概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-第一章事件概率

1.1節(jié)概率論發(fā)展簡(jiǎn)史

第一章事件與概率概率論的起源

1650年前后的法國(guó),賭博在貴族中風(fēng)靡一時(shí),且無(wú)法律限制.Pascal與他的另一名好友數(shù)學(xué)家PierreFermat通信討論該問(wèn)題,形成了概率論中一個(gè)重要的基本概念—數(shù)學(xué)期望.貴族DeMere在與一名宮廷衛(wèi)士一次賭博時(shí)關(guān)于如何分賭本的問(wèn)題發(fā)生了爭(zhēng)執(zhí),于是請(qǐng)教他的好友著名的數(shù)學(xué)家BlaisePascal.概率論是一門(mén)研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學(xué)分支,起源于17世紀(jì)中葉.

PascalFermat古典概率論的奠基人

HuygensChristiaanHuygens在1657年寫(xiě)了世界上第一本關(guān)于概率論的著作Deratiociniisinludoaleae(“OnReasoninginGamesofChance”),中文譯名“論賭博中的計(jì)算”.

Bernoulli1713年,JacobBernoulli在著作ArsConjectandi

（《猜度術(shù)》）中對(duì)頻率和概率接近這一事實(shí)給予了理論上的闡述,建立了概率論中的第一個(gè)大數(shù)定律—Bernoulli大數(shù)律.

DeMoivre1718年,AbrahamDeMoivre在他的著作TheDoctrineofChances（《機(jī)會(huì)論》）中提出很多計(jì)算古典概率的方法,包括乘法定理等.最早使用正態(tài)分布密度曲線.

Laplace1812年,Pierre-SimonLaplace在著作TheorieAnalytiquedesProbabilities(《分析概率論》)中最早敘述了概率論的幾個(gè)基本定理,給出了古典概率的明確定義.

將概率應(yīng)用到賭博以外的各個(gè)領(lǐng)域,包括人口統(tǒng)計(jì),保險(xiǎn),天文學(xué),還有某些法律問(wèn)題應(yīng)用等.概率論公理體系的建立概率論從此得到了迅速的發(fā)展,被廣泛地應(yīng)用到了不同的范疇和不同的學(xué)科.今天,概率論已經(jīng)成為一個(gè)非常龐大的數(shù)學(xué)分支,在此基礎(chǔ)上,數(shù)理統(tǒng)計(jì)也得到了迅速的發(fā)展.1933年,AndreyKolmogorov在著作GrundbegriffederWahrscheinlichkeitsrechnun(“FoundationsoftheTheoryofProbability”)中正式提出了概率論的公理體系,從而使得概率論成為一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支.AndreyKolmogorov前蘇聯(lián)人AndreyKolmogorov(1903--1987)是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一.101.2節(jié)概率論的幾個(gè)基本概念

第一章事件與概率事件的獨(dú)立性全概率公式和Bayes公式條件概率概率的定義及性質(zhì)事件的運(yùn)算隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)試驗(yàn)舉例說(shuō)明隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)試驗(yàn).隨機(jī)試驗(yàn)的要求:結(jié)果至少有兩個(gè);每次只得到其中一種結(jié)果且之前不能預(yù)知;在相同條件下能重復(fù)試驗(yàn).隨機(jī)試驗(yàn):隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它某特征的觀測(cè).隨機(jī)現(xiàn)象:自然界中的客觀現(xiàn)象,當(dāng)人們觀測(cè)它時(shí),所得結(jié)果不能預(yù)先確定,而僅僅是多種可能結(jié)果之一.隨機(jī)事件隨機(jī)事件常用大寫(xiě)英文字母A,B,C等表示.如果用語(yǔ)言表達(dá),則要用花括號(hào)括起來(lái).隨機(jī)事件:簡(jiǎn)稱事件,在隨機(jī)試驗(yàn)中我們所關(guān)心的可能出現(xiàn)的各種結(jié)果,它由一個(gè)或若干個(gè)基本事件組成.拋硬幣3次有8種可能結(jié)果,每種結(jié)果都是基本事件.基本事件:隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)單一結(jié)果,它就像原子,在化學(xué)反應(yīng)中不能再分.樣本空間不可能事件(Φ):在試驗(yàn)中不可能發(fā)生的事件.必然事件(?):在試驗(yàn)中一定會(huì)發(fā)生的事件.例

考察某一地區(qū)的年降雨量,則?={x|0≤x<T},

這里T表示某個(gè)常數(shù),表示降雨量不會(huì)超過(guò)T.例

擲一枚骰子,觀測(cè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),則

?={1,2,3,4,5,6}.樣本空間:隨機(jī)試驗(yàn)中所有基本事件所構(gòu)成的集合,通常用?或S表示.事件的運(yùn)算若A?B,且B?A,則稱事件A與事件B相等,記為A=B.子事件A?B:事件A發(fā)生蘊(yùn)含事件B一定發(fā)生,則事件A稱為事件B的子事件,記為A?B.把樣本空間中的基本事件與空間中的點(diǎn)相對(duì)應(yīng),則事件與集合相對(duì)應(yīng),因此事件運(yùn)算和集合運(yùn)算可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.如果A∩B=Φ,則稱A和B不相容,即事件A和B不能同時(shí)發(fā)生.事件的積(A∩B):事件A和事件B同時(shí)發(fā)生這一事件稱為事件A和事件B的積,記為A∩B.事件的和(A∪B):事件A和事件B中至少有一個(gè)發(fā)生的這一事件稱為事件A和事件B的和,記為A∪B.事件A和事件B的差A(yù)?B:事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生這一事件稱為事件A和事件B的差,記為A?B.對(duì)立事件:A不發(fā)生這一事件稱為事件A的對(duì)立事件(或余事件).DeMorgan對(duì)偶法則上面公式可以推廣到n個(gè)事件:DeMorgan對(duì)偶法則什么是概率對(duì)一個(gè)隨機(jī)事件A,通常我們用符號(hào)P(A)表示它發(fā)生的概率.什么叫概率?直觀地講,概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)字表征,其值在0和1之間,換句話說(shuō),概率是事件的函數(shù).(一)古典概型古典概型的兩個(gè)基本條件:(1)有限性:隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有有限個(gè)(記為n);(2)等可能性:每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.(二)概率的統(tǒng)計(jì)定義思考:如果試驗(yàn)不能在相同的條件下獨(dú)立重復(fù)很多次時(shí)該怎么辦?古典概型的兩個(gè)條件往往不能滿足,此時(shí)如何定義概率?常用的一種方法是把含有事件A的隨機(jī)試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)做n次(Bernoulli試驗(yàn)),設(shè)事件A發(fā)生了nA次,稱比值nA/n為事件A發(fā)生的頻率,當(dāng)n越來(lái)越大時(shí),頻率會(huì)在某個(gè)值p附近波動(dòng),且波動(dòng)越來(lái)越小,這個(gè)值p就定義為事件A的概率.統(tǒng)計(jì)定義的兩個(gè)例子英文字母被使用的頻率是相當(dāng)穩(wěn)定的.在福爾摩斯探案集第四本《跳舞的小人》中,福爾摩斯用頻率破了丘比特和埃爾茜之間聯(lián)絡(luò)密碼.計(jì)算機(jī)出現(xiàn)后,法國(guó)人J.Guilloud計(jì)算了π的前100萬(wàn)位小數(shù),發(fā)現(xiàn)各個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的頻率相同.1872年英國(guó)人W.Shanks把π算到第707位,1944到1945年之間數(shù)學(xué)家D.Ferguson認(rèn)為π的小數(shù)位的數(shù)字對(duì)0到9應(yīng)該是等可能的,但核對(duì)Shanks的結(jié)果發(fā)現(xiàn)數(shù)字7太少,故對(duì)Shanks的結(jié)果有懷疑,重新計(jì)算發(fā)現(xiàn)前527位是正確的,后面有錯(cuò)誤.(三)主觀概率但是當(dāng)前用頻率來(lái)定義概率的頻率派仍是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主流.焦點(diǎn)是頻率派認(rèn)為概率是客觀存在,不可能因人而異.這種概率稱為主觀概率,這類概率有相當(dāng)?shù)纳罨A(chǔ).在金融和管理等方面有大量的應(yīng)用,這一學(xué)派稱為Bayes學(xué)派,近來(lái)得到越來(lái)越多的認(rèn)可.人們常談?wù)摲N種事件出現(xiàn)機(jī)會(huì)的大小,如某人有80%的可能性辦成某事.而另一人則可能認(rèn)為僅有50%的可能性.即我們常常會(huì)拿一個(gè)數(shù)字去估計(jì)這類事件發(fā)生的可能性,而心目中并不把它與頻率掛鉤.(四)概率的公理化定義為了對(duì)可數(shù)無(wú)窮個(gè)事件仍能成立,我們要把上面公式中的兩個(gè)事件推廣到可數(shù)無(wú)窮個(gè)兩兩不相容的事件序列:僅對(duì)概率運(yùn)算規(guī)定一些簡(jiǎn)單的基本法則:古典概型的計(jì)算

r概率23

>50%50

97.3%10099.99996%一些特殊的r例

(生日問(wèn)題)一個(gè)班有r個(gè)人,不計(jì)2月29日出生的(即假定一年為365天),問(wèn)至少有兩人同一天生日的概率是多少?

總結(jié)古典概率的計(jì)算要點(diǎn):

1.選擇合適的樣本空間;2.運(yùn)用排列組合的知識(shí).例

盒中有32只紅球和4只白球,現(xiàn)從中任摸2球,求兩球中至少有一個(gè)白球的概率.

例假設(shè)人在每個(gè)月出生的概率相等,那么4個(gè)人中至少有兩個(gè)人在同一個(gè)月出生的概率是多少?課后作業(yè)習(xí)題冊(cè)第一章

題目:3,6,10,13,15.什么是條件概率例如兩個(gè)工廠A和B生產(chǎn)同一品牌的電視機(jī),商場(chǎng)中該品牌有個(gè)統(tǒng)一的次品率,比如0.5%,如果你從某個(gè)途徑知道該商場(chǎng)的這批電視機(jī)是A廠生產(chǎn)的,而A廠的次品率比B廠要低,則你買到的電視機(jī)的次品率不再是0.5%,而應(yīng)該比0.5%要小,這個(gè)概率就是條件概率,即你在知道了這批電視機(jī)是A廠生產(chǎn)的附加條件下的概率就是條件概率.一般講,條件概率就是在知道了一定的信息下所得到的隨機(jī)事件的概率.條件概率的定義條件概率的計(jì)算例

擲兩個(gè)骰子,觀測(cè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),分別以x和y表示第一和第二顆骰子擲出的點(diǎn)數(shù),記

A={(x,y):x+y≥9},B={(x,y):x>y},

求P(A|B)和P(B|A).例

有10個(gè)產(chǎn)品,內(nèi)有3個(gè)次品,從中一個(gè)個(gè)地抽取(不放回)檢驗(yàn),問(wèn)第一次取到次品后第二次再取到次品的概率.例某種動(dòng)物能活到20歲的概率是0.8,而能活到25歲的概率是0.4,求該動(dòng)物在已經(jīng)活到20歲的條件下能活到25歲的概率.思考題這是著名數(shù)學(xué)家,信息論的創(chuàng)建者之一A.Weaver設(shè)計(jì)的,1950年他在《科學(xué)美國(guó)人》(ScientificAmerican)上介紹過(guò)這個(gè)例子.有三張相同的卡片和一頂帽子,第一張卡片兩面都畫(huà)有圈,第二張卡片一面畫(huà)圈,一面畫(huà)星,第三張卡片兩面都畫(huà)星.現(xiàn)在莊家把卡片放在帽中搖晃,然后讓你任取一張,把它放在桌上,設(shè)你看到卡片上面的圖案為圈,然后莊家與你打賭下面的圖案與上面一樣時(shí)算莊家贏,不一樣是為你贏.請(qǐng)問(wèn)這樣的賭博是否是公平的?乘法定理乘法定理的應(yīng)用例

袋中有一個(gè)白球和一個(gè)黑球,現(xiàn)每次從中取出一球,若取出白球,則把白球放回且再另加入一個(gè)白球,直至取出黑球?yàn)橹?求取了n次都未取出黑球的概率.例將n根短繩的2n個(gè)端頭任意兩兩連接,求恰好連成n個(gè)圈的概率.例

某人忘了某飯店電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字,因而隨意撥號(hào),問(wèn)他三次之內(nèi)撥通電話的概率.樣本空間的分割設(shè)B1,B2,···Bn是樣本空間?中的兩兩不相容的一組事件,即BiBj

=Φ,i

j,且滿足

=?,則稱B1,B2,···,Bn

是樣本空間?的一個(gè)分割(又稱為完備事件群,英文為partition).

全概率公式全概率公式的應(yīng)用例

(Polya罐模型)罐中放有a個(gè)白球和b個(gè)黑球,每次從罐中隨機(jī)抽取一個(gè)球,并連同c個(gè)同色球一起放回罐中,如此反復(fù)進(jìn)行.試求在第n次取球時(shí)取出的是白球的概率.例

設(shè)某廠產(chǎn)品的一個(gè)零部件是由三家上游廠商供貨的.已知有一半是A廠提供的,B廠商和C分別提供25%.已知廠商A和B的次品率都是2%,C的次品率為4%,從該廠產(chǎn)品中任取一個(gè)產(chǎn)品,問(wèn)該產(chǎn)品的這個(gè)零部件是次品的概率.Bayes公式什么情況下用Bayes公式?由公式知,分母就是事件A的概率,而分子和等式左邊的條件概率中的條件正好反過(guò)來(lái).所以我們知道在因果關(guān)系互換時(shí)必須用Bayes公式.Bayes公式的應(yīng)用想一想:計(jì)算出的結(jié)果是否出乎你的意料之外?這是因?yàn)槭裁丛蛟斐傻哪?例

一種診斷某癌癥的試劑,經(jīng)臨床試驗(yàn)有如下記錄:有癌癥病人陽(yáng)性的概率為95%,無(wú)癌癥病人陰性的概率為95%.現(xiàn)用這種試劑在某社區(qū)進(jìn)行癌癥普查,設(shè)該社區(qū)癌癥發(fā)病率為0.5%,問(wèn)某人反應(yīng)為陽(yáng)性時(shí)該人患癌癥的概率.事件的獨(dú)立性定義

設(shè)A,B是隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件,若滿足P(AB)=P(A)P(B),

則稱事件A和B相互獨(dú)立.

為了計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率,可以運(yùn)用乘法定理,P(AB)=P(A|B)P(B).什么情況下P(AB)=P(A)P(B)?即A和B同時(shí)發(fā)生的概率等于兩個(gè)事件單獨(dú)發(fā)生概率的乘積?為此我們有如下的定義:關(guān)于獨(dú)立性的補(bǔ)充說(shuō)明例如把一個(gè)硬幣擲兩次,觀測(cè)正反面出現(xiàn)的情況.事實(shí)上,我們?nèi)菀着袛嗟谝淮问欠癯霈F(xiàn)正面與第二次是否出現(xiàn)正面沒(méi)有任何影響,即獨(dú)立的.從而,由獨(dú)立性的定義可以推知A與B的補(bǔ)事件也是獨(dú)立的.由此我們可以把獨(dú)立性的概念推廣到多個(gè)事件的情形.關(guān)于獨(dú)立的概念,應(yīng)該是從實(shí)際出發(fā),如果能夠判斷事件B的發(fā)生與否對(duì)事件A的發(fā)生與否不產(chǎn)生影響,則事件A和B即為獨(dú)立.多個(gè)事件的獨(dú)立性注2上面等式等價(jià)于對(duì)A1,A2,···,An中的任意k個(gè)事件Ai1

,Ai2

,···,Aik,k=2,···,n,有P(Ai1

Ai2

···Aik)=P(Ai1)P(Ai2)···P(Ai