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文檔簡介
第五章積分的應用后頁首頁前頁第五章積分的應用后頁首頁前頁基本要求、重點難點5.1定積分的微元法5.2平面圖形的面積5.3空間立體的體積5.4其他應用實例5.5積分數(shù)學模型實例
基本要求、重點難點5.1定積分的微元法5.2平面圖形的面基本要求掌握微元法的概念。了解幾何、物理中的問題以及簡單的數(shù)學模型。了解平面圖開的面積、空間立體的體積。會利用定積分計算平面圖形的面積、旋轉體的體積和一些簡單的經濟應用題?;疽笳莆瘴⒃ǖ母拍?。重點難點重點:某個定積分的分析方法——微元法。微積數(shù)學模型的應用。難點:定積分在各種領域的應用。重點難點重點:5.1定積分的微元法微元法驟是:
(1)分割:用任意一組分點把區(qū)間[a,b]分成長度為
Δxi(i=1,2,…,n)的n個小區(qū)間,則所求量Q(面積或路程)分成n個部分量ΔQi(i=1,2,…,n),即Q=ΔQi;
(2)近似代替,求和:ΔQi≈f(ξi)Δxi(xi-1≤ξi≤xi),從而
Q≈f(ξi)Δxi;
(3)取極限,令λ={Δxi},得:Q=f(ξi)Δxi
=f(x)dx?!苙i=1∑ni=1max1≤i≤nlimλ→0∑ni=1∫ba5.1定積分的微元法微元法驟是:∑ni=1∑ni=1若某一實際問題所求量Q符合下列條件:
(1)是一個與變量變化區(qū)間[a,b]有關的量;
(2)對于區(qū)間[a,b]具有可加性;
(3)ΔQi≈f(ξi)Δxi(誤差是比Δxi高階的無窮小)。用定積分來表達這個量,具體步驟如下:(實用上,為了簡便,省略下標)若某一實際問題所求量Q符合下列條件:5.2平面圖形的面積5.2.1直角坐標情形5.2平面圖形的面積5.2.1直角坐標情形.2.2極坐標情形
1.原函數(shù)和不定積分概念設連續(xù)曲線是極坐標方程r=r(θ),α≤θ≤β。求由曲線r=r(θ)及二射線θ=α,θ=β所圍成區(qū)域的面積(如圖)。應用微元法在[α,β]上任取一個θ,它的極徑r=r(θ)。在角θ處的面積微元dA是以極徑r(θ)為半徑,以dθ為圓心角的扇形面積,即dA=r2dθ=[r(θ)]2dθ再對每一個θ,將對應的扇形面積微元dA從α到β無限累加起來,即由α到β的定積分就是區(qū)域的面積這就是極坐標下的面積公式。1212.2.2極坐標情形1.原函數(shù)和不定積分概念設連續(xù)曲5.3空間立體的體積5.3.1平行截面面積為已知的立體的體積如圖,設有一立體,夾在過點x=a、x=b(a<b)且垂直于x軸的兩個平行平面之間,用一組垂直于x軸的平面截此立體所得截面面積A=A(x)是x的已知的連續(xù)函數(shù),求此立體的體積V。取x為積分變量,它的變化區(qū)間為[a,b],立體中相應于[a,b]上任一小區(qū)間[x,x+dx]的一薄片的體積,近似于底面積為A(x),高為dx的扁柱體的體積,即體積微元dV=A(x)dx。以A(x)dx為被積表達式,在閉區(qū)間[a,b]上作定積分,便得所求立體體積V=dV=A(x)dx?!襜a∫ba5.3空間立體的體積5.3.1平行截面面積為已知的立體計算機數(shù)學05課件5.3.2旋轉體體積旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體。圓柱、圓錐、圓臺、球體可以分別看成是由矩形繞它的一條邊、直角三角形繞它的直角邊、直角梯形繞它的直角腰、半圓繞它的直徑旋轉一周而成的立體,所以它們均為旋轉體。在區(qū)間[a,b]上的非負連續(xù)曲線y=f(x)、x軸、直線x=a、x=b所圍成曲邊梯形繞x軸旋轉一周,得到旋轉體。現(xiàn)在我們求該旋轉體的體積。區(qū)間[a,b]上任一點x處垂直于x軸的截面為以f(x)為半徑的圓盤(圖),其面積為5.3.2旋轉體體積旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內。于是得旋轉體體積為。同理得區(qū)間[c,d]上非負連續(xù)函數(shù)x=φ(y)、y軸、直線y=c、y=d圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉一周所得旋轉體的體積。。于是得旋轉體體積為。同理得區(qū)間[c,d]上非負連續(xù)函5.4其他應用實例5.4.1物理應用5.4其他應用實例5.4.1物理應用5.4.2其他應用舉例5.4.2其他應用舉例5.5積分數(shù)學模型實例5.5積分數(shù)學模型實例ThankYou!后頁首頁前頁ThankYou!后頁首頁前頁第五章積分的應用后頁首頁前頁第五章積分的應用后頁首頁前頁基本要求、重點難點5.1定積分的微元法5.2平面圖形的面積5.3空間立體的體積5.4其他應用實例5.5積分數(shù)學模型實例
基本要求、重點難點5.1定積分的微元法5.2平面圖形的面基本要求掌握微元法的概念。了解幾何、物理中的問題以及簡單的數(shù)學模型。了解平面圖開的面積、空間立體的體積。會利用定積分計算平面圖形的面積、旋轉體的體積和一些簡單的經濟應用題?;疽笳莆瘴⒃ǖ母拍睢V攸c難點重點:某個定積分的分析方法——微元法。微積數(shù)學模型的應用。難點:定積分在各種領域的應用。重點難點重點:5.1定積分的微元法微元法驟是:
(1)分割:用任意一組分點把區(qū)間[a,b]分成長度為
Δxi(i=1,2,…,n)的n個小區(qū)間,則所求量Q(面積或路程)分成n個部分量ΔQi(i=1,2,…,n),即Q=ΔQi;
(2)近似代替,求和:ΔQi≈f(ξi)Δxi(xi-1≤ξi≤xi),從而
Q≈f(ξi)Δxi;
(3)取極限,令λ={Δxi},得:Q=f(ξi)Δxi
=f(x)dx?!苙i=1∑ni=1max1≤i≤nlimλ→0∑ni=1∫ba5.1定積分的微元法微元法驟是:∑ni=1∑ni=1若某一實際問題所求量Q符合下列條件:
(1)是一個與變量變化區(qū)間[a,b]有關的量;
(2)對于區(qū)間[a,b]具有可加性;
(3)ΔQi≈f(ξi)Δxi(誤差是比Δxi高階的無窮小)。用定積分來表達這個量,具體步驟如下:(實用上,為了簡便,省略下標)若某一實際問題所求量Q符合下列條件:5.2平面圖形的面積5.2.1直角坐標情形5.2平面圖形的面積5.2.1直角坐標情形.2.2極坐標情形
1.原函數(shù)和不定積分概念設連續(xù)曲線是極坐標方程r=r(θ),α≤θ≤β。求由曲線r=r(θ)及二射線θ=α,θ=β所圍成區(qū)域的面積(如圖)。應用微元法在[α,β]上任取一個θ,它的極徑r=r(θ)。在角θ處的面積微元dA是以極徑r(θ)為半徑,以dθ為圓心角的扇形面積,即dA=r2dθ=[r(θ)]2dθ再對每一個θ,將對應的扇形面積微元dA從α到β無限累加起來,即由α到β的定積分就是區(qū)域的面積這就是極坐標下的面積公式。1212.2.2極坐標情形1.原函數(shù)和不定積分概念設連續(xù)曲5.3空間立體的體積5.3.1平行截面面積為已知的立體的體積如圖,設有一立體,夾在過點x=a、x=b(a<b)且垂直于x軸的兩個平行平面之間,用一組垂直于x軸的平面截此立體所得截面面積A=A(x)是x的已知的連續(xù)函數(shù),求此立體的體積V。取x為積分變量,它的變化區(qū)間為[a,b],立體中相應于[a,b]上任一小區(qū)間[x,x+dx]的一薄片的體積,近似于底面積為A(x),高為dx的扁柱體的體積,即體積微元dV=A(x)dx。以A(x)dx為被積表達式,在閉區(qū)間[a,b]上作定積分,便得所求立體體積V=dV=A(x)dx?!襜a∫ba5.3空間立體的體積5.3.1平行截面面積為已知的立體計算機數(shù)學05課件5.3.2旋轉體體積旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體。圓柱、圓錐、圓臺、球體可以分別看成是由矩形繞它的一條邊、直角三角形繞它的直角邊、直角梯形繞它的直角腰、半圓繞它的直徑旋轉一周而成的立體,所以它們均為旋轉體。在區(qū)間[a,b]上的非負連續(xù)曲線y=f(x)、x軸、直線x=a、x=b所圍成曲邊梯形繞x軸旋轉一周,得到旋轉體?,F(xiàn)在我們求該旋轉體的體積。區(qū)間[a,b]上任一點x處垂直于x軸的截面為以f(x)為半徑的圓盤(圖),其面積為5.3.2旋轉體體積旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內。于是得旋轉體體積為。同理得區(qū)間[c,d]上非負連續(xù)函數(shù)
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