2019蘇教數(shù)學(xué)選修22講義第3章33復(fù)數(shù)幾何意義

2019-2020年蘇教版數(shù)學(xué)選修2-2講義：第3章+3.3+復(fù)數(shù)的幾何意義及答案2019-2020年蘇教版數(shù)學(xué)選修2-2講義：第3章+3.3+復(fù)數(shù)的幾何意義及答案2019-2020年蘇教版數(shù)學(xué)選修2-2講義：第3章+3.3+復(fù)數(shù)的幾何意義及答案2019-2020年蘇教版數(shù)學(xué)選修2-2講義：第3章+3.3+復(fù)數(shù)的幾何意義及答案復(fù)數(shù)的幾何意義學(xué)習(xí)目標(biāo)核心涵養(yǎng)1.認(rèn)識復(fù)數(shù)的幾何意義，并能簡單應(yīng)用．(重點(diǎn))經(jīng)過對復(fù)數(shù)的幾何意義及2．理解并會求復(fù)數(shù)的模，認(rèn)識復(fù)數(shù)的模與實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意絕對值之間的差異和聯(lián)系．(易錯點(diǎn))義的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象3．認(rèn)識復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意涵養(yǎng).義．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)平面建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸．(2)復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)→平面向量OZ.2．復(fù)數(shù)的模(1)定義→向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|.(2)公式|z|＝a2＋b2.(3)幾何意義復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)Z到原點(diǎn)O的距離．3．復(fù)數(shù)加減法的幾何意義-1-/82019-2020年蘇教版數(shù)學(xué)選修2-2講義：第3章+3.3+復(fù)數(shù)的幾何意義及答案(1)以下列圖，設(shè)向量→→OZ1，OZ2分別與復(fù)數(shù)z1＝a＋bi，z2→→→→＝c＋di對應(yīng)，且OZ1和OZ2不共線，以O(shè)Z1，OZ2為兩條鄰邊畫→→?OZ1ZZ2.則向量OZ與復(fù)數(shù)z1＋z2相對應(yīng)，向量Z2Z1與復(fù)數(shù)z1－z2相對應(yīng)．1－z2＝a－c2＋b－d2，即兩個復(fù)數(shù)的差的模就是復(fù)平面內(nèi)與這兩個復(fù)(2)|z|數(shù)對應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離．思慮：類比絕對值|x－x0|的幾何意義，|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是什么？[提示]|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z到點(diǎn)Z0的距離．1．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，則復(fù)數(shù)z＝z2－z1對應(yīng)的點(diǎn)位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限[z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，實(shí)部小于零，虛部大于零，故位于第二象限．]2．設(shè)z1＝2＋i，z2＝1－5i，則|z1＋z2|為( )A.5＋26B．5C．25D.37[|z1＋z2|＝|(2＋i)＋(1－5i)|＝|3－4i|＝32＋－42＝5.]與－－→→→3．復(fù)數(shù)4＋3i2與OB，則向量AB表示的復(fù)數(shù)是5i分別表示向量OA________．－6－8i[因為復(fù)數(shù)→→，所以→，OBOA(4,3)→→→→→OB＝(－2，－5)，又AB＝OB－OA＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量AB表示的復(fù)數(shù)是－6－8i.]-2-/82019-2020年蘇教版數(shù)學(xué)選修2-2講義：第3章+3.3+復(fù)數(shù)的幾何意義及答案復(fù)數(shù)的幾何意義【例1】(1)實(shí)部為－2，虛部為1的復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第________象限．1－2i(2)設(shè)復(fù)數(shù)z＝m－i(m∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z.①若點(diǎn)Z在虛軸上，求m的值；②若點(diǎn)Z位于第一象限，求m的取值范圍．(1)二[實(shí)部為－2，虛部為1的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(－2,1)，位于第二象限．]1－2i1－2im＋im＋21－2m(2)[解]z＝＝＝2＋2i.m－im－im＋im＋1m＋1m＋2①∵點(diǎn)Z在虛軸上，∴2＝0，則m＝－2.m＋1②點(diǎn)Z位于第一象限，則m＋2>0且1－2m>0，1解得－2<m<2.1故實(shí)數(shù)m的取值范圍是－2，2.復(fù)數(shù)可由復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或向量進(jìn)行表示(1)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對應(yīng)：復(fù)數(shù)的實(shí)、虛部是該點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，利用這一點(diǎn)，可把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)變成平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)問題．(2)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的對應(yīng)：復(fù)數(shù)實(shí)、虛部是對應(yīng)向量的坐標(biāo)，利用這一點(diǎn)，可把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)變成向量問題．-3-/82019-2020年蘇教版數(shù)學(xué)選修2-2講義：第3章+3.3+復(fù)數(shù)的幾何意義及答案1．實(shí)數(shù)x取什么值時，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的點(diǎn)Z：(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直線x－y－3＝0上．[解]因為x是實(shí)數(shù)，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是實(shí)數(shù)．x2＋x－6＜0，(1)當(dāng)實(shí)數(shù)x滿足－即－3＜x＜2時，點(diǎn)Z位于第三象限．x2－2x15＜，0x2＋x－6＞0，(2)當(dāng)實(shí)數(shù)x滿足－＜，x2－2x150即2＜x＜5時，點(diǎn)Z位于第四象限，(3)當(dāng)實(shí)數(shù)x滿足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即3x＋6＝0，x＝－2時，點(diǎn)Z位于直線x－y－3＝0上．復(fù)數(shù)加減法的幾何意義【例2】→→，則(1)向量OA對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋4i，向量OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－3＋6i→→向量OA＋OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為________．→→→(2)，OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是7＋i,3－2i，則|AB＝若OA|________.[思路研究]利用復(fù)數(shù)加減法的幾何意義求解．(1)→→－2＋10i(2)5[(1)(1＋4i)＋(－3＋6i)＝－2＋10i.即向量OA＋OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－2＋10i.→(2)AB對應(yīng)復(fù)數(shù)為(3－2i)－(7＋i)＝－4－3i，→＝－2＋－32＝5.]∴|AB＝－－3i|4||41．依照復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義可以把復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算轉(zhuǎn)變成向量的坐標(biāo)運(yùn)算，同樣滿足三角形和平行四邊形法規(guī)．2．復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義為應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決復(fù)數(shù)問題供應(yīng)了可能．-4-/82019-2020年蘇教版數(shù)學(xué)選修2-2講義：第3章+3.3+復(fù)數(shù)的幾何意義及答案2．在復(fù)平面內(nèi)，A，B，C分別對應(yīng)復(fù)數(shù)z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB，AC為鄰邊作一個平行四邊形ABDC，求D點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)z4及AD的長．[解]由復(fù)數(shù)加減法幾何意義：→AC對應(yīng)復(fù)數(shù)z3－z1，→AB對應(yīng)復(fù)數(shù)z2－z1，→AD對應(yīng)復(fù)數(shù)z4－z1，→→→依照向量的平行四邊形法規(guī)，得AD＝AB＋AC，∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i，→∴AD的長為|AD|＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.復(fù)數(shù)的模及其幾何意義[研究問題]1．滿足|z|＝1的所有復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)組成什么圖形？[提示]滿足|z|＝1的所有復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上．2．若|z－1|＝|z＋1|，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)組成什么圖形？[提示]∵|z－1|＝|z＋1|，∴點(diǎn)Z到(1,0)和(－1,0)的距離相等，即點(diǎn)Z在以(1,0)和(－1,0)為端點(diǎn)的線段的中垂線上．-5-/82019-2020年蘇教版數(shù)學(xué)選修2-2講義：第3章+3.3+復(fù)數(shù)的幾何意義及答案3．復(fù)數(shù)|z1－z2|的幾何意義是什么？[提示]復(fù)數(shù)|z1－z2|表示復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)兩點(diǎn)Z1與Z2間的距離．【例3】(1)若是復(fù)數(shù)z滿足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( )1A．1B．2C．2D．5(2)若復(fù)數(shù)z滿足|z＋3＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．(1)A[設(shè)復(fù)數(shù)－i，i，－1－i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1，Z2，Z3，因為|z＋i|＋|z－i|＝2,|Z1Z2|＝2，所以點(diǎn)Z的會集為線段Z1Z2.問題轉(zhuǎn)變成：動點(diǎn)Z在線段Z12上搬動，求|ZZ3的最小值，因為13＝，Z||ZZ|1所以|z＋i＋1|＝1.]min→2＋－12＝2.(2)以下列圖，|OM|＝－3所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.1．(變條件)若本例題(2)條件改為“設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z－3－4i|＝1”，求|z|的最大值．[解]因為|z－3－4i|＝1，所以復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)在以C(3,4)為圓心，半徑為1的圓上，由幾何性質(zhì)得|z|的最大值是32＋42＋1＝6.2．(變條件)若本例題(2)條件改為已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i為虛數(shù)單位)的最小值．[解]因為|z|＝1且z∈C，作圖如圖：所以|z－2－2i|的幾何意義為單位圓上的點(diǎn)M到復(fù)平面上的點(diǎn)P(2,2)的距離，所以|z－2－2i|的最小值為|OP|－1＝22－1.-6-/82019-2020年蘇教版數(shù)學(xué)選修2-2講義：第3章+3.3+復(fù)數(shù)的幾何意義及答案|z1－z2|表示復(fù)平面內(nèi)z1，z2對應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離．利用此性質(zhì)，可把復(fù)數(shù)模的問題轉(zhuǎn)變成復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離問題，從而進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)變成幾何圖形問題求解.1．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)P(a，b)．→(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的向量OZ＝(a，b)．2．復(fù)數(shù)加減法的幾何意義：實(shí)質(zhì)為向量的加減運(yùn)算．3．復(fù)數(shù)的模是表示復(fù)數(shù)的向量的長度，復(fù)數(shù)的?？梢员容^大小.1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)于實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在實(shí)軸上．( )(2)在復(fù)平面內(nèi)，虛軸上的點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)．( )(3)復(fù)數(shù)的模必然是正實(shí)數(shù)．( )[答案](1)√(2)×(3)×2．(2019·全國卷Ⅰ)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z－i|＝1，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，則( )A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1[法一：∵z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.應(yīng)選C.法二：∵|z－i|＝1表示復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)(0,1)的距離為1，∴x2＋(y－1)2＝1.應(yīng)選C.法三：在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)(1,1)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)z＝1＋i滿足|z－i|＝1，但點(diǎn)(1,1)不-7-/82019-2020年蘇教版數(shù)學(xué)選修2-2講義：第3章+3.3+復(fù)數(shù)的幾何意義及答案在選項A，D的圓上，∴消除A，D；在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)(0,2)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)z＝2i滿足|z－i|＝1，但點(diǎn)(0,2)不在選項B的圓上，∴消除B.應(yīng)選