平面及其方程-課件

§7.5平面及其方程平面的各種方程形式兩平面的夾角點(diǎn)到平面的距離小結(jié)思考題作業(yè)2009.2.67-5-1北京工商大學(xué)§7.5平面及其方程平面的各種方程形式兩平面的夾角點(diǎn)到一、平面的點(diǎn)法式方程1.點(diǎn)法式方程如果一非零向量垂直于法線向量的特征垂直于平面內(nèi)的任一向量.設(shè)有法向量任取平面上一點(diǎn)，一平面,稱此向量為該平面的法線向量(法向量).平面及其方程及平面上的定點(diǎn)定義2009.2.67-5-2北京工商大學(xué)一、平面的點(diǎn)法式方程1.點(diǎn)法式方程如果一非零向量垂直于法線平面的點(diǎn)法式方程平面稱為方平面上的點(diǎn)都滿足上方程,不在平面上的點(diǎn)都不滿足上方程,上述方程稱為平面的方程,平面及其方程于是,則有程的圖形.則必有(1)2009.2.63北京工商大學(xué)平面的點(diǎn)法式方程平面稱為方平面上的點(diǎn)都滿足上方程,不在平面上2.三點(diǎn)式方程平面及其方程解取設(shè)一平面過，求此平面方程.2009.2.67-5-4北京工商大學(xué)2.三點(diǎn)式方程平面及其方程解取設(shè)一平面過顯然，由點(diǎn)法式得平面的三點(diǎn)式方程(2)平面及其方程2009.2.65北京工商大學(xué)顯然，由點(diǎn)法式得平面的三點(diǎn)式方程(2)平面及其方程2009例平面及其方程解取平面方程為化簡得求過P1(1,1,1),P2(2,0,1),P3(-1,-1,0)的平面方程.法一2009.2.67-5-6北京工商大學(xué)例平面及其方程解取平面方程為化簡得求過P1(1,1,1),求過P1(1,1,1),P2(2,0,1),P3(-1,-1,0)的平面方程解所求方程的三點(diǎn)式為平面方程為法二平面及其方程2009.2.67北京工商大學(xué)求過P1(1,1,1),P2(2,0,1),P3(-1,3.截距式方程平面及其方程解由三點(diǎn)式得，一平面與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為求此平面方程.所求平面方程為整理得平面的截距式方程當(dāng)平面不與任何坐標(biāo)面平行,且不過原點(diǎn)時(shí),才有截距式方程.(3)2009.2.67-5-8北京工商大學(xué)3.截距式方程平面及其方程解由三點(diǎn)式得，一平面與坐標(biāo)軸的交平面的點(diǎn)法式方程

平面的一般式方程法向量二、平面的一般方程

任意一個(gè)形如上式的x、y、z的三元一次方程都是平面方程.平面及其方程(4)2009.2.69北京工商大學(xué)平面的點(diǎn)法式方程平面的一般式方程法向量二、平面的一般方程平面一般方程的幾種特殊情況平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過軸；平面平行于軸；平面平行于xOy坐標(biāo)面；類似地可討論類似地可討論軸軸xOz面yOz面(由柱面可知)平面的一般方程平面及其方程2009.2.610北京工商大學(xué)平面一般方程的幾種特殊情況平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過軸例設(shè)平面過點(diǎn)M0(-3,1,-2)及x軸,求此平面方程.平面及其方程用平面的點(diǎn)法式方程.由點(diǎn)法式方程得平面方程:求法向量解法一即2009.2.67-5-11北京工商大學(xué)例設(shè)平面過點(diǎn)M0(-3,1,-2)及x軸,求此平面方用待定常數(shù)法.即法二設(shè)平面方程是從而平面方程是即從而平面方程是得平面及其方程點(diǎn)(0,0,0)及(1,0,0)在平面上,2009.2.612北京工商大學(xué)用待定常數(shù)法.即法二設(shè)平面方程是從而平易知平面上三點(diǎn)O(0,0,0),P(1,0,0),設(shè)M(x,y,z)為平面上的任意一點(diǎn),可得其方程

想一想還有別的方法嗎??答有!法三平面及其方程根據(jù)三向量OM,

共面的充要條件,有OM0,OP

即2009.2.613北京工商大學(xué)易知平面上三點(diǎn)O(0,0,0),P(1,0,0),

求平面方程常用兩種方法:

利用條件定出其中的待定的常數(shù),此方法也稱待定常數(shù)法.

主要是利用條件用向量代數(shù)的方法找出平面的一個(gè)法向量.(1)用平面的點(diǎn)法式方程.(2)用平面的一般方程.平面及其方程2009.2.614北京工商大學(xué)求平面方程常用兩種方法:利用條件定定義(取銳角)兩平面法向量的夾角稱為三、兩平面的夾角平面及其方程兩平面的夾角.根據(jù)向量夾角余弦公式有兩平面夾角余弦公式取銳角2009.2.615北京工商大學(xué)定義(取銳角)兩平面法向量的夾角稱為三、兩平面的夾角平面及其兩平面位置特征//兩平面垂直、平行的充要條件平面及其方程2009.2.616北京工商大學(xué)兩平面位置特征//兩平面垂直、平行的充要條件平面及其例研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系:解兩平面相交,夾角平面及其方程2009.2.67-5-17北京工商大學(xué)例研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系:解兩平面相交,夾角平兩平面平行但不重合.兩平面平行兩平面重合解解兩平面平行平面及其方程2009.2.618北京工商大學(xué)兩平面平行但不重合.兩平面平行兩平面重合解解兩平面平行平面及例解所求方程的三點(diǎn)式為三點(diǎn)的平面方程為設(shè)兩平面的交角為則平面及其方程2009.2.67-5-19北京工商大學(xué)例解所求方程的三點(diǎn)式為三點(diǎn)的平面方程為設(shè)兩平面的交角為則平面例設(shè)平面為所求平面方程為解一平面及其方程與平面垂直且過原點(diǎn)及點(diǎn)的平面方程為().),,(CBA=2009.2.67-5-20北京工商大學(xué)例設(shè)平面為所求平面方程為解一平面及其方程與平面平面及其方程與平面垂直且過原點(diǎn)及點(diǎn)的平面方程為().解二∥平面的點(diǎn)法式方程2009.2.621北京工商大學(xué)平面及其方程與平面垂直且過原點(diǎn)及點(diǎn)設(shè)所求平面為由所求平面與已知平面平行得向量平行的充要條件解平面及其方程所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程.而與三個(gè)坐標(biāo)面例

求平行于平面2009.2.67-5-22北京工商大學(xué)設(shè)所求平面為由所求平面與已知平面平行得向量平行的充要條件解平代入體積式所求平面方程為平面及其方程所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程.求平行于平面而與三個(gè)坐標(biāo)面2009.2.623北京工商大學(xué)代入體積式所求平面方程為平面及其方程所圍成的四面體體積為一個(gè)例

求過點(diǎn)(1,1,1)且與平面和平面取法向量化簡得平面方程為解∥.平面及其方程都垂直的平面方程.2009.2.67-5-24北京工商大學(xué)例求過點(diǎn)(1,1,1)且與平面四、點(diǎn)到平面的距離平面及其方程點(diǎn)到平面的垂直距離設(shè)P0(x0,y0,z0)是平面∏:Ax+By+Cz+D=0外一點(diǎn),求P0到平面∏的距離.并作向量即由于P0到平面∏的距離2009.2.625北京工商大學(xué)四、點(diǎn)到平面的距離平面及其方程點(diǎn)到平面的垂直距離設(shè)平面及其方程的距離公式為

填空解2009.2.626北京工商大學(xué)平面及其方程的距離公式為填空解2009.2.626北京工商解例求這平面方程.設(shè)所求平面為在平面上任取一點(diǎn)或故所求平面為或平面及其方程2009.2.627北京工商大學(xué)解例求這平面方程.設(shè)所求平面為在平面上任取一點(diǎn)或故所求平面為1.

兩平行平面與間距離為(),其的方程分別為:(A)1(B)(C)2(D)21A

選擇題提示∥平面及其方程2009.2.628北京工商大學(xué)1.兩平行平面與2.已知平面通過點(diǎn)(k,k,0)與(2k,2k,0),其中k≠0,且垂直于xOy平面,則該平面的一般式方程Ax+By+Cz+D=0的系數(shù)必滿足().a解答分別得平面及其方程2009.2.629北京工商大學(xué)2.已知平面通過點(diǎn)(k,k,0)與(2k,2(熟記平面的幾種特殊位置兩平面的夾角點(diǎn)到平面的距離公式平面的點(diǎn)法式方程(兩平面垂直、平行的充要條件)四、小結(jié)平面及其方程(關(guān)鍵確定平面的法向量)平面的一般方程的方程)平面的截距式方程(研究幾何圖形)2009.2.630北京工商大學(xué)(熟記平面的幾種特殊位置兩平面的夾角點(diǎn)到平面的距離公式平面的思考題1平面及其方程如何確定平面的法向量?解答確定平面的法向量是建立平面方程的關(guān)鍵所在,平面法向量的確定要根據(jù)不同的條件采用不同方法(1)如果已知點(diǎn)M0(x0,y0,z0)在平面Π上的垂足為M1(x1,y1,z1),則(2)如果平面Π與已知平面平行,則(3)如果平面Π過三點(diǎn)A,B,C,則2009.2.631北京工商大學(xué)思考題1平面及其方程如何確定平面的法向量?解答確定平面的法向思考題2(是非題)平面及其方程非平面在x、y、z軸的截距分別是a、b、c.因?yàn)檫@是一過原點(diǎn)的平面.2009.2.632北京工商大學(xué)思考題2(是非題)平面及其方程非平面在x、y、z軸的截距作業(yè)習(xí)題7-5(329頁)

1.5.8.9.平面及其方程2009.2.633北京工商大學(xué)作業(yè)習(xí)題7-5(329頁)1.5.8.§7.5平面及其方程平面的各種方程形式兩平面的夾角點(diǎn)到平面的距離小結(jié)思考題作業(yè)2009.2.67-5-34北京工商大學(xué)§7.5平面及其方程平面的各種方程形式兩平面的夾角點(diǎn)到一、平面的點(diǎn)法式方程1.點(diǎn)法式方程如果一非零向量垂直于法線向量的特征垂直于平面內(nèi)的任一向量.設(shè)有法向量任取平面上一點(diǎn)，一平面,稱此向量為該平面的法線向量(法向量).平面及其方程及平面上的定點(diǎn)定義2009.2.67-5-35北京工商大學(xué)一、平面的點(diǎn)法式方程1.點(diǎn)法式方程如果一非零向量垂直于法線平面的點(diǎn)法式方程平面稱為方平面上的點(diǎn)都滿足上方程,不在平面上的點(diǎn)都不滿足上方程,上述方程稱為平面的方程,平面及其方程于是,則有程的圖形.則必有(1)2009.2.636北京工商大學(xué)平面的點(diǎn)法式方程平面稱為方平面上的點(diǎn)都滿足上方程,不在平面上2.三點(diǎn)式方程平面及其方程解取設(shè)一平面過，求此平面方程.2009.2.67-5-37北京工商大學(xué)2.三點(diǎn)式方程平面及其方程解取設(shè)一平面過顯然，由點(diǎn)法式得平面的三點(diǎn)式方程(2)平面及其方程2009.2.638北京工商大學(xué)顯然，由點(diǎn)法式得平面的三點(diǎn)式方程(2)平面及其方程2009例平面及其方程解取平面方程為化簡得求過P1(1,1,1),P2(2,0,1),P3(-1,-1,0)的平面方程.法一2009.2.67-5-39北京工商大學(xué)例平面及其方程解取平面方程為化簡得求過P1(1,1,1),求過P1(1,1,1),P2(2,0,1),P3(-1,-1,0)的平面方程解所求方程的三點(diǎn)式為平面方程為法二平面及其方程2009.2.640北京工商大學(xué)求過P1(1,1,1),P2(2,0,1),P3(-1,3.截距式方程平面及其方程解由三點(diǎn)式得，一平面與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為求此平面方程.所求平面方程為整理得平面的截距式方程當(dāng)平面不與任何坐標(biāo)面平行,且不過原點(diǎn)時(shí),才有截距式方程.(3)2009.2.67-5-41北京工商大學(xué)3.截距式方程平面及其方程解由三點(diǎn)式得，一平面與坐標(biāo)軸的交平面的點(diǎn)法式方程

平面的一般式方程法向量二、平面的一般方程

任意一個(gè)形如上式的x、y、z的三元一次方程都是平面方程.平面及其方程(4)2009.2.642北京工商大學(xué)平面的點(diǎn)法式方程平面的一般式方程法向量二、平面的一般方程平面一般方程的幾種特殊情況平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過軸；平面平行于軸；平面平行于xOy坐標(biāo)面；類似地可討論類似地可討論軸軸xOz面yOz面(由柱面可知)平面的一般方程平面及其方程2009.2.643北京工商大學(xué)平面一般方程的幾種特殊情況平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過軸例設(shè)平面過點(diǎn)M0(-3,1,-2)及x軸,求此平面方程.平面及其方程用平面的點(diǎn)法式方程.由點(diǎn)法式方程得平面方程:求法向量解法一即2009.2.67-5-44北京工商大學(xué)例設(shè)平面過點(diǎn)M0(-3,1,-2)及x軸,求此平面方用待定常數(shù)法.即法二設(shè)平面方程是從而平面方程是即從而平面方程是得平面及其方程點(diǎn)(0,0,0)及(1,0,0)在平面上,2009.2.645北京工商大學(xué)用待定常數(shù)法.即法二設(shè)平面方程是從而平易知平面上三點(diǎn)O(0,0,0),P(1,0,0),設(shè)M(x,y,z)為平面上的任意一點(diǎn),可得其方程

想一想還有別的方法嗎??答有!法三平面及其方程根據(jù)三向量OM,

共面的充要條件,有OM0,OP

即2009.2.646北京工商大學(xué)易知平面上三點(diǎn)O(0,0,0),P(1,0,0),

求平面方程常用兩種方法:

利用條件定出其中的待定的常數(shù),此方法也稱待定常數(shù)法.

主要是利用條件用向量代數(shù)的方法找出平面的一個(gè)法向量.(1)用平面的點(diǎn)法式方程.(2)用平面的一般方程.平面及其方程2009.2.647北京工商大學(xué)求平面方程常用兩種方法:利用條件定定義(取銳角)兩平面法向量的夾角稱為三、兩平面的夾角平面及其方程兩平面的夾角.根據(jù)向量夾角余弦公式有兩平面夾角余弦公式取銳角2009.2.648北京工商大學(xué)定義(取銳角)兩平面法向量的夾角稱為三、兩平面的夾角平面及其兩平面位置特征//兩平面垂直、平行的充要條件平面及其方程2009.2.649北京工商大學(xué)兩平面位置特征//兩平面垂直、平行的充要條件平面及其例研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系:解兩平面相交,夾角平面及其方程2009.2.67-5-50北京工商大學(xué)例研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系:解兩平面相交,夾角平兩平面平行但不重合.兩平面平行兩平面重合解解兩平面平行平面及其方程2009.2.651北京工商大學(xué)兩平面平行但不重合.兩平面平行兩平面重合解解兩平面平行平面及例解所求方程的三點(diǎn)式為三點(diǎn)的平面方程為設(shè)兩平面的交角為則平面及其方程2009.2.67-5-52北京工商大學(xué)例解所求方程的三點(diǎn)式為三點(diǎn)的平面方程為設(shè)兩平面的交角為則平面例設(shè)平面為所求平面方程為解一平面及其方程與平面垂直且過原點(diǎn)及點(diǎn)的平面方程為().),,(CBA=2009.2.67-5-53北京工商大學(xué)例設(shè)平面為所求平面方程為解一平面及其方程與平面平面及其方程與平面垂直且過原點(diǎn)及點(diǎn)的平面方程為().解二∥平面的點(diǎn)法式方程2009.2.654北京工商大學(xué)平面及其方程與平面垂直且過原點(diǎn)及點(diǎn)設(shè)所求平面為由所求平面與已知平面平行得向量平行的充要條件解平面及其方程所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程.而與三個(gè)坐標(biāo)面例

求平行于平面2009.2.67-5-55北京工商大學(xué)設(shè)所求平面為由所求平面與已知平面平行得向量平行的充要條件解平代入體積式所求平面方程為平面及其方程所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程.求平行于平面而與三個(gè)坐標(biāo)面2009.2.656北京工商大學(xué)代入體積式所求平面方程為平面及其方程所圍成的四面體體積為一個(gè)例

求過點(diǎn)(1,1,1)且與平面和平面取法向量化簡得平面方程為解∥.平面及其方程都垂直的平面方程.2009.2.67-5-57北京工商大學(xué)例求過點(diǎn)(1,1,1)且與平面四、點(diǎn)到平面的距離平面及其方程點(diǎn)到平面的垂直距離設(shè)P0(x0,y0,z0)是平面∏:Ax+By+Cz+D=0外一點(diǎn),求P0到平面∏的距離.并作向量即由于P0到平面∏的距離2009.2.658北京工商大學(xué)四、點(diǎn)到平面的距離平面及其方程點(diǎn)到平面的垂直距離設(shè)平面及其方程的距離公式為

填空解2009.2.659北京工商大學(xué)平面及其方程的距離公式為填空解2009.2.626北京工商解例求這平面方程.設(shè)所求平面為在平面上任取一點(diǎn)或故所求平面為或平面及其方程2009.2.660北京工商大學(xué)解例求這平面方程.設(shè)所求平面為在平面上任取一點(diǎn)或故所求平面為1.

兩平行平面與間距離為(),其的方程分別為:(