胡不歸、阿波羅尼斯圓、瓜豆模型、費馬點、托勒密定理、梅涅勞斯定理、塞瓦定理、西姆松定理 主講劉蔣巍

胡不歸、阿波羅尼斯圓、旋轉(zhuǎn)相（瓜豆模型點、四點共圓及圓中的相似形（重點：托勒密定理梅涅勞斯定理、瓦定理、西姆松定理（主講人：劉蔣?。?021常州中考考前復(fù)習(xí)指導(dǎo)第講教學(xué)內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點教學(xué)難點教學(xué)內(nèi)容

胡不歸、阿波羅尼斯圓、旋轉(zhuǎn)相似（瓜豆模型馬點、四點共圓及圓中的相似形（重點：托勒密定理梅涅勞斯定理、塞瓦定理、西姆松定理理解胡不歸、阿波羅尼斯圓、旋轉(zhuǎn)相似（瓜豆模型點、四點共圓及圓中的相似形（重點：托勒密定理了解梅涅勞斯定理、塞瓦定理、西姆松定理理解胡不歸阿波羅尼斯圓旋轉(zhuǎn)相瓜豆模型點四點共圓及圓中的相似點：托勒密定理）理解胡不歸、阿波羅尼斯圓、旋轉(zhuǎn)相似（瓜豆模型點、四點共圓及圓中的相似形（重點：托勒密定理）教學(xué)過程★值題1.胡不1

xoy胡不歸、阿波羅尼斯圓、旋轉(zhuǎn)相（瓜豆模型點、四點共圓及圓中的相似形（重點：托勒密定理梅涅勞斯定理、瓦定理、西姆松定理（主講人：劉蔣?。﹛oy如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直

x與x軸交于A，y軸交于點B，過A、兩點的拋物線ax

與x軸于另一點

C(

．（1）求拋物線的解析式；（3M為直線下方拋物線上一點Ny上一點△的面積最大時MNON的最小值．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函=ax的圖像經(jīng)過點A（00-3（2，0中對稱軸與軸交于D。（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點坐標(biāo)；（2）若P為y軸上的一個動點，連接PD則PD的最小值為。2

胡不歸、阿波羅尼斯圓、旋轉(zhuǎn)相（瓜豆模型點、四點共圓及圓中的相似形（重點：托勒密定理梅涅勞斯定理、瓦定理、西姆松定理（主講人：劉蔣?。?.阿波尼圓已知點

M(,

與兩定點

O(0,0),

的距離之比為

，那么M的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系？拓展：已知動M與兩定點、B的距離之比

，那么M的軌跡是什么？背景展阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一3

胡不歸、阿波羅尼斯圓、旋轉(zhuǎn)相（瓜豆模型點、四點共圓及圓中的相似形（重點：托勒密定理梅涅勞斯定理、瓦定理、西姆松定理（主講人：劉蔣?。?

胡不歸、阿波羅尼斯圓、旋轉(zhuǎn)相（瓜豆模型點、四點共圓及圓中的相似形（重點：托勒密定理梅涅勞斯定理、瓦定理、西姆松定理（主講人：劉蔣?。?

胡不歸、阿波羅尼斯圓、旋轉(zhuǎn)相（瓜豆模型點、四點共圓及圓中的相似形（重點：托勒密定理梅涅勞斯定理、瓦定理、西姆松定理（主講人：劉蔣?。?

胡不歸、阿波羅尼斯圓、旋轉(zhuǎn)相（瓜豆模型點、四點共圓及圓中的相似形（重點：托勒密定理梅涅勞斯定理、瓦定理、西姆松定理（主講人：劉蔣?。┌⒉_尼約公元前年明過這樣一個命題面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)k）的點的軌跡是圓．后人將這個圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定

B

間的距離為2，動點與，距離之比為2，當(dāng)，不共線時△面積的最大值是（）A

B．2

C．

23

D．

23答案：A發(fā)現(xiàn)隱的方法利用圓的定義或圓的幾何性質(zhì)確定隱圓．在平面上給定相異兩點，B設(shè)點在同一平面上且滿足|＝PB，當(dāng)λ且λ時，點P的軌跡是個圓，這個圓我們稱作阿波羅尼斯圓．兩定點，B，動點P滿足PA2

＋|2

是定值，確定隱圓．滿足條件，

2BC的ABC的面積的最大值是_________7

xOyA2胡不歸、阿波羅尼斯圓、旋轉(zhuǎn)相（瓜豆模型點、四點共圓及圓中的相似形（重點：托勒密定理梅涅勞斯定理、瓦定理、西姆松定理（主講人：劉xOyA2古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點AB的距離之比為定值）的點所形成的圖形是圓．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，、，P滿足設(shè)點P所構(gòu)成的曲線為，下列結(jié)論正確的是

2

，①上存在D，使得到點

的距離為3②在上存在點

，使得

MA③在上存在點，使得答案：①③

NONA3.旋轉(zhuǎn)似—瓜模8

胡不歸、阿波羅尼斯圓、旋轉(zhuǎn)相（瓜豆模型點、四點共圓及圓中的相似形（重點：托勒密定理梅涅勞斯定理、瓦定理、西姆松定理（主講人：劉蔣?。┤鐖DA﹣11﹣4是ABC上一動點，連，斜邊在OP的右上方作直角三角形，其中OQP，∠POQ當(dāng)點在ABC的三條邊上運動一周時，點Q動的路徑長為（）A4

B6．4D69

胡不歸、阿波羅尼斯圓、旋轉(zhuǎn)相（瓜豆模型點、四點共圓及圓中的相似形（重點：托勒密定理梅涅勞斯定理、瓦定理、西姆松定理（主講人：劉蔣?。﹩栴}探究：如圖，在矩中＝10cos∠ABDPBD一點B'是點以P對稱中心的對稱點，點B也在（可以是端點PD的中點，以點E為圓，'半徑在BD方作半圓．（1＝

時，AP⊥BD時，此時半徑是；（2當(dāng)半圓與矩形的邊相切時，求的長；拓展延伸：（3如圖，＝6＝接寫出AD的最大值．

，以BC為底邊在上方作等腰△BCD其中∠＝120°直

胡不歸、阿波羅尼斯圓、旋轉(zhuǎn)相（瓜豆模型點、四點共圓及圓中的相似形（重點：托勒密定理梅涅勞斯定理、瓦定理、西姆松定理（主講人：劉蔣?。┤鐖D，在RtABC，∠90°，＝4AC10點D是上的一個動點，以CD為直徑作圓O連接BD圓O于點E則的最小值為．費馬點【試題呈現(xiàn)】如圖（1知一次函數(shù)y圖與軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y過A、B點，且與x軸交于另一點C.(1)b的值；(2)如圖1D為AC的中點，點在線段BD上，BE=2ED，連接延長交拋物線于點M，求點M的坐標(biāo)；(3)將直線繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)15后y軸于連接CG，如圖內(nèi)一點連接PA、分別以AP為邊在它們的左側(cè)作等等連QR求證：求PG最小值，并求出當(dāng)PAPC取最小值時，P的坐標(biāo)圖（1）

圖（2）

355x胡不歸、阿波羅尼斯圓、旋轉(zhuǎn)相（瓜豆模型點、四點共圓及圓中的相似形（重點：托勒密定理梅涅勞斯定理、瓦定355x解析1b233（2D(，yx，又BE=2ED，(,1)，xBD聯(lián)得x

12M(,)525（3）易APG，PGPA,，PAPCPGPRPC，根據(jù)“兩點之間線段最短”，PRPCRQ最短，3)，AGQG，在QHC，由勾股定理得19，

第（）問示

PG最小值2以AC邊在它的下方作等，同理可得：PGGM最短，則P點為直CQ與直GM的交點

CQ

337

(xyGM

3(x聯(lián)7x

解得：

xy

19

（圖）【試題背景研究】2016鹽城中考壓軸題（3問的第小問PC的最小值并求出當(dāng)PAPCPG取最小值時，點P的坐標(biāo)”此處的，稱之為：費馬點。費馬點定義“費馬點是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個頂點距離之和最短的點。費馬點性質(zhì)（1）平面內(nèi)一點P到△ABC三頂點的之和為PA+PB+PC，當(dāng)點費馬點時，距離之和最小.在特殊三角形中：

11111胡不歸、阿波羅尼斯圓、旋轉(zhuǎn)相（瓜豆模型點、四點共圓及圓中的相似形（重點11111托勒密定理梅涅勞斯定理、瓦定理、西姆松定理（主講人：劉蔣?。┤齼?nèi)角皆小于的三角形，分別以AB，BC，CA，為邊，向三角形外側(cè)做正三形ABC，ACB，BCA，然后連接AA，BB，CC，則三線交于一點則點P就是所求的費馬點.若三角形有一內(nèi)角大于或等于，則此鈍角的頂點就是所求.當(dāng)ABC為等邊三角形時，此時外心與費馬點重合.本題第（3問第小問，求的坐標(biāo)，筆者給出的解法就是依據(jù)上述費馬點的性質(zhì)2解的?？忌梢愿鶕?jù)題設(shè)條件，根據(jù)類比的思想，AC為邊在它的下方作等ACM，以CG為邊在它的右側(cè)作等（如圖5.直、GM、AN中任意兩條的交點都點（圖）（2010建寧德如圖四邊形是正方形eq\o\ac(△,)ABE是等邊三角形為對角線BD（不含點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接、AM、CM.⑴求證eq\o\ac(△,)AMB△ENB；⑵①當(dāng)M點何處時，＋CM的值?。虎诋?dāng)M點在何時，＋BMCM值最小，并說明理由；⑶當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為3時，求正方形的邊長ADEBC

胡不歸、阿波羅尼斯圓、旋轉(zhuǎn)相（瓜豆模型點、四點共圓及圓中的相似形（重點：托勒密定理梅涅勞斯定理、瓦定理、西姆松定理（主講人：劉蔣?。?.四點圓圓的似（點托密理判斷四點共圓的方法判定定理1共底邊的兩個直角三角形，則四個頂點共圓，且直角三角形的斜邊為圓的直徑．判定定理2共底邊的兩個三角形頂角相等，且在底邊的同側(cè)，則四個頂點共圓．判定定理3對于凸四邊形ABCD對角互補

四點共圓。

胡不歸、阿波羅尼斯圓、旋轉(zhuǎn)相（瓜豆模型點、四點共圓及圓中的相似形（重點：托勒密定理梅涅勞斯定理、瓦定理、西姆松定理（主講人：劉蔣巍）判定定理4相交弦定理的逆定理：對于凸四邊形ABCD其對角線ACBD于P，

四點共圓。判定定理5割線定理：對于凸四邊形ABCD邊的延長線、交于PC

四點共圓。判定定理6托勒密定理的逆定理：對于凸四邊形ABCD，ABAD

四點共圓。

胡不歸、阿波羅尼斯圓、旋轉(zhuǎn)相（瓜豆模型點、四點共圓及圓中的相似形（重點：托勒密定理梅涅勞斯定理、瓦定理、西姆松定理（主講人：劉蔣?。ū绢}滿分分）閱讀《由圓內(nèi)接四邊形想到的托勒密定理成問題在線段AC上取點，使得∠∠ABD，你能推出哪些結(jié)論？師（追問請寫出相似三角形對應(yīng)邊比例式。生：①△BCE∽△；②△DBC∽△ABE

---------①；

--------②師：你能從這些比例式中得出圓內(nèi)接四邊形的這些線段之間有什么結(jié)論嗎？生：①+②得：總結(jié)：______________________________________（請用文字語言表述）【學(xué)以致用】請用閱讀所獲取的信息解答下面的問題：如圖，在的內(nèi)接四邊形，＝3＝5＝60°，為弧BD的中點，試猜想長，并說明理由。

胡不歸、阿波羅尼斯圓、旋轉(zhuǎn)相（瓜豆模型點、四點共圓及圓中的相似形（重點：托勒密定理梅涅勞斯定理、瓦定理、西姆松定理（主講人：劉蔣?。┨骄繂栴}：（1）閱讀理解：①如圖（A已知ABC所在平面上存在一點P，使它到三角形頂點的距離之和最小，則稱點為ABC的費馬點，此時＋PB＋值為的費馬距離②如（B邊形的四個頂點在同一圓上則有CD＋·＝ACBD此為托勒密定理.（2）知識遷移：①請你利用托勒密定理，解決如下問題：如圖（C知點P為等邊外接圓的

上任意一點.證：PB＋PA.②根據(jù)（）①的結(jié)論，我們有如下探尋ABC（其中∠、∠B、∠小于120°）的費馬點和費馬距離的方法：第一步：如圖（Deq\o\ac(△,)ABC的外部以BC邊長作等邊BCD及其外接圓；

胡不歸、阿波羅尼斯圓、旋轉(zhuǎn)相（瓜豆模型點、四點共圓及圓中的相似形（重點：托勒密定理梅涅勞斯定理、瓦定理、西姆松定理（主講人：劉蔣?。┑诙剑涸?/p>

上任取一點PP′A、P′B、P′CP′D.知P′A＋P′B＋P′CP′A＋（P′B＋P′C）＝P′A＋；第三步：請你根據(jù)（1）①中定義，在圖（D）中找eq\o\ac(△,)ABC的馬點，并請指出線段長度即eq\o\ac(△,)ABC的費馬距離

的（3）知識應(yīng)用：20104，我國西南地區(qū)出現(xiàn)了罕見的持續(xù)干旱現(xiàn)象，許多村莊出現(xiàn)了人、畜飲水困難，為解決老百姓的飲水問題，解放軍某部來到云南某地打井取水已知三村莊A、、C構(gòu)成如圖（）所示的ABC（其中∠、∠B、∠C均小于120°選取一點打水井，使從水井P到三村莊A、C所鋪設(shè)的輸水管總長度最小，求輸水管總長度的最小值.6.梅涅斯理塞定、姆定梅涅勞斯定理設(shè)

',','

分別是ΔABC的三邊BC，AB或其長線上的點，若

',','

三點共線，則BA'''B'梅涅勞斯定理的逆定理條同，若

'CB''