSR.S.。10嚴(yán)格平穩(wěn)性tX(t)t1t2t3tnt1+τt2+τtn+τ11SSSR.S.X(t)的特性

（1）

X(t)的一維概率分布函數(shù)、概率密度函數(shù)、均值與時(shí)間t無(wú)關(guān)，即：12SSSR.S.X(t)的特性（2）

X(t)的二維概率分布函數(shù)與兩時(shí)刻的絕對(duì)值無(wú)關(guān)，只與相對(duì)差有關(guān)；如果其二維概率密度函數(shù)與相關(guān)函數(shù)存在，它們也只與兩時(shí)刻的相對(duì)差有關(guān)，即13嚴(yán)格平穩(wěn)性14嚴(yán)格平穩(wěn)性隨機(jī)信號(hào)舉例貝努里隨機(jī)信號(hào)（SSS）nX（n，sn）01……12345678910nX（n，s1）011234567891015嚴(yán)格平穩(wěn)性隨機(jī)信號(hào)舉例二元傳輸信號(hào)（非SSSR.S.）t1t2t3tnt1+τt2+τtn+τ16嚴(yán)格平穩(wěn)性隨機(jī)信號(hào)舉例隨機(jī)信號(hào)U(t)~N(0,A0/2)，而不同時(shí)刻的隨機(jī)變量之間彼此統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。17廣義平穩(wěn)性Wide-sensestationarity定義3.2

隨機(jī)過(guò)程，滿(mǎn)足： 1）均值為常數(shù)； 2）相關(guān)函數(shù)與兩時(shí)刻(t1,t2)的絕對(duì)值無(wú)關(guān)，只與相對(duì)差有關(guān)τ＝t1－t2，即

則稱(chēng)X(t)具有廣義平穩(wěn)性（或弱平穩(wěn)性、寬平穩(wěn)性），也稱(chēng)X(t)是廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)（或弱平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)、寬平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)）,記作WSSR.S.。18廣義平穩(wěn)性二階矩過(guò)程：若隨機(jī)信號(hào){X(t)},t∈T}滿(mǎn)足則稱(chēng)隨機(jī)信號(hào){X(t),t∈T}為二階矩過(guò)程（功率有限）。19舉例例3.1

廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)X(t)通過(guò)如圖所示的乘法調(diào)制器得到隨機(jī)信號(hào)Y(t)，圖中ω是確定量，Θ是[-π,+π]均勻分布的隨機(jī)相位，Θ與X(t)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。試討論隨機(jī)信號(hào)Y(t)的平穩(wěn)性。20例3.1續(xù)解：由圖可知（1）均值函數(shù)為：（2）相關(guān)函數(shù)可以表示為均值是常數(shù)且相關(guān)函數(shù)僅與τ有關(guān)，Y(t)是廣義平穩(wěn)的。21定理3.1 高斯隨機(jī)信號(hào){X(t,s),-∞<t<+∞}的嚴(yán)格平穩(wěn)性與廣義平穩(wěn)性是一致的。即對(duì)于高斯隨機(jī)信號(hào)有：22思路：SSS高斯隨機(jī)信號(hào)23N維分布其中均值向量隨機(jī)向量的協(xié)方差矩陣可表示為高斯信號(hào)的n維p.d.f為24定理3.1證明證明：由于X(t)是WSSR.S. 所以25舉例續(xù)的協(xié)方差陣C都相等（只與n個(gè)不同時(shí)刻的相對(duì)位置有關(guān)，而與絕對(duì)位置無(wú)關(guān)）26273.1.2聯(lián)合平穩(wěn)性定義3.3對(duì)于隨機(jī)過(guò)程與，如果任取與，以及與，對(duì)于的任意τ值，始終有

成立。則稱(chēng)X(t)與Y(t)具有聯(lián)合嚴(yán)格平穩(wěn)性（或強(qiáng)平穩(wěn)性），也稱(chēng)X(t)與Y(t)是聯(lián)合嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)（或聯(lián)合強(qiáng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)），記作JSSSR.S.。28聯(lián)合嚴(yán)格平穩(wěn)性tX(t)t1t2t3tnt1+τt2+τtn+τtY(t)s1s2s3sms1+τs2+τsm+τ29JSSSR.S.的特性

X(t)和Y(t)都是SSSR.S.30聯(lián)合廣義平穩(wěn)性定義3.4

WSSR.S.與，如果其互相關(guān)函數(shù)存在，且與兩時(shí)刻(t1,t2)的絕對(duì)值無(wú)關(guān)，只與相對(duì)差有關(guān)，則稱(chēng)X(t)與Y(t)具有聯(lián)合廣