中學物理學中的數(shù)學問題上

中學物理學中的數(shù)學問題目錄TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"引言:中學數(shù)學與物理關(guān)系ー窺 3\o"CurrentDocument"第一章比例、方程與方程組在中學物理學中的應用舉例 6!比例法在中學物理學中的應用 62力學中的方程與方程組應用舉例 93穩(wěn)恒電流中方程與方程組問題 174電磁場中的方程與方程組應用舉例 19\o"CurrentDocument"第二章函數(shù)的性質(zhì)在中學物理學中的應用 221函數(shù)的定義域在物理學研究中的作用 222函數(shù)的值域在中學物理學中的應用 273一次函數(shù)在中學物理學中的應用 284線性回歸在中學物理學中的應用 325二次函數(shù)與一元二次方程在中學物理學中的應用 33\o"CurrentDocument"6分段函數(shù)在中學物理學中的應用 397函數(shù)的單調(diào)性在中學物理學應用及其局限性 428函數(shù)的周期性在中學物理學中的應用 46\o"CurrentDocument"第三章導數(shù)和定積分在中學物理學中的應用 501利用導數(shù)求某些物理量的變化率問題 502利用導數(shù)求某些物理量的最值問題 563定積分及其在中學物理學中的應用（選學） 624極限思想在中學物理學中的應用（選學） 66\o"CurrentDocument"第四章不等式在中學物理學中的應用 721不等式的解法在中學物理學中的應用 722利用均值不等式求最值在中學物理學中的應用 773判別式在中學物理學中的應用 834線性規(guī)劃在中學物理學中的應用（選學） 87第五章三角函數(shù)在中學物理學中的應用 87!銳角三角函數(shù)在中學物理學中的應用 882同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系在中學物理學中的應用 933三角函數(shù)的單調(diào)性在中學物理學的應用 1004三角函數(shù)的值域在物理學中的應用 1035三角函數(shù)的圖象在中學物理學中的應用 1066反三角函數(shù)在中學物理學中的運用 1097兩角和與差的三角函數(shù)公式在物理學中的應用 1168輔助角公式在中學物理學中的應用 1199二倍角公式在物理學中的應用 12310半角公式在中學物理學中的應用 12611積化和差、和差化積公式的應用（選學） 128\o"CurrentDocument"12正弦定理和余弦定理在中學物理學中的應用 130\o"CurrentDocument"13三角函數(shù)在幾何光學中的應用 138引言一一中學數(shù)學與物理關(guān)系ー窺數(shù)學作為ー門工具,在高中物理的學習中時時存在數(shù)學方法的影子,在解題的過程中,除了面對物理知識的考察和理解外,可能也面臨著數(shù)學方法、數(shù)學知識的考驗，而有時數(shù)學方法的使用對解題能力的提升起到關(guān)鍵的作用.新的高中物理學科的考試說明對學生的能力考核從五個方面提出了具體的要求:ー是理解能力，二是推理能力,三是分析綜合能力，四是應用數(shù)學知識處理物理問題的能力,五是實驗能力，尤其是創(chuàng)新實驗能力.其中對應用數(shù)學知識處理物理問題的能力具體說明是:要求學生能夠根據(jù)具體問題列出物理量之間的關(guān)系式,進行相關(guān)推導和求解,并根據(jù)計算結(jié)果得出物理結(jié)論:必要時能靈活運用幾何圖形、圖像或函數(shù)關(guān)系式進行表達、分析.物理學利用種種數(shù)學表述手段為理論和實踐開辟道路、使物理學的結(jié)論可隨時加以嚴格檢驗.華東師大朱鉱雄教授說得好：“與歐幾里得幾何學的‘公理’不同的是，與幾何學相比,物理學有著附加的約束：它必須與真實世界相符?！备咧形锢碇匾暥糠治?，要用到數(shù)學方面的知識,數(shù)學基礎(chǔ)的好壞直接影響著物理成績的高低.比如在談到力的正交分解時要涉及到平面直角坐標系和三角函數(shù)的知識.而勻變速直線運動的規(guī)律中就是一次函數(shù)和二次函數(shù)及有關(guān)圖象的斜率問題.還有研究電磁感應的感應電流和感應電壓時,也經(jīng)常用函數(shù)圖象來表示,例如在力學中,我們可以從不同角度來研究力的作用效應，每種效應分別對應相應的規(guī)律，這便構(gòu)成了力學的三條主線.力的瞬時作用效應，是使物體產(chǎn)生相應的加速度,對應規(guī)律牛頓第二定律F=ma的數(shù)學表達式.カ的時間積累效應，是使物體的動量發(fā)生改變,對應規(guī)律動量定理F?t=P'-P的數(shù)學表達式.カ的空間積累效應，是使物體的動能發(fā)生改變,對應規(guī)律動能定理W=El氏的數(shù)學表達式.我們要訓練學生從實際問題的已知條件出發(fā),適當?shù)剡x擇物理規(guī)律來解決問題.特別是近幾年來高考對數(shù)學表達能力的考查要求提高了，所以對一些在高中物理中要用到的數(shù)學知識，如ー次函數(shù)圖象、圖線的斜率和截距、幾何中心、三角函數(shù)、解比例、二次函數(shù)的極值等等，都有必要進行補充復習和訓練，培養(yǎng)和提高數(shù)學表達能力.數(shù)學是與物理聯(lián)系最為緊密的學科之一,隨著高考改革的深入及素質(zhì)教育的全面推開，各學科之間的滲透不斷加強，作為對理解能力和演繹推理能力及運算能力都有很高要求的物理學科，在平時的學習中要隨時注重數(shù)學知識和物理內(nèi)容的整合.所謂的思而不學則罔,學而不思則殆，物理的數(shù)學和物理的哲學分別就是學與思.運用數(shù)學工具解決物理問題的能力，主要指兩個方面.一是從物理現(xiàn)象與過程出發(fā),經(jīng)過概括、抽象，把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題;二是綜合運用數(shù)學知識,例如比例關(guān)系、函數(shù)關(guān)系、不等式關(guān)系、幾何關(guān)系、極值關(guān)系等,正確、簡潔地進行有關(guān)問題的求解.數(shù)學知識不僅是解決物理問題的工具，本身也是ー種物理思維方法.具體地講,物理中考查的主要數(shù)學方法有：.圖象處理能力（1）給定圖象圖表信息,要求學生提取信息并處理，尋找規(guī)律.每年的物理試題中都會有大量的圖表圖例,包括示意圖、各種規(guī)律圖象、數(shù)據(jù)列表等，尤其是是些空間立體示意圖,要求學生從這些圖表圖象示意圖中獲取相關(guān)的信息ー即讀圖的能力;（2）用圖象描述物理規(guī)律.要求學生用圖象來描述物理現(xiàn)象、物理規(guī)律、計算結(jié)果等.如描述線框進入有界磁場區(qū)域時切割磁感線產(chǎn)生的感應電流或感應電動勢隨時間的變化圖線（全國髙考多次考查,是學生的難點），實驗題中的描點連線等;（3）用圖象法解決物理問題.圖象法解題屬于物理解題方法與技巧,是ー種非常好的物理思維方法.如速度一時間圖象、位移ー時間圖象、加速度ー時間圖象、磁通量一時間圖象、感應電流或電動勢ー時間圖象、分子力一分子間距離圖象、分子勢能一分子間距離圖象、彈簧彈カ一變化量圖象等,由于這些圖象能生動形象、一目了然地反映問題，因此,若能巧妙地運用對解題帶來很多方便.特別是動力學綜合題中運用速度一時間圖象是ー種很好的輔助方法.（4）輔助法比如運動過程草圖、受力分析圖、電路圖、光路圖、原子能級躍遷圖等,都是解題過程中的一種輔助手段,若能熟練地畫出相應的輔助圖,對解題帶來很大的幫助。.特殊數(shù)學思維方法在物理解題中要經(jīng)常用于ー些比較特殊的數(shù)學方法,比如數(shù)學歸納法（碰撞或往復運動模型中常見），正弦定理法（靜力學三カ平衡且三カ不是直角三角形時多見），相似三角法,三角函數(shù)極值法，二次函數(shù)判別式法（追趕問題、求極值問題等中多見）,不等式法（判斷題中多見），數(shù)列和二項式定理（能級躍遷求光子種類等中多見）,數(shù)形結(jié)合法（力學和電學中多見）,等等.還比如圓的對稱性及相關(guān)知識的運用就是個重要的物理方法，如帶電粒子在電磁場中的運動求半徑、求圓心、畫運動軌跡、判斷相關(guān)的角度（如進入磁場邊界時的對稱性）等,求相關(guān)極值,如圓形磁場的最小面積（最大弦長對應最小磁場面積）等。.估算法在物理學中經(jīng)常用到估算的辦法和近似的辦法以及小量的處理辦法.數(shù)學研究的是數(shù)量關(guān)系和幾何形態(tài),而這些必須是以自然界的物質(zhì)及其運動為對象的.離開了現(xiàn)實世界，數(shù)學研究就沒有意義,即使是數(shù)論和數(shù)理邏輯等抽象數(shù)學分支也不能例外.數(shù)學是解決物理問題的工具，是精確表述物理現(xiàn)象及其規(guī)律的語言，而不是向大自然發(fā)號施令的權(quán)杖.美國物理教師協(xié)會（AAPT）在1988年發(fā)表《中學物理課程內(nèi)容》的報告中指出:“應當讓中學生體驗到物理學是ー門發(fā)展中的科學,是現(xiàn)代前沿科學中最為激勵人心的學科之一.”數(shù)學和物理學的相互影響和促進,在整個近代科學史的發(fā)展過程中具有根本意義.不僅物理學離不開數(shù)學，數(shù)學也離不開物理學。早在20世紀30年代狄拉克就認為,基礎(chǔ)物理學是通過越來越能體現(xiàn)數(shù)學之美的理論取得進展的。數(shù)學、物理本是科學的李生子，有著共同的根源,幾個世紀以來,它們沿著各自的脈絡發(fā)展，至今已門類林立，內(nèi)容迥異.然而，今天應用的數(shù)學物理方法已經(jīng)不在局限于18世紀的導出的方程.這些方程反映相關(guān)物理現(xiàn)象的本質(zhì)和運動的基本規(guī)律.它們的確立，體現(xiàn)了人們的認識從表象走向本質(zhì)的飛躍，是這些學科走向成熟的ー個標志.當我們沉湎于具體方程的研究和學習時,往往并不滿足于這些方程抽象的表述形式和單純的理論探討，而迫切需要熟悉它們物理現(xiàn)象的本源,了解它們的物理和數(shù)學的直觀意義，以便進ー步開拓思維，把握實質(zhì)，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系,找到新的靈感.但要做到這一點，在今天已經(jīng)太不容易了，因為他們面前是一條橫在數(shù)學與物理學兩大學科之間的鴻溝.自然界中的一切事物都是質(zhì)和量的統(tǒng)一體,認識世界的重要途徑是對事物進行質(zhì)和量的考察,量變到質(zhì)變是事物發(fā)展的普遍規(guī)律.反映事物本質(zhì)屬性及其規(guī)律的物理學,不僅應有正確的定性描述,還必須準確地刻畫出量的變化規(guī)律,而且也只有當物理學由定性進入到定量的階段,オ算是真正把握住了事物的質(zhì)，オ標志著物理學已經(jīng)成熟,這當然離不開數(shù)學.物理學逐漸發(fā)展成為一門成熟的自然科學,它不僅用實驗方法代替了以往整體的觀察法而且引進了數(shù)學方法.在物理學研究中針對研究對象不同的特點,運用數(shù)學概念、方法和技巧,對研究對象進行量的分析、描述、計算和推導,從而找出能以數(shù)學形式表達事物的量的規(guī)律性.為了體現(xiàn)數(shù)學學科的工具性和實用性,加強學科間的滲透,并由此強化對學生的能力考查,我們編輯本書時特別注意兩點:ー不求全,物理學作為ー門學科,觸及的領(lǐng)域相當?shù)膹V泛,所涉及的知識面也十分的復雜.由于方程與方程組、銳角的三角函數(shù)、比例在物理學中應用得最多,而且在化學課中方程、比例也經(jīng)常應用，同學們也比較熟悉，不寫難以保證其完整性，因此本書略寫.陸游在《次韻和楊伯子見贈》中所要求的:“文章最忌百家衣，火龍觸敲（fufu）世不知.誰能養(yǎng)氣塞天地,吐出自足成虹霓.”對ー門學科的ー個體系或者ー個對象進行研究,所要掌握的數(shù)學知識也是要相當豐富的，采取的手段和方法也要準確、有意義.本書選題僅涉及中學物理學中數(shù)學問題的冰山一角,難以對浩如煙海的物理學中的數(shù)學問題做全面的概括;康托曾經(jīng)講過:'’在數(shù)學領(lǐng)域中,提出問題的藝術(shù)比解答問題的藝術(shù)更為重要.數(shù)學的本質(zhì)在于其自由.”海森堡講:“提出正確的問題往往等于解決了問題的大半.”李政道講:“對于科研工作者來說，最重要的是自己會不會提出問題.”本書僅僅是提出這些問題拋磚引玉，供同學們思考.有些內(nèi)容應用頻率較低，本書沒有單列,例如排列組合在中學物理學中的應用較少，但并不是沒有應用，例如原子能級的躍遷發(fā)射或者吸收光子的種類為CM,其它實例不再列舉.著名物理學家巴丁(J.Bardeen)的一段話很有啟發(fā)性:“處在這日益專業(yè)化的時代之中，得以認識到基本物理概念可能應用于一大批看起來五花八門的問題,是令人欣慰的。在理解某ー領(lǐng)域所獲得的進展常?？梢詰糜谄渌I(lǐng)域。這不僅對材料科學的眾多領(lǐng)域是確實的，對廣義而言的物質(zhì)結(jié)構(gòu)亦復如此。作為闡述的例證，為理解磁性、超流性和超導性所發(fā)展的概念也被推廣應用于眾多的領(lǐng)域，如核物質(zhì),弱與電磁相互作用，高能物理學的夸克結(jié)構(gòu)與眾多的液晶相”。德馳認為:“數(shù)學只能揭示抽象對象的真相.而物理學與其說是試圖研究這些對象,還不如說是發(fā)現(xiàn)哪個對象更符合現(xiàn)實.據(jù)我們所知,迄今為止，我們用來構(gòu)建物理學理論的純數(shù)學的比例非常小.”例如粒子和場以及空間和時間之間的所有關(guān)系都能用一系列可在圖靈機(圖靈機是我們目前廣泛使用的計算機的基礎(chǔ))上計算出來的數(shù)學運算表示出來.但是,德馳指出,為了在獲得萬物之理這條路上取得進步,我們可能需耍進入一些目前無法由計算機計算出來的數(shù)學領(lǐng)域.而且德馳進ー步表示,我們必須摒棄過去幾個世紀里已經(jīng)讓我們?nèi)〉镁薮筮M步的一個想法,那就是,如果我們從數(shù)學開始進行研究,現(xiàn)實也會跟著數(shù)學方法走.相反，我們必須首先用我們對物理宇宙的理解來解決問題,也即宇宙中的物質(zhì)正在慢慢減少，或者為什么引力比其他作用力更加微弱等:另外,我們也要盡力弄清楚,我們的宇宙觀發(fā)生什么變化才能解決這個問題.德馳指出：“很多理論物理學家們試圖首先用數(shù)學方法開始,但這根本無濟于事,永遠不會成功.”二不求難，中學物理學難度之大關(guān)鍵在于大量應用數(shù)學知識，我們僅就大部分學生能夠接受的問題進行分析研究，起到拋成引玉的作用,主要是讓學生體會數(shù)學與物理學的關(guān)系,為將來的學習與研究打下堅實的基礎(chǔ).本書初步歸納出了中學物理學中的幾個數(shù)學問題,以數(shù)學問題為主線展開.為了便于學生閱讀,書中涉及的數(shù)學知識均為中學數(shù)學范圍之內(nèi),由于涉及高中數(shù)學和物理學的全部內(nèi)容,因此本書適用于高三學生閱讀.由于時間倉促，錯誤在所難免,懇請廣大讀者給予斧正，聯(lián)系方式一diancizhi1iang@163.com.第一章比例、方程與方程組在中學物理學中的應用舉例.比例法在中學物理學中的應用所謂比值定義法.就是用兩個基本的物理量的“比”來定義一個新的物理量的方法.一般地,比值法定義的基本特點是被定義的物理量往往是反映物質(zhì)最本質(zhì)的屬性,它不隨定義所用的物理量的大小取舍而改變.在初中就有過物質(zhì)密度的定義，電阻的定義,到高中進ー步滲透這種方法,如確定的電場中的某一點的場強就不隨q、F而變;電容C的定義,用電荷量Q與電勢差U的比值來定義，但電容C是由電容本身決定的，與Q和U無關(guān);到后面的電勢、電勢差、磁通密度等都用這種方法來定義，當然用來定義的物理量也有一定的條件,如q為點電荷，S為垂直放置于勻強磁場中的一個面積等.類似的比值還有:壓強、速度、功率等等,就這樣把這種定義物理量的方法滲透在整個物理學中.比例是最基本也是最常用的數(shù)學建模方法之一.在物理學中有很多是基于這種方法而得到的公式,例如牛頓第二定律尸=儂,虎克定律尸=〃s,(虎克定律:彈カ大小與形變成正比).比例計算法可以避開與解題無關(guān)的量，直接列出已知和未知的比例式進行計算,使解題過程大為簡化.應用比例法解物理題，要討論物理公式中變量之間的比例關(guān)系,要清楚公式的物理意義和每個量在公式中的作用,以及所要討論的比例關(guān)系是否成立.同時要注意以下幾點.(1)比例條件是否滿足.物理過程中的變量往往有多個,討論某兩個量間的比例關(guān)系時要注意只有其他量為常量時オ能成比例.(2)比例是否符合物理意義.不能僅從數(shù)學關(guān)系來看物理公式中各量的比例關(guān)系,要注意每個物理量的意義.(如不能根據(jù)れフ認定電阻與電壓成正比)(3)比例是否存在.討論某公式中兩個量的比例關(guān)系時，要注意其他量是否能認為是不變量.如果該條件不成立,比例也不能成立.(如在串聯(lián)電路中，不能認為戶中タ與??成反比，因為??變化1\的同時，む也隨之變化而并非常量)許多物理量都是用比值法來定義的,常稱之為“比值定義”.如密度。ギ導體的電阻/iヰ，電容器的電容C鼻接觸面間的動摩擦因數(shù)〃=￡,電場強度ム=ラ等.它們的共同特征是:被定義的物理量是反映物體或物質(zhì)的屬性和特征的,它和定義式中相比的物理量無關(guān).通過數(shù)學推理的方法使復雜的計算過程簡單化.我們常遇到有些綜合題所反映的物理過程往往比較復雜，其中,有些物理量是并不要求解出的,但它在解題中恰恰又需要，這樣的物理量稱作中間量.對中間量的處理如果我們指導學生用數(shù)學的方法進行推導，往往這些中間量不但不需要計算出來，甚至還可以不需要在解題過程中體現(xiàn)，可舍去反復套用公式的過程，免去不必要的中間量計算，從而減少大量的計算,使解題既科學又簡捷.例1ー支刻度均勻，但讀數(shù)不準的溫度計，在1標準大氣壓下，放入沸水中示數(shù)為94ヒ，放在冰水混合物中示數(shù)為4℃,用它測教室溫度為22℃,求教室內(nèi)實際溫度.利用數(shù)學比例法較為方便,由題意可列比例計算.絲ニさ=型二±,解得t=20℃.100t例2A,B兩球的密度之比是4:3,質(zhì)量之比是5:3,如果把它們同時浸沒在同一種液體之中.它們受到的浮力之比是多少?解析：本題不知質(zhì)量和密度的具體數(shù)值，又不知道浸沒在何種液體之中,無法求出兩球受到的具體浮力.但是知道質(zhì)量和密度的關(guān)系,要確定它們受到的浮力之比，只有通過已知的比值關(guān)系來解決.答：它們的浮力之比是5：4.

例3ー個物體浸沒于煤油中受到的浮力為7.84N,若將它浸沒于水中,它受到的浮力為多大?解:由于排開液體體積相同,都等于物體體積,又g為常數(shù),由公式ド浮=0液gV排可知汽浮與。液成正比,所以:絲=得:F="咒=1.。とI。ア5./二;x7.84N=9.8NF油。油 水。油O.8xlOUg/ガ例4ー標有“220V100W”字樣的白熾燈泡接入到240V的電路中，其實際功率為多少?解;由于燈絲的電阻R為常數(shù)，由公式P=?一可知P與。2成正比，所以:R-ーー-；2x100W?119W220VR.Ul,U.j./Uセ、2-ーー-；2x100W?119W220V/U額 U額 U額例5通過一理想變壓器，經(jīng)同一線路輸送相同的電功率P,原線圈的電壓U保持不變，輸電線路的總電阻為R.當副線圈與原線圈的匝數(shù)比為k時,線路損耗的電功率為R,若將副線圈與原線圈的匝p2數(shù)比提高到nk,線路損耗的電功率為P2,則巳和藍分別為（）PR1A?PR1A?疝公【解析】選D.由原副線圈電壓比/=（得，副線圈的電壓U'=Uk,線路損耗巳=/セ）ゝ=（匐）,同理Pz=2同理Pz=2P21

R'Pin"故D項正確.例6如圖所示，氣缸放置在水平平臺上,活塞質(zhì)量為10kg,橫截面積50cm：厚度1cm,氣缸全長21cm,大氣壓強為IXltfPa,當溫度為ブC時，活塞封閉的氣柱長10cm,若將氣缸倒過來放置時，活塞下方的空氣能通過平臺上的缺口與大氣相通.g取lOm/sユ求:（1）氣柱多長?（2）當溫度多高時，活塞剛好接觸平臺（活塞摩擦不計）.PiLi=P2PiLi=P2L2L2=15cm(1)先等溫變化：Pi=Po+—=1.2X105Pa,P2=Po--=0.8X105Pas s（2）后等壓變化:ル』=（273+7）K=280K,L2=15cm,L3=20cm，點マ，T3^T2丁T2=373K12 13V2L2例7某位溜冰愛好者在岸上從ク點由靜止開始勻加速助跑，2s后到達岸邊ス處，接著進入冰面（冰面與岸邊基本相平）開始滑行,又經(jīng)3s停在了冰上的6點，如圖甲所示.若該過程中他的位移是x,速度是ス受的合外力是E機械能是E,則對以上各量隨時間變化規(guī)律的描述,圖乙中正確的是（）解析:選BC.溜冰者前2s做勻加速運動,后3s在滑動摩擦力作用下做勻減速運動.設(shè)最大速度為丹,則加速度大小之比為色=號=*由牛頓第二定律,合外力大小之比纟=5=*選項A錯誤,B、C正確;前2s機械能增大，后3s機械能減小，選項D錯誤.例8如果把水星和金星繞太陽的運動視為勻速圓周運動,從水星與金星在一條直線上開始計時,若天文學家測得在相同時間內(nèi)水星轉(zhuǎn)過的角度為火;金星轉(zhuǎn)過的角度為〃式出、の均為銳角），則由此條件可求得（）L……ヽ、//' ，，ベい.?水—'、、"、ー./ノ

、、.……ノA,水星和金星繞太陽運動的周期之比;B,水星和金星的密度之比C.水星和金星到太陽的距離之比:D.水星和金星繞太陽運動的向心加速度大小之比B天宮一號B天宮一號〇幾 〇ji TQ.故C【解析】選ACD.設(shè)水星、金星的公轉(zhuǎn)周期分別為￡、T2,—t=0.-1=外,アゴ,A正確.因故C不知兩星質(zhì)量和半徑,密度之比不能求,B錯誤.由開普勒第三定律,“ （2吟2 （2吟2 a3/~^j正確.31=1-JR\,a：=l-JR>,所以キ=ヽ/萬，D正確.例8:如題21圖所式,矩形就W0區(qū)域內(nèi)有方向垂直于紙面的勻強磁場,有5個帶點粒子從圖中箭頭所示位置垂直于磁場邊界進入磁場，在紙面內(nèi)做勻速圓周運動,運動軌跡為相應的圓弧,，這些粒子的質(zhì)量,電荷量以及速度大小如下表所示.題21圖題21圖粒子編號質(zhì)量電荷量(g>0)速度大小1m2gV22m2g2v33m-3q42m2g3v52m-qV由以上信息可知,從圖中abc處進入的粒子對應表中的編號分別為A.3,5,4【答案】A.3,5,4【答案】DB.4,2,5C.5,3,2 D.2,4,5【解析】根據(jù)半徑公式「=つ結(jié)合表格中數(shù)據(jù)可求得1—5各組粒子的半徑之比依次為0.5：2:3Bq：3：2(說明第一組正粒子的半徑最小,該粒子從MQ邊界進入磁場逆時針運動.由圖a、b粒子進入磁場也是逆時針運動,則都為正電荷,而且a、b粒子的半徑比為2：3,則a一定是第2組粒子,b是第4組粒子.c順時針運動，都為負電荷，半徑與a相等是第5組粒子.正確答案D在實際運用中有很多內(nèi)容,讐如對于存在某種比例關(guān)系的物理量之間,運用比例求解往往可使過程簡化.海王星發(fā)現(xiàn)過程的曲折，也許更能夠反映科學發(fā)現(xiàn)開始的試湊路徑.在1821年，AlexisBouvard出版了天王星的軌道表,隨后的觀測顯示出與表中的位置有越來越大的偏差，使得Bouvard假設(shè)有ー個攝動體存在.但是這顆新的行星在什么地方,要發(fā)現(xiàn)它,想來就像大海撈針ー樣困難.麥克斯韋認為:自然科學的皇后是數(shù)學.把數(shù)學分析和實驗研究聯(lián)合使用所得到的物理知識，比之ー個單純實驗人員或單純的數(shù)學家能具有的知識更堅實,有益和鞏固..力學中的方程與方程組應用舉例物理學是研究物質(zhì)運動中最基本最普遍的形式,但這些運動又普遍的存在于其它高級的,復雜的運動形式之中.因此可以認為,物理學是一切自然科學的基礎(chǔ).又是當代工程技術(shù)的重大理論支柱,這已是物理學的三次大突破,從而引起的三次工業(yè)革命的歷史所應證.物理學是大類巨大的精神財富的寶地,在這塊寶地上不僅結(jié)出了震撼世界的花朵,而且孕育了牛頓,愛因斯坦等科學巨匠,所以這塊寶地很值得我們?nèi)ラ_墾,這些精神財富值得我們?nèi)ネ诰?去研究.力學作為ー門經(jīng)典的學科，ー開始就同人們的生活和生產(chǎn)緊密相關(guān).中學階段所學習的カ學知識，不但是為后續(xù)課程打基礎(chǔ)，也是為畢業(yè)后參加生產(chǎn)勞動做準備.力學是物理學的有機組成部分，它在物理學中占重要的位置,并且對天文學及各種工程學都有極大的貢獻.我國古代在力學方面就已有了很多偉大的成就.希臘的亞里士多德ー他在重心、杠桿、浮力等方面均有建樹,為靜力學的發(fā)展奠定了基礎(chǔ).15世紀以后,歐洲興起了文藝復興使力學進入了一個空前未有的發(fā)展階段.在15世紀到18世紀內(nèi)逐步建立了比較完整的力學系統(tǒng)理論.首先應提到哥白尼,他提出了日心學說引起了宇宙觀的大革命;開普勒總結(jié)了行星運動之定律;伽利略研究了落體和斜面運動的規(guī)律,提出了加速度的概念，并第一次正確認識到加速度與外部作用的關(guān)系,為動力學的發(fā)展更定了基礎(chǔ).牛頓的《原理》無疑是物理學史中第一部劃時代的著作.他第一次用實驗、觀察、假設(shè)和推理形成了完整的理論體系揭示相互作用和運動的關(guān)系,而不限于對個別的現(xiàn)象和過程的描述.他運用微積分這ー最為恰當?shù)臄?shù)學工具刻畫力學規(guī)律,從而使人們通過相互作用和運動狀態(tài)的瞬時關(guān)系去認識全過程.力學是研究物質(zhì)機械運動規(guī)律的ー門科學.力學在整個中學物理教材中占有很重要的地位.首先,力學是物理學的基礎(chǔ).物質(zhì)的機械運動是一切運動形式中最基本、最普遍的運動形式;每ー種較高級、較復雜的運動形式都包含著簡單的機械運動.在中學物理中，力學中的一些基本概念，如カ、質(zhì)量、功和能的概念，以及力學的一些基本規(guī)律,如牛頓運動定律、動量守恒定律、能的轉(zhuǎn)化和守恒定律等，是物理學最基本、最重要的概念和規(guī)律,它們在物理學中貫穿始終.研究力學的基本方法-ー以觀察、實驗為基礎(chǔ),抽象、概括出物理規(guī)律,把實驗同數(shù)學方法緊密結(jié)合起來，運用圖像、數(shù)學語言、數(shù)學推理來表示和論證物理規(guī)律,運用理論知識分析實際問題等等，這也是學習物理學其它部分所必需的.總之，力學知識及其研究問題的方法，在后繼課程中用處很大.其次,力學知識最早起源于対自然現(xiàn)象的觀察和在生產(chǎn)勞動中的經(jīng)驗.人們在建筑、灌溉等勞動中使用杠桿、斜面、汲水器具，逐漸積累起對平衡物體受力情況的認識.古希臘的阿基米德對杠桿平衡、物體重心位置、物體在水中受到的浮力等作了系統(tǒng)研究,確定它們的基本規(guī)律，初步奠定了靜カ學即平衡理論的基礎(chǔ).古代人還從對日、月運行的觀察和弓箭、車輪等的使用中了解ー些簡單的運動規(guī)律,如勻速的移動和轉(zhuǎn)動.伽利略在實驗研究和理論分析的基礎(chǔ)上,最早闡明自由落體運動的規(guī)律，提出加速度的概念.牛頓繼承和發(fā)展前人的研究成果（特別是開普勒的行星運動三定律）,提出物體運動三定律.伽利略、牛頓奠定了動力學的基礎(chǔ).牛頓運動定律的建立標志著力學開始成為ー門科學.它雖然是一門古老的學科，但今天仍富有旺盛的生命力.打好經(jīng)典力學基礎(chǔ),對于進ー步學習物理學及其它現(xiàn)代科學技術(shù)和生產(chǎn)知識,是必不可少的準備.第三，力學部分在中學物理教材中討論得比較詳細、系統(tǒng)和完整，這從教學法觀點及學生的學習效果看來也是可取的.因此,一般的中學物理教材，都把力學作為整個教材的重點,要求學生對整個カ學部分的內(nèi)容掌握的比較牢固，對力學的基本概念與規(guī)律，要求做出一定的定量的分析和描述.這也給培養(yǎng)學生實驗，邏輯思維和數(shù)學運算等三方面能力提供了充分的機會.從學時上來看,力學占整個中學物理教材比重的三分之一強,這也充分說明了它的重要地位和作用.例1ー探險隊員在探險時遇到一山溝，山溝的ー側(cè)豎直,另ー側(cè)的坡面呈拋物線形狀.此隊員從山溝的豎直一側(cè),以速度の沿水平方向跳向另一側(cè)坡面.如圖所示,以溝底的。點為原點建立坐標系Oxy.已知,山溝豎直一側(cè)的高度為2ん坡面的拋物線方程為尸キザ，探險隊員的質(zhì)量為加入視為質(zhì)In點，忽略空氣阻カ，重力加速度為g（1）求此人落到坡面時的動能;（2）此人水平跳出的速度為多大時，他落在坡面時的動能最小?動能的最小值為多少?

【解析】(1)設(shè)該隊員在空中運動的時間為わ在坡面落點的橫坐標為出縱坐標為ト由運動學公式和已知條件得オ=兩度)，【解析】(1)設(shè)該隊員在空中運動的時間為わ在坡面落點的橫坐標為出縱坐標為ト由運動學公式和已知條件得オ=兩度)，2カー尸らア2根據(jù)題意有尸キ由機械能守恒,落到坡面時的動能為ルア=/加+儂(2わ一y)聯(lián)立①?③?式得う/デ=貝宣+詳—.②③④⑤(2)⑤式可以改寫為ア=2gh丫^>+gh)+3g〃ビ的極小的條件為⑥式中的平方項等于0,由此得vo=yfff/i此時ザ=3gh,則最小動能為隰デ).=)建?力.V/min乙【答案】う(謚+含仁)⑵迎ちgh例2假設(shè)地球是一半徑為柩質(zhì)量分布均勻的球體.ー礦井深度為d已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零.礦井底部和地面處的車力加速度大小之比為()A.り,dA.り,dB.1+/【解析】選A.由萬有引力定律,地面處質(zhì)量為卬的物體車力為:磔=華①，g為地面處重力加速度,"為地球質(zhì)量，則,kP三KR②，0為地球密度，由題中信息知該物體在礦井底部重力為:儂’=一::k③,0 (K-a)g'為礦井底部的重力加速度且"=ベ④.聯(lián)立①(D③④得:J=1一ラ故A項正確.gK例3如圖所示，固定放置的豎直斜面AB的下端與光滑的圓弧BCD的B點相切，圓弧軌道的半徑R=0.5m,圓心。與A、D在同一水平面上，角COB=37°,現(xiàn)有質(zhì)量為m=0.1kg的小物體從距D點h=0.2R的地方無初速的釋放,已知物體恰能從D點進入圓軌道.(重力加速度g=10m/sラ求:(1)為使物體不會從A點沖出斜面,物體與斜面間的動摩擦因數(shù)至少為多少?(2)若物體與斜面間的動摩擦因數(shù)〃=0.25,求物體在斜面上通過的總路程.0C(3)在(2)的條件下，小物體通過圓弧軌道最低點C時，對C的最小壓カ是多少?0C(1)為使小物體不會從A點沖出斜面，由動能定理得TOC\o"1-5"\h\zRcosff ハReos?へ小 必加一」?但EMkId sin^ ^mg ル"〃geos。 =0①,解得動摩擦因數(shù)至少為:〃= ②4 sin。 4cos。(2)分析運動過程可得,最終小物體將從B點開始做往復的運動,由動能定理得,Heosタハ、ハハヘ イmg( 4-Reos)-jumgScos=0 ③解得小物體在斜面上通過的總路程為:S=5RCO? (4)2sin。(3)由于小物體第一次通過最低點時速度最大,此時壓力最大,由動能定理,得mg(汽。。"。+R)=丄6y2 ⑤,由牛頓第二定律,得乂マー叫=加二 @4 2 * R聯(lián)立⑤⑥,解得Nmax=3mg+；/ngcos。 ⑦最終小物體將從B點開始做往復的運動,則有mgR(l-cosの=jmv2 ⑧ハ^汕ー儂二川?^ ⑨K聯(lián)立⑧⑨,解得NminMWgG-2cosの ⑩由牛頓第三定律,得小物體通過圓弧軌道最低點C時對C的最大壓カNmax=3"吆+gmgcos。 (11)最小壓カNmm=颼(3-2cosの (13例4如圖所示,靜止放在水平桌面上的紙帶,其上有一質(zhì)量為m=0.1kg的鐵塊,它與紙帶右端的距離為L=0.5m,所有接觸面之間的動摩擦因數(shù)相同.現(xiàn)用水平向左的恒カ，經(jīng)2s時間將紙帶從鐵塊下抽出,當紙帶全部抽出時鐵塊恰好到達桌面邊緣且速度為v=2m/s.已知桌面高度為H=0.8m,不計紙帶重力，鐵塊視為質(zhì)點.重力加速度g取!0m/s2,求:(1)鐵塊拋出后落地點離拋出點的水平距離;(2)動摩擦因數(shù);(3)紙帶抽出過程屮系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能.0.8ml解:(1)設(shè)鐵塊離開桌面后經(jīng)時間t落地水平方向:x=vt①,豎直方向:上事や②,由①②聯(lián)立解得:#0.8m.(2)設(shè)鐵塊的加速度為國,運動時間為ム,由牛頓第二定律,得"mg=ma您紙帶抽出時,鐵塊的速度『=ゆヵ④,③④聯(lián)立解得“=0.1.(3)鐵塊的位移x尸;&ム2⑤，設(shè)紙帶的位移為止由題意知，在ー小=ム⑥由功能關(guān)系可得紙帶抽出過程中系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能E=レmgx工+PmgL⑦由③④⑤⑥⑦聯(lián)立解得E=0.3J例5ー質(zhì)量m=200kg,高2.00m的薄底大金屬桶倒扣在寬廣的水池底部，如圖所示.桶的內(nèi)橫截面積S=0.500m)桶壁加桶底的體積為V°=2.50X10ー相.桶內(nèi)封有高度為1=0.200m的空氣.池深H。=2〇.0m,大氣壓強p0=10.00m水柱高,水的密度P=1.OOOX103kg/m\重力加速度取g=10.OOm/s?.若用圖中所示吊繩將桶上提,使桶底到達水面處，求繩子拉カ對桶所需何等的最小功為多少焦耳?(結(jié)果要保留三位有效數(shù)字).不計水的阻カ,設(shè)水溫很低，不計其飽和蒸汽壓的影響.并設(shè)水溫上下均勻且保持不變.解析：當桶沉到池底時，桶自身重力大于浮力.在繩子的作用下桶被緩慢提高過程中，桶內(nèi)氣體體積逐步增加,排開水的體積也逐步增加,桶受到的浮力也逐漸增加,繩子的拉カ逐漸減小,當桶受到的浮力等于重力時,即繩子拉カ恰好減為零時,桶將處于不穩(wěn)定平衡的狀態(tài)，因為若有一擾動使桶略有上升，則浮力大于重力，無需繩的拉カ，桶就會自動浮起，而不需再拉繩.因此繩對桶的拉カ所需做的最小功等于將桶從池底緩慢地提高到浮力等于重力的位置時繩子拉桶所做的功.甲設(shè)浮力等于重力的不穩(wěn)定平衡位置到池底的距離為H,桶內(nèi)氣體的厚度為1',如圖甲所示.因為總的浮力等于桶的重力mg,因而有：P(rS+Vo)g=mg,有:1'=0.350m ①在桶由池底上升高度H到達不穩(wěn)定平衡位置的過程中,桶內(nèi)氣體做等溫變化,由玻意耳定律得:[po+Ho—H—(lo—)]1'S=[po+Ho—(lo—1f)]IS②TOC\o"1-5"\h\z由①、②兩式可得:H=12.240m ③由③式可知HV(Ho-T),所以桶由池底到達不穩(wěn)定平衡位置時，整個桶仍浸在水中.由上分析可知，繩子的拉力在整個過程中是ー個變カ.對于變カ做功,可以通過分析水和桶組成的系統(tǒng)的能量變化的關(guān)系來求解：先求出桶內(nèi)池底緩慢地提高了H高度后的總機械能量AE.AE由三部分組成:(1)桶的重力勢能增量:AEi=mgH ④(2)由于桶本身體積在不同高度處排開水的勢能不同所產(chǎn)生的機械能的改變量A%,可認為在H高度時桶本身體積所排開的水是去填充桶在池底時桶所占有的空間，這時水的重力勢能減少了.所以：AE2=-PgVoH ⑤(3)由于桶內(nèi)氣體在不同高度處所排開水的勢能不同所產(chǎn)生的機械能的改變AE3,由于桶內(nèi)氣體體積膨脹，因而桶在H高度時桶本身空氣所排開的水可分為兩部分：一部分可看為填充桶在池底時空氣所占空間,體積為1S的水，這部分水增加的重力勢能為:AE產(chǎn)一PgHlS⑥.另一部分體積為d'-DS的水上升到水池表面,這部分水上升的平均高度為：Ho-H-lo+1+—,增加的重力勢能為:AE32=PgS(l'—1)[Ho—H—1〇+1+---]⑦2由整個系統(tǒng)的功能關(guān)系得,繩子拉カ所需做的最小功為:Wt=AE ⑧.將④、⑤、⑥、⑦式代入⑧式得:Wt=PgS[d'一D(Ho-lo)+(9)將有關(guān)數(shù)據(jù)代入⑨式計算,并取三位有效數(shù)字，可得:W尸1.37X1O'J例6如下圖所示，質(zhì)量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞〇點做勻速周運動(筆者注：嚴格講為橢圓),星球A和B兩者中心之間距離為L.已知A、B的中心和〇三點始終共線，A和B分別在。的兩側(cè).引力常數(shù)為G.(1)求兩星球做圓周運動的周期.(2)在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B,月球繞其軌道中心運行為的周期記為但在近似處理問題時，常常認為月球是繞地心做圓周運動的,這樣算得的運行周期し.已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98X1021kg和7.35X1022kg.求Tク與「兩者平方之比.(結(jié)果保留3位小數(shù))

圖2圖2解析:⑴A和B繞。做勻速圓周運動,它們之間的萬有引力提供向心力,則A和B的向心力相等.且A和B和〇始終共線,說明A和B有相同的角速度和周期.因此有:W。シ=版/R,r+R=L,m MR= Lr= L連立解得w+M,m+M,對A根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得%-癡竺）2M T=2_￡_ズ一皿ア）…厶,化簡得: 短（M+M.⑵將地月看成雙星,由⑴得 + 將月球看作繞地心做圓周運動,根據(jù)牛頓第GMm （2.）2上ア=2開Iピ二定律和萬有引力定律得?T,化簡得:2- .所以兩種周期的平方比值m+M5.98x1024m+M5.98x1024+7.35x10225.98x10”1.01通過計算說明,二者的數(shù)值差距不大,地球質(zhì)量比月球質(zhì)量明顯大，質(zhì)心與地心距離近，月球的軌跡接近圓，但是地月系統(tǒng)看做是雙星現(xiàn)象オ抓住了事物的本質(zhì)，這樣オ滿足對稱性原理.例7月球與地球質(zhì)量之比約為1：80I有研究者認為月球和地球可視為ー個由兩質(zhì)點構(gòu)成的雙星系統(tǒng),他們都圍繞月球連線上某點〇做勻速圓周運動.據(jù)此觀點,可知月球與地球繞〇點運動生物線速度大小之比約為A.1：6400B.1:80C.80:1 D:6400:l【解析】月球和地球繞〇做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供各自的向心力,則地球和月球的向心力相等.且月球和地球和〇始終共線，說明月球和地球有相同的角速度和周期.因此有v_rMma）2r=Mco-R,所以レRm,線速度和質(zhì)量成反比，正確答案C.例8我們的銀河系的恒星中大約四分之一是雙星.某雙星由質(zhì)量不等的星體,和シ構(gòu)成,兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某ー定點C做勻速圓周運動.由于文觀察測得其運動周期為T,Si到C點的距離為n,Si和Sク的距離為r,已知引力常量為G.由此可求出S的質(zhì)量為（D）

4ガパ(ーキ) 4イバ4ガバGT?4ガパ(ーキ) 4イバ4ガバGT?B.GT2C.GT2D.GT?筆者認為,上面的題目說雙星大約占1/4是錯誤的,實際上應該都是雙星現(xiàn)象，當兩個星體的質(zhì)量差距很大時，質(zhì)量較大的星體運動范圍較小,難以觀察.例9.地月系統(tǒng)的拉格朗日點的計算圖1拉格朗日點設(shè)地球質(zhì)量為M,月球質(zhì)量為m,小物體質(zhì)量為C,地球與小物體距離為L,月球與其距離為1,小物體受カ平衡,對L1點有:G-jT=G聲+CL心R(2)其中G為萬有引力常數(shù),の為月球繞地球旋轉(zhuǎn)的角速度.設(shè)R(2)(2)代入(1)得:GMa1=Gm(l-a)2+a2/?3(l-4蘇(4)(6)⑶式進ー步化簡,得:Ma\l-a+a2)=m(1-a)2(6)右邊接近于1,舍棄,得:因a很小,故舍棄左邊括號中a的二次方項,得：ー右邊接近于1,舍棄,得:(8)這ー公式對任意這類系統(tǒng)都成立.Gヰ+g/=cム療對L2.L3點有: L I一

(10)L-l=+R(10)可解得し、屋各自的レ1值.F}=G-J- F2=G---G—z—對し、Ls點,M對C引力可分為兩部分: 卜 '匕卜B與m對C引力大小相等,夾角為60°,其合力F使C沿M與m連線做瞬時定軸轉(zhuǎn)動,剩下的W部分提供C尸=百6=6G咚=C（丄］例2與mー起繞M轉(zhuǎn)動的向心力. ト 12丿愛因斯坦注重數(shù)學的方法,如果他不注重數(shù)學方法的運用，他的任何ー項科學研究都將擱淺.狹義相對論和廣義相對論的成功表述,在于他正確地選擇了數(shù)學方法,如在等效原理提出后,愛因斯坦曾苦于找不到適當?shù)臄?shù)學方法推進研究.為了尋求合理的數(shù)學形式保持在任意坐標下的協(xié)變性,他請教了老同學蘇黎世工業(yè)大學數(shù)學教授格羅斯曼,格羅斯曼向愛因斯坦推薦“絕對微分學”.利用“絕對微分學”，愛因斯坦便嘗試著建立起一個滿足在任意坐標變換下的引力場方程.愛因斯坦提出了廣義相對論促進了整個微分兒何的發(fā)展;反之，微分幾何的高度發(fā)展，又使人們可以更為理性和邏輯地思考問題.分析力學是理論力學的ー個分支，它以虛功原理和達朗貝爾原理為基礎(chǔ),利用標量形式的廣義坐標來代替矢量力學的矢徑，將對能量和功的分析來代替矢量力學中對カ和力矩的分析，從而有可能利用純粹數(shù)學分析的方法導出基本的運動微分方程,并研究這些方程的本身和積分方法.它是獨立于牛頓力學的另ー種描述力學世界的體系,且表達式也是對經(jīng)典力學的髙度數(shù)學化的表達..穩(wěn)恒電流中方程與方程組問題電學綜合題的特點:電路中接有多只開關(guān)或滑動變阻器,通過開關(guān)的斷開、閉合或滑動變阻器的滑片的移動來改變電路結(jié)構(gòu).解答這類型題的方法:分析電路結(jié)構(gòu)，正確畫出各狀態(tài)的等效電路圖，熟練掌握串、并聯(lián)電路的特點,靈活運用電學計算公式,根據(jù)題中隱藏的等式或題中已給的等式列出有關(guān)的方程或方程組.通常串聯(lián)電路;并聯(lián)電路的特點均可作為列方程的依據(jù);除此外狀態(tài)不同的電路可根據(jù)電源電壓不變列方程.（1）如果選用幾個公式方程聯(lián)立成方程組作解題方程時：優(yōu)選乘積形式的公式.如歐姆定律公式基本形式I=U/R、電壓變形式U=IR、電阻變形式R=U/I三種.其中U=IR呈乘積形式，屬于整式方程.（2）解題方程的組合類型.從眾多的方程組優(yōu)選出結(jié)構(gòu)簡單且易于解析的方程組.依據(jù)是：ー、構(gòu)成方程組的方程數(shù)量越少越好:二、方程里未知數(shù)的次數(shù)、越低越簡單;三、整式方程比分式方程簡單.四、單項式方程比多項式方程簡單.例1如圖，U恒定不變.當R“接入R時，定值電阻R。消耗的功率為P°.要使R。消耗的功率為原來的1/4.求:滑動變阻器接入電路的電阻?分析：此題電路連接并不復雜，兩電阻串聯(lián)，題中出現(xiàn)兩種狀態(tài)的電路,分析兩種狀態(tài)下的情況，發(fā)現(xiàn)電源電壓始終不變，即U=U,可根據(jù)此等式列方程.解：方法一：利用U不變列方程

J—(R+R0)=J1Z叵(R'+R。)VRoVR-U=I(Ro+R)方法二: "U=I(Ro+RJI2Ro=4l'2圖方法三:利用?=ー4。答案:Rx=2R+R。圖例2某電熱器內(nèi)有兩根電阻絲,只接第一跟時,電熱絲中的水經(jīng)過12分鐘沸騰;只接第二根時,電熱絲中的水經(jīng)過24分鐘沸騰.假如兩根串聯(lián)后通電時,問:電熱器中的水幾分鐘沸騰?設(shè)電源電壓和水的質(zhì)量不變. (36分鐘)分析:題中隱藏的等量關(guān)系有:Q尸QlQ：,且U不變由此列出方程組CQ尸ビh爾 (1)，Q2=U2t2/R2 (2)しQ=U2t/(Ri+Rz)(3)另外,還可根據(jù)串聯(lián)電路的特點:R=Ri+Rz列方程，把(1)、(2)、(3)式代入此式更加簡變例3如圖所示電路中，Ri為定值電阻，比最大阻值為36歐的滑動變阻器,電源電壓不變.當滑片P在a端時，Ri上消耗的電功率為R,電壓表的示數(shù)為9伏特.求:(1)此時Rz上消耗的功率凡是多少?(2)當滑片滑至b端時，Ri上消耗的功率為P」=16Pi.問:該電源的電壓是多少?(2.25W,12V)分析:當滑片P滑至b點時P'=U2/Ri(1)代入P'=16P可求得U=12V當滑片P滑至a點時P=U代入P'=16P可求得U=12V例4如圖2,滑動變阻器比的滑片置于阻值最大處時,電壓表的示數(shù)是4V.將變阻器的滑片P向左滑動使R減少為原來的1/4時，電壓表的示數(shù)為8V.求:(1)電源電壓(2)も消耗的功率是原來的幾倍?心=5+レ R2/R1=4V+4V?R2/R, (1)U=U；+U2 R2/R1=8V+8V?-R2/R, (2)4答案:U=12V,1瓦例5.一燈泡與一電阻串聯(lián)接入電路，當燈泡正常發(fā)光時電阻消耗的功率為ジ，當單獨將這一電阻接入同一電路時,它消耗的功率為P,求燈泡的額定功率.「U7R=Pp'=i2r=[pl=Vpp-P]例6.如圖電源電壓不變,當S閉合時,し所消耗的功率為50瓦;當S斷開時,Lク所消耗的功率為8瓦，且比此時し所消耗的功率小,求: しL,當S斷開時し的實際功率.（32瓦） q 1、IJ7RF50 一區(qū)片ネっKP+8/U）R=P所謂數(shù)學方法，就是要把客觀事物的狀態(tài)、關(guān)系和過程用數(shù)學語言表達出來,并進行推導、演算和分析，以形成對問題的判斷、解釋和預測.可以說，任何物理試題的求解過程實質(zhì)上是ー個將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題再經(jīng)過求解還原為物理結(jié)論的過程.狄拉克曾經(jīng)說過:“我想我正是和這一概念（優(yōu)美的數(shù)學）ー起來到這個世界上的.如果物理定律在數(shù)學形式上不美，那就是ー種理論還不夠成熟的標志,說明理論有缺陷,需要改進.我沒有試圖直接解決某一物理問題，而只是試圖尋找某種優(yōu)美的數(shù)學.”.電磁場中的方程與方程組應用舉例愛因斯坦說過：“為什么數(shù)學比其他一切科學受到特殊的尊重，ー個理由是它的命題是絕對可靠而無可爭辯的，而其他一切科學的命題在某種程度上都是可爭辯的，并且經(jīng)常處在被新發(fā)現(xiàn)的事實推翻的危險之中….但是數(shù)學之所以有高的聲譽，還有另一個理由,那就是數(shù)學給予精密自然科學以某種程度的可靠性.沒有數(shù)學，這些科學是達不到這種可靠性的.理論科學家在他探索理論時，就不得不愈來愈從純粹數(shù)學的形式考慮,因為實驗家的物理經(jīng)驗不能把他提高到最抽象的領(lǐng)域中去.我們這個世界的圖景是“可以由音樂的音符組成，也可以由數(shù)學的公式組成.目前，我只是全心撲在引力問題上，我現(xiàn)在相信,依靠這里的一位友好的數(shù)學家的幫助，我將制服這些困難.但有一點是肯定的，在我整個ー生中，我工作得都遠不夠努力，我已變得非常尊重數(shù)學,在此以前，我簡單的頭腦把數(shù)學中精妙的部分當作純粹的奢侈，與這個問題相比,最初的相對論只是兒戲而已.在物理學中,通向更深入的基本知識的道路是同最精密的數(shù)學方法聯(lián)系著的.從有點象馬赫的那種懷疑的經(jīng)驗論出發(fā)，經(jīng)過引力問題，我轉(zhuǎn)變成為ー個信仰唯理論的人，也就是說，成為ー個到數(shù)學的簡單性中去尋求真理的唯一可靠源泉的人.邏輯簡單的東西,當然不一定就是物理上真實的東西.但是，物理上真實的東西一定是邏輯上簡單的東西，也就是說,它在基礎(chǔ)上具有統(tǒng)ー性.物理學家們說我是數(shù)學家,數(shù)學家們又把我歸為物理工作者.我是ー個完全孤立的人，雖然所有人都認識我,卻沒有多少人真正了解我.不要擔心你在數(shù)學上遇到的困難;我敢保證我遇到的困難比你還大得多.我們的經(jīng)驗已經(jīng)使我們有理由相信,自然界是可能想象到的最簡單的數(shù)學觀念的實際體現(xiàn).我堅信,我們可以用純粹數(shù)學的構(gòu)造來發(fā)現(xiàn)這些概念以及把這些概念聯(lián)系起來的定律，這些概念和定律是理解自然現(xiàn)象的鑰匙.經(jīng)驗可以提示合適的數(shù)學概念，但數(shù)學概念無論如何卻不能從經(jīng)驗中推導出來.當然,經(jīng)驗始終是數(shù)學構(gòu)造的物理效用的惟ー判據(jù).但是這種創(chuàng)造的原理卻存在于數(shù)學之中.因此,在某種意義上,我認為,像古人所夢想的，純粹思維能夠把握實在,這種看法是正確的.數(shù)學,這個獨立于人類經(jīng)驗存在的人類思維產(chǎn)物,怎么會如此完美地與物理現(xiàn)實中的物質(zhì)相一致?如果所有(加速)系都等價,那么歐幾里得幾何就不能對它們都成立.拋棄幾何而保留物理定律,就像表達思想而不用語言.我們在表達思想以前必須尋找語言,那么，現(xiàn)在的情況下我們應該尋找什么呢?這個問題，直到1912年我オ發(fā)現(xiàn)是可以解決的.那時,我突然意識到高斯的曲面理論為解開這個謎提供了鑰匙.我感到他的曲面坐標系具有深刻的意義.然而,我還不知道那時黎曼已經(jīng)用更深刻的方法研究過它的幾何基礎(chǔ).我忽然回想起,我當學生時,蓋澤爾教的幾何課程里就包括了高斯的理論—我感到幾何基礎(chǔ)有物理意義.當我從布拉格回到蘇黎世時,我親愛的朋友、數(shù)學家格羅斯曼也在那里.從他那里,我先學了里奇的幾何,然后又學黎曼的.于是，我問我的朋友,我的問題能不能用黎曼理論來解決?廣義相對論是ー個由高斯(Gauss)、黎曼(Riemann)、克里斯托菲(Christof2fel)、里奇(Ricci)和勒維ー契維塔(Levi2Cevita)發(fā)明的微分幾何的真實勝利.我們在尋找數(shù)學上最自然的結(jié)構(gòu)，而不被更多的物理所打擾.這也是我在研究引力理論過程中的一個設(shè)定目標?！蹦芨鶕?jù)具體的物理問題列出物理量之間的關(guān)系,能把有關(guān)的物理規(guī)律、物理條件用數(shù)學方程表示出來.在解決物理問題時,往往需要經(jīng)過數(shù)學推導和求解,或用合適的數(shù)學處理,或進行數(shù)值計算:求得結(jié)果后,有時還要用圖像或函數(shù)關(guān)系把它表示出來;必要時還應對數(shù)學運算的結(jié)果作出物理上的結(jié)論或解釋.例1.如圖所示，豎直平面內(nèi)有一半徑為ハ內(nèi)阻為片、粗細均勻的光滑半圓形金屬環(huán)，在M、N處與相距為2ハ電阻不計的平行光滑金屬軌道,四、版相接,分'之間接有電阻尼,已知石=12兄R=4た在,腓上方及の下方有水平方向的勻強磁場I和II,磁感應強度大小均為B.現(xiàn)有質(zhì)量為m、電阻不計的導體棒a6,從半圓環(huán)的最高點Z1處由靜止下落，在下落過程中導體棒始終保持水平,與半圓形金屬環(huán)及軌道接觸良好,平行軌道中部高度足夠長.已知導體棒助下落〃2時的速度大小為”,下落到機,處的速度大小為吸.(1)求導體棒a。從ス下落r/2時的加速度大小.(2)若導體棒aわ進入磁場II后棒中電流大小始終不變，求磁場I和I!之間的距離わ和用上的電功率Pi.(3)若將磁場II的勿邊界略微下移,導體棒a6剛進入磁場II時速度大小為匕，要使其在外カF作用下向下做勻加速宜線運動,加速度大小為a,求所加外力廠隨時間變化的關(guān)系式.解:(I)以導體棒為研究對象，棒在磁場I中切割磁感線,棒中產(chǎn)生產(chǎn)生感應電動勢，導體棒從ん下落庁2時，導體棒在重力與安培力作用下做加速運動,由牛頓第二定律，得-8〃=磔,

式キQ品…簾，式中権=一ルZ尸，由以上各式可得到修一マボ（2）當導體棒a。通過磁場II時,若安培カ恰好等于重力,棒中電流大小始終不變,即mg-BIx2rmg-BIx2r-BxBxlrxv.へ4B2r2v, <-x2r= 式中r型空=3R解得匕=彎。=網(wǎng)樂，導體棒從?秘V到の做加速度為g的勻加速直線運動,有片一優(yōu)=2gh4B-r24Br2得Z！=9m得Z！=9m2gr2v232B4パ2g'3m2g2R此時導體棒重力的功率為此=加?匕=*3,.根據(jù)能量守恒定律,此時導體棒重力的功率全部轉(zhuǎn)化為電路中的電功率,即…=喘^所以‘8キ=鹽^（3）設(shè)導體棒"進入磁場"后經(jīng)過時間’的速度大小為匕’,此時安培カ大小為ド:“于導體棒aル做勻加速直線運動，有匕’=匕+。れ根據(jù)牛頓第二定律,有ド+磔ー根據(jù)牛頓第二定律,有ド+磔ーガ=ma,即ド+〃吆ー4B2r2(v.+at) =ma,3R4Bシ2 4B2r2a4B2r2v由以上各式解得ア=竺’-（G+匕）ーm5ー。）=空丄上r+ ^+ma-mg3R' 3R3R例2通過一理想變壓器，經(jīng)同一線路輸送相同的電功率75,原線圈的電壓〃保持不變，輸電線路的總電阻為だ當副線圈與原線圈的匝數(shù)比為〃時,線路損耗的電功率為4,若將副線圈與原線圈的匝數(shù)比提高到成,線路損耗的電功率為ル則4和《分別為（）r\,pr1 cクハ2clTOC\o"1-5"\h\z卜母~n ~nC?拓ア 江㈤兄ア【解析】選D.由理想變壓器今=他得:副線圈電壓〃=kU,而理想變壓器/5人=タ由,副線圈電流/'Uirhp p p p P \=+=チ,線路損耗的電功率△=/'2廬=（￡ア凡同理可知た=/"ユだ=（瑪ノ2花得う=匕故D項u ku ku nKu i\ n正確.3.將平行板電容器兩極板之間的距離、電壓、電場強度大小和極板所帶的電荷量分別用d,U.E和。表示.下列說法正確的是（）A.保持ク不變,將d變?yōu)樵瓉淼膬杀?則ど變?yōu)樵瓉淼囊话隑.保持￡不變,將d變?yōu)樵瓉淼囊话?則。變?yōu)樵瓉淼膬杀禖.保持"不變，將。變?yōu)樵瓉淼膬杀?則む變?yōu)樵瓉淼囊话隓.保持d不變，將。變?yōu)樵瓉淼囊话?，則ー變?yōu)樵瓉淼囊话隭XXXX【解析】選AD.由￡=加,當〃不變，d變?yōu)樵瓉淼膬杀稌r,￡變?yōu)樵瓉淼囊话?，A項正確;當后不變,イ變?yōu)樵瓉淼囊话霑r,〃變?yōu)樵瓉淼囊话?，B項錯誤;當電容器中"不變時，C不變，由へ共口,當。變?yōu)樵瓉淼膬杀稌r，〃變?yōu)樵瓉淼膬杀叮珻項錯誤;。變?yōu)樵瓉淼囊话?〃變?yōu)樵瓉淼囊话霑r，則ク變?yōu)樵瓉淼囊话?，D項正確.從蕓蕓現(xiàn)象中窺見共性,從而提煉出ー套理論,能系統(tǒng)地解釋很多類似的問題.ー個明顯的例子便是上世紀末Lie在觀察到數(shù)學和物理中出現(xiàn)大量的對稱后，便創(chuàng)造出有關(guān)微分方程的連續(xù)變換群論.李群已成為現(xiàn)代數(shù)學的基本概念.數(shù)學世界是ー個不具有任何經(jīng)驗內(nèi)容的純理念世界,它并不是客觀世界的直接反映,它是相對于客觀世界的一種抽象的形式化的語言工具,它是否能夠?qū)陀^世界進行言說,還要看主體使用這種語言工具的有效性.即使在相對論當中,愛因斯坦利用數(shù)學的方法成功地揭示了客觀,實際上也只是數(shù)學被成功應用的問題.數(shù)學的成功應用,只能表明了它的有效性.數(shù)學的有效性也只是ー種科學建構(gòu)的有效性,這與數(shù)學是否與現(xiàn)實世界的屬性相符是兩碼事.第二章函數(shù)在中學物理學中的應用數(shù)學知識回顧:（1）函數(shù)思想的實質(zhì)是拋開所研究對象的非數(shù)學特征,用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學對象,抽象其數(shù)學特征,建立各變量之間固有的函數(shù)關(guān)系,通過函數(shù)形式,利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),使問題得到解決:（2）方程思想的實質(zhì)就是將所求的量設(shè)成未知數(shù)，用它表示問題中的其他各量,根據(jù)題中隱含的等量關(guān)系,列出方程（組）,通過解方程（組）或?qū)Ψ匠蹋ńM）進行研究，以求得問題的解決:（3）函數(shù)與方程思想在一定的條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的,是相輔相成的,函數(shù)思想重在對問題進行動態(tài)的研究,方程思想則是在動中求靜,研究運動中的等量關(guān)系.1、函數(shù)的定義域在物理學研究中的作用數(shù)學是一切自然科學的基礎(chǔ),是解決實際問題的ー個重要工具.ー個物理理論產(chǎn)生了,就需要有一個數(shù)學模型來表達它，以便更好的表達和理解,從而使物理學從ー個感性的學科走向理性化，使物理學發(fā)展成為一門定量的學科.并且在數(shù)學的指導之下才能更好的發(fā)展.數(shù)學方程在物理學中的運用問題:物理公式是數(shù)學化的結(jié)果，但物理公式不同于數(shù)學方程,物理公式要求必須能夠反映物體運動規(guī)律，數(shù)學方程則沒有這種強求.【例1】初速度為零的離子經(jīng)過電勢差為U的電場加速后，從離子槍T中水平射出，經(jīng)過一段路

程后進入水平放置的兩平行金屬板MN和PQ之間.離子所經(jīng)空間存在ーー磁感應強度為B的勻強磁場(圖1).不考慮重力作用.離子的荷質(zhì)比旦(q、m分別是離子的電量與質(zhì)量)在什么范圍內(nèi),離子才能打在金屬板上?X\XXxx入在金屬板上?X\XXxx入分析:離子通過電場加速后進入磁場,在磁場カ作用下,做勻速圓周運動發(fā)生偏轉(zhuǎn),假設(shè)離子從進入磁場到打在金屬板上某ー點的水平距離為X,只要建立一個q/m跟x的函數(shù)表達式，依據(jù)題意確定x是定義域，再根據(jù)定義域值域,顯然，q/m得解.解:當離子經(jīng)過電場加速后有mv2/2=qU (1).在磁場中受到洛侖茲カ作用，做勻速圓周運動得3旳=」ー (2)R當離子打在金屬板上時,根據(jù)幾何關(guān)系有：/?2=x2+f/?--l (3)聯(lián)立(1)、(2)、(3)解得纟=(4)式就是q/m跟x的ー個函數(shù)表達式.依題意離子能打在金屬板上,則x的定義域為dWxく2d小結(jié)：已知一個物理量的取值范圍,確定另ー個物理量的取值范圍,可利用函數(shù)的定義域，值域求解.例2如圖甲所示,ー質(zhì)量m=lkg的木板靜止在光滑水平地面上.開始時，木板右端與墻相距L=0.08m,ー質(zhì)量m=lkg的小物塊以初速度v°=2m/s滑上木板左端.木板的長度可保證物塊在運動過程中不與墻接觸.物塊與木板之間的動摩擦因數(shù)P=0.1,木板與墻碰撞后以與碰撞前瞬時等大的速度反彈.取g=10m/s2I求:(1)從物塊滑上木板到兩者達到共同速度時，木板與墻碰撞的次數(shù)及所用的時間.(2)達到共同速度時木板右端與墻之間的距離.【解析】解法一物塊滑上木板后,在摩擦力的作用下,木板從靜止開始做勻加速運動.設(shè)木板的加速度大小為a,經(jīng)歷時間T后與墻第一次碰撞，碰撞時的速度為V”則有:umg=ma,L=1aT2,vi=aT.可得:a=lm/s2,T=0.4s,vi=O.4m/s.物塊與木板達到共同速度之前,在每兩次碰撞之間,木板受到物塊對它的摩擦力作用而做加速度恒定的運動，因而木板與墻相碰后將返回至初態(tài)，所用時間為T.設(shè)在物塊與木板達到共同速度v之前木板共經(jīng)歷了n次碰撞，則有:v=vo—（2nT+At）a=a?At,式中△t是碰撞n次后木板從起始位置至達到共同速度所需要的時間，上式可改寫為:2v=v0-2nTa.由于木板的速率只能在〇到れ之間，故有:OWv。ー2nTaW2v”解得:1.5WnW2.5.由于n是整數(shù)，故n=2,解得:v=O.2m/s,At=O.2s.從開始到物塊與木板達到共同速度所用的時間為:t=4T+At=1.8s.（2）物塊與木板達到共同速度時，木板右端與墻之間的距離為:s=L-1a-At2,解得:s=O.06m解法二（1）物塊滑上木板后,在摩擦力的作用下,木板做勻加速運動的加速度鏘=ug=lm/s,方向向右.物塊做減速運動的加速度a?=ug=lm/s,方向向左可作出物塊、木板的v-t圖象如圖乙所示由圖可知,木板在0.4s、1.2s時刻兩次與墻碰撞,在t=l.8s時刻物塊與木板達到共同速度.［答案］(1)1.8s(2)0.06m例3圖所示為ー個內(nèi)外半徑分別為R和Rユ的圓環(huán)狀均勻帶電平面,其單位面積的帶電量為〇.取環(huán)面中心。為原點，以垂直于環(huán)面的軸線為x軸.設(shè)軸上任意點P到。點的距離為x,P點的電場強度大小為E.下面給出E的四個表達式（式中k為靜電カ常量）,其中只有一個是合理的.你可能不會求解此處的場強E,但是你可以通過一定的物理分析，對下列表達式的合理性作出判斷.根據(jù)你的判斷,E的合理表達式應為（）圖

A.E=2nk0A.E=2nk0B.E=2nk0C-E=2nk0 D.E=2nk。【解析】A選項表達式可變形為:f_R1 R2AE=2nko^］+(i<)2《+匿)ユ,對于這ー表達式,當R=0時,E=--^==,隨x的增大,E的絕對值增大,這與客觀事實不符合,故A錯誤,對于C選項中的表達式,當x=0時,E=4nk〇,而事實由對稱性知應該為E=0,故C錯誤.對于D選項,E=(1 1>2“k°0；+ケ?配同樣E隨x增大而增大,當x=8時E>0,這與事實不符合，故D錯誤,只有B可能正確.［答案］B例4.如圖所示,兩平行的光滑金屬導軌安裝在一光滑絕緣斜面上,導軌間距為1、足夠長且電阻忽略不計，導軌平面的傾角為a,條形勻強磁場的寬度為d,磁感應強度大小為B,方向與導軌平面垂直.長度為2d的絕緣桿將導體棒和正方形的單匝線框連接在ー起組成“丄”形裝置，總質(zhì)量為m,置于導軌上.導體棒中通以大小恒為I的電流(由外接恒流源產(chǎn)生，圖中未畫出).線框的邊長為d(d<l),電阻為R,下邊與磁場區(qū)域上邊界重合.將裝置由靜止釋放，導體棒恰好運動到磁場區(qū)域下邊界處返回，導體棒在整個運動過程中始終與導軌垂直.重力加速度為g.求:(1)裝置從釋放到開始返回的過程中,線框中產(chǎn)生的焦耳熱Q.(2)線框第一次穿越磁場區(qū)域所需的時間t,.(3)經(jīng)過足夠長時間后，線框上邊與磁場區(qū)域下邊界的最大距離X..【解析】(1)設(shè)裝置由靜止釋放到導體棒運動到磁場下邊界的過程中,作用在線框上的安培力做功為W,由動能定理得:mgsina?4d+W-BIld=0且Q=-W.解得:Q=4mgdsina-Bild.(2)設(shè)線框剛離開磁場下邊界時的速度為v”則接著向下運動2d,由動能定理得：mgsina?2d-BIld=0-|mv,2.線框在穿越磁場中運動時受到的合力F=mgsina-F'.感應電動勢E=Bdv,感TOC\o"1-5"\h\zF F應電流I'=『安培カF'=B「d.由牛頓第二定律,在t到(t+At)時間內(nèi),有Av=-△3貝リAv

k mヮBユd''? Bdv、亠 2B守“ロ ^2m(BIld-2mgdsina)+—=ELgsina———JAt,有Vi=gtisina———,解得:ti= : .mK mK mgsma(3)經(jīng)過足夠長時間后,線框在磁場下邊界與最大距離心之間往復運動,由動能定理得:mgsin

a-x?-BIl(x,-d)=O.WW："=Bn_mgsin『［答案］(l)4mgdsina-Bild,ヽBild??(3)- : BI1—mgsmamgsina*\/2m,ヽBild??(3)- : BI1—mgsmamgsina例5遠距離輸電時,輸電電壓越高,電能損失越少,輸電效率就越高;由此推理輸電電壓越高越好，而忽視了物理學中,當電壓很高時,高壓線間的空氣將被電離而擊穿,從而發(fā)生強烈的放電現(xiàn)象,另外，當電壓很高,導線橫截面積也很大時，電抗造成的電壓損失比電阻造成的電壓損失要大的多.例6某緩沖裝置的理想模型如圖所示,勁度系數(shù)足夠大的輕質(zhì)彈簧與輕桿相連,輕桿可在固定的槽內(nèi)移動，與槽間的滑動摩擦カ恒為f.輕桿向右移動不超過1時，裝置可安全工作.ー質(zhì)量為m的小車若以速度W撞擊彈簧,將導致輕桿向右移動,.輕桿與槽間的最大靜擦力等于滑動摩擦カ,且不計4小車與地面的摩擦.(1)若彈簧的勁度系數(shù)為と,求輕桿開始移動時，彈簧的壓縮量X；(2)求為使裝置安全工作,允許該小車撞擊的最大速度し:(3)討論在裝置安全工作時,該小車彈回速度ノ和撞擊速度r的關(guān)系.wvwvr輕桿wvwvr輕桿TOC\o"1-5"\h\z解析:0)輕桿開始移動時，彈簧的彈カド=広 ①且ド=f ②解得x=エ ③k(2)設(shè)輕桿移動前小車對彈簧所做的功為此則小車從撞擊到停止的過程中

小車以セ撞擊彈簧時根據(jù)動能定理ー/.(-w=o-L”詔 @同理小車以小撞擊彈簧時一y7ー卬=0一3?1%2 ⑤解V,”=根ユ ⑥(3)設(shè)輕桿恰好移動時,小車撞擊速度為K—mv.2=W ⑦2由④⑦解得ス=/チー(

當”時,v'=V例7.光的衍射現(xiàn)象中,狹縫間距比光波波長小或跟光波波長差不多時,會產(chǎn)生明顯衍射,由此推理狹縫間距越小,衍射現(xiàn)象越明顯,而忽視了當狹縫間距小到ー定程度時，通過的光子數(shù)少到不能引起人的視覺時，將看時,v'=V例8.回旋加速器中,D型盒的半徑越大,粒子最后獲得的動能越大.由此推論D型盒的半徑越大，粒子最后的能量越大.這里忽視了相對論效應,當物體運動速度大到可與光速相比較時,物體的質(zhì)量要發(fā)生變化,使運動粒子的運動周期發(fā)生變化而不能與交流電源的變化周期同步，從而導致粒子不一定能加速,還有可能減速.數(shù)學和物理,ー個是形式,ー個是內(nèi)容，兩者的結(jié)合正好刻劃了一個完整的世界.數(shù)理的發(fā)展就像兩條腿走路,有時數(shù)學在先,有時物理在先,并遵循各自的發(fā)展規(guī)律.然而任何一方的重大突破都會給另一方以巨大的刺激,進而帶來共同的發(fā)展.同樣數(shù)理學習也有其內(nèi)在的規(guī)律可循,需要我們共同探索.2.函數(shù)的值域在中學物理學中的應用法拉第是一位具有深刻的直覺能力的實驗物理學家，但他不太精通數(shù)學,并沒有用數(shù)學語言寫出他關(guān)于電磁的概念.關(guān)于他，海姆霍茲曾經(jīng)寫道:“這么大量的普遍定理,它們的有條理的推導需要最高度的數(shù)學分析能力，可是他卻憑ー種直觀，憑直覺的可靠性,而不用ー個簡單的數(shù)學公式竟然發(fā)現(xiàn)出來,這是十分令人驚訝的.”圖甲例1.如圖甲所示,ー薄木板放在正方形水平桌面上,木板的兩端與桌面的兩端對齊,ー小木塊放在木板的正中間.木塊和木板的質(zhì)量均為m,木塊與木板之間、木板與桌面之間的動摩擦因數(shù)都為〃.現(xiàn)突然以一水平外力廠將薄木板抽出，要使小木塊不從桌面上掉下,則水平外力ド至少應為.(假設(shè)木板抽動過程中始終保持水平,且在豎直方向上的壓カ全部作用在水平桌面上)圖甲A.2nmg B.4nmg C.6umg D.8nmg【解析】解法一ド越大,木塊與木板分離時的速度、位移越小,木塊越不可能從桌面滑下.設(shè)拉カ為其時，木塊恰好能滑至桌面的邊緣,再設(shè)木塊與木板分離的時刻為ム，在0?カ時間內(nèi)有:(A)-11mg—2umg}21 2Lm ボージガ=5對厶時間后木塊滑行的過程，有:2Pg2Hg2~,2Ugt'得:尺=6u解法二ド越大,木塊與木板分離時的速度、位移越小,木塊越不可能從桌面滑出.若木塊不從桌面滑出，則其V—t圖象如圖乙中如ク所示,其中仍的斜率為レg,タク的斜率為ーリg,t\=t2

ルI ルI りム圖乙X2，.設(shè)拉カ為尸時,木板的—圖象為圖乙中的直線カ,則圓三,anl/ヽL甘亠 F-3nmg即メ吻ー匕）?ち=5,其中“="gt"k2=——?t、解得:Q6”〃g.即拉カ至少為6awg.［答案］C【點評】對于兩物體間的多過程運動問題,在明確物理過程的基礎(chǔ)上,畫出物體各自的運動圖象，這樣兩物體的運動特點就很明顯了.利用圖線與坐標軸所夾面積的關(guān)系明確物體間的位移關(guān)系，可省略ー些物理量的計算,從而快速、簡捷地解答問題.數(shù)學研究的是各種量之間可能的、一般指的是各種變化著量的關(guān)系和相互聯(lián)系,是反映現(xiàn)實世界的,它產(chǎn)生于人們的實際需要,它的初始概念和原理的建立是以經(jīng)驗為基礎(chǔ)的長期歷史的發(fā)展的結(jié)果.因此,數(shù)學從一開始就注定了與現(xiàn)實世界以及與研究物質(zhì)運動的各種形態(tài)的最一般規(guī)律的基本學科即物理學是密不可分的.3、一次函數(shù)在中學物理學中的應用愛因斯坦拋棄了歐氏幾何學的計算方式，而用高斯曲面幾何學計算，他的邏輯起點是:“物質(zhì)在其存在的空間散發(fā)ー種廣延性的彎曲引力場”,以此為據(jù)建立了廣義相對論.理論物理學和現(xiàn)代數(shù)學中的函數(shù)、集、矩陣、線性與非線性方程組、向量、幾何,拓撲、流形、導數(shù)、積分、級數(shù)、極限、實數(shù)、連續(xù)、概率、代數(shù)結(jié)構(gòu)等內(nèi)容,都有很深的聯(lián)系.在物理公式中有很多公式可以和一次函數(shù)相對應,例如勻變速直線運動的速度與時間關(guān)系就是一次函數(shù)關(guān)系,即物理公式ッ=4+0與數(shù)學一次函數(shù)），=人+依相對應，由此可以得出リー，圖像中某點切線的斜率表示加速度;再結(jié)合勻變速直線運動的位移公式X=HZ+丄由數(shù)學幾何知識可知リー?圖像中的面積表位移;同時又因為。是向量，由物理意義可以理解在。T圖像中正負表示方向.（一）、在運動