高三數學知識點：熱點復習指導

6/6高三數學知識點：熱點復習指導天津市第四十二中學張鼎言(一)根底題復習導引：數列是定義在正整數集或正整數子集上的函數,函數的圖象是平面直角坐標系上的點集。項an是n的函數,同數Sn也是n的函數,af(n)是復合函數,如下面的第2、3題。等差、等比中項始終是高考(Q吧)擬題的知識點,如下面的第1、5題。在數列問題中,從一般到特殊的思想方法,是重要的思路,如第3、5題。1.假設an是等差數列,首項a10,a2019+a20190,a2019·a20190,那么使前n項和Sn0成立的最大自然n是()A、4005B、4006C、4007D、4008解：∵a2019·a20190∴a2019與a2019中必有一個為負。又a10只有d0,a2019、a2019中才可能有負值,∴a20190a2019+a2019=2a1+4005d=a1+a1+4005d=a1+a40060∴S4006=-(a1+a4006)0S4007=-(a1+a4007)=-·2a20190∴選B注：此題不同于當Sn最大時求n的值,在審題中注意區(qū)別。2.兩個等差數列an和bn的前n項和分別為An和Bn,且-=-,那么使得-為整數的正整數n的個數是()A.2B.3C.4D.5解：∵an,bn為等差數列∴可設An=(7n+45)gn,Bn=(n+3)gnan=An-An-1=14n+38,bn=Bn-Bn-1=2n+2,(n2)-=-=k,k為正整數n=-,n為正整數,719K=8、9、10、11、13∴選D注：假設{an}為等差數列,那么Sn=pn2+qn,是常數項為0,關于n的二次函數。3.數列{an}、{bn}都是公差為1的等差數列,其首項分別為a1、b1,且a1+b1=5,a1,b1∈N*。設cn=-(n∈N*),那么數列{cn}的前10項和等于()A.55B.70C.85D.100解：某些數列問題經常用一般到特殊的思考方法。c1=-=a1+(b1-1)·1c2=-=a1+(b2-1)·1c3=-=a1+(b3-1)·1c2-c1=b2-b1=1,c3-c2=b3-b2=1c1=a1+b1-1=4∴{cn}為c1=4,公差為1的等差數列∴S10=85選C注：-其中bn是項數,在數列中,項an是項數n的函數。4.各項均為正數的等比數列{an}的前n項和為Sn,假設Sn=2,S3n=14,那么S4n等于(A)80(B)30(C)26(D)16解：Sn=a1+a2+…+an=2S2n=Sn+an+1+an+2+…+a2n=Sn+qn(a1+a2+…+an)=Sn+Sngqn=2+2qnS3n=S2n+a2n+1+a2n+2+…+a3n=S2n+q2ngSn=2+2qn+2q2n=14→qn=2S4n=S3n+(a3n+1+a3n+2+…+a4n)=S3n+q3ngS1=30選B注：這里把Sn作為一個單位,以此表示S2n,S3n,S4n,這是一個“整體〞的思想方法。5.在等差數列{an}中,假設a10=0那么有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n19,n∈N)成立.類比上述性質,相應地,在等比數列{bn}中,假設b9=1那么有等式____成立。分析：用一般到特殊的思考方法。a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n不好理解,不妨假定,n=18,這時上面的等式變?yōu)?a2+a3+…+a17+a18=0,a2+a18=a3+a17=…=a9+a11=2a10=0,可以看出題目條件中給出的等式是等差中項的變形,這是問題的實質。假設給出a9=0,可以引出:a1+a17=a2+a16=a3+a15=…=a8+a10=2a9=0那么應有下面的等式:a1+a2+…+an=a1+a2+…+a17-n類比等比數列:b9=1,b1·b17=b2·b16=…=b8·b10=b92=1?！郻1·b2……bn=b1·b2……b17-n(n17,n∈N)注：靈活運用等差、等比中項是數列問題中的重要內容,下面的結論有助于這種靈活應用。假設p、q、m、n均為正整數,且p+q=m+n,在等差數列中有ap+aq=am+an;在等比數列中,ap·aq=am·an6.數列{an}中,a1=-,an+an+1=-,n∈N*那么-(a1+a2+…+an)等于()A.-B.-C.-D.-分析：假設把an+an+1看成一項,那么{an+an+1}為等比數列。(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a4)+…=2(a1+a2+a3+a4+…)-a1∵a1+a2=-,∴2(a1+a2+a3+…)-a1-=(a1+a2+…+an)=-選C。注：在數列求和問題中,有時可以把幾項并成一項,也有時把一項分拆成幾項,這是求和中“變形〞的一條重要思路.7.{an}是等差數列,{bn}是公比為q的等比數列,a1=b1,a2=b2≠a1,記Sn為數列{bn}的前n項和,(1)假設bk=am(m,k是大于2的正整數),求證：Sk-1=(m-1)a1;(2)假設b3=ai(i是某一正整數),求證：q是整數,且數列{bn}中每一項都是數列{an}中的項;(3)是否存在這樣的正數q,使等比數列{bn}中有三項成等差數列?假設存在,寫出一個q的值,并加以說明;假設不存在,請說明理由;解：(1)∵a1=b1,a2=b2≠a1→b2≠b1→q≠1∴Sk-1=-=-=-=-=(m-1)a1解：(2)b3=b1q2=a1q2=a1+(i-1)gd=a1+(i-1)(a2-a1)=a1+(i-1)(b2-b1)=a1+(i-1)(a1q-a1)∵a1≠0,q≠1∴q2=1+(i-1)(q-1)q=i-2,q是整數,由b1=a1,b2=a2,b3=ai→q=i-2下面只討論n4的情況bn=b1qn-1=a1+(k-1)d=a1+(k-1)(a2-a1)=a1+(k-1)ga1g(q-1)化簡qn-1=1+(k-1)(q-1)k=1+-1+1+q+q2+…qn-2假設i=1,q=-1,q+q2+…qn-2=0或-1k=2,1;i=2,q=0。矛盾i3,k是正整數。分析(3)b1=a1,b2=a2,a3=b(n)為所求由a1、a2、a3成等差b1、b2、b(n)也成等差a3=a1+2d=b1+2(a2-a1)=b1+2(b1q-b1)=b1(2q-1)=b1qn-1n3