競(jìng)賽數(shù)學(xué)典型問題的解決-函數(shù)方程課件

競(jìng)賽數(shù)學(xué)典型問題的解決競(jìng)賽數(shù)學(xué)典型問題的解決第一節(jié)函數(shù)方程第一節(jié)函數(shù)方程

函數(shù)方程的解法是古老的分析問題之一.許多數(shù)學(xué)家都曾對(duì)函數(shù)方程進(jìn)行過研究,可是至今還沒有完整的理論及解法.一些簡(jiǎn)單的函數(shù)方程只需要以初等數(shù)學(xué)為工具,在IMO中從七十年代以來,常有有關(guān)函數(shù)方程方面的問題.本節(jié)簡(jiǎn)單介紹函數(shù)方程的常見解法和有關(guān)基本問題.函數(shù)方程的解法是古老的分析問題之一.許多數(shù)學(xué)家都曾.基礎(chǔ)知識(shí)1.含有未知函數(shù)的等式稱為函數(shù)方程.如等等.2.在定義域內(nèi)均滿足函數(shù)方程的函數(shù)稱為該函數(shù)方程的解.如-------其解為一切偶函數(shù).3.尋找函數(shù)方程的解或證明函數(shù)方程無解的過程稱為解函數(shù)方程.

4.有關(guān)函數(shù)方程問題大致分為三類：(3)確定函數(shù)表達(dá)式(解函數(shù)方程)．(2)確定函數(shù)性質(zhì)；(1)確定函數(shù)值；.基礎(chǔ)知識(shí)1.含有未知函數(shù)的等式稱為函數(shù)方程.如等等.二.函數(shù)方程及有關(guān)問題的解法關(guān)于解函數(shù)方程及有關(guān)問題的解法,理論上沒有完整的一般方法.但歸納起來還是有一些常用的解法是可以借鑒的.1.定義法此方法是通過配方、湊項(xiàng)等手法,使函數(shù)方程變形為關(guān)于“自變量”原象的表達(dá)式,然后以x代替“自變量”,即得函數(shù)表達(dá)式.二.函數(shù)方程及有關(guān)問題的解法關(guān)于解函數(shù)方程及有關(guān)問題的解法,例1已知

求解∵∴說明：

解得的函數(shù)必須注明定義域,必須檢驗(yàn)是否為函數(shù)方程的解.但為了簡(jiǎn)便,常省略.例1已知求解∵∴說明：解得的函數(shù)必須注明定義域,必例2

2.換元法與方程組法此方法是通過換元,得到新的函數(shù)方程,最后通過解函數(shù)方程組求出原函數(shù)方程的解.設(shè)適合等式則的值域是

．(2005年江西省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)解

得由得的值域?yàn)榈靡該Qx與原方程消去例22.換元法與方程組法此方法是通過換元,得到新的函數(shù)方程例3

設(shè)是對(duì)除及有定義的實(shí)值函數(shù),且以外的一切實(shí)數(shù)①求(美國(guó)普特南)解②在①中以代替得③由①②③解得得在①中以代替例3設(shè)是對(duì)除及有定義的實(shí)值函數(shù),且以外的一切實(shí)數(shù)①例4

設(shè)函數(shù)滿足且對(duì)任意都有則．(200４年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)解、

在函數(shù)方程中以換得①在函數(shù)方程中以換得②由①、②得例4設(shè)函數(shù)滿足且對(duì)任意都有則．(200４年全國(guó)高3.賦值法

賦值法(和代換法)是確定函數(shù)方程的函數(shù)性質(zhì)的基本方法,在函數(shù)定義區(qū)域內(nèi)賦予變量一個(gè)或幾個(gè)特殊值,使方程化繁為簡(jiǎn),達(dá)到解決問題的目的.3.賦值法賦值法(和代換法)是確定函數(shù)方程的函例5

解函數(shù)方程①解在①中令得②再令得③②＋③－④得得又再令④為任意常數(shù).其中是原函數(shù)方程的解所以,例5解函數(shù)方程①解在①中令得②再令得③②＋③－例6函數(shù)滿足:對(duì)任意實(shí)數(shù)都有則.(2005年全國(guó)高中聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)賽)解

令得若或令得代入原函數(shù)方程知該函數(shù)不是原方程的解.若同理可解得知該函數(shù)是原方程的解.代入原式所以,例6函數(shù)滿足:對(duì)任意實(shí)數(shù)都有則.(2005年全國(guó)高中4.遞歸法對(duì)定義在自然數(shù)集上的函數(shù),若已知初始值及遞推關(guān)系,則可利用遞歸關(guān)系解決問題.例7

對(duì)任意實(shí)數(shù)函數(shù)滿足若則對(duì)負(fù)整數(shù)n,

的表達(dá)式為

．(2005年上海市高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(CASIO杯))解

可得又故對(duì)負(fù)整數(shù)n,有取4.遞歸法對(duì)定義在自然數(shù)集上的函數(shù),若已知初始值及遞推關(guān)系,例7

對(duì)任意實(shí)數(shù)函數(shù)滿足若則對(duì)負(fù)整數(shù)n,的表達(dá)式為

．(2005年上海市高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(CASIO杯))解

取可得又,易知故對(duì)負(fù)整數(shù)n,有例7對(duì)任意實(shí)數(shù)函數(shù)滿足若則對(duì)負(fù)整數(shù)n,的表達(dá)式為則的值是

．例8

函數(shù)定義在正整數(shù)集上,且滿足(2002年上海市高中聯(lián)賽)解

依題意兩式相減得于是∴則的值是．例8函數(shù)定義在正整數(shù)集上,且滿足(25.數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法對(duì)解決定義在自然數(shù)集上的函數(shù)是十分重要的方法.解

先證明“對(duì)任意自然數(shù)只要?jiǎng)t”例9設(shè)

是定義在自然數(shù)集上的函數(shù),并在自然數(shù)集中取值.試證:如果對(duì)每一個(gè)式的值,不等都成立,那么對(duì)每一個(gè)式都成立.的值,等因1是時(shí),值域中最小的數(shù),命題成立.設(shè)命題對(duì)自然數(shù)成立,則時(shí),由假設(shè)有條件得于是由由整數(shù)的離散性得再用假設(shè)有5.數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法對(duì)解決定義在自然數(shù)集上的函數(shù)是十即時(shí)命題成立.因此,對(duì)任意自然數(shù)有再令則又故這說明是嚴(yán)格遞增函數(shù).對(duì)任意有又是嚴(yán)格遞增，故即綜上,對(duì)每一個(gè)的值,等式都成立.即時(shí)命題成立.因此,對(duì)任意自然數(shù)有再令則又故6.反證法對(duì)正面直接證明有困難的命題,可以考慮用反證法.例11

是否存在定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集的函數(shù)得下列恒等式成立.使②①解則對(duì)任意實(shí)數(shù)設(shè)題設(shè)函數(shù)存在．若有則有由①知這表示是實(shí)數(shù)集R到R的單射.又,在①中令得得③④在②中令6.反證法對(duì)正面直接證明有困難的命題,可以考慮用反證法.分別在①②中令⑤得由此及是單射得⑤＋⑥得矛盾.故滿足題設(shè)的函數(shù)不存在.⑥④③①②由③④及是單射得分別在①②中令⑤得由此及是單射得⑤＋⑥得矛盾.故滿足7.函數(shù)迭代法函數(shù)迭代是函數(shù)復(fù)合的一種特殊形式,在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中占有一定的地位.例12設(shè)為自然數(shù)集,若函數(shù)格遞增,且對(duì)任意都有對(duì)任意嚴(yán)都有(1990年,CMO)求證:證明

對(duì)設(shè)則因且嚴(yán)格遞增,所以①又由于故由①得7.函數(shù)迭代法函數(shù)迭代是函數(shù)復(fù)合的一種特殊形式,在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中所以即于是所以即進(jìn)而另一方面,由①得即于是①又由于故由①得綜上,得證.所以即于是所以即進(jìn)而另一方面,由①得即于是①又8.不動(dòng)點(diǎn)法方程的根稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).用它解決函數(shù)方程問題是一種重要的方法.例13

求所有函數(shù)值為正實(shí)數(shù),且滿足其定義域?yàn)橐磺姓龑?shí)數(shù),(IMO24)解

先證:1是的不動(dòng)點(diǎn).對(duì)任意因有故這表明任意正實(shí)數(shù)都在的值域內(nèi).特別地,存在使則因所以8.不動(dòng)點(diǎn)法方程的根稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).用它解決函數(shù)方程問其次證:若是的不動(dòng)點(diǎn),則也是的不動(dòng)點(diǎn).若是的不動(dòng)點(diǎn),則有于是有即所以是的不動(dòng)點(diǎn);又所以也是不動(dòng)點(diǎn).的再證:1是唯一的不動(dòng)點(diǎn).若有不動(dòng)點(diǎn)則及都是對(duì)任意的不動(dòng)點(diǎn).不妨設(shè)則矛盾.故1是唯一的不動(dòng)點(diǎn).由條件(1),對(duì)任意有即為的不動(dòng)點(diǎn).于是所以其次證:若是的不動(dòng)點(diǎn),則也是的不動(dòng)點(diǎn).若是的不9.柯西法柯西法要求涉及的函數(shù)是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)的函數(shù).值,直至實(shí)數(shù)值的函數(shù)方程的解.柯西法解函數(shù)方程的基本步驟是:依次求出

對(duì)自變量的所有正自然數(shù)值、整數(shù)值、有理數(shù)

例14設(shè)是上的連續(xù)函數(shù),且對(duì)一切有①求9.柯西法柯西法要求涉及的函數(shù)是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)的函數(shù).值,解

(1)當(dāng)自變量取自然數(shù)時(shí),由數(shù)學(xué)歸納法得

令得②令得

記于是③(2)當(dāng)自變量取整數(shù)時(shí),由得④又⑤⑥故由③④⑤知解(1)當(dāng)自變量取自然數(shù)時(shí),由數(shù)學(xué)歸納法得令(3)當(dāng)自變量取有理數(shù)時(shí),設(shè)由②有由⑥有即⑦(4)當(dāng)自變量取實(shí)數(shù)時(shí),對(duì)任意存在使得

由f的連續(xù)性及⑦得所以(3)當(dāng)自變量取有理數(shù)時(shí),設(shè)由②有由⑥有即⑦(4)當(dāng)本例中的函數(shù)方程由數(shù)學(xué)家柯西首先研究,故稱為柯西方程,其解法稱為柯西方法.該解法十分典型,解法分若干步逼近最后的結(jié)果,其中每一步都成為后面推理的基礎(chǔ),故可形象地稱為“爬坡式”推理.柯西方程也是一個(gè)重要的方程,許多方程可通過代換轉(zhuǎn)化為柯西方程.本例中的函數(shù)方程由數(shù)學(xué)家柯西首先研究,故稱為柯西方程,其解法例15

設(shè)在上單調(diào),且求解

設(shè)由條件得即亦即令則由柯西方程知所以例15設(shè)在上單調(diào),且求解設(shè)由條件作業(yè)作業(yè)謝謝!謝謝!競(jìng)賽數(shù)學(xué)典型問題的解決------函數(shù)方程課件競(jìng)賽數(shù)學(xué)典型問題的解決競(jìng)賽數(shù)學(xué)典型問題的解決第一節(jié)函數(shù)方程第一節(jié)函數(shù)方程

函數(shù)方程的解法是古老的分析問題之一.許多數(shù)學(xué)家都曾對(duì)函數(shù)方程進(jìn)行過研究,可是至今還沒有完整的理論及解法.一些簡(jiǎn)單的函數(shù)方程只需要以初等數(shù)學(xué)為工具,在IMO中從七十年代以來,常有有關(guān)函數(shù)方程方面的問題.本節(jié)簡(jiǎn)單介紹函數(shù)方程的常見解法和有關(guān)基本問題.函數(shù)方程的解法是古老的分析問題之一.許多數(shù)學(xué)家都曾.基礎(chǔ)知識(shí)1.含有未知函數(shù)的等式稱為函數(shù)方程.如等等.2.在定義域內(nèi)均滿足函數(shù)方程的函數(shù)稱為該函數(shù)方程的解.如-------其解為一切偶函數(shù).3.尋找函數(shù)方程的解或證明函數(shù)方程無解的過程稱為解函數(shù)方程.

4.有關(guān)函數(shù)方程問題大致分為三類：(3)確定函數(shù)表達(dá)式(解函數(shù)方程)．(2)確定函數(shù)性質(zhì)；(1)確定函數(shù)值；.基礎(chǔ)知識(shí)1.含有未知函數(shù)的等式稱為函數(shù)方程.如等等.二.函數(shù)方程及有關(guān)問題的解法關(guān)于解函數(shù)方程及有關(guān)問題的解法,理論上沒有完整的一般方法.但歸納起來還是有一些常用的解法是可以借鑒的.1.定義法此方法是通過配方、湊項(xiàng)等手法,使函數(shù)方程變形為關(guān)于“自變量”原象的表達(dá)式,然后以x代替“自變量”,即得函數(shù)表達(dá)式.二.函數(shù)方程及有關(guān)問題的解法關(guān)于解函數(shù)方程及有關(guān)問題的解法,例1已知

求解∵∴說明：

解得的函數(shù)必須注明定義域,必須檢驗(yàn)是否為函數(shù)方程的解.但為了簡(jiǎn)便,常省略.例1已知求解∵∴說明：解得的函數(shù)必須注明定義域,必例2

2.換元法與方程組法此方法是通過換元,得到新的函數(shù)方程,最后通過解函數(shù)方程組求出原函數(shù)方程的解.設(shè)適合等式則的值域是

．(2005年江西省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)解

得由得的值域?yàn)榈靡該Qx與原方程消去例22.換元法與方程組法此方法是通過換元,得到新的函數(shù)方程例3

設(shè)是對(duì)除及有定義的實(shí)值函數(shù),且以外的一切實(shí)數(shù)①求(美國(guó)普特南)解②在①中以代替得③由①②③解得得在①中以代替例3設(shè)是對(duì)除及有定義的實(shí)值函數(shù),且以外的一切實(shí)數(shù)①例4

設(shè)函數(shù)滿足且對(duì)任意都有則．(200４年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)解、

在函數(shù)方程中以換得①在函數(shù)方程中以換得②由①、②得例4設(shè)函數(shù)滿足且對(duì)任意都有則．(200４年全國(guó)高3.賦值法

賦值法(和代換法)是確定函數(shù)方程的函數(shù)性質(zhì)的基本方法,在函數(shù)定義區(qū)域內(nèi)賦予變量一個(gè)或幾個(gè)特殊值,使方程化繁為簡(jiǎn),達(dá)到解決問題的目的.3.賦值法賦值法(和代換法)是確定函數(shù)方程的函例5

解函數(shù)方程①解在①中令得②再令得③②＋③－④得得又再令④為任意常數(shù).其中是原函數(shù)方程的解所以,例5解函數(shù)方程①解在①中令得②再令得③②＋③－例6函數(shù)滿足:對(duì)任意實(shí)數(shù)都有則.(2005年全國(guó)高中聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)賽)解

令得若或令得代入原函數(shù)方程知該函數(shù)不是原方程的解.若同理可解得知該函數(shù)是原方程的解.代入原式所以,例6函數(shù)滿足:對(duì)任意實(shí)數(shù)都有則.(2005年全國(guó)高中4.遞歸法對(duì)定義在自然數(shù)集上的函數(shù),若已知初始值及遞推關(guān)系,則可利用遞歸關(guān)系解決問題.例7

對(duì)任意實(shí)數(shù)函數(shù)滿足若則對(duì)負(fù)整數(shù)n,

的表達(dá)式為

．(2005年上海市高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(CASIO杯))解

可得又故對(duì)負(fù)整數(shù)n,有取4.遞歸法對(duì)定義在自然數(shù)集上的函數(shù),若已知初始值及遞推關(guān)系,例7

對(duì)任意實(shí)數(shù)函數(shù)滿足若則對(duì)負(fù)整數(shù)n,的表達(dá)式為

．(2005年上海市高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(CASIO杯))解

取可得又,易知故對(duì)負(fù)整數(shù)n,有例7對(duì)任意實(shí)數(shù)函數(shù)滿足若則對(duì)負(fù)整數(shù)n,的表達(dá)式為則的值是

．例8

函數(shù)定義在正整數(shù)集上,且滿足(2002年上海市高中聯(lián)賽)解

依題意兩式相減得于是∴則的值是．例8函數(shù)定義在正整數(shù)集上,且滿足(25.數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法對(duì)解決定義在自然數(shù)集上的函數(shù)是十分重要的方法.解

先證明“對(duì)任意自然數(shù)只要?jiǎng)t”例9設(shè)

是定義在自然數(shù)集上的函數(shù),并在自然數(shù)集中取值.試證:如果對(duì)每一個(gè)式的值,不等都成立,那么對(duì)每一個(gè)式都成立.的值,等因1是時(shí),值域中最小的數(shù),命題成立.設(shè)命題對(duì)自然數(shù)成立,則時(shí),由假設(shè)有條件得于是由由整數(shù)的離散性得再用假設(shè)有5.數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法對(duì)解決定義在自然數(shù)集上的函數(shù)是十即時(shí)命題成立.因此,對(duì)任意自然數(shù)有再令則又故這說明是嚴(yán)格遞增函數(shù).對(duì)任意有又是嚴(yán)格遞增，故即綜上,對(duì)每一個(gè)的值,等式都成立.即時(shí)命題成立.因此,對(duì)任意自然數(shù)有再令則又故6.反證法對(duì)正面直接證明有困難的命題,可以考慮用反證法.例11

是否存在定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集的函數(shù)得下列恒等式成立.使②①解則對(duì)任意實(shí)數(shù)設(shè)題設(shè)函數(shù)存在．若有則有由①知這表示是實(shí)數(shù)集R到R的單射.又,在①中令得得③④在②中令6.反證法對(duì)正面直接證明有困難的命題,可以考慮用反證法.分別在①②中令⑤得由此及是單射得⑤＋⑥得矛盾.故滿足題設(shè)的函數(shù)不存在.⑥④③①②由③④及是單射得分別在①②中令⑤得由此及是單射得⑤＋⑥得矛盾.故滿足7.函數(shù)迭代法函數(shù)迭代是函數(shù)復(fù)合的一種特殊形式,在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中占有一定的地位.例12設(shè)為自然數(shù)集,若函數(shù)格遞增,且對(duì)任意都有對(duì)任意嚴(yán)都有(1990年,CMO)求證:證明

對(duì)設(shè)則因且嚴(yán)格遞增,所以①又由于故由①得7.函數(shù)迭代法函數(shù)迭代是函數(shù)復(fù)合的一種特殊形式,在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中所以即于是所以即進(jìn)而另一方面,由①得即于是①又由于故由①得綜上,得證.所以即于是所以即進(jìn)而另一方面,由①得即于是①又8.不動(dòng)點(diǎn)法方程的根稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).用它解決函數(shù)方程問題是一種重要的方法.例13

求所有函數(shù)值為正實(shí)數(shù),且滿足其定義域?yàn)橐磺姓龑?shí)數(shù),(IMO24)解

先證:1是的不動(dòng)點(diǎn).對(duì)任意因有故這表明任意正實(shí)數(shù)都在的值域內(nèi).特別地,存在使則因所以8.不動(dòng)點(diǎn)法方程的根稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).用它解決函數(shù)方程問其次證:若是的不動(dòng)點(diǎn),則也是的不動(dòng)點(diǎn).若是的不動(dòng)點(diǎn),則有于是有即所以是的不動(dòng)點(diǎn);又所以也是不動(dòng)點(diǎn).的再證:1是唯一的不動(dòng)點(diǎn).若有不動(dòng)點(diǎn)則及都是對(duì)任意的不動(dòng)點(diǎn).不妨設(shè)則矛盾.故1是