極限理論課件

第一章極限理論Ⅰ、基本概念一、數(shù)列極限1.數(shù)列收斂與發(fā)散的定義數(shù)列收斂有數(shù)列發(fā)散有2.數(shù)列的極限的定義,有如下等價(jià)形式:⑴語言之外至多只有中的有限項(xiàng).

⑵鄰域形式⑶子列形式的任意子列都收斂于3.數(shù)列有上、下界,有界,無上、下界,無界的定義數(shù)列有上界(下界,有界)數(shù)列無上界(下界,無界)5.數(shù)列的上、下極限的定義⑴用確界定義:若極限存在,則稱其為數(shù)列的上極限,記為若極限存在,則稱其為數(shù)列的下極限,記為⑵用聚點(diǎn)定義:數(shù)列的最大聚點(diǎn)稱為的上極限,最小聚點(diǎn)稱為的下極限.⑶用收斂子列的極限定義:數(shù)列的所有收斂子列中的最大極限值稱為的上極限;數(shù)列的所有收斂子列中的最小極限值稱為的下極限.二、函數(shù)極限函數(shù)極限按自變量x的趨向來區(qū)分,有六種類型,即三、無窮小量與無窮大量極限為0的量稱為無窮小量(在某一變化過程中);有非正常極限的量稱為無窮大量(在某一變化過程中).Ⅱ、基本理論一、收斂數(shù)列的性質(zhì)1.收斂數(shù)列的極限是唯一的;2.收斂數(shù)列是有界數(shù)列;3.收斂數(shù)列具有保號(hào)性與保不等式性;4.收斂數(shù)列的四則運(yùn)算.四、柯西準(zhǔn)則1.數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則五、迫斂性1.數(shù)列收斂的迫斂性定理如果數(shù)列與都收斂于a,又有,則數(shù)列也收斂于a.2.函數(shù)極限的迫斂性定理如果在某內(nèi),有,且則七、斯篤茲(Stolz)定理1.設(shè)是嚴(yán)格遞增的正無窮大數(shù)列,它與數(shù)列一起滿足:,則2.設(shè)數(shù)列,且數(shù)列嚴(yán)格單調(diào)遞減,若,則八、斯篤茲定理的推廣1.設(shè)為常數(shù),如果定義在上的函數(shù)則滿足:(1)函數(shù)在的任何有限區(qū)間上有界,2.設(shè)為常數(shù),如果定義在上的函數(shù)滿足:則九、不動(dòng)點(diǎn)定理(壓縮映象原理)設(shè)函數(shù)滿足:對(duì)任意(其中I是區(qū)間),有這里x稱為的不動(dòng)點(diǎn).其中是常數(shù),則存在唯一,使得Ⅲ、基本方法與典型例題一、利用極限定義驗(yàn)證極限例1

設(shè),證明例2

設(shè)函數(shù)滿足:存在且有限,令求二、初等方法例3

計(jì)算下列數(shù)列的極限:四、迫斂性定理例6

設(shè)為k個(gè)正數(shù),證明:例7

求例8求例9

設(shè)數(shù)列滿足:求五、單調(diào)有界定理例10設(shè),證明收斂,并求其極限.例11

設(shè),證明:七、斯篤茲定理的應(yīng)用例13

設(shè),證明:例14

設(shè)函數(shù)在上有定義,內(nèi)閉有界,且為有限數(shù)或),試證明:八、定積分法例15

求下列極限:十、對(duì)數(shù)(指數(shù))求極限法例19

設(shè)函數(shù)在某鄰域內(nèi)可導(dǎo),且,計(jì)算極限例20

計(jì)算例21

計(jì)算十一、洛必達(dá)法則例22

求下列極限:十二、等價(jià)無窮小量替換例23

設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),計(jì)算極限例24

設(shè)a,b,A

為不為零的常數(shù),證明的充分必要條件是例25

計(jì)算極限十三、利用帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式求極限例26

計(jì)算極限例27

設(shè),求十四、利用級(jí)數(shù)的定義或性質(zhì)求極限例28

證明:例29

求極限十五、利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義求極限例30

設(shè),求極限十六、遞推關(guān)系法例31設(shè),考察極限例32

設(shè)數(shù)列滿足條件:求十七、利用不動(dòng)點(diǎn)定理例33(壓縮數(shù)列)設(shè)數(shù)列滿足條件:,有則稱數(shù)列為壓縮數(shù)列.證明:壓縮數(shù)列必收斂.例34

設(shè)