畢業(yè)論文-基于MATLAB的雙足機器人的運動模型的建立與運動仿真

畢業(yè)設計朱健國基于MATLAB的雙足機器人的運動模型的建立與運動仿真朱健國機械工程系學生姓名：學號：機械工程系機械電子工程系部：機械電子工程專業(yè)：指導教師：2015年06月

畢業(yè)設計任務書設計題目：基于MATLAB的雙足步行機器人運動模型的建立與運動仿真系部：機械工程系專業(yè)：機械電子工程學號：學生：指導教師（含職稱）：1．課題意義及目標隨著科技的發(fā)展，雙足機器人與人類的聯(lián)系日益密，人們更解機器人學習機器人，在進行雙足機器人教學時，就有必要用到機器人仿真系統(tǒng)，可以將機器人仿真的結果以圖形的形式表示出來，從而直觀地顯示出機器人的運動情況，從而讓雙足機器人更好的各種完成動作。2．主要任務1）通過查閱有關資料，了解雙足型機器人主要技術參數；2）雙足型機器人的運動部件設計及模型建立3）利用MATLAB完成動作的仿真4）完成畢業(yè)設計說明說的撰寫3．主要參考資料[1]孫增圻.機器人系統(tǒng)仿真及應[J].系統(tǒng)仿真報，1995，7(3):23-29.[2]蔣新松，主編.機器人學導論[M].沈陽：遼寧：遼寧科學技術出版社，1994.[4]薛定宇，陳陽泉.基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術與應用[M].北京：清華大學出版社，20024．進度安排設計各階段名稱起止日期1發(fā)放畢業(yè)設計題目及選題2015.03.03-2015.03.232畢業(yè)設計開題2015.03.24-2015.04.133畢業(yè)設計中期準備2015.04.14-2015.05.044論文撰寫及工藝程序編寫2015.05.06-2015.06.015設計答辯2015.06.02-2015.06.20審核人：年月日誠信聲明本人鄭重聲明：本論文的建模與仿真是自己在指導老師和同學們的指導幫助下獨立完成的，其中引用的文獻已在參考文獻中標出。本人簽名：年月日

基于MATLAB的雙足機器人運動模型的建立與運動仿真摘要：雙足機器人是利用雙腿和其他部件之間的協(xié)調完成動作的，其運動方式與其它的相比較而言更加的方便，更加有益于人們的各種需要，正因為如此，所以雙足機器人在科研方面才更加備受關注。雙足機器人具有非線性、變結構等等一系列組合的動力學系統(tǒng)，首先我們要確立雙足機器人的自由度和各個運動方向上的運動，雙足機器人的運動方向有滾轉俯仰和偏航。為了完成雙足機器人能到做到上述的動作，我決定把雙足機器人的自由度設置為12個，我們要利用D-H，在進行相應用的計算的到雙足機器人正運動模型，已知正運動模型我們在推導出逆運動模型。最后用MATLAB進行模型的仿真關鍵詞：雙足機器人運動學模型D-H表示法動力學模型拉格朗日方程TheestablishmentofabipedalrobotmotionmodelbasedonMATLABandmovementsimulationAbstract：Bipedrobotisusingthecoordinationbetweenthelegsandotherpartstocompletetheactions,comparingwithothermovements,it’smoreconvenientandmorebeneficialtothemeetallkindofneeds,forthisreason,bipedalrobotdrawsmoreattentiononscientificresearch.Bipedrobothasaseriescombinationofdynamicsystem,suchasnonlinear,variablestructure.First,weneedtoestablishthefreedomandmovementstoeverymovingdirectionofbipedrobot.Themovementsofbipedrobotarerollpitchandyaw.Tomakebipedrobotfinishingmovementsmentionedabove,IdecidetosetDOFofbipedalrobot12,weuseD-Handrelativecalculationtogetpositivemovementmodelofbipedalrobot,ontheknownconditionofpositivemovementmodel,wereducenegativemovementmodel.Finally,weuseMATLABtoemulatethemodel.Keywords:Bipedrobot;Thekinematicsmodel;D-hnotation;Dynamicmodel;TheLagrange'sequations

目錄1緒論 緒論1.1引言我們所知道的的機器人大概誕生于美國的五六十年代。隨著科研人員的不斷研究和人們日常生活以及工業(yè)的上需要機器人的重要性就越來越重要，正因為機器人越來越重要科研人員才不斷地的研究。雙足機器人在所有機器人是極具代表性的，雙足機器人是利用仿生學，模仿我們人類的動作完成各種工作。雙足機器人的有優(yōu)點是實用性，雙足機器人可在非結構性的復雜地面行走并做一些簡單的動作；在某些特殊的環(huán)境中可代替人進行工作，從而完成工作。正因為雙子機器人有這么多的優(yōu)點，所以他也被利用于人類生活和工作的各個行業(yè)中并且扮演著非常重要的角色。雙足機器人研究設及到很多學科的知識，是一門綜合性的研究項目。從上世紀五六十年代到現在為止經過研究人員的研究雙足器人有了很大的科研成果，但是也僅僅限于科研方面還遠遠沒有運用的人們的日常生活中。我們在研究一個東西時首先要有理論依據，而現在雙子機器人遲遲沒有重大的突破主要是理論依據不足。本設計主要的兩個方面：建模和仿真，從而進行雙足機器人的研究。1.2雙足機器人的研究狀況自從世界上第一臺真正意義上的雙足機器人誕生和南斯拉夫學者提出ZMP穩(wěn)定性判據理論后，雙足機器人就備受關注，研究雙足機器人的成果也層出不窮。機器人分為兩大類：主動機器人以及被動機器人。我們多了解的機器人現在基本上都處于研究階段并沒有運用到日常生活中，我們堅持不懈的研究一旦研究成功，那么機器人的重要性一下就體現出了。有的研究學者把著梁祝機器人結合到一起，稱為半被動步行。我們所知道的第一臺工業(yè)機器人誕生美國，但是隨著人們對機器人研究的深入，日本對雙足機器人的研究是非常先進的。日本研究雙足機器人的研究機構主要有索尼公司、本田公司、東京工業(yè)大學和早稻田大學，這幾個研究機構在日本乃至全世界都是非常有名的。索尼公司研究出世界第一臺會跑的雙足機器人sony-QRIO。sony-QRIO如圖。在1986年日本本田公司研發(fā)出了p系類的雙子機器人，如圖所示。由于我國的歷史原因，所以我國的在研究雙足機器人的時間比較晚。我國的國防科技大學是第一個開始投入研究的大學，也是在國內第一個研究出機器人的研究單位。先行者是我國第一臺機器人。隨著機器人越來越重要，我國越來越多的科研單位也逐漸加入了研究雙足機器人的的行列之中。其代表性的有哈爾濱工業(yè)大學研究出來的HIT系列的雙足機器人。還有北京理工大學BHR系列的雙足機器人。就在2006年，我國位于北京的中關村的一家公司研究出了一款機器人，稱是目前中國最先進的雙足機器人。1.3本文的雙足機器人主要設計本設計主要足機器人的建模和仿真包括雙足機器人的運動學模型與動力學模型的建立，動力學仿真。論文各個部分的安排如下：第1章闡述了雙足機器人國內外研究前景和發(fā)展情況。第2章講述機器人的齊坐標矩陣等等概念，利用D-H，確定雙足機器人的自由度，確定為12個自由度，然后建立雙足機器人的運動模型。第3章建立了五連桿平面雙足機器人的動力學模型第4章建立了雙足機器人的混雜動力學模型；第5章模型仿真。

2雙足機器人運動學模型2.1引言雙足機器人的研究是人體腰以下的部分所做的動作。所以雙足機器人的機構包括腿部和足部和連接腿部足部之間的部分。雙足機器人的動作部分包括：單腿運動，雙腿運動以及單雙推交叉運動。在這個章節(jié)建立雙足機器人的模型是為了更好的了解雙足機器人各個關節(jié)之間的聯(lián)系和數學之間的聯(lián)系，同時也是為了以后章節(jié)建模時所學的理論依據做一下充足的準備。分析和計算過程忽略雙足機器人的向前運動還有側向運動。雖然這樣能過簡化雙足機器人的建模過程的一些問題，但是缺點也是很明顯的，主要的的缺點是難免會出現一些誤差。為了本論文的準確性我們是要考慮這些因素的。利用D-H方法，構建齊坐標變換矩陣，然后建立雙足機器人的運動模型利用數學知識求的雙足機器人各個關機（髖，踝，膝）之間的角度。2.2機器人位置與姿態(tài)的描述人在完成各個指定動作時運動的過程是沒有間隔的續(xù)的。所以各個關節(jié)桿件受到的力不是很大。本設計忽略關節(jié)之間的彈性收縮即彈性效應。本文涉及的模型是一個簡單連桿結構理想化模型（忽略彈性效應和看做無間隙的連接部件）且為理想化物理模型質量均勻的剛體。（圖2-1參考坐標系和附體坐標系）如圖2-1所示，參考坐標系Oxyz是空間中的坐標系，在雙足機器人中以他為基礎建立總坐標系。把Ouvw看作是建立在雙足機器人總坐標系的一個附體坐標系。Ouvw是建立在Oxyz上的，所以他們之間一動全動，并且其原點與其他坐標點保持一致。假設其中有一點P在坐標中Oxyz中的坐標位置保持不變。假設P在Oxyz和的坐標系中，則它的表示為：PPxyz和Puvw表示的是在Oxyz和Ouvw當Ouvw系繞任某一某一個軸線轉動以后，可以通過一個3×3旋轉矩陣R將原坐標系PUVW變換到Oxyz系中的坐標PXYZ=RPUVW如果Ouvw坐標系繞Ox轉動α角，變換矩陣,R同理也可以得到Ouvw系繞Oy軸轉?角和繞Oz軸轉θ角的3×3R矩陣Rxα，Ry.φ和Rz.θ被稱為基本旋轉矩陣為了能夠表示Ouvw繞Oxyz坐標系各個坐標軸的多次旋轉轉動，我們可以坐標軸旋轉，也可以繞自己的摸一個坐標軸旋轉。假如Ouvw系繞Oxyz系的某一坐標軸轉動，于是我們就可以對這個旋轉矩陣左乘相應的基本旋轉矩陣；假設Ouvw系繞自己的坐標軸轉動，于是我們就可以對這個旋轉矩陣右乘相應的基本旋轉矩陣。我們在形容轉動的剛體可以利用3個角度來形容此參考坐標系，這三個角度成為廣義坐標，這三個角度稱為歐拉角。我們現在知道的形容歐拉角的的表示方法是也有很多種的，鑒于本論文是研究雙足機器人的再結合實際情況我們采用分析飛行器的運動時方法來研究。將繞Ox軸旋轉的角度α稱為滾轉角，繞Oy軸旋轉的角度?稱為俯仰角，繞Oz軸旋轉的角度θ稱為偏航角，則系統(tǒng)的旋轉矩陣為：R=cos2.2.1齊次坐標和變換矩陣齊坐標使用后一個量在通過某種聯(lián)系來描述前一個量即用n+1來反映n點得具體位置。我們引用齊坐標能夠形象的知道其數學表達式及其之間的關系。并且還能具有縮放坐標的功能。對三維空間位置矢P=[PXPYPPxyz我們知道k的去只是不唯一的，所以它的空間坐標的位置也不是唯一的，根據具體情況在本論文中研究的是雙足機器人我們將k的數值取為1，即k=1。兩個坐標是有一定的數學之間的聯(lián)系的，我們根據映射再結合雙足機器人的實際情況，齊次變換矩陣可寫成：T=R33其中R33表示的是坐標系Ouvw繞坐標系Oxyz的旋轉矩陣，P3*3是坐標系Ouvw原點相對于Oxyz坐標系原點的位置矢量。對于三維空間中的位置矢量P=[PXPTx

Ty

Tz如果Ouvw坐標系的原點平移到參考坐標系的[dxdydz]T點，而坐標軸保持平行，則齊次平移矩陣Ttran：

TTtran和Tz.θ.Ty.φ.Tx.α對圖2.1中的點P，其在Oxyz系和Ouvw的齊次坐標分別表示為：PXYZ=[PXPYPZ]T PUVW=[PUPVPW1]T因為P點在Ouvw坐標系中固定不變，在Ouvw相對于Oxyz系運動時，如果次變換矩陣為T，則：PXYZ=PUVWT機器人是由許許多多的關節(jié)和桿件組合而成的，因為雙足機器人的運功不可能僅僅是某一個關節(jié)關鍵獨立運動的，它的運動是一個整體多個桿件的協(xié)調下才能完成動作的.為了能跟準確的描述各個桿件之間的聯(lián)系，Denavt和Hartenberg兩位科學家進過長時間的實驗驗證得到可以用矩陣來表示相鄰功能鍵之間存在的某種關系即：D-H表示法。D-H方法根據兩個桿件之間的通過用矩陣來表示用第n通關某正關系來推導出第n+1個關節(jié)矩陣表達式，急著用一級一級的推下去，就可以得到雙子機器人各個桿件的表達式。為了方便研究我們要為雙子機器人各個桿件編一下號碼，我們從雙足機器人的腳步為標號的起點，同時把雙子機器人的腳掌與地面接觸時建立坐標系我們以雙足機器人與地面建立的基礎坐標系接觸的桿件幾座編號0，根據運動時就有帶動性的我們把第一個運動的桿件幾座編號1，根據我們上述的編號方式，以此類推，最后的桿件n處于擺動階段，或者與地面接觸。關節(jié)1處于連接桿件1和基座之間，關節(jié)i處于桿件i和桿件i?1之間，最后的桿件n只通過關節(jié)n與桿件n?1連接，如圖2.2所示：圖2.2機器人桿件與關節(jié)的描述為了更好的研究，我們要建立局部坐標系，建立局部坐標系時，n關節(jié)的雙足機器人需要建立n+1個坐標系，其中基礎坐標系為O0，第i關節(jié)上的坐標系為Oi-1。我們可以根據我們建立的坐標系知道其原點就是其關節(jié)的中心位置，我們可以根據實際情況確定方向。根據2.2.2節(jié)中齊次變換矩陣的定義，依次建立相鄰坐標系Oi系和Oi-1系之間的齊次變換矩陣i-1Ti，而iO坐標系相對于基礎坐標系O0的齊次變換矩陣0iT是各齊次變換矩陣 0Ti=0T11T2…i-1TiRRi是我們新建的坐標系相對于基礎坐標系的旋轉矩陣，Pi是在基礎坐標系中由我們新建的坐標系原點指向i坐標系原點的位置矢量。通過上面的結論，我們就可以確定確定Oi坐標系與O0坐標系的關系，我們就可以就確定了桿件i+1在坐標系中的表示表示方法2.3雙足機器人的自由度配置圖2.3雙足機器人的側視圖（左）和后視圖（右）根據我們所建立的模型我們可以把雙足機器人簡化為一個七連桿解構的簡易模型，其模型包括腳、腿（大腿和小腿）和軀干這三個部分。為了能更好地表示我畫了一張簡易圖。如圖2-3所示。我們令 O1 表示左腳的中心點 ，O2表示右腳的中心點。A1表示左踝表示中心點，A2右踝的中心點。B1表示左膝的中心點，B2表示右膝的中心點。C1表示左髖的中心點，C2表示右髖的中心點。D表示兩個髖關節(jié)的中心位置，E是軀干的頂點。這個建議模型采用的是前面所說的理想化物理模型這里的所有桿件都是質量均勻的剛體桿件。正因為是質量均勻的剛體桿件，所以桿件的質心和這個桿件的幾何中心是一個點即重合。我們研究雙足機器人就是為了能讓雙足機器人更好的完成各種動作，我們分析雙足機器人每個小動作的組成主要包括偏航、俯仰、翻滾這三個方向上的運動。我們所做這個簡易模型設定為12個自由度，其中踝關節(jié)2個（滾轉自由度與俯仰自由度）；膝關節(jié)1個俯仰自由度；髖關節(jié)3個（俯仰自由度、滾轉自由度與偏航自由度）。自由度設定好以后，就可以對各個角度進行定義如下（如圖2.4所示）：θ0為左踝滾轉方向的轉角，θ1為右踝滾轉方向的轉角，我們根據雙足機器人的正常運動得知雙足機器人的小腿的外偏方向為正方向；允許范圍為?30°到30°。θ2為左踝俯仰方向的轉角，θ3為右踝俯仰方向的轉角，我們根據雙足機器人的正常運動得知雙足機器人的小腿傾斜的方向為正方向；允許范圍為?60°到60°。θ4為左膝俯仰方向的轉角，θ5為右膝俯仰方向的轉角，我們根據雙足機器人的正常運動得知雙足機器人的膝蓋彎曲的方向為正方向；允許范圍為0°到90°θ6為左髖俯仰方向的轉角，θ7右髖俯仰方向的轉角我們根據雙足機器人的正常運動得知雙足機器人的大腿前伸的方向為正方向；允許范圍為?20°到70°。θ8為左髖滾轉方向的轉角，θ9為右髖滾轉方向的轉角，我們根據雙足機器人的正常運動得知雙足機器人的大腿外伸的方向為正方向；允許范圍為?30°到30°。θ10 為偏航方向的轉角，θ11為偏航方向的轉角，我們根據雙足機器人的正常運動得知雙足機器人的，軀干向前進方向旋轉的方向為正方向；允許范圍為?45°到45°。。圖2-4自由度雙足機器人的自由度配置在實際的機器人的結構中，各個自由度是由不同的電機驅動的，所以踝部有兩個電機，髖部需要三個電機。為了以后的計算和模型建模時的計算簡單些，所以我們把電動機都加在關節(jié)的中點上，并且每個電動機的轉軸都要在腳踝的的中心點和髖關節(jié)的中心點相交。2.4雙足機器人的運動學模型對于雙足機器人的建模是為了更好的讓我們去分析雙足機器人的運動中各個關節(jié)與桿件之間存在數學關系。對于雙足機器人的運動學問題主要存在兩方面的問題：1.根據我們所知道的雙子機器人的參數（幾何參數）以及關節(jié)桿件的運動，通過齊坐標變化矩陣可以求出雙足機器人的軀干腿部在我們建立的坐標系中的矩陣公式，我們以地球為基礎坐標系。2.我們通過查文獻所以值得雙足機器人桿件的參數，分局我們所建立的坐標系可以求出雙子機器人各個關節(jié)的表達式及情況，上述所述的即為逆運動學問題部分了。2.4.1正運動學模型我們知道的雙足機器人在步行的時候，無論怎么行走都是由腳掌基礎底面的，我們在建立固定坐標時首選以腳作為固定坐標系且腳的中心點為原點。為了更好的研究我們可以建立局部坐標系，在小腿、大腿和軀干這些關鍵部分建立坐標系。利用已知的坐標系采用D-H方法來敘述雙足機器人桿件的具體情況，人后在建立正運動學模型。用L0表示腳的中心點距踝關節(jié)中心點的距離；L1表示小腿長度；L2表示大腿長度；L3表示兩個髖關節(jié)之間的距離；L4表示軀干的長度。根據我們以腳掌建立的坐標系，建立正運動模型。如圖所示我們需要建立七個坐標系：1.與左腳固連的坐標系2.與左小腿固連的坐標系3.與軀干固連的坐標系4.右大腿固連的坐標系5.與右腳固連的坐標系6.左大腿固連的坐標系7.右腳固連的坐標系。并為這些坐標系命名為OA1A2B1B2C1C2系。當雙子機器人處于站立靜止的時候，因為是垂直的，所以在雙子機器人各個部位建立局部坐標系的坐標軸都處于重合和平行，如圖2-5所示。雙足機器人各連桿的局部坐標系就建立完成。各連桿局部坐標系的示意圖2-5雙足機器人在做運動時候，左小腿繞左踝旋轉，先在正方向上的旋轉-θ0，然后在正方向上的旋轉θ2，則A1系相對于O系的旋轉矩陣為RX(-θ0)RY(θ2)，A1系的原點在O系的坐標是[00L0]T，計算得到A1系相對于O系的齊次變換矩陣為g左大腿繞左膝關節(jié)旋轉，在俯仰方向上的旋轉角度為θ4則B1系相對于A1系的旋轉矩陣為Ry(θ4).B系的原點在A1系的坐標是[00L1]T，得到B1系相對Ag軀干相對于左大腿，繞左髖關節(jié)旋轉，根據髖關節(jié)俯仰翻滾偏航，軀干先在俯仰方向上的旋轉θ6，然后在滾轉方向上的旋轉-θ8，最后在偏航方向上旋轉θ10。因此C1坐標系相對于B1坐標系的旋轉矩陣為Rz(θ11)Rx(-θ9)Ry(-θ7)，C1坐標系的原點在B1坐標系中的坐標為[00L]TgB1C2=C其中Ci表示cosθ，Si表示sinθ，以下類同。在偏航方向上旋轉右大腿相對于軀干，繞右髖關節(jié)旋轉，先在偏航方向上旋轉θ11，然后在滾轉方向上旋轉?θ9，最后在俯仰方向上旋轉?θ7，因此C2坐標系相對于C1系的旋轉矩陣為Rz(θ11)Rx(-θ9)Ry(-θ7)，C2坐標系的原點在C1坐標系中的坐標為[00-L]TgB2坐標系相對于C2坐標g右腳繞右踝關節(jié)旋轉，先在俯仰方向上旋轉?θ3，然后繞滾轉方向旋轉?θ1，因此A2系相對于B2系的旋轉矩陣為Ry(-θ3)RX(θ1)，A2系的原點在B2系中坐標為[00-L1]T，則A2g根據D-H表示法，可得到B1系相對于O系的齊次變換矩陣為gOB1=gOA1+gA1B1=cos可以得到PB1=[L1sinPC1=[L1S2+L2S2-4(L1C2+L2C2-4)S0L0+(L1c2+L2C2-4)S0]其中Si-j=sin(θi-θj)雙足機器人子做動作的時候，在我們建立的坐標系的各個旋轉角的角度為：Q1=[-θ0Q2=[-θ0Q3=[-(θ0+Q4=[-(θ0+Q5=[-(θ0+Q6=[-(θ0+其中Qi=(1,2,…6)各個局部坐標系中的各個雙足機器人部件旋轉角度雙足機器人在做步行這個動作指令時，會有一些不平衡產生的震動，為了讓雙足機器人在運動型走時更加平穩(wěn)，我們需要填加幾個約束，即對局部坐標系中的加上前傾角。θ0+θ8θ則θ0=-θ8θ6=θ4-θ2PC2=L同理可得PA2 PB2 各連桿的質心在基礎系中的齊次坐標的表達方式：PC1=gOA1[00L1/21]以此同理得到PC2…………..P其中C1=(1,2,……6)分別表示雙足機器人各個部件的質心。對于支撐腿為右腿的情況，2.4.2逆運動學模型雙足機器人的逆運動學是根據雙足機器人部件的齊坐標矩陣，然后在求出雙足機器人各個桿件關節(jié)的角度問題。雙子機器人的逆運動學問題所求出的結果并不是唯一值也有可能是沒有結果的，通常我們我們要想解決問題的方法有解析和數值兩種方法。把雙足機器人的逆運動學部分問題打碎長城一個一個的小問題，這些小問題都要具有一定的意義。采用經典消元理論來求解。由于求解過程相當繁瑣，所以我們要做一些假設來簡化求解過程。（1）．雙足機器人的髖的所有自由度軸線交于髖關節(jié)的幾個中心（2）．雙足機器人在行走時，整個身體個地面保持垂直。（3）．雙足機器人在行走時，兩個腳始終保持于地面平行。腳與前進方向的夾角，求θi=(0,1,2,3,4,5,10,11)的值C1+A2=xC1A1yC1-C1=[xC1C2y由上式帶入可得yC1A1zC1A1=tanθ10=x因為θ0∈[-30°30°]L1sinθ2圖2.6平面二連桿考慮圖2.6所示的平面二連桿，它的正運動學模型為：.x=Ly=L已知x.y可求出θ2.θ4α=其中r=x2+y2β=?=根據θ4取舍可得θ2=π2xC2A2y假設a=L1sinθ3a=xb=x結合上式可知道sincos因此，tan根據θ1取值范圍θ因為cosθ1)≠0(L(L得到關于兩個未知數θ3、θ5的方程組，與式(2.34)類似，該問題可以轉化為一個平面二連桿逆運動學問題。通過上式的計算我們就可以得到逆運動模型。2.5本章小結本章的主要問題就是建立雙足機器人正運動學模型和雙足機器人的逆運動學問題。本章一開始就對雙足機器人位置與姿態(tài)就行了描述，并且用D-H表示法齊坐標矩陣來表示雙足機器人的各個雙足機器人桿件與桿件之間的聯(lián)系。用齊坐標矩陣來描述雙足機器人各個桿件在坐標系的位置。為了能讓雙足機器人完成各種動作我們一共設置了12個自由度。通過建立雙足機器人正運動學模型我們做了一系列假設，利用經典消元理論進行逆運動學運算，這樣就可以求到雙足機器人各個關節(jié)的角度。本章的正運動學和逆運動學都是為了后面的模型仿真做的鋪墊。

3雙足機器人動力學模型3.1引言機器人動力學研究是分析機器人的運動與關節(jié)驅動力（力矩）間的動態(tài)關系，描述這種動態(tài)關系的微分方程稱為機器人的動力學模型。雙足機器人在進行動作時，兩個桿件之間的相對運動方向只有旋轉。本章忽略其他的只考慮雙足機器人桿件與關節(jié)驅動力矩。對于雙足機器人的機械結構這方面只考慮用電動機驅動。由于現實之中的機器人是非常復雜的，計算量也是相當巨大的。本篇論文在建立運動學模型不可能可現實的機器人的那么復雜，所以我選擇了簡化模型。我們建立的簡化動力學模型是五連桿的雙足機器人，并且只考慮平面點。。本章首先介紹了機器人的雅克比矩陣，以及剛體的慣性張量；然后，采用拉格朗日法建立了雙足機器人的動力學模型，采用牛頓-歐拉方程遞推得到雙足機器人的逆動力學模型3.2機器人的雅克比矩陣對于一個具有n自由度的雙足機器人，雙足機器人關節(jié)變量向量可表示為：Q=[q1q2?qn]T設機器人的某桿件在基礎坐標系中的位置和姿態(tài)為P，則P=[P1P2P3P4P5P6]T=[xeyezeθex前3個元素在基礎坐標系中的位置，后3個元素表示在基礎坐標系中的姿態(tài)。它們都是n個關節(jié)變量的函數，所以也可寫為：P=?（q1q2?qn）為了求該桿件在基礎坐標系中的速度，可以上式求導，得：dPdt=δ?δQδQ該式表示機器人在基礎坐標系中的速度P與關節(jié)速度Q間的關系，聯(lián)系它們的紐帶為矩陣J，稱其為雅克比矩陣，根據上式，它的展開式為J=δ?P寫成分塊形式P=VeP=VJLi第iJAi表示第i3.3機器人的慣性張量對于在三維空間中運動的剛體的動力學分析，有時需要計算六個慣性量。圖3-1剛體的質量微元在三維空間中的表示3-1例如，在圖3.1中，rx=y2+dI對每一個坐標軸對質量微元的轉動慣量進行積分，可以得到：Ixx=dIxy=dI質量微元的慣性積定義為質量微元與其到一系列兩個正交平面的垂直距離的乘積。x為質量微元到y(tǒng)?z平面的距離；y為質量微元到x?z平面的距離，z為質量微元到x–y則質量微元dm的慣性積：Ixy=Iyx=當得到一個剛體的轉動慣量與慣性積以后，其慣性屬性就可以用九個項全表示出來，這些項可以寫成：I=Ixx-Ixy-I此時剛體的姿態(tài)被稱為基準姿態(tài)由基準姿態(tài)下的慣性張量I求得：I=IRRT3.3.1機器人各部分的慣性張量本章節(jié)所建立的局部坐標系和雙足機器人各個部件自由度軸線都與前面章節(jié)所畫的圖像一樣。根據雙足機器人的正運動學模型，可確定各局部坐標系相對于基礎坐標系的旋轉矩陣0Ri。根據式(3.12)，可以很容易的求得各桿件在其局部坐標系中的慣性張量Ii。此時根據式(3.13)，即可得到各桿件在基礎坐標系中的慣性張量Ii=0RiIi腳的慣性慣量I=m3.4雙足機器人的動力學模型雙足機器人進行步態(tài)行走時包括兩個階段：一單腿支撐期：二雙腿支撐期。根據根據開鏈機器人動力學所學的知識建立雙足機器人單腿支撐的模型。雙足機器人的雙腿支撐模型就比較復雜了，我們可以拆開分解一下，看作是一只腳看作是支撐腳，另一只腳看作是與地面接觸收受到地面的反作用力。這兩個模型有一個共同點都是要建立單腳支撐模型的。我們建立的正運動學模型是已知雙足機器人各個關節(jié)的角度、角速度等等，根據這些已知的條件我們可以求出關節(jié)的驅動力矩。我們建立的逆運動學模型可以根據根據各個桿件之間的聯(lián)系就行遞推求解，計算也比較容易。考慮到以后的模型仿真問題。髖的運動方向上沒有偏航的上的運動方向。3.4.1拉格朗日方程對于由N個質點組成的具有n自由度的機械系統(tǒng)，設各自由度為q1,q2qri=ri（q1,q2根據牛頓第二定律我們可以知道，對每個質點i均有miai=d式中U為非保守的主動力系所對應的廣義力。在建立這個機械結構是我們用廣義坐標將動能T和勢能V描述出來就可以了。3.4.2動力學模型對于由N個桿件組成的有n個自由度的機器人來說，拉格朗日函數定義為：L(q，其中q=[q1,q2T，U代表雙足機器人的動能和勢能。設機器人各連桿質心在基礎坐標系中的平移速度向量為Vci，角速度向量為ωmi，相對質心的慣性張量為Ii，則桿iTI=機器人的總勢能為：V=M其中，g為重力加速度向量；Pci為由坐標原點到桿iU=F+u其中，u為關節(jié)力向量與環(huán)境的接觸力向量F為機器人末端與環(huán)境的接觸力向量。將上式代入拉格朗日方程可得到機器人的動力學方程。：MT=MT=1根據已知條件可得到M(q)q+C(其中M(q)是機器人總的慣性矩陣；C(q,q)包含機器人系統(tǒng)的離心力與哥氏力；G(q)是重力項。CC（q,q）=[對于圖3-3所示的五連桿機器人來說，每一個桿都一一對應著雙足機器人的一個部件。因為是模型我們把它設定為為沒有寬度和厚度同時這個模型在運動時與接觸面沒有震動彈跳以及滑動等等問題。因為是模型，所以有的關節(jié)就會使一些自由度無法體現，在這個模型中我們忽略這些因素。五連桿平面雙足機器人模型3-3我們假設雙足機器人的小腿長度為l1，大腿的長度為l2，軀干的長度為l3；小腿的質量為m1，大腿的質量為m2，軀干的質量為m3。q1?q5分別表示支撐小腿、支撐大腿、軀干、擺動大腿、擺動小腿在基礎坐goa1=cosgob1=cosgoc1=cosgoc2=cosgob2=cos可以得到各連桿的雅克比矩陣JJJJJ因為各個連桿僅在平面上旋轉，因此只需要確定連桿的轉動慣量即可。根據式(3.8)，可得到各連桿繞其質心的轉動慣量I2=ml2/12。C(q，可求的重力模型G=即得到了五連桿平面雙足機器人的正動力學模型。首先對機器人各桿的受力進行分析。對于機器人的桿i，其兩端是關節(jié)i和關節(jié)i+1，若用D-H表示方法建立和桿固連的局部坐標系，則桿i的兩端分別是系i?1和系i的原點mi-1和Oi。作用于桿i的外力如圖3-連桿i的結構圖（丁學恭，2006）3-4根據牛頓方程可知，描述桿i隨其質心平動的方程為：i-1fi-i-1fi+1+mig-mivci=關節(jié)驅動力：τ10自由度雙足機器人的側視圖（左）和后視圖（右）3-5令L0表示腳的中心點距踝關節(jié)中心的距離，L1表示小腿的長度，L2表示大腿的長度，L3表示兩個髖關節(jié)中心點的距離，L4表示軀干的高度，L5和L6分別表示腳的長和寬m0、m因為軀干、右大腿與右小腿的慣性張量矩陣很復雜，在此就不列寫出來了。當已知機器人各關節(jié)自由度的角度θi(0,1,…,9)θi=dqqqqqq對連桿的角速度、角加速度和平移的速度、加速度的計算，是從桿i=1到桿i=6的順序進行計算的，根據桿件與桿件之間的聯(lián)系，我們可以推算出每個桿件的運動狀態(tài)。我們還可以根據上式還可以推斷出各關節(jié)驅動力矩。

3.4本章小結本章主要是一.建立雙足機器人運動學模型，并且根據正運動模型求出雙足機器人逆運動學。二是對雙足機器人正動力學模型和雙足機器人逆動力學模型進行更深層系的分析。本章節(jié)的3.2雙足機器人的雅克比矩陣主要是介紹雙足機器人的運動時的速度和角速度之間的聯(lián)系.有了前面雙足機器人的雅克比矩陣在結合拉格朗日就可以建立起雙足機器人運動學模型。在利用牛頓-歐拉方程得到逆動力學問題。

4雙足機器人模型的仿真4.1雙足機器人的混雜動力學模型雙足機器人的完整的行走周期，包括單腿支撐期、雙腿支撐期和擺動腳落地時的瞬間撞擊這三個階段。這三個階段的相互的集合就組成了一個混合動力模型。由于真正的雙足機器人過于復雜，所以這里還是采取簡化模型。本章主要是研究某一瞬間的階段，我們選取的這個階段為雙腿支撐期與擺動腳落地的瞬間階段一致，雙足機器人在極短的時間里完成機器人運動狀態(tài)的突變（姿態(tài)不變，速度發(fā)生突變），并完成支撐腳與擺動腳的互換的過程。這樣雙足機器人的模型僅包括一個微分方程組和一個狀態(tài)轉變的函數，有利于對雙足機器人的運動進行分析與控制。4.2單腿支撐期的模型根據前面，得到雙足機器人在單腿支撐期的動力學模型：M其中q=(q1…qn,)是描述機器人構型的各自由度的角度；關節(jié)的驅動力矩；Mq是機器人的轉動慣量矩陣；C力Gqx其狀態(tài)空間X={x=(qq)q∈Q}其中Q能姿態(tài)的集合是[-ππ4.3.雙腿支撐期的模型在擺動腳落地的瞬間，會與地面產生一個碰撞。因為機器人具有n+2個自由度，設擴展后的機器人的構型變量為qe=(q,應用拉格朗日方程，得到雙腿支撐期機器人的動力學模型：MδF為了求得雙腿支撐期的模型，對機器人在雙腿支撐期的運動做了一些假設：雙腿支撐期是一個瞬時階段，因此可以看作一個撞擊階段；撞擊階段會引起機器人各關節(jié)的角速度的瞬時變化，但關節(jié)角度不會發(fā)生突變；3.因關節(jié)的驅動器不能產生沖擊力，因此在撞擊階段可以忽略。4.擺動腳在落地瞬間，與地面之間不會彈起或滑動；5.在撞擊結束時刻，支撐腳要離開地面時，與地面間無作用力；系統(tǒng)的混雜模型雙足機器人在一個完整行走周期中的動力學模型可以表示為一個非線性混雜系統(tǒng)：：其中S={q,q∈X|p2末端的垂直和水平方向上的笛卡爾坐標。方當機器人的狀態(tài)到達集合S時，機器人的擺動腳就會與地面發(fā)生碰撞，在這個過程中機器人各關節(jié)的運動速度發(fā)生突變，并完成支撐腳與擺動腳的互換，使系統(tǒng)的狀態(tài)變量不是連續(xù)變化的。碰撞階段的模型的結果，是新的微分方程組開始運算的初值，這也是雙足機器人開始一個新的運動周期的初始條件，機器人開始進行單腿支撐期的運動，直到下一個撞擊時刻的到來。為了區(qū)分在碰撞階段的機器人的狀態(tài)變量，將碰撞時刻的左極限表示為t?，右極限示為t+，這兩個時刻對應的狀態(tài)變量分別表示為x?和x+，因此了實現雙足機器人的行走，系統(tǒng)的解要求是右連續(xù)的，并且在撞擊時刻具有有限的左極限和右極限(Westerveltetal.2003)。4.4三連桿平面雙足機器人的混雜模型因為雙足機器人的兩個腿是等長的，為了方便，假設兩個腿與豎直方向的夾角大小相等。因為機器人的擺動腿在運動過程中與地面無接觸，因此要求機器人的擺動腿在運動過程中稍微偏出運動的平面，在落地的時刻重新回到運動平面，因為偏離運平面的角度不大，不影響雙足機器人的建模。三連桿平面雙足機器人的模型4-2將機器人的腿與軀干都假設為質量分布均勻的剛性連桿，設機器人的腿長度為l1，質量m1，軀干的長度為l，質量為m2。當以A點為支撐點運動時，以A點為原點建立基礎坐標系，以M=1C=G=B=即可得到雙足機器人在單腿支撐期的狀態(tài)方程：x=在雙腿支撐期，以支撐點A在基礎坐標系中的位置[xAzA]DR=綜合上式可以得到雙腿支撐期的雙足機器人的模型：x4.5模擬仿真在Matlab中建立雙足機器人的混雜動力學模型。其中模型的參數選擇為ll令控制函數v=Ψy,y=1ε制器的設計是否正確。設開始的初值為x0=[-π/9π/9可以看到，當不施加控制時，機器人的各關節(jié)的角度與角速度的變化都比較大，機器人無法到達零動態(tài)流形當施加控制時，仿真結果如圖所示：過圖4.6與圖4.7，可以看到關節(jié)速度與、角速度與2是正好相反的，而且圖4.8顯示，在運動過程中，關節(jié)角與角速度基本保持在零附近，沒有大的偏差，因此控制器是有效果的。當初始狀態(tài)有誤差時，可以設初始狀態(tài)為x0=[-π9

說明在足夠長的時間內，反饋控制(4.56)會使雙足機器人運動到零動態(tài)并保持在零動態(tài)流形上運動。對于閉環(huán)的混雜系統(tǒng)實現周期運動的一個條件是，雙足機器人到達零動態(tài)的時間要小于到達碰撞時刻的時間。以雙足機器人在碰撞前的瞬間的狀態(tài)作為初始狀態(tài)，設碰撞時關節(jié)q1=q1d,x0=[q1d-q1

在圖中可以看到，在30個步行的周期中每個周期結束時都變?yōu)榱?，雙足機器人的步態(tài)都能到達零動態(tài)流形，能夠實現周期性的行走。建立龐加萊映射，將龐加萊映射得到的離散點表示出來，如圖4.18所示，可以看到機器人的各個狀態(tài)在每個撞擊前的瞬間，基本能保持在一個很小的誤差范圍內。這個誤差是因為計算時是采用的數值計算，所以對撞擊時刻的選擇是q1d有個很小的誤差的。這個誤差與因為雙足機器人在撞擊時刻保持在零動態(tài),由圖4.18可以看到，q1穩(wěn)定在1.68左右，因此雙足機器人的不動點在x0=[-π9π4π當q1的初值與1.68偏差較大時，機器人的運動就無法實現周期運動了。當q1=1.06時，機器人的q1與q1為負值，永遠也達不到π9,而q1也在一段時間后變?yōu)樨撝?，使當q1周期性的運動，仿真曲線無法得到，在此也就不給出了。因此雙足機器人的收斂區(qū)域大致為(1.06,4.228)。4.6本章小結本章將雙足機器人的雙腿支撐期簡化為與地面的瞬間撞擊的階段，并推導了雙足機器人的混雜動力學模型；最后針對三連桿的平面雙足機器人模型，設計了有限時間的雙積分控制器，對雙足機器人的運動進行了仿真與分析，驗證了控制器的有效性，并且得到其周期運動的不動點和收斂區(qū)域。

5總結與展望5.1論文總結本論文主要是對雙足機器人建立數學模型與模型仿真，主要包括四個方面：1.本文根據我們所了解的雙足機器人的實際運動情況.我們把雙足機器人的模型設置為七連桿十