初中數(shù)學巧添輔助線解證幾何題

初中數(shù)學巧添輔助線解證幾何題初中數(shù)學巧添輔助線解證幾何題初中數(shù)學巧添輔助線解證幾何題初中數(shù)學_巧添輔助線__解證幾何題巧添輔助線解證幾何題[引出問題]在幾何證明或計算問題中，常常需要增加必需的輔助線，它的目的可以歸納為以下三點：一是經(jīng)過增加輔助線，使圖形的性質(zhì)由隱蔽得以顯現(xiàn)，從而利用有關(guān)性質(zhì)去解題；二是經(jīng)過增加輔助線，使分其余條件得以集中，從而利用它們的互相關(guān)系解題；三是把新問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐呀?jīng)解決過的舊問題加以解決。值得注意的是輔助線的增加目的與已知條件和所求結(jié)論有關(guān)。一、倍角問題研究∠α＝2∠β或∠β=1∠α問題通稱為倍角問題。倍角問題分兩種情況：21、∠α與∠β在兩個三角形中，常作∠α的均分線，得∠1=1∠α，而后證明∠1=∠β；或把2∠β翻折，得∠2=2∠β，而后證明∠2=∠α（如圖一）2、∠α與∠β在同一個三角形中，這樣的三角形常稱為倍角三角形。倍角三角形問題常用構(gòu)造等腰三角形的方法增加輔助線（如圖二）α1βαβ2圖二圖一A[例題分析]D例1：如圖1，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D。求證：∠DBC=1∠BAC.2分析：∠DBC、∠BAC所在的兩個三角形有公共角∠C，可利用三角形內(nèi)角和來溝通∠DBC、∠BAC和∠C的關(guān)系。證法一：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠C=1（180°-∠BAC）=90°-1∠BAC。2°2∵BD⊥AC于D∴∠BDC=90°°°1∠BAC)=1∠BAC∴∠DBC=90-∠C=90-(90-221即∠DBC=∠BAC

BCADBCE分析二：∠DBC、∠BAC分別在直角三角形和等腰三角形中，由所證的結(jié)論“∠DBC=?∠BAC”中含有角的倍、半關(guān)系，所以，可以做∠A的均分線，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，把?∠A放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC沿BD翻折構(gòu)造2∠DBC求解。證法二：如圖2，作AE⊥BC于E，則∠EAC+∠C=90°第1頁共14頁初中數(shù)學_巧添輔助線__解證幾何題AB=AC∴∠EAG=1∠BAC2BD⊥AC于D∴∠DBC+∠C=90°∴∠EAC=∠DBC（同角的余角相等）1即∠DBC=∠BAC。2證法三：如圖3，在AD上取一點E，使DE=CD連接BEABD⊥AC∴BD是線段CE的垂直均分線E∴BC=BE∴∠BEC=∠CD°∠C∴∠EBC=2∠DBC=180-2∵AB=ACBC∴∠ABC=∠C°∴∠BAC=180-2∠C∴∠EBC=∠BAC∴∠DBC=1∠BAC2說明：例1也可以取BC中點為E，連接DE，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半和等腰三角形的性質(zhì)求解。同學們不如試一試。例2、如圖4，在△ABC中，∠A=2∠B22求證：BC=AC+AC?AB22分析：由BC=AC+AC?AB=AC（AC+AB），啟示我們成立兩個相似的三角形，且含有邊BC、AC、AC+AB.又由已知∠A=2∠B知，B成立以AB為腰的等腰三角形。證明：延伸CA到D,使AD=AB,則∠D=∠DBA∵∠BAC是△ABD的一個外角∴∠BAC=∠DBA+∠D=2∠D∵∠BAC=2∠ABC∴∠D=∠ABC又∵∠C=∠C

AC∴△ABC∽△BDC∴

ACBCBCCD2∴BC=AC?CDAD=AB∴BC2=AC（AC+AB）=AC2+AC?AB二、中點問題已知條件中含有線段的中點信息稱為中點問題。這種問題常用三種方法增加輔助線（1）延伸中線至倍（也許倍長中線），如圖一。若圖形中沒有明顯的三角形的中線，也可以構(gòu)造中線后，再倍長中線，如圖二。（2）構(gòu)造中位線，如圖三（3）構(gòu)造直角三角形斜邊上的中線，如圖四。第2頁共14頁初中數(shù)學_巧添輔助線__解證幾何題圖一圖二圖三圖四[例題分析]例3．已知：如圖，△ABC中，AB=AC,在AB上取一點BC于點F,若F是DE的中點。求證：BD=CE分析：因為BD、CE的形成與D、E兩點有關(guān)，但它們所在的三角形之間因為不是同類三角形，所以關(guān)系不明顯，因為條件F是DE的中點，如何利用這其中點條件，把不一樣類三角形轉(zhuǎn)變?yōu)橥惾切问絾栴}的要點。

D，在AC的延伸線上取一點E,連接DE交AD由已知AB=AC,聯(lián)系到當過D點或E點作平行線，就可以形成新BC的圖形關(guān)系——構(gòu)成等腰三角形，也就是相當于先把BDGF或CEE挪動一下地址，從而使問題得解。證明：證法一：過點D作DG∥AC,交BC于點G（如上圖）∴∠DGB=∠ACB,∠DGF=∠FCE∵AB=AC∴∠B=∠ACB∴∠B=∠DGB∴BD=DG∵F是DE的中點∴DF=EF在△DFG和△DEFC中，DFG=EFCDGF=FCEDF=EF∴△DFG≌EFC∴DG=CE∴BD=CE證法二：如圖，在AC上取一點H,使CH=CE,連接DH∵F是DE的中點∴CF是△EDH的中位線∴DH∥BC∴∠ADH=∠B,∠AHD=∠BCA∵AB=AC∴∠B=∠BCA∴∠ADH=∠AHD∴AD=AH∴AB-AD=AC-AH∴BD=HC∴BD=CE說明：本題信息特色是“線段中點”。也可以過E作EM∥BC,交AB延伸線于點G，模擬證法二求解。例4．如圖，已知AB∥CD，AE均分∠BAD，且E是BC的中點第3頁共14頁初中數(shù)學_巧添輔助線__解證幾何題求證：AD=AB+CD證法一：延伸AE交DC延伸線于FABAB∥CD∴∠BAE=∠F,∠B=∠ECF∵E是BC的中點∴BE=CE在△ABE和△CEF中BAE=FB=ECFBE=CE∴△ABE≌△CEFAB=CF∵AE均分∠ABD∴∠BAE=∠DAE∴∠DAE=∠FAD=DFDF=DC+CFCF=AB∴AD=AB+DC證法二：取AD中點F，連接EF∵AB∥CD，E是BC的中點∴EF是梯形ABCD的中位線

EFCABFE∴EF∥AB,EF=1（AB+CD）∴∠BAE=∠AEF∵AE均分∠BAD∴∠BAE=∠FAE∴∠AEF=∠FAEAF=EFAF=DFEF=AF=FD=1AD

2DC21(AB+CD)=1AD22∴AD=AB+CD三．角均分線問題已知條件中含有角均分線信息稱為角均分線問題。常用的輔助線有兩種：以角均分線所在直線為對稱軸，構(gòu)造全等三角形，如圖一、二所示。由角均分線上的點向角的兩邊做垂線，構(gòu)造全等三角形，如圖二所示。圖一圖二圖三[例題分析]例5．如圖（1），OP是∠MON的均分線，請你利用圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三第4頁共14頁初中數(shù)學_巧添輔助線__解證幾何題角形。請你參照這個全等三角形的方法，解答以下問題。1）如圖（2），在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°,AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的均分線，AD、CE訂交于點F,請你判斷并寫出EF與FD之間的數(shù)目關(guān)系。2）如圖（3），在△ABC中，假如∠ACB不是直角，而（1）中的其余條件不變，請問，你在（1）中所得的結(jié)論能否依舊成立？若成立，請證明；若不成立，請說明原由。MEBEOFDAPACF(2)N(1)BEDFAC(3)分析：本題屬于學習慣題型。這種題型的特色是描述一種方法，要修業(yè)生依據(jù)指定的方法解題。指定方法是角均分問題的“翻折法”得全等形。解：（1）EF=FD（2）答：（1）結(jié)論EF=FD依舊成立原由：如圖（3），在AC上截取AG=AE,連接FG在△AEF和△AGF中，AE=AGEAF=FAGAF=AF∴△AEF≌△AGFEF=GF,∠EFA=∠GFA由∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC∠BCA的均分線可得∠FAG+∠FCA=60°∴∠EFA=∠GFA=∠DFC=60°∴∠GFC=60°在△CFG和△CFD中第5頁共14頁初中數(shù)學_巧添輔助線__解證幾何題GFC=DFCCF=CFDCE=ACE∴△CFG≌△CFDFG=FD又因為EF=GFEF=FD說明：學習慣問題是新課程下的新式題，意在觀察學生現(xiàn)場學習能力和自學能力。拋開本題要求從角均分線的角度想，本題也可以利用角均分線的性質(zhì)“角均分線上的點到角的兩邊的距離相等”達到求解的目的。解法二：（2）答（1）中的結(jié)論EF=FD依舊成立。B原由：作FG⊥AB于G,FH⊥AC于H,FM⊥BC于M∵∠EAD=∠DAC∴FG=FH∵∠ACE=∠BCE∴FH=FG∵∠B=60°∴∠DAC+∠ACE=60°EGMD∴∠EFD=∠AFC=180°-60°=120°F在四邊形BEFD中∠BEF+∠BDF=180°∵∠BDF+∠FDC=180°∴∠FDC=∠BEFAHC在△EFG和△DFM中FDC=BEF(3)DMF=900EGF=FG=FM∴EFG≌△DFMEF=DF四、線段的和差問題已知條件或所求問題中含有a+b=c或a=c-b，稱為線段的和差問題，常用的輔助線有兩種：短延伸：若AB=a,則延伸AB到M,使BM=b,而后證明AM=c；長截短：若AB=c,則在線段AB上截取AM=a,而后證明MB=b。[例題分析]例6如圖，在△ABC中，AB=AC,點P是邊BC上一點，PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CM⊥AB于M,嘗試究線段PD、PE、CM的數(shù)目關(guān)系，并說明原由。分析：判斷三條線斷的關(guān)系，一般是指兩較短線段的和與較長線段的大小關(guān)系，經(jīng)過丈量猜想PD+PE=CM.分析：在CM上截取MQ=PD，得□PQMD,再證明CQ=PE答：PD+PE=CM證法一：在CM上截取MQ=PD，連接PQ.CM⊥AB于M,PD⊥AB于D∴∠CMB=∠PDB=90°CM∥DP∴四邊形PQMD為平行四邊形PQ∥AB

A∴∠CQP=∠CMB=90°∠QPC=∠B第6頁共14頁MQE初中數(shù)學_巧添輔助線__解證幾何題AB=AC∴∠B=∠ECP∴∠QPC=∠ECPPE⊥AC于E∴∠PEC=90°在△PQC和△PEC中PQC=PECQPC=ECPAPC=PC∴△PQC≌△PEC∴QC=PE∵MQ=PD∴MQ+QC=PD+PEM∴PD+PE=CME分析2：延伸DF到N使DN=CM,連接CN,得平行四邊形DNCM,再證明PN=PED證法2：延伸DF到N，使DN=CM，連接CN同證法一得平行四邊形DNCM，及△PNC≌△PECBPC∴PN=PE∴PD+PE=CMN分析3：本題中含有AB=AC及三條垂線段PD、DE、CM，且SSS，所以可以用面積法求解。VPABVPACVABC證法三：連接AP,∵PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CM⊥AB于MAPQC=∠PEC∠QPC=∠ECPPC=PC∴SVABP1AB?PDME2SVACP1AC?PED2SVABC1AB?CMBPC2∵AB=AC且SVPABSVPACSVABC∴111AB?PDAB?PEAB?CM222QAB0PDPECM說明：當題目中含有兩條以上垂線段時，可以考慮面積法求解。五、垂線段問題已知條件或所求問題中含有兩條也許兩條以上的垂線段時，而所研究的問題關(guān)系又不明顯時，可以借助于可求圖形的面積轉(zhuǎn)變。常用的面積關(guān)系有：同（等）底的兩個三角形的面積與其高的關(guān)系；同（等）高的兩個三角形的面積與其底的關(guān)系。[例題分析]第7頁共14頁初中數(shù)學_巧添輔助線__解證幾何題例7在平行四邊形ABCD中，P是對角線BD上點，且PEAB,PFBC,垂足分別是E、F求證：PFDCABBCPE分析：將比率式轉(zhuǎn)變?yōu)榈确e式PABPFFBCPEAEBAB?PEBC?PF，聯(lián)想到1，1AB?PEBC?PF22即△PAB與△PBC的面積相等，從而用面積法達到證明的目的。證明：連接AC與BD交于點O,連接PA、PC在平行四邊形ABCD中，AO=COSVAOBSVBOC同理，SVAOPSVCOPSVAOBSVAOPSVBOCSVCOPSVPABSVPBC∵PEAB,PFBC,SVPAB11BC?PFAB?PE,SVPBC2A121AB?PEBC?PFED22AB?PEBC?PFBCABPFFBCPE例8求證：三角形三條邊上的中線訂交于一點。分析：這是一個文字表達的命題。要證明文字命題，需要依據(jù)題意畫出圖形，再依據(jù)題意、結(jié)合圖形寫出已知、求證。已知：△ABC中，AF、BD、CE是其中線。求證：AF、BD、CG訂交于一點。分析：要證三線交于一點，只要證明第三條線經(jīng)過另兩條線的交點即可。證明：設(shè)BD、CE訂交于點G，連接AG，并延伸交BC于點F,.QADDCSVABDSVCBD,SVAGDSVCGDSVAGBSVCGB同理，SVCGBSVAGCSVAGBSVAGC作BM⊥AF,于M,CN⊥AF,于N第8頁共14頁初中數(shù)學_巧添輔助線__解證幾何題則11SVAGBAG?BM,SVAGCAG?CN221AG?BM1AG?CN22BMCN,,在△BMF和△CNF中BFMCFNBMFCNFBMCN∴△BMF≌△CNFBF'CF',∴AF是BC邊上的中線AF與AF,重合即AF經(jīng)過點DAF、BD、CE三線訂交于點G所以三角形三邊上的中線訂交于一點。六、梯形問題梯形可以看作是一個組合圖形，構(gòu)成它的基本圖形是三角形、平行四邊形、矩形等。所以，可以經(jīng)過增加合適的輔助線，把梯形問題轉(zhuǎn)變?yōu)槿切巍⑵叫兴倪呅?、矩形等問題求解，其基本思想為：轉(zhuǎn)變梯形問題三角形也許平行四邊形問題切割、拼接在轉(zhuǎn)變、切割、拼接常常用的輔助線：平移一腰。即從梯形一個極點作另一個腰的平行線，把梯形分成一個平行四邊形和一個三角形（如圖一）。研究有關(guān)腰的問題常常用平移一腰。過極點作高。即從同一底的兩端作另一底所在直線的垂線，把梯形轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€矩形和兩個直角三角形（如圖二）。研究有關(guān)底或高的問題常常過極點作高。平移一條對角線。即從梯形的一個極點作一條對角線的平行線，把梯形轉(zhuǎn)變?yōu)槠叫兴倪呅魏腿切危ㄈ鐖D三）。研究有關(guān)對角線問題常常用平移對角線。這種增加輔助線的方法，可以將梯形兩條對角線及兩底的和集中在一個三角形內(nèi)，使梯形的問題轉(zhuǎn)變?yōu)槿切蔚膯栴}。此三角形的面積等于梯形的面積。4.延伸兩腰交于一點。把梯形問題轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€相似的三角形問題（圖四）；過底的中點作兩腰的平行線。當已知中有底的中點時，常過中點做兩腰的平行線，把梯形轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€平行四邊形和一個三角形（圖五）；過一腰中點作直線與兩底訂交。當已知中有一腰的中點時，常連接梯形一極點和其中點，并延伸交另一底于一點，將梯形問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粚θ热切魏鸵粋€含有梯形兩底之和的三角形。此三角形的面積等于梯形的面積（圖六）；作梯形中位線。當已知中有一腰的中點時，常取另一腰的中點，作梯形的中位線，（圖七），利用梯形中位線性質(zhì)解題。第9頁共14頁初中數(shù)學_巧添輔助線__解證幾何題圖一圖二圖三圖四圖五圖六圖七[例題分析]例9．以線段a=16,b=13為梯形的兩底，以c=10為一腰，則另一腰長d的取值范圍是＿分析：如圖，梯形ABCD中，上底b=13，下底a=16，腰AD=c=10，過B作BE∥AD,獲取平行四邊形ABED，從而得AD=BE=10,AB=DE=13所以EC=DC-DE=16-13=3.AB所以另一腰d的取值范圍是10-3＜d＜10+3答案：7＜d＜13例10．如圖，已知梯形ABCD中，AB∥DC,高AE=12,BD=15,AC=20,求梯形ABCD的面積。DEC分析：已知條件中給出兩條對角線的長，但對角線地址交織，條件一時用不上。其余，求梯形面積只要求出上、下底的和即可，不必定求出上、下底的長，所以考慮平移腰。解：解法一：如圖，過A作AF∥BD,交CD延伸線于FABQAB//FC四形ABDF是平行四形FDAB,AFBD15FCABDCFDECQAEFCAEF。AEC90在直角三角形AEF中，AE=12,AF=15EFAF2AE21521229在直角三角形AEC中，AE=12,AF=15第10頁共14頁初中數(shù)學_巧添輔助線__解證幾何題ECAC2AE220212216ABDCFCEFEC916251DC)?AE112150AS梯形ABCD(AB2522解法二：如圖，過B作BF⊥DC于F∴∠BFC=90°∵AE⊥DC于EAED=。DEAEC=90AEC=。BFC=90AE//BFAB//DCABFE是平行四形BFAC12,ABEF在直角三角形ABC中，AE12,AC2022ECACAE16在直角三角形BDF中，BF12,BD15DFBD2BF29ABDCDFCE91625S梯形ABCD1(ABDC)?AE1251215022例11.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B+∠C=90°,M、N分別是AD、BC的中點，試說明：1GMN(BCAD)2分析1：∠B+∠C=90°，考慮延伸兩腰，使它們A訂交于一點，構(gòu)成直角三角形。M解法1：延伸BA、CD交于點G,連接GM、GNBNQBC。BGC。9090AMMDGMAMGAMAGM又BNCNGNBNBBGNQADPBCGAMBAGMBGN∵B、A、G共線∴G、M、N共線

BFCDC第11頁共14頁初中數(shù)學_巧添輔助線__解證幾何題QGM1AD,GN1BC22MNGNGM1(BCAD)2分析2：考慮M、N分別為AD、BC中點，可以過M分別作AB、DC的平行線，梯形直角三角形，把梯形轉(zhuǎn)變?yōu)槠叫兴倪呅魏腿切?。解?：作ME∥AB交BC于E,作MF∥DC交BC于FAD∥BC∴四邊形ABEM、DCFM都是平行四邊形∴BE=AM,FC=DMQAMMDBEFCAQBNCNENFNM由MEPAB,MFPDCMEFB,MFECQBC。MEFMFE。9090∴∠EMF=90°,又∵EN=FNBENMN1EF1(BCAD)22[拓展延伸]1.已知：如圖，△ABC中，D是BC的中點，F(xiàn)是CAF延伸線上一點，連接FD交AB于E，若AE=AF求證：BE=CFA證法一：延伸ED到G使DG=DE,連接CG.E在△BDE和△CDG中，BDCDBBDECDGDDED