廣東省七校聯(lián)合體2023學年高三第一次模擬考試數(shù)學試卷（含解析）

2023學年高考數(shù)學模擬測試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一個正三棱柱的正（主）視圖如圖，則該正三棱柱的側(cè)面積是（）A．16 B．12 C．8 D．62．將函數(shù)的圖象向右平移個周期后，所得圖象關于軸對稱，則的最小正值是（）A． B． C． D．3．已知圓與拋物線的準線相切，則的值為（）A．1 B．2 C． D．44．若復數(shù)（是虛數(shù)單位），則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知隨機變量X的分布列如下表：X01Pabc其中a，b，.若X的方差對所有都成立，則（）A． B． C． D．6．已知正項等比數(shù)列的前項和為，且，則公比的值為（）A． B．或 C． D．7．定義在上的函數(shù)滿足，則（）A．-1 B．0 C．1 D．28．若集合，則=（）A． B． C． D．9．如圖是2017年第一季度五省GDP情況圖，則下列陳述中不正確的是（）A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江?。瓸．與去年同期相比，2017年第一季度的GDP總量實現(xiàn)了增長．C．2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個D．去年同期河南省的GDP總量不超過4000億元．10．已知復數(shù)，其中，，是虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．11．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù).若從這10個數(shù)中任取3個數(shù)，則這3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，若存在實數(shù)，使成立，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知半徑為的圓周上有一定點，在圓周上等可能地任意取一點與點連接，則所得弦長介于與之間的概率為__________．14．已知函數(shù)，在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，則使得≥0的概率為．15．已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則的模為_______________.16．二項式的展開式的各項系數(shù)之和為_____，含項的系數(shù)為_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在中，已知，，，為線段的中點，是由繞直線旋轉(zhuǎn)而成，記二面角的大小為.（1）當平面平面時，求的值；（2）當時，求二面角的余弦值.18．（12分）設函數(shù)，（1）當，，求不等式的解集；（2）已知，，的最小值為1，求證：.19．（12分）已知.（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍20．（12分）已知.（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)，.（1）當時，①求函數(shù)在點處的切線方程；②比較與的大小;（2）當時，若對時，，且有唯一零點，證明：．22．（10分）已知函數(shù).（1）若，解關于的不等式；（2）若當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【答案解析】

根據(jù)正三棱柱的主視圖，以及長度，可知該幾何體的底面正三角形的邊長，然后根據(jù)矩形的面積公式，可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知：該幾何體的底面正三角形的邊長為2所以該正三棱柱的三個側(cè)面均為邊長為2的正方形，所以該正三棱柱的側(cè)面積為故選：B【答案點睛】本題考查正三棱柱側(cè)面積的計算以及三視圖的認識，關鍵在于求得底面正三角形的邊長，掌握一些常見的幾何體的三視圖，比如：三棱錐，圓錐，圓柱等，屬基礎題.2、D【答案解析】

由函數(shù)的圖象平移變換公式求出變換后的函數(shù)解析式，再利用誘導公式得到關于的方程，對賦值即可求解.【題目詳解】由題意知，函數(shù)的最小正周期為,即,由函數(shù)的圖象平移變換公式可得，將函數(shù)的圖象向右平移個周期后的解析式為，因為函數(shù)的圖象關于軸對稱，所以，即，所以當時，有最小正值為.故選：D【答案點睛】本題考查函數(shù)的圖象平移變換公式和三角函數(shù)誘導公式及正余弦函數(shù)的性質(zhì)；熟練掌握誘導公式和正余弦函數(shù)的性質(zhì)是求解本題的關鍵；屬于中檔題、?？碱}型.3、B【答案解析】

因為圓與拋物線的準線相切，則圓心為（3,0），半徑為4，根據(jù)相切可知，圓心到直線的距離等于半徑，可知的值為2，選B.【題目詳解】請在此輸入詳解！4、A【答案解析】

將整理成的形式，得到復數(shù)所對應的的點，從而可選出所在象限.【題目詳解】解：，所以所對應的點為在第一象限.故選:A.【答案點睛】本題考查了復數(shù)的乘法運算，考查了復數(shù)對應的坐標.易錯點是誤把當成進行計算.5、D【答案解析】

根據(jù)X的分布列列式求出期望,方差,再利用將方差變形為,從而可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值為,進而得出結(jié)論.【題目詳解】由X的分布列可得X的期望為,又,所以X的方差,因為,所以當且僅當時,取最大值,又對所有成立,所以,解得,故選:D.【答案點睛】本題綜合考查了隨機變量的期望?方差的求法,結(jié)合了概率?二次函數(shù)等相關知識,需要學生具備一定的計算能力,屬于中檔題.6、C【答案解析】

由可得，故可求的值.【題目詳解】因為，所以，故，因為正項等比數(shù)列，故，所以，故選C.【答案點睛】一般地，如果為等比數(shù)列，為其前項和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）公比時，則有，其中為常數(shù)且；（3）為等比數(shù)列（）且公比為.7、C【答案解析】

推導出，由此能求出的值．【題目詳解】∵定義在上的函數(shù)滿足，∴，故選C．【答案點睛】本題主要考查函數(shù)值的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用，屬于中檔題.8、C【答案解析】

求出集合，然后與集合取交集即可．【題目詳解】由題意，，，則，故答案為C.【答案點睛】本題考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了計算能力，屬于基礎題．9、C【答案解析】

利用圖表中的數(shù)據(jù)進行分析即可求解.【題目詳解】對于A選項：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是：江蘇、遼寧、山東、河南、浙江，故A正確；對于B選項：與去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增長，所以其總量也實現(xiàn)了增長，故B正確；對于C選項：2017年第一季度GDP總量由高到低排位分別是：江蘇、山東、浙江、河南、遼寧，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是：江蘇、遼寧、山東、河南、浙江，均居同一位的省有2個，故C錯誤；對于D選項：去年同期河南省的GDP總量，故D正確.故選：C.【答案點睛】本題考查了圖表分析，學生的分析能力，推理能力，屬于基礎題.10、D【答案解析】試題分析：由,得,則，故選D.考點：1、復數(shù)的運算；2、復數(shù)的模.11、C【答案解析】

先根據(jù)組合數(shù)計算出所有的情況數(shù)，再根據(jù)“3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列”列舉得到滿足條件的情況，由此可求解出對應的概率.【題目詳解】所有的情況數(shù)有：種，3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的情況有：，共種，所以目標事件的概率.故選：C.【答案點睛】本題考查概率與等差數(shù)列的綜合，涉及到背景文化知識，難度一般.求解該類問題可通過古典概型的概率求解方法進行分析；當情況數(shù)較多時，可考慮用排列數(shù)、組合數(shù)去計算.12、A【答案解析】令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+1）+4ea﹣x，令y=x﹣ln（x+1），y′=1﹣=，故y=x﹣ln（x+1）在（﹣1，﹣1）上是減函數(shù)，（﹣1，+∞）上是增函數(shù)，故當x=﹣1時，y有最小值﹣1﹣0=﹣1，而ex﹣a+4ea﹣x≥4，（當且僅當ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln1時，等號成立）；故f（x）﹣g（x）≥3（當且僅當?shù)忍柾瑫r成立時，等號成立）；故x=a+ln1=﹣1，即a=﹣1﹣ln1．故選：A．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】在圓上其他位置任取一點B，設圓半徑為R，其中滿足條件AB弦長介于與之間的弧長為?2πR，則AB弦的長度大于等于半徑長度的概率P==；故答案為：．14、【答案解析】試題分析：可以得出，所以在區(qū)間上使的范圍為，所以使得≥0的概率為考點：本小題主要考查與長度有關的幾何概型的概率計算.點評：幾何概型適用于解決一切均勻分布的問題，包括“長度”、“角度”、“面積”、“體積”等，但要注意求概率時做比的上下“測度”要一致.15、【答案解析】

利用復數(shù)模的計算公式求解即可.【題目詳解】解：由，得，所以.故答案為：.【答案點睛】本題考查復數(shù)模的求法，屬于基礎題.16、【答案解析】

將代入二項式可得展開式各項系數(shù)之和，寫出二項展開式通項，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項即可得出項的系數(shù).【題目詳解】將代入二項式可得展開式各項系數(shù)和為.二項式的展開式通項為，令，解得，因此，展開式中含項的系數(shù)為.故答案為：；.【答案點睛】本題考查了二項式定理及二項式展開式通項公式，屬基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【答案解析】

(1)平面平面,建立坐標系，根據(jù)法向量互相垂直求得;(2)求兩個平面的法向量的夾角.【題目詳解】(1)如圖，以為原點，在平面內(nèi)垂直于的直線為軸所在的直線分別為軸,軸，建立空間直角坐標系，則，設為平面的一個法向量,由得,取,則因為平面的一個法向量為由平面平面，得所以即.(2)設二面角的大小為，當平面的一個法向量為,綜上,二面角的余弦值為.【答案點睛】本題考查用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法,難度一般.18、（1）或；（2）證明見解析【答案解析】

（1）將化簡，分類討論即可；（2）由（1）得，，展開后再利用基本不等式即可.【題目詳解】（1）當時，，所以或或解得或，因此不等式的解集的或（2）根據(jù)，當且僅當時，等式成立.【答案點睛】本題考查絕對值不等式的解法、利用基本不等式證明不等式問題，考查學生基本的計算能力，是一道基礎題.19、（1）.（2）.【答案解析】試題分析：（Ⅰ）通過討論x的范圍，得到關于x的不等式組，解出取并集即可；（Ⅱ）求出f（x）的最大值，得到關于a的不等式，解出即可．試題解析：（1）不等式等價于或或，解得或，所以不等式的解集是；（2），，，解得實數(shù)的取值范圍是．點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運用分類討論思想，法二是運用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應用，這是命題的新動向．20、（1）答案不唯一，具體見解析（2）【答案解析】

（1）分類討論，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）分離出參數(shù)后，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解決，注意函數(shù)定義域.【題目詳解】（1）由得或①當時，由，得.由，得或此時的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和.②當時，由，得由，得或此時的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和綜上：當時，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（2）依題意，不等式恒成立等價于在上恒成立，可得，在上恒成立，設，則令，得，（舍）當時，；當時，當變化時，，變化情況如下表：10單調(diào)遞增單調(diào)遞減∴當時，取得最大值，，∴.∴的取值范圍是.【答案點睛】本題主要考查了利用導數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性以及利用導數(shù)研究不等式的恒成立問題，屬于中檔題.21、（1）①見解析，②見解析；（2）見解析【答案解析】

（1）①把代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導函數(shù)得到，再求出，利用直線方程的點斜式求函數(shù)在點處的切線方程；②令，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得當時，；當時，；當時，．（2）由題意，，在上有唯一零點．利用導數(shù)可得當時，在上單調(diào)遞減，當，時，在，上單調(diào)遞增，得到．由在恒成立，且有唯一解，可得，得，即．令，則，再由在上恒成立，得在上單調(diào)遞減，進一步得到在上單調(diào)遞增，由此可得．【題目詳解】解：（1）①當時，，，，又，切線方程為，即；②令，則，在上單調(diào)遞減．又，當時，，即；當時，，即；當時，，即．證明：（2）由題意，，而，令，解得．，，在上有唯一零點．當時，，在上單調(diào)遞減，當，時，，在，上單調(diào)遞增．．在恒成立，且有唯一解，，即，消去，得，即．令，則，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，又，，．在上單調(diào)遞增，．【答案點睛】本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查