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文檔簡介
2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.過拋物線C:y2=4x的焦點F,且斜率為的直線交C于點M(M在x軸的上方),l為C的準線,點N在l上且MN⊥l,則M到直線NF的距離為()A. B. C. D.2.下列與函數(shù)定義域和單調性都相同的函數(shù)是()A. B. C. D.3.在三棱錐中,,且分別是棱,的中點,下面四個結論:①;②平面;③三棱錐的體積的最大值為;④與一定不垂直.其中所有正確命題的序號是()A.①②③ B.②③④ C.①④ D.①②④4.在復平面內,復數(shù)(為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.函數(shù)在上單調遞減,且是偶函數(shù),若,則的取值范圍是()A.(2,+∞) B.(﹣∞,1)∪(2,+∞)C.(1,2) D.(﹣∞,1)6.已知等差數(shù)列的前項和為,且,則()A.45 B.42 C.25 D.367.是恒成立的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.曲線在點處的切線方程為()A. B. C. D.9.已知函數(shù),則()A.函數(shù)在上單調遞增 B.函數(shù)在上單調遞減C.函數(shù)圖像關于對稱 D.函數(shù)圖像關于對稱10.如圖所示,網(wǎng)絡紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某四棱錐的三視圖,則該幾何體的體積為()A.2 B. C.6 D.811.若,則,,,的大小關系為()A. B.C. D.12.若的展開式中的系數(shù)之和為,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.1二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的左右焦點分別關于兩漸近線對稱點重合,則雙曲線的離心率為_____14.的展開式中,項的系數(shù)是__________.15.某部門全部員工參加一項社會公益活動,按年齡分為三組,其人數(shù)之比為,現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為20的樣本,若組中甲、乙二人均被抽到的概率是,則該部門員工總人數(shù)為__________.16.如圖所示,在△ABC中,AB=AC=2,,,AE的延長線交BC邊于點F,若,則____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,角的對邊分別為.已知,.(1)若,求;(2)求的面積的最大值.18.(12分)在平面直角坐標系xoy中,曲線C的方程為.以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為.(1)寫出曲線C的極坐標方程,并求出直線l與曲線C的交點M,N的極坐標;(2)設P是橢圓上的動點,求面積的最大值.19.(12分)在中,,.已知分別是的中點.將沿折起,使到的位置且二面角的大小是60°,連接,如圖:(1)證明:平面平面(2)求平面與平面所成二面角的大小.20.(12分)已知函數(shù).(1)當時,試求曲線在點處的切線;(2)試討論函數(shù)的單調區(qū)間.21.(12分)某客戶準備在家中安裝一套凈水系統(tǒng),該系統(tǒng)為二級過濾,使用壽命為十年如圖所示兩個二級過濾器采用并聯(lián)安裝,再與一級過濾器串聯(lián)安裝.其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn)在使用過程中,一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換(每個濾芯是否需要更換相互獨立).若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯,則一級濾芯每個160元,二級濾芯每個80元.若客戶在使用過程中單獨購買濾芯則一級濾芯每個400元,二級濾芯每個200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯的數(shù)量,為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內更換濾芯的相關數(shù)據(jù)制成的圖表,其中表1是根據(jù)100個一級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的頻數(shù)分布表,圖2是根據(jù)200個二級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的條形圖.表1:一級濾芯更換頻數(shù)分布表一級濾芯更換的個數(shù)89頻數(shù)6040圖2:二級濾芯更換頻數(shù)條形圖以100個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率,以200個二級過濾器更換濾芯的頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.(1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16的概率;(2)記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的二級濾芯總數(shù),求的分布列及數(shù)學期望;(3)記分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數(shù).若,且,以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據(jù),試確定的值.22.(10分)已知,函數(shù).(1)若函數(shù)在上為減函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;(2)求證:對上的任意兩個實數(shù),,總有成立.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
聯(lián)立方程解得M(3,),根據(jù)MN⊥l得|MN|=|MF|=4,得到△MNF是邊長為4的等邊三角形,計算距離得到答案.【詳解】依題意得F(1,0),則直線FM的方程是y=(x-1).由得x=或x=3.由M在x軸的上方得M(3,),由MN⊥l得|MN|=|MF|=3+1=4又∠NMF等于直線FM的傾斜角,即∠NMF=60°,因此△MNF是邊長為4的等邊三角形點M到直線NF的距離為故選:C.【點睛】本題考查了直線和拋物線的位置關系,意在考查學生的計算能力和轉化能力.2、C【解析】
分析函數(shù)的定義域和單調性,然后對選項逐一分析函數(shù)的定義域、單調性,由此確定正確選項.【詳解】函數(shù)的定義域為,在上為減函數(shù).A選項,的定義域為,在上為增函數(shù),不符合.B選項,的定義域為,不符合.C選項,的定義域為,在上為減函數(shù),符合.D選項,的定義域為,不符合.故選:C【點睛】本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調性,屬于基礎題.3、D【解析】
①通過證明平面,證得;②通過證明,證得平面;③求得三棱錐體積的最大值,由此判斷③的正確性;④利用反證法證得與一定不垂直.【詳解】設的中點為,連接,則,,又,所以平面,所以,故①正確;因為,所以平面,故②正確;當平面與平面垂直時,最大,最大值為,故③錯誤;若與垂直,又因為,所以平面,所以,又,所以平面,所以,因為,所以顯然與不可能垂直,故④正確.故選:D【點睛】本小題主要考查空間線線垂直、線面平行、幾何體體積有關命題真假性的判斷,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.4、D【解析】
將復數(shù)化簡得,,即可得到對應的點為,即可得出結果.【詳解】,對應的點位于第四象限.故選:.【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算,考查共軛復數(shù)和復數(shù)與平面內點的對應,難度容易.5、B【解析】
根據(jù)題意分析的圖像關于直線對稱,即可得到的單調區(qū)間,利用對稱性以及單調性即可得到的取值范圍?!驹斀狻扛鶕?jù)題意,函數(shù)滿足是偶函數(shù),則函數(shù)的圖像關于直線對稱,若函數(shù)在上單調遞減,則在上遞增,所以要使,則有,變形可得,解可得:或,即的取值范圍為;故選:B.【點睛】本題考查偶函數(shù)的性質,以及函數(shù)單調性的應用,有一定綜合性,屬于中檔題。6、D【解析】
由等差數(shù)列的性質可知,進而代入等差數(shù)列的前項和的公式即可.【詳解】由題,.故選:D【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質,考查等差數(shù)列的前項和.7、A【解析】
設成立;反之,滿足,但,故選A.8、A【解析】
將點代入解析式確定參數(shù)值,結合導數(shù)的幾何意義求得切線斜率,即可由點斜式求的切線方程.【詳解】曲線,即,當時,代入可得,所以切點坐標為,求得導函數(shù)可得,由導數(shù)幾何意義可知,由點斜式可得切線方程為,即,故選:A.【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義,在曲線上一點的切線方程求法,屬于基礎題.9、C【解析】
依題意可得,即函數(shù)圖像關于對稱,再求出函數(shù)的導函數(shù),即可判斷函數(shù)的單調性;【詳解】解:由,,所以函數(shù)圖像關于對稱,又,在上不單調.故正確的只有C,故選:C【點睛】本題考查函數(shù)的對稱性的判定,利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性,屬于基礎題.10、A【解析】
先由三視圖確定該四棱錐的底面形狀,以及四棱錐的高,再由體積公式即可求出結果.【詳解】由三視圖可知,該四棱錐為斜著放置的四棱錐,四棱錐的底面為直角梯形,上底為1,下底為2,高為2,四棱錐的高為2,所以該四棱錐的體積為.故選A【點睛】本題主要考查幾何的三視圖,由幾何體的三視圖先還原幾何體,再由體積公式即可求解,屬于常考題型.11、D【解析】因為,所以,因為,,所以,.綜上;故選D.12、B【解析】
由,進而分別求出展開式中的系數(shù)及展開式中的系數(shù),令二者之和等于,可求出實數(shù)的值.【詳解】由,則展開式中的系數(shù)為,展開式中的系數(shù)為,二者的系數(shù)之和為,得.故選:B.【點睛】本題考查二項式定理的應用,考查學生的計算求解能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
雙曲線的左右焦點分別關于兩條漸近線的對稱點重合,可得一條漸近線的斜率為1,即,即可求出雙曲線的離心率.【詳解】解:雙曲線的左右焦點分別關于兩條漸近線的對稱點重合,一條漸近線的斜率為1,即,,,故答案為:.【點睛】本題考查雙曲線的離心率,考查學生的計算能力,確定一條漸近線的斜率為1是關鍵,屬于基礎題.14、240【解析】
利用二項式展開式的通項公式,令x的指數(shù)等于3,計算展開式中含有項的系數(shù)即可.【詳解】由題意得:,只需,可得,代回原式可得,故答案:240.【點睛】本題主要考查二項式展開式的通項公式及簡單應用,相對不難.15、60【解析】
根據(jù)樣本容量及各組人數(shù)比,可求得C組中的人數(shù);由組中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C組的總人數(shù),即可由各組人數(shù)比求得總人數(shù).【詳解】三組人數(shù)之比為,現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為20的樣本,則三組抽取人數(shù)分別.設組有人,則組中甲、乙二人均被抽到的概率,∴解得.∴該部門員工總共有人.故答案為:60.【點睛】本題考查了分層抽樣的定義與簡單應用,古典概型概率的簡單應用,由各層人數(shù)求總人數(shù)的應用,屬于基礎題.16、【解析】
過點做,可得,,由可得,可得,代入可得答案.【詳解】解:如圖,過點做,易得:,,,故,可得:,同理:,,可得,,由,可得,可得:,可得:,,故答案為:.【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算和平面向量的數(shù)量積,由題意作出是解題的關鍵.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)4【解析】
(1)根據(jù)已知用二倍角余弦求出,進而求出,利用正弦定理,即可求解;(2)由邊角,利用余弦定理結合基本不等式,求出的最大值,即可求出結論.【詳解】(1)∵,∴,由正弦定理得.(2)由(1)知,,所以,,,當且僅當時,的面積有最大值4.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角恒等變換解三角形,應用基本不等式求最值,屬于基礎題.18、(1),,;(2).【解析】
(1)利用公式即可求得曲線的極坐標方程;聯(lián)立直線和曲線的極坐標方程,即可求得交點坐標;(2)設出點坐標的參數(shù)形式,將問題轉化為求三角函數(shù)最值的問題即可求得.【詳解】(1)曲線的極坐標方程:聯(lián)立,得,又因為都滿足兩方程,故兩曲線的交點為,.(2)易知,直線.設點,則點到直線的距離(其中).面積的最大值為.【點睛】本題考查極坐標方程和直角坐標方程之間的相互轉化,涉及利用橢圓的參數(shù)方程求面積的最值問題,屬綜合中檔題.19、(1)證明見解析(2)45°【解析】
(1)設的中點為,連接,設的中點為,連接,,從而即為二面角的平面角,,推導出,從而平面,則,即,進而平面,推導四邊形為平行四邊形,從而,平面,由此即可得證.(2)以B為原點,在平面中過B作BE的垂線為x軸,BE為y軸,BA為z軸建立空間直角坐標系,利用向量法求出平面與平面所成二面角的大小.【詳解】(1)∵是的中點,∴.設的中點為,連接.設的中點為,連接,.易證:,,∴即為二面角的平面角.∴,而為的中點.易知,∴為等邊三角形,∴.①∵,,,∴平面.而,∴平面,∴,即.②由①②,,∴平面.∵分別為的中點.∴四邊形為平行四邊形.∴,平面,又平面.∴平面平面.(2)如圖,建立空間直角坐標系,設.則,,,,顯然平面的法向量,設平面的法向量為,,,∴,∴.,由圖形觀察可知,平面與平面所成的二面角的平面角為銳角.∴平面與平面所成的二面角大小為45°.【點睛】本題主要考查立體幾何中面面垂直的證明以及求解二面角大小,難度一般,通??刹捎脦缀畏椒ê拖蛄糠椒▋煞N進行求解.20、(1);(2)見解析【解析】
(1)對函數(shù)進行求導,可以求出曲線在點處的切線,利用直線的斜截式方程可以求出曲線的切線方程;(2)對函數(shù)進行求導,對實數(shù)進行分類討論,可以求出函數(shù)的單調區(qū)間.【詳解】(1)當時,函數(shù)定義域為,,所以切線方程為;(2)當時,函數(shù)定義域為,在上單調遞增當時,恒成立,函數(shù)定義域為,又在單調遞增,單調遞減,單調遞增當時,函數(shù)定義域為,在單調遞增,單調遞減,單調遞增當時,設的兩個根為且,由韋達定理易知兩根均為正根,且,所以函數(shù)的定義域為,又對稱軸,且,在單調遞增,單調遞減,單調遞增【點睛】本題考查了曲線切線方程的求法,考查了利用函數(shù)的導數(shù)討論函數(shù)的單調性問題,考查了分類思想.21、(1)0.024;(2)分布列見解析,;(3)【解析】
(1)由題意可知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾器需要更換8個濾芯,兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯,而由一級濾芯更換頻數(shù)分布表和二級濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6,二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2,再由乘法原理可求出概率;(2)由二級濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一個二級過濾器需要更換濾芯的個數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,而的可能取值為8,9,10,11,12,然后求出概率,可得到的分布列及數(shù)學期望;(3)由,且,可知若,則,或若,則,再分別計算兩種情況下的所需總費用的期望值比較大小即可.【詳解】(1)由題意知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾器需要更換8個濾芯,兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯,設“一套凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16”為事件,因為一個一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6,二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2,所以.(2)由柱狀圖知,一個二級過濾器需要更換濾芯
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