2021年江西省上饒市上洪中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2021年江西省上饒市上洪中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)集合

A. B. C. D.

參考答案：A略2.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的大致圖象是參考答案：D略3.（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積（）

A．πB．2

C．（2）πD．（2）參考答案：B【考點(diǎn)】：由三視圖求面積、體積．【專題】：空間位置關(guān)系與距離．【分析】：根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是上、下部為共底面的圓錐體的組合體，從而求出它的表面積．解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體是上、下部為共底面的圓錐體的組合體；該圓錐的底面半徑為1，高為1；∴該幾何體的表面積為S=2×π?1?=2π．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了空間幾何體的三視圖的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．4.給出命題：已知a、b為實(shí)數(shù)，若a+b=1，則ab≤．在它的逆命題、否命題、逆否命三個(gè)命題中，假命題的個(gè)數(shù)是（）A.3

B． 2

C．1

D． 0參考答案：B略5.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=ex（x+1），給出下列命題：①當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=ex（1﹣x）；②f（x）＞0的解集為（﹣1，0）∪（1，+∞）；③函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn)；④x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，其中正確命題的個(gè)數(shù)是（） A．1 B． 2 C． 3 D． 4參考答案：考點(diǎn)： 命題的真假判斷與應(yīng)用；奇偶性與單調(diào)性的綜合．分析： 逐個(gè)驗(yàn)證：①為函數(shù)對(duì)稱區(qū)間的解析式的求解；②為不等式的求解，分段來解，然后去并集即可；③涉及函數(shù)的零點(diǎn)，分段來解即可，注意原點(diǎn)；④實(shí)際上是求函數(shù)的取值范圍，綜合利用導(dǎo)數(shù)和極值以及特殊點(diǎn)，畫出函數(shù)的圖象可得范圍．解答： 解：設(shè)x＞0，則﹣x＜0，故f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1），又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，故f（﹣x）=﹣f（x）=e﹣x（﹣x+1），所以f（x）=e﹣x（x﹣1），故①錯(cuò)誤；因?yàn)楫?dāng)x＜0時(shí)，由f（x）=ex（x+1）＞0，解得﹣1＜x＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，由f（x）=e﹣x（x﹣1）＞0，解得x＞1，故f（x）＞0的解集為（﹣1，0）∪（1，+∞），故②正確；令ex（x+1）=0可解得x=﹣1，當(dāng)e﹣x（x﹣1）=0時(shí)，可解得x=1，又函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，故有f（0）=0，故函數(shù)的零點(diǎn)由3個(gè)，故③錯(cuò)誤；④x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，正確，因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)f（x）=e﹣x（x﹣1），圖象過點(diǎn)（1，0），又f′（x）=e﹣x（2﹣x），可知當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞2時(shí)，，f′（x）＜0，故函數(shù)在x=2處取到極大值f（2）=，且當(dāng)x趨向于0時(shí)，函數(shù)值趨向于﹣1，當(dāng)x趨向于+∞時(shí)，函數(shù)值趨向于0，由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可作出函數(shù)f（x）的圖象，可得函數(shù)﹣1＜f（x）＜1，故有|f（x1）﹣f（x2）|＜2成立．綜上可得正確的命題為②④，故選B點(diǎn)評(píng)： 本題考查命題真假的判斷，涉及函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬中檔題．6.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，在該幾何體的各個(gè)面中，面積最小的面的面積為（

）A.8

B.4

C.

D.參考答案：C7.已知集合A={﹣1，1，4}，B={y|y=log2|x|+1，x∈A}，則A∩B=（）A．{﹣1，1，3，4} B．{﹣1，1，3} C．{1，3} D．{1}參考答案：D【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算．【分析】分別讓x取﹣1，1，4，然后求出對(duì)應(yīng)的y，從而得出集合B，然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可．【解答】解：x=﹣1，或1時(shí)，y=1；x=4時(shí)，y=3；∴B={1，3}；∴A∩B={1}．故選D．8.已知函數(shù)在上是增函數(shù),則的最小值是

A．－3

B．－2

C．2

D．3參考答案：A9.命題p：關(guān)于x的不等式（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的一切恒成立；命題q：；那么命題p是命題q的（

）A．充要條件

B．充分不必要條件

C.必要不充分條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C由題設(shè)可記，則，顯然在上單調(diào)遞增，又，故存在，使得，當(dāng)，，當(dāng)，，所以，因?yàn)?，所以，記，知，故，故得，又，故選C．10.設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．的一個(gè)周期為

B．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱

C.的一個(gè)零點(diǎn)為

D．在區(qū)間上單調(diào)遞減參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）=3x﹣1，g（x）=x2﹣2x﹣1，若存在實(shí)數(shù)a、b使得f（a）=g（b），則b是取值范圍是．參考答案：（﹣∞，0）∪（2，+∞）【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】若存在實(shí)數(shù)a、b使得f（a）=g（b），則g（b）屬于函數(shù)f（x）的值域，進(jìn)而得到答案．【解答】解：函數(shù)f（x）=3x﹣1∈（﹣1，+∞），若存在實(shí)數(shù)a、b使得f（a）=g（b），則g（b）=b2﹣2b﹣1＞﹣1，解得：b∈（﹣∞，0）∪（2，+∞），故答案為：（﹣∞，0）∪（2，+∞）12.設(shè)直線y=x+2a與圓C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=，則圓C的面積為

.參考答案：4π試題分析：圓C：x2+y2-2ay-2=0即C：x2+(y-a)2=a2+2，圓心為C(0，a)，由|AB|=，圓心C到直線y=x+2a的距離為，所以得，得a2=2，所以圓的面積為π(a2+2)=4π.13.設(shè)，，…，是1，2，…，的一個(gè)排列，把排在的左邊且比小的數(shù)的個(gè)數(shù)稱為的順序數(shù)（）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的順序數(shù)為1，3的順序數(shù)為0．則在由1、2、3、4、5、6、7、8這八個(gè)數(shù)字構(gòu)成的全排列中，同時(shí)滿足8的順序數(shù)為2，7的順序數(shù)為3，5的順序數(shù)為3的不同排列的種數(shù)為_________

___（結(jié)果用數(shù)字表示）．參考答案：144略14.已知拋物線y2=x上一定點(diǎn)B（1，1）和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q，當(dāng)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BP⊥PQ，則Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】先假設(shè)P，Q的坐標(biāo)，利用BP⊥PQ，可得=0，從而可得方程，再利用方程根的判別式大于等于0，即可求得Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．【解答】解：設(shè)P（t2，t），Q（s2，s）∵BP⊥PQ，∴=0，即（t2﹣1，t﹣1）?（s2﹣t2，s﹣t））=0即t2+（s+1）t+s+1=0∵t∈R，P，Q是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)∴必須有△=（s+1）2﹣4（s+1）≥0．即s2﹣2s﹣3≥0，解得s≥3或s≤﹣1．∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．故答案為：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)考考查取值范圍問題，解題的關(guān)鍵是利用=0構(gòu)建方程，再利用方程根的判別式大于等于0進(jìn)行求解．15.某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是個(gè)半圓，則該幾何體的表面積為()．

參考答案：C解析：由三視圖可知該幾何體為一個(gè)半圓錐，即由一個(gè)圓錐沿中軸線切去一半而得．∴．16.函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意的x∈R，滿足f（x+1）+f（x）=0，且當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=2x，則f（）+f（4）=．參考答案：﹣

【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性，利用函數(shù)奇偶性和周期性的關(guān)系將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意的x∈R，滿足f（x+1）+f（x）=0，∴f（x+1）=﹣f（x），則f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），則函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，則f（4）=f（0）=0，∵當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=2x，∴f（﹣）=f（﹣+2）=f（﹣）=﹣f（）=﹣=﹣，則f（﹣）+f（4）=﹣+0=﹣，故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性，利用是周期性和奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．17.設(shè)（i為虛數(shù)單位），則

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,

AA=2,

E、E分別是棱AD、AA的中點(diǎn).)設(shè)F是棱AB的中點(diǎn),證明：直線EE//平面FCC；（1）

證明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.

參考答案：證明:（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中點(diǎn)F1，連接A1D，C1F1，CF1，因?yàn)锳B=4,CD=2,且AB//CD，所以CDA1F1，A1F1CD為平行四邊形，所以CF1//A1D，又因?yàn)镋、E分別是棱AD、AA的中點(diǎn)，所以EE1//A1D，所以CF1//EE1，又因?yàn)槠矫鍲CC，平面FCC，所以直線EE//平面FCC.（2）連接AC,在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,所以CC1⊥AC,因?yàn)榈酌鍭BCD為等腰梯形，AB=4,BC=2,

F是棱AB的中點(diǎn),所以CF=CB=BF，△BCF為正三角形，,△ACF為等腰三角形，且所以AC⊥BC,

又因?yàn)锽C與CC1都在平面BB1C1C內(nèi)且交于點(diǎn)C,所以AC⊥平面BB1C1C,而平面D1AC,所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.

19.（本小題滿分14分）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），，,．（1）判斷函數(shù)的奇偶性,并說明理由；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)和，且，都有不等式成立．參考答案：解:

（1）

函數(shù)的定義域?yàn)?，且∴函?shù)是奇函數(shù).

……………2分（2）

………………3分當(dāng)時(shí)，且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立等號(hào)，故在上遞增；

………………4分當(dāng)時(shí)，，令得或，故的單調(diào)遞增區(qū)間為或；

………………5分當(dāng)時(shí)，，令得或，故的單調(diào)遞增區(qū)間為或．

………………6分

（3）不妨設(shè),,

………………7分

令,則只需證

……………8分先證,由（2）知在上遞增,∴當(dāng)時(shí)，

∴，從而由知成立；

………………10分再證，即證：，令，則是減函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，，從而成立.

………………13分綜上，對(duì)任意實(shí)數(shù)和，且，都有不等式成立.

…………14分略20.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)f（x）的解析式（2）若，求函數(shù)f（x）的值域．參考答案：(1)(2)[﹣1，2]．【分析】（1）由圖象求出函數(shù)的振幅A，周期，確定ω，利用圖象經(jīng)過確定φ，得到函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)，得到，可得函數(shù)的值域．【詳解】（1）由圖可知A＝2，，由∴f（x）＝2sin（2x+），又點(diǎn)在圖象上，∴，∴，∴∴（2）∵，∴∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇﹣1，2]．【點(diǎn)睛】本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的化簡求值，函數(shù)的解析式的求法，考查計(jì)算能力，?？碱}型．21.若正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：=an+1﹣an（n∈N*）．則稱此數(shù)列為“比差等數(shù)列”．（1）試寫出一個(gè)“比差等數(shù)列”的前3項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列{an}是一個(gè)“比差等數(shù)列”，問a2是否存在最小值，如存在，求出最小值：如不存在．請(qǐng)說明理由；（3）已知數(shù)列{an}是一個(gè)“比差等數(shù)列”，Sn為其前n項(xiàng)的和，試證明：Sn＞．參考答案：（1）根據(jù)比差等數(shù)列的定義寫出一個(gè)比差等數(shù)列的前3項(xiàng)分別為2，4，；（2）∵=an+1﹣an（n∈N*），∴，∵an＞0，∴＞0，∴a1＞1，∴a2===（a1﹣1）++2=