與圓的基本性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算與證明

九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)解法技巧思維培優(yōu)專題13 與圓的基本性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算與證明考點(diǎn)一弧、弦、圓心角【典例1】（2019-港南區(qū)四模）P是。。外一點(diǎn)，四、PB分別交。。于C、D兩點(diǎn)，已知而、亦的度數(shù)別為88°、32°，則NP的度數(shù)為（ ）A.26°BA.26°B.28° C.30°D.32°【點(diǎn)撥】先由圓周角定理求出ZA與ZADB的度數(shù)，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出ZP的度數(shù)即可.【解析】解：\?崩和亦所對(duì)的圓心角分別為88°和32°，1 1AZA=2x32°=16°，ZADB=2x88°=44°，?「ZP+ZA=ZADB，...ZP=ZADB-ZA=44°-16°=28°.故選：B.【典例2】（2019?福建模擬）如圖，AB是。。的直徑，ZBOD=120°，點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，AC交OD于點(diǎn)E，DE=1，則AE的長(zhǎng)為（ ）V3 B.V5 C.2V3 D.2V5【點(diǎn)撥】連接。。.首先證明ZAOD=ZDOC=60。,想辦法證明DE=OE=1即可解決問題.【解析】解：連接OC.VZDOB=120°,AZAOD=60°, ?:CD=BC,AZDOC=ZBOC=60°, :.AD=CD,1AODXAC,設(shè)OA=r,則OE=^r=DE=1,.OA=2,:.AE=^0A2-OE2=V3,故選：A.【典例3】（2019-洛陽(yáng)一模）如圖，矩形ABCD、半圓O與直角三角形EOF分別是學(xué)生常用的直尺、量角器與三角板的示意圖.已知圖中點(diǎn)M處的讀數(shù)是145°，則/FND的讀數(shù)為55。.【點(diǎn)撥】求出ZFOC,利用平行線的性質(zhì)即可解決問題.【解析】解：由題意：匕COM=145°,ZEOF=90°,:.ZFOC=55°,.:AD//BC,AZFND=ZFOC=55°,故答案為55°.【典例4】（2019-長(zhǎng)白期末）如圖，AB和DE是。O的直徑，弦AC//DE,若弦BE=3,則弦CE=3【點(diǎn)撥】連接OC,根據(jù)平行線的性質(zhì)及圓周角與圓心角的關(guān)系可得到Z1=Z2,從而即可求得CE的長(zhǎng).【解析】解：連接OC,?：AC〃DE,AZA=Z1.Z2=ZACO,,?ZA=ZACO,AZ1=Z2.?.?CE=BE=3.【典例5】（2019?句容市期中）如圖，已知AB是。。的直徑，弦AC^OD.求證：BD=CD.（2）若丘的度數(shù)為58°,求匕AOD的度數(shù).【點(diǎn)撥】（1）欲證弧BD=mCD,只需證明它們所對(duì)的圓心角相等，即ZBOD=ZCOD.（2）利用圓周角、弧，弦的關(guān)系求得而=61°+85°=119°,則ZAOD=119°.【解析】解：（1）證明：連接OC.VOA=OC，AZOAC=ZACO.?「AC〃OD，AZOAC=ZBOD.AZDOC=ZACO.AZBOD=ZCOD， ABD=CD.(2)，：BD=CD，ABD=CD=1bC=(180°-58°)=61°.乙

:,AD=61°+85°=119°,:.ZAOD=119°.考點(diǎn)二圓周角【典例6】（2019?陜西）如圖，AB是。O的直徑，EF,EB是。O的弦，且EF=EB,EF與AB交于點(diǎn)C,連接OF,若ZAOF=40°,則NF的度數(shù)是（ ）A.20°B.A.20°B.35°C.40°D.55°【點(diǎn)撥】連接FB,得到ZFOB=140°，求出ZEFB,ZOFB即可.【解析】解：連接FB.EEVZAOF=40°,:.ZFOB=180°-40°=140°,.一―1一…—:.ZFEB=2ZFOB=70°.：EF=EB?.ZEFB=ZEBF=55°,.；FO=BO,:.ZOFB=ZOBF=20°,:.ZEFO=ZEBO,ZEFO=ZEFB-ZOFB=35°,故選：B.【典例7】（2020-望花區(qū)二模）如圖，在8中，屆所對(duì)的圓周角ZACB=50°,若P為疝上一點(diǎn)，匕AOP=55°,則ZPOB的度數(shù)為45°.【點(diǎn)撥】先利用圓周角定理得到ZAOB=2ZACB=100°,然后計(jì)算ZAOB-ZAOP即可.【解析】解：\?疝所對(duì)的圓周角ZACB=50°,...ZAOB=2ZACB=2x50°=100°,VZAOP=55°,?.?ZPOB=ZAOB-ZAOP=100°-55°=45°.故答案為45°.【典例8】（2019?黑龍江）如圖，AC為。O的直徑，點(diǎn)B在圓上，OD±AC交。O于點(diǎn)D,連接BD,ZBDO=15°,則ZACB=60°.【點(diǎn)撥】連接QG得出ZBDC的度數(shù)，進(jìn)而得出匕刀的度數(shù)，利用互余解答即可.VAC為。。的直徑，OD±AC,AZDOC=90°,ZABC=90°,VOD=OC,AZODC=45°,VZBDO=15°,AZBDC=30°,AZA=30°,AZACB=60°,故答案為：60°.【典例9】(2019-肇源期末)如圖所示，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，AB的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,且ZD=ZE.(1)求證：ZADC=ZCBE；(2)求證：CB=CE；(3)設(shè)AD不是圓O的直徑，AD的中點(diǎn)為M且MB=MC，證明：△ADE為等邊三角形.【點(diǎn)撥】(1)連接AC,BD,由圓周角定理得出ZACB=ZADB,ZBAC=ZBDC,再由ZCBE+ZABC=180°得出ZCBE=ZACB+ZBAC=ZADB+ZBDC=ZD，進(jìn)而可得出結(jié)論；由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出ZD=ZCBE,再由ZD=ZE,故可得出ZCBE=ZE,進(jìn)而得出結(jié)論；設(shè)BC的中點(diǎn)為N,連接MN,由等腰三角形的性質(zhì)得出MNLBC,故點(diǎn)O在直線MN上，因?yàn)锳D不是圓O的直徑，M為AD的中點(diǎn)可得出OMLAD，MN±AD，BC〃AD，故可得出ZA=ZCBE，再由ZA=ZE可得出ZD=ZE，進(jìn)而可得出結(jié)論.【解析(1)證明：連接AC，BD，VZACB=ZADB，ZBAC=ZBDC，ZACB+ZBAC+ZABC=180°，又.../CBE+ZABC=180°，；?ZCBE=ZACB+ZBAC=ZADB+ZBDC=ZD，:.ZD=ZCBE；證明:.:ZD=ZCBE，ZD=ZE，：?ZCBE=ZE，:,CB=CE；解：設(shè)BC的中點(diǎn)為N，連接MN，,:BM=MC，:.MN±BC，

...點(diǎn)O在直線MN上.又?「AD不是圓O的直徑，M為AD的中點(diǎn)，.OMLAD,:.MNLAD,.?.BC//AD,.ZA=ZCBE.又「/4=4,.ZD=ZE,.△ADE為等邊三角形.卡點(diǎn)三垂徑定理【典例10】（2019*渝中區(qū)校級(jí)三模）如圖，。0的半徑OD上弦AB于點(diǎn)C,連結(jié)AO并延長(zhǎng)交。O于點(diǎn)E,連結(jié)EB.若AB=4,CD=1,則EB的長(zhǎng)為（ ）A.3B.A.3B.4C.5D.2.5【點(diǎn)撥】設(shè)。O的半徑為兒在RtWOC中，利用勾股定理求出，，再利用三角形的中位線定理即可解決問題.

【解析】解：設(shè)。。的半徑為rVODXAB,.AC=BC=2,在RtAAOC中，?「ZACO=90°,：.OA2=OC2+AC2,?.?r2=(r-1)2+22,?_52,.一?3...OC=萬(wàn),.；OA=OE,AC=CB,.BE=2OC=3,故選：A.【典例11】（2019?利川市一模）如圖，CD為。O直徑，CDLAB于點(diǎn)F,AE±BC于E,AE過(guò)圓心O,且AO=1.則四邊形且AO=1.則四邊形BEOF的面積為（ ）A.V3V3B.—2V3C.—4V3D.一8【點(diǎn)撥】根據(jù)垂徑定理求出AF=BF,CE=BE,AD=BD，求出ZAOD=2ZC,求出ZAOD=2ZA,求出ZA=30°,解直角三角形求出OF和BF,求出OE、BE、BF,根據(jù)三角形的面積公式求出即可.【解析】解:...CD為直徑，CDLAB,

ZAOD=2ZC,\'CD±AB,AE±BC,:.ZAFO=ZCEO=9Q°,在△刀戶。和△CE。中AAFO="EOZ.AOF=乙COE、。刀=OCAAFO^ACEO(AAS),:.ZC=ZA,:.ZAOD=2ZA,/AFO=90。,:.匕4=30。,?.崩。=1,OF=IAF=?F=OF=IAF=?F=島,

乙 乙同理同理CE=寫，OE=4,連接。8,連接。8,'：CD±AB,AE±BC,CD.'：CD±AB,AE±BC,CD./E過(guò)。,..?由垂徑定理得：BF..?由垂徑定理得：BF=AF=3,BE=CE=號(hào)，「?四邊形BEOF的面積S=SABFO+SABEO=1X1X亨+1X1X*=￡3,故選：C.【典例12】(2019-海南模擬)如圖，。0的半徑為5,AB為弦，點(diǎn)C為疝的中點(diǎn)，若ZABC=30°,則弦AB的長(zhǎng)為_5^3—.【點(diǎn)撥】連接OC、OA,利用圓周角定理得出ZAOC=60°,再利用垂徑定理得出AB即可.【解析】解：連接OC、OA,VZABC=30°,...ZAOC=60°,.：AB為弦，點(diǎn)C為海的中點(diǎn)，AOC±AB,在RtAOAE中，AE=5(3,.AB=5夠，故答案為：5(3.

【典例13】(2019-金山區(qū)一模)如圖，AB是。。的弦，/OAB=30。.OC±OA,交AB于點(diǎn)C,若OC=6,則AB的長(zhǎng)等于18.【點(diǎn)撥】過(guò)O點(diǎn)作OD上AB于D,根據(jù)三角函數(shù)可求OA,再根據(jù)三角函數(shù)可求AD,再根據(jù)垂徑定理可求AB的長(zhǎng)，【解析】解：過(guò)O點(diǎn)作OD上AB于D,VZOAB=30°.OC±OA,OC=6,AOA=6V3,VODXAB,，一、/3一..AD=6/3X~2=9,?.?AB=9x2=18.故答案為：18.5050【典例14】(2019?青州市期中)如圖，在。O中，DE是。O的直徑，AB是。O的弦，AB的中點(diǎn)C在直徑DE上.已知AB=8cm,CD=2cm(1)求。O的面積；(2)連接AE,過(guò)圓心。向AE作垂線，垂足為凡求OF的長(zhǎng).

D【點(diǎn)撥（1）連接04根據(jù)AB=8cm,CD=2cm,C為AB的中點(diǎn)，設(shè)半徑為,，由勾股定理列式即可求出,，進(jìn)而求出面積.（2）在RtAACE中，已知AC、EC的長(zhǎng)度，可求得AE的長(zhǎng)，根據(jù)垂徑定理可知：OFLAE,FE=FA,利用勾股定理求出OF的長(zhǎng).【解析】解：（1）連接OA，如圖1所示VC為AB的中點(diǎn)，AB=8cm，...AC=4cm又VCD=2cm設(shè)。O的半徑為，，則（r-2）2+42=r2解得：r=5.'.S=nr2=n^25=25n（2）OC=OD-CD=5-2=3EC=EO+OC=5+3=8:.EA=JAC2+EC2=V42+82=4V52：,OF=VFO2—EF2=V25—20=V*5虱【典例15】(2019?楊浦區(qū)三模)如圖，已知AB是圓O的直徑，弦CDLAB,垂足H在半徑OB上，AH=5,CD=4V5，點(diǎn)E在弧AD上，射線AE與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.求圓O的半徑；如果AE=6，求EF的長(zhǎng).【點(diǎn)撥】(1)連接OD，根據(jù)垂徑定理得：DH=2V5，設(shè)圓O的半徑為，，根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論；(2)過(guò)O作OGLAE于G，證明AAGO^AAHF，列比例式可得AF的長(zhǎng)，從而得EF的長(zhǎng).【解析】解：(1)連接OD，..?直徑ABL弦CD，CD=4/5，:.DH=CH=1CD=2扼，在RtAODH中，AH=5,設(shè)圓O的半徑為r，根據(jù)勾股定理得：OD2=CAH-OA)2+DH2，即r2=(5-r)2+20,解得：r=4.5,則圓的半徑為4.5；(2)過(guò)O作OG±AE于G,:.AG=|AE=§X6=3,?../A=/A,/AGO=/AHF,:.△AGOsWHF,AGAH?——=——AOAF.AF.AF=15,：.EF=AF-AE=孕-6=3.鞏固練習(xí)1.（2019-南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB是直徑，BC=CD=DE,ABOC=40°,則ZAOE的度數(shù)為（ ）

3 pA.30B3 pA.30B.40C.50D.60【點(diǎn)撥】由在同圓中等弧對(duì)的圓心角相等得，點(diǎn)BOC=ZCOD=ZEOD=40°從而求得ZAOE的度數(shù).【解析】解：?骯=^=施，ZBOC=40°,...ZBOC=ZCOD=ZEOD=40°,...ZAOE=180°-ZBOE=60°.故選：D.2.（2019-鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，在。O中，AC=2AB，則以下數(shù)量關(guān)系正確的是（ ）A.AB=A.AB=ACAC=2ABACV2ABAO2AB【點(diǎn)撥】如圖連接BC，首先證明AB=BC，利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問題.【解析】解：如圖.連接BC. .AB=BC，:.AB=BC,:.AB+BOAC,：.2AB>AC,故選：C.3.（2019-成都校級(jí)月考）如圖，。。中，ZAOB=80°,點(diǎn)C、D是。。上任意兩點(diǎn)，則ZC+ZD的度數(shù)是（）A.80° B.90° C.100° D.110°【點(diǎn)撥】根據(jù)圓周角定理解決問題即可.【解析】解：?.?匕刀。8=80。，1「?ZC=ZD=^ZAOB=4Q°,.*.ZC+ZD=80o,故選：A.4.（2019?玄武區(qū)期末）如圖,是。。的直徑，弦CDLAB于點(diǎn)M若CD=Scm,MB=2cm,則直徑48的長(zhǎng)為（ ）B

A.9cmA.9cmB.10cmC.11cmD.12cm【點(diǎn)撥】如圖，連接OC.設(shè)OA=OB=OC=r.在RtKOCM中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題.【解析】解：如圖，連接OC.設(shè)OA=OB=OC=r.55VABXCD,?一…1“，..CN=MD—~^CD=4cm,在RtAOCM中，：OC2=CM2+OM2,.*.r2=42+（r-2）2,解得r=5,.AB=2OA=10,故選：B.5.（2019?南沙區(qū)一模）如圖，8的半徑ODL弦AB于點(diǎn)C,連結(jié)AO并延長(zhǎng)交。O于點(diǎn)E,連結(jié)EC.若AB=8,OC=3,則EC的長(zhǎng)為（ ）0CA.2面B0CA.2面B.8C.2V10D.2面【點(diǎn)撥】根據(jù)垂徑定理求出AC=BC,根據(jù)三角形的中位線求出BE,再根據(jù)勾股定理求出EC即可.【解析】解：連接BE,'：AE為。。直徑，:.ZABE=90。,：ODLAB,OD過(guò)O,:.AC=BC=§AB=§X8=4,:AO=OE,:.BE=2OC,：OC=3,:.BE=6,在RtACBE中，EC=7BE2+CB2=V42+62=2^13,故選：D.6.（2019?余杭區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A,B,C都在。O上ZAOC=130o,ZACB=40°,ZAOB=80。，弧BC=50。.【點(diǎn)撥】直接利用圓周角定理得到ZAOB=80°,再計(jì)算出ZBOC=50°,從得到死的度數(shù).【解析】解：?.?Z/Q8=2Z/S=2x40°=80°:.ZBOC=ZAOC-匕AOB=130°-80°=50°,...死的度數(shù)為50°.故答案為80°,50°.7.（2019-揚(yáng)州）如圖，AB為。O直徑，點(diǎn)C、D在。O上，已知匕BOC=70°,ADIIOC,則/AOD=40度.【點(diǎn)撥】首先由ADIOC可以得到ZBOC=ZDAO,又由OD=OA得到ZADO=ZDAO，由此即可求出ZAOD的度數(shù).【解析】解：：ADIOC，...ZBOC=ZDAO=70°，又?OD=OA，:.ZADO=ZDAO=70。，...ZAOD=180-70°-70°=40°.8.（2020-新賓縣二模）如圖，在。O中，直徑EFLCD，垂足為M若CD=2，EM=4，則。O的半徑為17.8—【點(diǎn)撥】根據(jù)垂徑定理求出CM,根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可.【解析】解：設(shè)。。的半徑為R,,:EM=4,：.OC=R,OM=4-R,..?直徑EFLCD，垂足為M,CD=2,AZOMC=90°,CM=DM=1,由勾股定理得：OC2=OM2+CM2,即R2=(4-R)2+12, 17解得：R=-Q,故答案為：馬.89.(2019?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中)如圖，0O是△ABC的外接圓，AB是。O的直徑，CD是。O的弦，匕ABD=57°,則匕BCD等于33°.D【點(diǎn)撥】先根據(jù)圓周角定理由AB是。O的直徑得到ZADB=90°,再根據(jù)互余得到ZA=90°-ZABD=34°,然后根據(jù)圓周角定理求解.

【解析】解：連接AD, ■''：AB是。。的直徑，:.ZADB=90°,:.ZBAD=90°-ZABD=90°-57。=33。，:,ZBCD=ZBAD=33°.故答案為：33°10.（2019-海南一模）如圖，AB是。。的直徑，M、C為。。上的點(diǎn)，四邊形POMN為矩形，BC=4,AC=6,則AN=_4r3-3.OBCOBC【點(diǎn)撥】利用勾股定理求出AB，利用垂徑定理求出PA即可解決問題.【解析】解：?:AB是直徑...ZACB=90：BC=4，AC=6，：.AB=V42+62=2/13?:四邊形OPNM是矩形:.PN:.PN=OM=/13,ZOPN=90°：.OP±AC,:.PA=PC=3,:.AN=PN-PA=V13-3,故答案為413-3.11.(2019-海淀區(qū)校級(jí)月考)如圖，。0的直徑AB垂直于弦CQ,垂足為E,點(diǎn)F為。O上一點(diǎn)，且滿足/AFC=22.5。,AB=8，則CD的長(zhǎng)為4血_.【點(diǎn)撥】利用圓周角定理證明^COE是等腰直角三角形即可解決問題.【解析】解：?.?/AOC=2NAFC=45。，AZBOC=2ZA=45°,VOO的直徑AB垂直于弦CD,：,CE=DE,△OCE為等腰直角三角形，CE=^~OC=2^2,???CD=2CE=4/2.故答案為4互12.(2019?東城區(qū)校級(jí)期中)如圖，點(diǎn)P是。O內(nèi)一點(diǎn)，(1)過(guò)點(diǎn)P畫弦AB,使點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，并簡(jiǎn)述作圖過(guò)程.(2)連接OP并延長(zhǎng)交。O于點(diǎn)C,若AB=8,PC=2,求。O的半徑.【點(diǎn)撥】(1)過(guò)P作直徑QE,再根據(jù)垂徑定理作DE的垂線即可;(2)連接04根據(jù)勾股定理和垂徑定理求解.【解析】解：(1)①過(guò)P作直徑DE,交。。于點(diǎn)D和E；②過(guò)P作弦ABLDE于P；(2)連接OA,設(shè)。。的半徑為'，則OP=r-2,VOP±AB,,\AP=§AB=2X8=4,根據(jù)勾股定理可得：OA2=OP2+AP2,.*.r2=42+(r-2)2,r=5,答：0O的半徑為5.13.(2019-自貢)如圖，0O中，弦AB與CD相交于點(diǎn)E,AB=CD，連接AD、BC.求證：(1)而=耽；(2)AE=CE.【點(diǎn)撥】(1)由AB=CD知而=赤，即AD+AC=BC+AC,據(jù)此可得答案；(2)由AD=BC^]AD=BC,結(jié)合ZADE=ZCBE,ZDAE=ZBCE可證△0DE*CBE,從而得出答案.【解析】證明(1)'：AB=CD,:.AB=CD,即AD+AC=BC+AC,:.AD