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高等數(shù)學競賽講義數(shù)列極限1利用單調(diào)有界數(shù)列必有極限準則準則I單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)增加有上界數(shù)列必有極限單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限1)設(shè)求證明:先證明是遞增數(shù)列.事實上假設(shè)成立,則因此是遞增數(shù)列.
用歸納法證明于是是有界數(shù)列.
顯然成立.而成立.
設(shè)成立,則
因此,成立.
由單調(diào)有界定理收斂,設(shè)在兩邊取極限,得,解得
或但由于于是3)設(shè)求
證明:顯然首先證明.
若假設(shè)則根據(jù)歸納法可得成立.
又由即是遞增數(shù)列且有上界,由單調(diào)有界定理知收斂,
設(shè)在兩邊取極限,得
得解得或但由于因此從而
證明:注意兩個事實:1)單調(diào)遞增趨于e單調(diào)遞減趨于e。
2)4)設(shè)求證:存在。
有不等式故單調(diào)下降,且于是存在。
注記:其中是歐拉常數(shù)。
更一般的情形,設(shè)單調(diào)遞減且,求證:存在。
證明:故單調(diào)下降。而于是存在。
5)驗證證明由于于是因此即將區(qū)間進行n等分,則取區(qū)間的右端點:
可用定積分來計算數(shù)列的和式極限問題
若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),并有,則7)設(shè)求解:令則故
8)求極限解:
4利用微分近似公式9)設(shè)存在,定義數(shù)列求利用此結(jié)果求極限
解于是因此若令,則若令,則
5利用Taylor公式
10)試求的值
解利用Taylor公式可得其中,于是
.其中為整數(shù),
12)設(shè)數(shù)列由給出,,求證證明:顯然是單調(diào)減少且趨于0的,而
于是于是于是
即13)求最小的和最大的使對所有正整數(shù)n都有
解:令,則可證明時,,于是于是最大的而最小的14)設(shè)證明
證明:因故利用Stolz公式,
得
15)設(shè)證明證明:顯然是單調(diào)增加的,又可證明事實上若有極限,則矛盾,因此
又令,由施篤茲(stolz)定理可得.
而,于是,因此16)求極限解而18)設(shè)數(shù)列滿足請問收斂嗎?若收斂,求;若發(fā)散,說明理由.解:則單減有下界根據(jù)單調(diào)有界定理知收斂,令在兩邊取極限得,于是有由于于是故,從而收斂.
而19)證明:數(shù)列收斂,并求其極限。
證明:設(shè)該數(shù)列通項為,則令則由拉格朗日中值定理存在介于之間,使得
由題意得令則由且由夾逼定理得即同理可得
所以,20)設(shè)證明:存在
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