人教版初中數(shù)學《一元二次方程》專題突破含答案解析

專題01一元二次方程一元二次方程：只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程.一般形式：任何一個一元二次方程，經(jīng)過整理都可以化為ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．稱之為一元二次方程的一般形式；ax2，bx，c分別稱為二次項、一次項、常數(shù)項；a，b分別稱為二次項系數(shù)、一次項系數(shù)一、單選題1．（2021·云南文山壯族苗族自治州·九年級期末）下列方程中，是關于x的一元二次方程的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案．【詳解】A、a＝0、b≠0時是一元一次方程，故A錯誤；B、是一元二次方程，故B正確；C、是分式方程，故C錯誤；D、是一元一次方程，故D錯誤；故選B．【點睛】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，理解一元二次方程的概念是解題的關鍵．2．（2021·湖南長沙市·八年級期末）把方程化成一元二次方程的一般形式，則二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】方程整理后為一般形式，找出二次項系數(shù)與一次項系數(shù)、常數(shù)項即可．【詳解】解：將方程化成一元二次方程的一般形式為，則二次項系數(shù)為2，一次項系數(shù)為，常數(shù)項為，故選：B．【點睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，，是常數(shù)且特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中叫二次項，叫一次項，是常數(shù)項．其中，，分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．3．（2021·廣西八年級期末）已知關于x的一元二次方程x2＋mx﹣3＝0有一個根為1，則m的值為（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【答案】D【分析】把x＝1代入方程x2＋mx﹣3＝0得1＋m﹣3＝0，然后解關于m的方程．【詳解】解：把x＝1代入方程x2＋mx﹣3＝0，得：1＋m﹣3＝0，解得m＝2．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．4．（2021·黑龍江牡丹江市·九年級期末）若關于x的方程（a﹣2）x2﹣1＝0是一元二次方程，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≠0 B．a(chǎn)＞2 C．a(chǎn)＜2 D．a(chǎn)≠2【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：形如的方程叫做一元二次方程，即可求解.【詳解】解：∵是一元二次方程∴解得：故選D.【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，解題的關鍵在于能夠熟練掌握一元二次方程的定義.5．（2021·山東煙臺市·八年級期中）已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，則代數(shù)式1＋6m﹣2m2的值為（）A．5 B．－5 C．3 D．－3【答案】D【分析】根據(jù)是方程的根，可以求得所求代數(shù)式的值，本題得以解決．【詳解】解：是方程的根，，，，故選：．【點睛】本題考查一元二次方程的解，解答本題的關鍵是明確題意，求出代數(shù)式的值．6．（2021·上海市民辦新竹園中學八年級月考）若，是方程的一個根，則值滿足（）A． B． C． D．【答案】C【分析】方程的根就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值；利用這一知識點求出未知字母系數(shù)后，要善于觀察未知數(shù)的系數(shù)；將x=1代入原方程即可解得k的值．【詳解】解：把x=1代入方程（k-1）x2+（k2-1）x-k+1=0，可得k-1+k2-1-k+1=0，即k2=1，解得k=-1或1；但當k=1時k-1和k2-1均等于0，故應舍去；所以，取k=-1；故選：C．【點睛】此題應特別注意求出未知字母系數(shù)的值后，要代入原方程看是否符合題意．7．（2021·江蘇八年級期末）已知m是一元二次方程的一個根，則的值為（）A．2020 B．2021 C．2019 D．2020【答案】B【分析】利用一元二次方程根的定義得到，再把變形為，然后利用整體代入的方法計算．【詳解】解：是一元二次方程的一個根，，即，．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，解題的關鍵是掌握能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．8．（2020·廣東九年級月考）已知m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一個根，則2020﹣m2+3m的值為（）A．2020 B．2021 C．2019 D．-2020【答案】B【分析】利用一元二次方程的解的定義得到m2-3m=-1，再把2020﹣m2+3m變形為2020﹣（m2-3m），然后利用整體代入的方法計算．【詳解】解：∵m為一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一個根．∴m2-3m+1=0，即m2-3m=-1，∴2020﹣m2+3m=2020﹣（m2-3m）=2020-（-1）=2020+1=2021．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．9．（2020·上海八年級期中）若關于的方程滿足，稱此方程為“月亮”方程．已知方程是“月亮”方程，求的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)“月亮”方程的定義得出，變形為，代入計算即可．【詳解】解：∵方程是“月亮”方程，∴∴，∴故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊都相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．10．（2021·山東聊城市·九年級期末）下面關于x的方程中：①ax2＋bx＋c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x＋1）2＝1；③x2＋＋5＝0；④x2＋5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0，是一元二次方程個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的定義即可解答．【詳解】解：①ax2+bx+c=0當a=0不是一元二次方程；②3（x-9）2-（x+1）2=1是一元二次方程；③x2＋＋5＝0是分式方程；④x2＋5x3﹣6＝0是一元三次方程；⑤3x2=3（x-2）2是一元一次方程；⑥12x-10=0是一元一次方程．故選：A．【點睛】本題考查的是一元二次方程的定義，熟知只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程是解答此題的關鍵．二、填空題11．（2021·上海市民辦新竹園中學八年級月考）當_______時，方程不是一元二次方程．【答案】±【分析】根據(jù)方程不是一元二次方程得出二次項系數(shù)等于0，求出即可．【詳解】解：∵不是一元二次方程，∴a2-3=0，解得：a=±，故答案為：±．【點睛】本題考查了對一元二次方程的定義的應用，注意：一元二次方程：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)，且a≠0）．12．（2021·浙江紹興市·八年級期末）若是一元二次方程的一個根，則______．【答案】【分析】根據(jù)題意將代入一元二次方程，即可求解．【詳解】解：∵是一元二次方程的一個根，∴，解得：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的根的定義，熟練掌握使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是一元二次方程的根是解題的關鍵．13．（2021·全國九年級專題練習）方程化成一般形式為_____________，二次項系數(shù)是_____________，一次項系數(shù)是_____________，常數(shù)項是_____________．【答案】1【分析】方程整理為一般形式后，求出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的和即可．【詳解】解：方程整理得：即為∴二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為-5，常數(shù)項為-4，故答案為：①；②1；③-5；④-4.【點睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．14．（2021·四川成都市·九年級期末）關于x的一元二次方程x2﹣2x+3m＝0的一個根＝3，則m的值是__．【答案】-1【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把x1＝3代入方程得9﹣6+3m＝0，然后解關于m的一次方程即可．【詳解】解：把＝3代入方程x2﹣2x+3m＝0，得9﹣6+3m＝0，解得m＝﹣1．故答案是：﹣1．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．15．（2021·上海市民辦新竹園中學八年級月考）若x1，x2是方程x2+x-1=0的兩根，則（x12+x1-2）（x22+x2-2）的值為_______．【答案】1【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得到，，代入計算即可．【詳解】解：∵x1，x2是方程x2+x-1=0的兩根，∴，，∴，，∴==1故答案為：1．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，解體的關鍵是掌握方程的解能使方程等式兩邊成立．16．（2021·江蘇蘇州市·九年級二模）已知m是方程的根，則代數(shù)式的值為_______．【答案】2022【分析】根據(jù)m是方程x2-3x+2021=0的根，可以求得所求代數(shù)式的值，本題得以解決．【詳解】∵m是方程x2-3x+2021=0的根，∴m2-3m+2021=0，∴m2-3m=-2021，∴1+3m-m2=1-（m2-3m）=1-（-2021）=2022，故答案為2022．【點睛】本題考查一元二次方程的解，解答本題的關鍵是明確題意，求出代數(shù)式的值．17．（2021·甘肅張掖市·九年級期中）已知關于x的一元二次方程有一個根為，則a的值為________．【答案】-1．【分析】把代入方程，轉(zhuǎn)化為關于a的一元二次方程，求得a值，結(jié)合二次項系數(shù)不能為零，確定結(jié)果即可．【詳解】∵一元二次方程有一個根為，∴∴a=1或a=-1，∵方程是一元二次方程，∴a-1≠0，∴a=-1，故答案為：-1．【點睛】本題考查了一元二次方程的解的定義，解法，熟練理解定義，確保二次項系數(shù)不為零是解題的一個陷阱，要注意．18．（2021·北京九年級專題練習）已知是關于的一元二次方程的一個根，若，則的值為____．【答案】1．【分析】把x=n代入方程求出mn2-4n的值，代入已知等式求出m的值即可．【詳解】解：把x=n代入方程得：mn2-4n-5=0，即mn2-4n=5，代入，得：5+m=6，解得：m=1．故答案為：1．【點睛】此題考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定義，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．三、解答題19．（2021·全國九年級專題練習）把下列方程中的各項系數(shù)化為整數(shù)，二次項系數(shù)化為正數(shù)，并求出各項的系數(shù)：（1）；（2）．【答案】（1），各項的系數(shù)分別是：，，；（2），各項的系數(shù)分別是：，，．【分析】（1）兩邊都乘-1，再根據(jù)一元二次方程的定義找出各項的系數(shù)；（2）兩邊同乘-12，再根據(jù)一元二次方程的定義找出各項的系數(shù)．【詳解】（1）兩邊都乘-1，就得到方程：3x2+4x-2=0．各項的系數(shù)分別是：a=3，b=4，c=-2．（2）兩邊同乘-12，得到整數(shù)系數(shù)方程：6x2-20x+9=0．各項的系數(shù)分別是：．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵．一般地，常根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項的系數(shù)是負數(shù)的一元二次方程調(diào)整為二次項系數(shù)是正數(shù)的一元二次方程；把分數(shù)系數(shù)的一元二次方程調(diào)整為整數(shù)系數(shù)的一元二次方程．20．（2021·廣東九年級期末）已知關于x的一元二次方程（a+1）x2+2x+1﹣a2＝0有一個根為﹣1，求a的值．【答案】a＝0或a＝1【分析】將x＝﹣1代入原方程可求出a的值．【詳解】解：將x＝﹣1代入原方程，得（a+1）﹣2+1﹣a2＝0，整理得：a2﹣a＝0，即：a（a﹣1）＝0解得：a＝0或a＝1．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，將x=-1代入原方程求出a值是解題的關鍵．21．（2021·全國九年級專題練習）若方程是關于的一元二次方程，求m的值．【答案】．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出m2=2，再求出答案即可．【詳解】根據(jù)題意得解得所以當方程是關于的一元二次方程時，．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，注意：只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2次的整式方程，叫一元二次方程．22．（2021·全國九年級專題練習）已知（m－1）x|m|+1+3x－2=0是關于x的一元二次方程，求m的值．【答案】m=－1．【分析】直接利用一元二次方程的定義分析得出答案．【詳解】解：依題意得：|m|+1=2，即|m|=1，解得：m=±1，又∵m－1≠0，∴m≠1，故m=－1．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的定義，正確把握次數(shù)是解題關鍵．23．（2021·浙江九年級期中）已知x＝﹣1是一元二次方程的一個根，求的值．【答案】﹣1．【分析】將x＝﹣1代入可得，再將所求代數(shù)式化簡即可得．【詳解】解：∵x＝﹣1是一元二次方程的一個根，．．【點