2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章解三角形學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測

第一章解三角形學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的 ）1.在△ABC中，a=80,b=100,A=45°,則此三角形解的情況是 （B）A.—解 B.兩解C.一解或兩解 D.無解、｛2［解析］???bsinA=100X—=502<80,???bsinA<a<b,「.此三角形有兩解.2?已知a、b、c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角ABC的對邊，b=7,c=3,B^，那么a等于（C）A.1 B.2C.4 D.1或4［解析］在厶ABC中,b=7,c=?.3,cosB=￥，由余弦定理有bS=尹c(diǎn)sinA=14,「.bc=35,=a2+c2—2accosB,即S=尹c(diǎn)sinA=14,「.bc=35,解得a=4或a=—1（舍去）.故a的值為4.（2018—2019學(xué)年度深圳耀華實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二月考 ）在厶ABC中，角AB,C的對邊分別為a,b,c,且asinA+bsinB=csinC,則厶ABC的形狀是（B）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形［解析］由asinA+bsinB=csinC及正弦定理，得a2+b2=￡,???△ABC是直角三角形.3三角形兩邊之差為2,夾角的余弦值為5，面積為14,那么這個(gè)三角形的此兩邊長分別是（D）A.3和5 B.4和6C.6和8 D.5和74［解析］ 設(shè)夾角為A,vcosA=5,?sinA=5,

又b—c=2，二b=7,c=5.2已知關(guān)于x的方程x—xcosA-cosB+2sin^=0的兩根之和等于兩根之積的一半,則厶ABA定是（C）B.鈍角三角形D.B.鈍角三角形D.等邊三角形C.等腰三角形［解析］由題意知:［解析］由題意知:cosA-cosB=sin2C2,1—cosC1 1 11???cosA-cosB= 2 =2—2cos[180°—(A+E)]=2+gcos(A+E),11?2(cosA-cosB+sinA-sinB)=g?cos(A—B)=1,?A-B=0,「.A=B,「.AABC為等腰三角形，故選C.若把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則這個(gè)新的三角形的形狀為 （A）A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.由增加的長度決定222［解析］設(shè)增加同樣的長度為X,原三邊長為a、b、c,且c=a+b,c為最大邊,新三角形的三邊長為a+x,b+x,c+x,?c+x為最大邊，其對角為最大角.而（a+x）2+（b+x）2—（c+x）2=x2+2（a+b—c）x>0,?設(shè)最大角為0，則a+x2+b+x2—c+x2cos0= arx srx >0，?0為銳角，故選A.)在厶ABC中,A=60°,b=1,其面積為a+b+c3，貝"sinA+sinB+sinA. 3B.2；;393D.C26.3D.3［解析］由題意，知廠1 1,3=?bcsinA=^c-sin60°,?c=4.由余弦定理，得a2=b2+c2—2bccosA1=1+16—2X1X4X2=13,?a=1313a+b+caa+b+csinA+sinB+sinCsinA'3 3~2~在厶ABC中,已知sin2A+sin2B—sinAsinB=sin2C,且滿足ab=4,則該三角形的面積為(A.積為(A.B.2C.2 2 2 2 2 2［解析］C.2 2 2 2 2 2［解析］由sinA+sinB—sinAsinB=sinC,得a+b—ab=c,cosC=2ab 2(0°,180°),???C=60°.?sinC=￥，?Saabc=^absinC=3.9.A9.AABC中，已知下列條件：①b=3,c=4,B=30°:②a=5,b=8,A=30°:③c=6,=6,b=33,B=60°:④c=9,b=12,(A)C=60°.其中滿足上述條件的三角形有兩解的是A.①②B.①④C.①②③D.③④［解析］①csinB<b<c,故有兩解；②A.①②B.①④C.①②③D.③④［解析］①csinB<b<c,故有兩解；②bsinA<a<b,故有兩解；③b=csinB,有一解;④c<bsinC,無解.所以有兩解的有①②，故選 A.10.若G是厶ABC的重心，a、b、c分別是角ABC的對邊，且aGAbbGB^-^3cGC=0,則角A=(A.90°B.60°C.45°D.30°［解析］由重心性質(zhì)可知GAF屜GC=0,故6a=—GB-GC代入aG”bGB^0中,即(b—a)GBf(3c—a)GC=0,3'b—a=0TOC\o"1-5"\h\z因?yàn)镋b&不共線，則S擊 ,^c—a=0lb=a ,, b2+c2—a2 ：、：3即c= 3a，故cOsA= =亍，因?yàn)?<A<180°所以A=30°，故選D.11.在厶ABC中,a、b、c分別是角AB、C所對邊的邊長，若cosA+sinA——J.BCOSB+SinB=0=0，則a+b丁的值是（A.1 B.C. -3D.2［解析］2將cosA+sinA =0,整理得(cosA+sinA)(cosB+sinB)=2,即cosB+sinBcosAcosB+sinBcosA+sinAsosB+sinAsinB=cos(A—B)+sin(A+E)=2,???cos(A—B)=1,sin(A+B)=1,n?A-B=0,A+B=2，nn abc即A=B=,C=亍利用晶H阮=喬=2R得a=2RsinAb=2RsinBc=2RsinC返+返2RsinCsinC則a+b=沁吹2RsinB=吟護(hù)=&^=2RsinCsinC12.如圖，一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15°，與燈塔S相距20nmile,隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30min后，又測得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為（A.C.20( 2+ 6)nmile/h20( 3A.C.20( 2+ 6)nmile/h20( 3+ 6)nmile/hnmile/hnmile/h［解析］由題意可知/SMI=15°+30°=45/SMI=15°+30°=45°,MS=20,MN=45°+(90°—30°)=105°，設(shè)貨輪每小時(shí)航行xnmile,則MN= ,?/MSI4180°—105°—45=30°,由正弦定理，得12由正弦定理，得12xsin30°sin105.~6+工4 ，?/sin105°=sin(60°.~6+工4 ，=sin60°cos45°+cos60°sin45°.x=20（6— 2），故選B.二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共20分.將正確答案填在題中橫線上）, 3 tt8 813.在AABC中，已知b=1,sinC=5,bcosC+ccosB=2,則AC?BC=_?；蚨?—［解析］由余弦定理的推論，得 cosC=a［解析］由正弦定理，得一土=%,+b2—c2 a［解析］由余弦定理的推論，得 cosC=［解析］由正弦定理，得一土=%,，cosB=飛廠■/bcosC+ccosB=2,2 2 2 2 2 2a+b—ca+c—b+2a2a=2,a=2,即卩|BC=2.0°<C<180°0°<C<180°???sinC=匸,54.cosC=5,4COSC—5.又???b=1,即|AC=1,.AC-BC=I，或TCBC=-514.14.（2018?浙江，13）在厶ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=.7,b=2,A=60°,貝UsinB= __,c=__3sin60sinB，得sinB=^7,由余弦定理,2,222f b+c—a4+c—7 1得cosA=2bc4c2解得c=3.15.(2016?全國卷n理,13)△ABC的內(nèi)角AB、C的對邊分別為a、b、c,若cosA=21—133 5 41263+C)21—133 5 41263+C)=sinAcosC+cosAsinC=一x——.由正弦定理51351365a

sinA%,得b=sinBasinB

sinA211355,cosC=13,a=1,貝Ub=［解析］解法一：因?yàn)閏osA=5,cosC=右，所以sinA=sinAsinB,sinC=芝，從而sinB=sinAsinB4 5 3 12解法二：因?yàn)閏osA=5,cosC=池，所以sinA=5,sinC=話從而cosB=-cos(A+4 5 3 12 16ac /曰 asinCsinAsinC，得c—sinA務(wù)由余弦定理b2=a2+c2ac /曰 asinCsinAsinC，得c—sinA務(wù)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得2115解法三：因?yàn)?cOsA=5，5cosC=13,3 12所以sinA=5,sinC=73,由正弦定理a

sinA由由正弦定理a

sinA由cosC=13,a=BC=1,13c伯 asinC20sinTr得c=孑nA=13-21從而b=acosC+ccosA=活解法四：如圖，作BDLAC于點(diǎn)D,4 3 16又cosA=5，所以tanA=4,從而AD=^3.21故b=A決DO荷別為別為a,b,c,已知(a+b—c)?(a+b+c)=3ab,)在厶ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分

且c=4,則厶ABC面積的最大值為__4^3［解析］(a+b—c)(a+b+c)=(a+b)2—c2=a2+2ab+b2—c2=3ab,=a2+b2—c2=ab.又???a2+b2—c2=2abcosC,1???2abcosC=ab,「.cosC=?,n???C€(0,n),?C=—.由余弦定理，得c2=a2+b2—2abcosC,2 2 n 2 2? (2018—2019學(xué)年度江西戈陽一中高二月考=a+b—2abcosn=a+b—ab>2ab—ab=ab‘ (2018—2019學(xué)年度江西戈陽一中高二月考ab<16.△ABC面積的最大值

S=1x16XSin3=43三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)(本題滿分(本題滿分10分)(2016?北京理,15)在厶ABC中,a2+c2=b2+2ac.(1)求/B的大小;⑵求2cos cosC的最大值.［解析］(1)［解析］(1)由余弦定理及題設(shè)條件得cosB=22.2a+c—b2ac.2ac=2ac=又0<ZB<n，所以<B=43n(2)由(1)知/A^ZC=〒，貝U2cosA+cosC2cosA+cosC=2cosA+cosj3nA=2cosA^-2~cosA^2~sinA=￥cosA+￥sinA=cos因?yàn)?<zA<3n4所以當(dāng)/A=l時(shí)，{2cosA+cosC取得最大值1.3(本題滿分12分)在厶ABC中，角ABC的對邊分別為a、b、c.已知cosC=5.若CB-CA=I，求△ABC勺面積；TOC\o"1-5"\h\zB廠 B設(shè)向量x=(2sin2 3),y=(cosB,跡功，且x//y，求sin(B—A的值.tt9 9［解析］(1)由CB-CA=2得abcosC=5.3 9 15又因?yàn)閏osC=?所以ab= =—.2cosC2又CABC的內(nèi)角，所以sinC=；.51所以△ABC的面積S=2absinC=3.BB廠⑵因?yàn)閤/y,所以2sin2cos2=.3cosB,即sinB=,3cosB,因?yàn)閏osBm0,所以tanB= 3.==433，因?yàn)橐驗(yàn)閎為三角形的內(nèi)角，所以 b=n3-TOC\o"1-5"\h\z2n 2n所以A+C=〒，所以a^~3--C\o"CurrentDocument"n n所以sin(B—A)=sin(——A)=sin(C—--)3 31.=2SinC-1.=2SinC-1 4osC=2X5—更x3=4-眷2 5= 10(本題滿分12分)為保障高考的公平性，高考時(shí)每個(gè)考點(diǎn)都要安裝手機(jī)屏蔽儀，要求在考點(diǎn)周圍1km內(nèi)不能收到手機(jī)信號.檢查員抽查青島市一考點(diǎn)，在考點(diǎn)正西約3km有一條北偏東60°方向的公路，在此處檢查員用手機(jī)接通電話，以 12km/h的速度沿公路行駛，最長需要多少時(shí)間，檢查員開始收不到信號，并至少持續(xù)多長時(shí)間該考點(diǎn)才算合格？［解析］如圖所示，考點(diǎn)為A,檢查開始處為B,設(shè)公路上C,D兩點(diǎn)到考點(diǎn)的距離為1km在厶ABC中,AB= 3?1.732,AC=1，/ABC=30°,由正弦定理，得sin/AC=A由AC =~23,???/ACB=120°(/ACB=60°不合題意)，.?./BAC=30°,「.BC=AC=1.在厶ACD中,AC=AD/ACD=60°,???△ACD為等邊三角形，?CD=1.BCv—X60=5,???在BC上需要5min,CD上需要5min.???最長需要5min檢查員開始收不到信號，并至少持續(xù) 5min該考點(diǎn)才算合格.(本題滿分12分)(2018—2019學(xué)年度深圳耀華實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二月考 )在厶ABC中，角AB、C所對的邊分別為a、b、c,已知acosB+bcosA=2.求c的值；2n若/C=g，試寫出厶ABC的周長f(B)，并求出f(B)的最大值.［解析］(1)由acosB+bcosA=2及余弦定理，得a2+c2—b2 b2+c2—a2ax——+bx產(chǎn)——=2,整理解得c=2.2ac 2bc

⑵由c=2和/C-善及正弦定理，得sinAsinB—sinC—:,⑵由c=2和/C-善及正弦定理，得sinAsinB—sinC—TOC\o"1-5"\h\z43 4,3=計(jì)sinA+——sinB+23 3n由三角形內(nèi)角和為 n，得A=石—B,34J3 n 4J3 4、/31 3 4/3 n???f(B)=-^sin(-3—B)+^^sinB+2=2+~^gsinB+^cosB)=—^sin(B+3)+2,n nn2n又B(°，R，?B+T*(空，"a-)，當(dāng)B+n=n，即B=n時(shí)，f(B)取得最大值學(xué)+2.3 2 6 3(本題滿分12分)(2018—2019學(xué)年度北京市順義區(qū)楊鎮(zhèn)一中高二月考 )在厶ABC中,1角代B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=2,c=3,cosB=4求b的值；求sinC的值；⑶求厶ABO的面積.［解析］(1)由余弦定理，得b2=a2+c2—2accosB2 2 1=2+3—2X2X3X4=10,,103;68⑶由(1)知b= 10,由⑵得,103;68⑶由(1)知b= 10,由⑵得sinC=3.68，又a=2,1(2)-cosB=4,?sinB= .4由正弦定理，得b c . csinB= ,…sinC=sinBsinC b3汙3‘153‘154??Sabc=2absinC=2x2x石x22^8(本題滿分12分)如圖所示，甲船以每小時(shí) 30.2nmile的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于 A處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西 105°方向的B處，此時(shí)兩船相距20nmile.當(dāng)甲船航行20min到達(dá)A處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的E2處，此時(shí)兩船相距102nmile，問乙船每小時(shí)航行多少 nmile?［解析］解法一：如圖，連結(jié)AB,20由題意知AEL=10nmile,AA=302x麗=102nmile.所以AA>=A2B2.又/AAE2=180°—120°=60°,所以△AAE2是等邊三角形.所以AR=AA=10-J2nmile.由題意知，AB=20nmile，/BAB=105°—60°=45°,在厶ARB中，由余弦定理，