概率論與數(shù)理統(tǒng)計-第一章事件概率

1.1節(jié)概率論發(fā)展簡史

第一章事件與概率概率論的起源

1650年前后的法國,賭博在貴族中風(fēng)靡一時,且無法律限制.Pascal與他的另一名好友數(shù)學(xué)家PierreFermat通信討論該問題,形成了概率論中一個重要的基本概念—數(shù)學(xué)期望.貴族DeMere在與一名宮廷衛(wèi)士一次賭博時關(guān)于如何分賭本的問題發(fā)生了爭執(zhí),于是請教他的好友著名的數(shù)學(xué)家BlaisePascal.概率論是一門研究隨機現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學(xué)分支,起源于17世紀(jì)中葉.

PascalFermat古典概率論的奠基人

HuygensChristiaanHuygens在1657年寫了世界上第一本關(guān)于概率論的著作Deratiociniisinludoaleae(“OnReasoninginGamesofChance”),中文譯名“論賭博中的計算”.

Bernoulli1713年,JacobBernoulli在著作ArsConjectandi

（《猜度術(shù)》）中對頻率和概率接近這一事實給予了理論上的闡述,建立了概率論中的第一個大數(shù)定律—Bernoulli大數(shù)律.

DeMoivre1718年,AbrahamDeMoivre在他的著作TheDoctrineofChances（《機會論》）中提出很多計算古典概率的方法,包括乘法定理等.最早使用正態(tài)分布密度曲線.

Laplace1812年,Pierre-SimonLaplace在著作TheorieAnalytiquedesProbabilities(《分析概率論》)中最早敘述了概率論的幾個基本定理,給出了古典概率的明確定義.

將概率應(yīng)用到賭博以外的各個領(lǐng)域,包括人口統(tǒng)計,保險,天文學(xué),還有某些法律問題應(yīng)用等.概率論公理體系的建立概率論從此得到了迅速的發(fā)展,被廣泛地應(yīng)用到了不同的范疇和不同的學(xué)科.今天,概率論已經(jīng)成為一個非常龐大的數(shù)學(xué)分支,在此基礎(chǔ)上,數(shù)理統(tǒng)計也得到了迅速的發(fā)展.1933年,AndreyKolmogorov在著作GrundbegriffederWahrscheinlichkeitsrechnun(“FoundationsoftheTheoryofProbability”)中正式提出了概率論的公理體系,從而使得概率論成為一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支.AndreyKolmogorov前蘇聯(lián)人AndreyKolmogorov(1903--1987)是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一.101.2節(jié)概率論的幾個基本概念

第一章事件與概率事件的獨立性全概率公式和Bayes公式條件概率概率的定義及性質(zhì)事件的運算隨機試驗和隨機事件隨機現(xiàn)象和隨機試驗舉例說明隨機現(xiàn)象和隨機試驗.隨機試驗的要求:結(jié)果至少有兩個;每次只得到其中一種結(jié)果且之前不能預(yù)知;在相同條件下能重復(fù)試驗.隨機試驗:隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它某特征的觀測.隨機現(xiàn)象:自然界中的客觀現(xiàn)象,當(dāng)人們觀測它時,所得結(jié)果不能預(yù)先確定,而僅僅是多種可能結(jié)果之一.隨機事件隨機事件常用大寫英文字母A,B,C等表示.如果用語言表達(dá),則要用花括號括起來.隨機事件:簡稱事件,在隨機試驗中我們所關(guān)心的可能出現(xiàn)的各種結(jié)果,它由一個或若干個基本事件組成.拋硬幣3次有8種可能結(jié)果,每種結(jié)果都是基本事件.基本事件:隨機試驗中的每個單一結(jié)果,它就像原子,在化學(xué)反應(yīng)中不能再分.樣本空間不可能事件(Φ):在試驗中不可能發(fā)生的事件.必然事件(?):在試驗中一定會發(fā)生的事件.例

考察某一地區(qū)的年降雨量,則?={x|0≤x<T},

這里T表示某個常數(shù),表示降雨量不會超過T.例

擲一枚骰子,觀測出現(xiàn)的點數(shù),則

?={1,2,3,4,5,6}.樣本空間:隨機試驗中所有基本事件所構(gòu)成的集合,通常用?或S表示.事件的運算若A?B,且B?A,則稱事件A與事件B相等,記為A=B.子事件A?B:事件A發(fā)生蘊含事件B一定發(fā)生,則事件A稱為事件B的子事件,記為A?B.把樣本空間中的基本事件與空間中的點相對應(yīng),則事件與集合相對應(yīng),因此事件運算和集合運算可以建立一一對應(yīng)的關(guān)系.如果A∩B=Φ,則稱A和B不相容,即事件A和B不能同時發(fā)生.事件的積(A∩B):事件A和事件B同時發(fā)生這一事件稱為事件A和事件B的積,記為A∩B.事件的和(A∪B):事件A和事件B中至少有一個發(fā)生的這一事件稱為事件A和事件B的和,記為A∪B.事件A和事件B的差A(yù)?B:事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生這一事件稱為事件A和事件B的差,記為A?B.對立事件:A不發(fā)生這一事件稱為事件A的對立事件(或余事件).DeMorgan對偶法則上面公式可以推廣到n個事件:DeMorgan對偶法則什么是概率對一個隨機事件A,通常我們用符號P(A)表示它發(fā)生的概率.什么叫概率?直觀地講,概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的數(shù)字表征,其值在0和1之間,換句話說,概率是事件的函數(shù).(一)古典概型古典概型的兩個基本條件:(1)有限性:隨機試驗的結(jié)果只有有限個(記為n);(2)等可能性:每個基本事件發(fā)生的可能性相同.(二)概率的統(tǒng)計定義思考:如果試驗不能在相同的條件下獨立重復(fù)很多次時該怎么辦?古典概型的兩個條件往往不能滿足,此時如何定義概率?常用的一種方法是把含有事件A的隨機試驗獨立重復(fù)做n次(Bernoulli試驗),設(shè)事件A發(fā)生了nA次,稱比值nA/n為事件A發(fā)生的頻率,當(dāng)n越來越大時,頻率會在某個值p附近波動,且波動越來越小,這個值p就定義為事件A的概率.統(tǒng)計定義的兩個例子英文字母被使用的頻率是相當(dāng)穩(wěn)定的.在福爾摩斯探案集第四本《跳舞的小人》中,福爾摩斯用頻率破了丘比特和埃爾茜之間聯(lián)絡(luò)密碼.計算機出現(xiàn)后,法國人J.Guilloud計算了π的前100萬位小數(shù),發(fā)現(xiàn)各個數(shù)字出現(xiàn)的頻率相同.1872年英國人W.Shanks把π算到第707位,1944到1945年之間數(shù)學(xué)家D.Ferguson認(rèn)為π的小數(shù)位的數(shù)字對0到9應(yīng)該是等可能的,但核對Shanks的結(jié)果發(fā)現(xiàn)數(shù)字7太少,故對Shanks的結(jié)果有懷疑,重新計算發(fā)現(xiàn)前527位是正確的,后面有錯誤.(三)主觀概率但是當(dāng)前用頻率來定義概率的頻率派仍是數(shù)理統(tǒng)計的主流.焦點是頻率派認(rèn)為概率是客觀存在,不可能因人而異.這種概率稱為主觀概率,這類概率有相當(dāng)?shù)纳罨A(chǔ).在金融和管理等方面有大量的應(yīng)用,這一學(xué)派稱為Bayes學(xué)派,近來得到越來越多的認(rèn)可.人們常談?wù)摲N種事件出現(xiàn)機會的大小,如某人有80%的可能性辦成某事.而另一人則可能認(rèn)為僅有50%的可能性.即我們常常會拿一個數(shù)字去估計這類事件發(fā)生的可能性,而心目中并不把它與頻率掛鉤.(四)概率的公理化定義為了對可數(shù)無窮個事件仍能成立,我們要把上面公式中的兩個事件推廣到可數(shù)無窮個兩兩不相容的事件序列:僅對概率運算規(guī)定一些簡單的基本法則:古典概型的計算

r概率23

>50%50

97.3%10099.99996%一些特殊的r例

(生日問題)一個班有r個人,不計2月29日出生的(即假定一年為365天),問至少有兩人同一天生日的概率是多少?

總結(jié)古典概率的計算要點:

1.選擇合適的樣本空間;2.運用排列組合的知識.例

盒中有32只紅球和4只白球,現(xiàn)從中任摸2球,求兩球中至少有一個白球的概率.

例假設(shè)人在每個月出生的概率相等,那么4個人中至少有兩個人在同一個月出生的概率是多少?課后作業(yè)習(xí)題冊第一章

題目:3,6,10,13,15.什么是條件概率例如兩個工廠A和B生產(chǎn)同一品牌的電視機,商場中該品牌有個統(tǒng)一的次品率,比如0.5%,如果你從某個途徑知道該商場的這批電視機是A廠生產(chǎn)的,而A廠的次品率比B廠要低,則你買到的電視機的次品率不再是0.5%,而應(yīng)該比0.5%要小,這個概率就是條件概率,即你在知道了這批電視機是A廠生產(chǎn)的附加條件下的概率就是條件概率.一般講,條件概率就是在知道了一定的信息下所得到的隨機事件的概率.條件概率的定義條件概率的計算例

擲兩個骰子,觀測出現(xiàn)的點數(shù),分別以x和y表示第一和第二顆骰子擲出的點數(shù),記

A={(x,y):x+y≥9},B={(x,y):x>y},

求P(A|B)和P(B|A).例

有10個產(chǎn)品,內(nèi)有3個次品,從中一個個地抽取(不放回)檢驗,問第一次取到次品后第二次再取到次品的概率.例某種動物能活到20歲的概率是0.8,而能活到25歲的概率是0.4,求該動物在已經(jīng)活到20歲的條件下能活到25歲的概率.思考題這是著名數(shù)學(xué)家,信息論的創(chuàng)建者之一A.Weaver設(shè)計的,1950年他在《科學(xué)美國人》(ScientificAmerican)上介紹過這個例子.有三張相同的卡片和一頂帽子,第一張卡片兩面都畫有圈,第二張卡片一面畫圈,一面畫星,第三張卡片兩面都畫星.現(xiàn)在莊家把卡片放在帽中搖晃,然后讓你任取一張,把它放在桌上,設(shè)你看到卡片上面的圖案為圈,然后莊家與你打賭下面的圖案與上面一樣時算莊家贏,不一樣是為你贏.請問這樣的賭博是否是公平的?乘法定理乘法定理的應(yīng)用例

袋中有一個白球和一個黑球,現(xiàn)每次從中取出一球,若取出白球,則把白球放回且再另加入一個白球,直至取出黑球為止.求取了n次都未取出黑球的概率.例將n根短繩的2n個端頭任意兩兩連接,求恰好連成n個圈的概率.例

某人忘了某飯店電話號碼的最后一個數(shù)字,因而隨意撥號,問他三次之內(nèi)撥通電話的概率.樣本空間的分割設(shè)B1,B2,···Bn是樣本空間?中的兩兩不相容的一組事件,即BiBj

=Φ,i

j,且滿足

=?,則稱B1,B2,···,Bn

是樣本空間?的一個分割(又稱為完備事件群,英文為partition).

全概率公式全概率公式的應(yīng)用例

(Polya罐模型)罐中放有a個白球和b個黑球,每次從罐中隨機抽取一個球,并連同c個同色球一起放回罐中,如此反復(fù)進行.試求在第n次取球時取出的是白球的概率.例

設(shè)某廠產(chǎn)品的一個零部件是由三家上游廠商供貨的.已知有一半是A廠提供的,B廠商和C分別提供25%.已知廠商A和B的次品率都是2%,C的次品率為4%,從該廠產(chǎn)品中任取一個產(chǎn)品,問該產(chǎn)品的這個零部件是次品的概率.Bayes公式什么情況下用Bayes公式?由公式知,分母就是事件A的概率,而分子和等式左邊的條件概率中的條件正好反過來.所以我們知道在因果關(guān)系互換時必須用Bayes公式.Bayes公式的應(yīng)用想一想:計算出的結(jié)果是否出乎你的意料之外?這是因為什么原因造成的呢?例

一種診斷某癌癥的試劑,經(jīng)臨床試驗有如下記錄:有癌癥病人陽性的概率為95%,無癌癥病人陰性的概率為95%.現(xiàn)用這種試劑在某社區(qū)進行癌癥普查,設(shè)該社區(qū)癌癥發(fā)病率為0.5%,問某人反應(yīng)為陽性時該人患癌癥的概率.事件的獨立性定義

設(shè)A,B是隨機試驗中的兩個事件,若滿足P(AB)=P(A)P(B),

則稱事件A和B相互獨立.

為了計算兩個事件同時發(fā)生的概率,可以運用乘法定理,P(AB)=P(A|B)P(B).什么情況下P(AB)=P(A)P(B)?即A和B同時發(fā)生的概率等于兩個事件單獨發(fā)生概率的乘積?為此我們有如下的定義:關(guān)于獨立性的補充說明例如把一個硬幣擲兩次,觀測正反面出現(xiàn)的情況.事實上,我們?nèi)菀着袛嗟谝淮问欠癯霈F(xiàn)正面與第二次是否出現(xiàn)正面沒有任何影響,即獨立的.從而,由獨立性的定義可以推知A與B的補事件也是獨立的.由此我們可以把獨立性的概念推廣到多個事件的情形.關(guān)于獨立的概念,應(yīng)該是從實際出發(fā),如果能夠判斷事件B的發(fā)生與否對事件A的發(fā)生與否不產(chǎn)生影響,則事件A和B即為獨立.多個事件的獨立性注2上面等式等價于對A1,A2,···,An中的任意k個事件Ai1

,Ai2

,···,Aik,k=2,···,n,有P(Ai1

Ai2

···Aik)=P(Ai1)P(Ai2)···P(Ai