m014微分方程建模綜合實(shí)例

星期六5時(shí)57§14-1飼養(yǎng)物的最佳銷售時(shí)機(jī)§14-2傳染病模型、問(wèn)題的提出、合理的假設(shè)、符號(hào)的說(shuō)明、模型的建立、模型的求解、模型的、模型的檢驗(yàn)

與評(píng)價(jià)、相對(duì)封閉環(huán)境中

的傳染病模型、傳染病的SIR模型習(xí)題141.1、問(wèn)題的提出>>從事動(dòng)物商業(yè)性飼養(yǎng)的企業(yè)或個(gè)人總是希望獲得利潤(rùn)，因此飼養(yǎng)某種動(dòng)物能否獲利、以及怎樣才能獲得

最大的利潤(rùn)，是飼養(yǎng)者首先要考慮的問(wèn)題。如果把飼

養(yǎng)物的品種、飼養(yǎng)者的技術(shù)水

因素看作是不變的，且不考慮市場(chǎng)需求的變化，那么影響獲利大小的一個(gè)

主要因素就是如何選擇飼養(yǎng)物的售出時(shí)機(jī)，即何時(shí)售

出獲利最大。也許有人會(huì)認(rèn)為，飼養(yǎng)物養(yǎng)得越大，售出后的獲利也就越豐厚。其實(shí)不然，因?yàn)殡S著飼養(yǎng)物的生長(zhǎng)，單位時(shí)間消耗的飼養(yǎng)費(fèi)用也就越多，同時(shí)飼養(yǎng)物體重的增長(zhǎng)速度卻在不斷降，所以飼養(yǎng)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)是不合算的。就以豬的飼養(yǎng)為例建立數(shù)學(xué)模型，來(lái)確定飼養(yǎng)物的最佳銷售時(shí)機(jī)。星期六5時(shí)571.2、合理的假設(shè)在不考慮飼養(yǎng)者的技術(shù)水平及市場(chǎng)需求變化的情況下，本模型只對(duì)某一個(gè)品種的豬進(jìn)行

，故涉及豬的性質(zhì)的有關(guān)參數(shù)均視為常數(shù)；開始進(jìn)行商業(yè)性飼養(yǎng)時(shí)，豬已經(jīng)具有一定的體重，且在飼養(yǎng)過(guò)程中，豬的體重的增長(zhǎng)速度不斷減慢；豬的體重越大，單位時(shí)間消耗的飼養(yǎng)費(fèi)用就越多，且達(dá)到最大體重后，單位時(shí)間的飼養(yǎng)費(fèi)用接近某一個(gè)常數(shù)；豬的單位體重售價(jià)視為常數(shù)。星期六5時(shí)571.3、符號(hào)的說(shuō)明t——時(shí)間(天);x(t)—t時(shí)刻豬的重量(公斤)；x0

——開始飼養(yǎng)時(shí)仔豬的體重(公斤)；xm——可出售豬的最小體重(公斤)；

X——該品種豬的最大體重；P——成品豬的單位體重售價(jià)(元/公斤)；P0——仔豬的單位體重售價(jià)(元/公斤)；y(t)—豬飼養(yǎng)到t時(shí)刻共消耗的費(fèi)用(飼料費(fèi)、飼養(yǎng)員工資及有關(guān)的開支)；

——豬的生長(zhǎng)系數(shù)(公斤/天)；

——單位飼養(yǎng)費(fèi)用系數(shù)(元/天)；

——豬最大體重時(shí)的單位飼養(yǎng)費(fèi)用(元/天)。星期六5時(shí)571.4、模型的建立>>要追求利潤(rùn)的最大化，必須了解投入與產(chǎn)出的關(guān)系，由于投入與產(chǎn)出都與豬的生長(zhǎng)和飼養(yǎng)費(fèi)用的增長(zhǎng)密切相關(guān)，因而首先要建立豬的生長(zhǎng)模型和飼養(yǎng)費(fèi)用的增長(zhǎng)模型。1)模型I豬的生長(zhǎng)模型>>一般生長(zhǎng)模型x’(t)=x在這里顯然是不合適的。因?yàn)楦鶕?jù)假設(shè)，豬的生長(zhǎng)模型必須體現(xiàn)以下兩點(diǎn)：一是生長(zhǎng)速度要遞減；二是x(t)的取值范圍要滿足x≤X。為此，引進(jìn)變量1-x/X

，顯然1-x/X≥0且單調(diào)減少。于是，一般生長(zhǎng)模型x'(t)=x中的x用

(1-x/X)替代，可得Xx(t)

(1

x

)星期六5時(shí)57x(t)

(1

x

)X用它來(lái)描述豬的生長(zhǎng)規(guī)律還是比較恰當(dāng)?shù)摹?gt;>加上初始條件x(0)=x0，就得到了豬的生長(zhǎng)模型：X

x()x(0)

x0

x

t1)模型I豬的生長(zhǎng)模型（14.1）星期六5時(shí)572)模型II、飼養(yǎng)費(fèi)用增長(zhǎng)模型>>據(jù)假設(shè)⑶,單位時(shí)間消耗的飼養(yǎng)費(fèi)用(即總費(fèi)用y(t)的導(dǎo)數(shù))是單調(diào)遞增的,且最終接近于最大體重時(shí)的單位飼養(yǎng)費(fèi)用,結(jié)合豬的生長(zhǎng)模型，則飼養(yǎng)費(fèi)用增長(zhǎng)模型為

y(t

)

(1

y(0)

0x

)X由(14.1)及(14.2)構(gòu)成微分方程組

y(t

)

(1

綜上所述，

x(t

)

(1

x

)0x(0)

x

,

y(0)

0XX能比較全面地描述豬的生長(zhǎng)狀況和飼養(yǎng)費(fèi)用的x

)增長(zhǎng)規(guī)律，解這個(gè)方程組，就能幫助

確定豬的最佳銷售時(shí)機(jī)。（14.2）星期六5時(shí)57星期六5時(shí)571.5、模型的求解(1)方程（14.1）的求解方程（14.1）可化為：dx

x

dt

X這是一個(gè)一階線性非齊次微分方程，易求得該方程

t滿足初始條件x(0)=x0為的特解為0

)(e殺寫于家我安明花徽丙開財(cái)戌后經(jīng)年大十百學(xué)月花（14.3）(2)方程（14.2）的求解在方程(14.2)中，除了變量t與y之外，還含有變量x，要解出y(t)，就必須消去x。事實(shí)上，由方程(14.1)可得X

dt

(1

x

)

dx為利用這一關(guān)系，可將方程（14.2）改寫為x

)X從而有

y(t

)

x(t

)X

y(t

)

(1

x

)

(1

（14.4）

t又由(14)兩.3

邊對(duì)t求導(dǎo)可得

tx代入(14.4)式，即得

ty直接積分,可求得該方程通解xX

（14.5）

tX0()()y(0)

00(X

x

)

y(t)

t

C

0(

X

x

)(1

e

t)（14.6）X星期六5時(shí)571.6、模型的⑴養(yǎng)豬獲利的充要條件若要養(yǎng)豬獲利，就必須保證既使以售豬的收入也不低于購(gòu)仔豬的費(fèi)用出售重量計(jì)算，飼養(yǎng)費(fèi)之和，即豬長(zhǎng)到最低出售重量所需要的時(shí)間y(tm

)變量x0

p0常量xm

P常量mm

t

0

)(e)mm

X

xt

t

將tm代入y(t),得豬長(zhǎng)到最低出售重量所需要的飼養(yǎng)費(fèi)用0

（14.8）)0mXm

m

ty(t

)

t

(

X

x

)(1

e（14.7）星期六5時(shí)57m

xXm

)

ty

)(

)(xm

P

x0

p0

y(tm

)化為)

00pxPx

m)即 (或

(00

)

mmm

00

0（14.9）養(yǎng)豬獲利(起碼不貼本)的充要條件提高獲利水平兩途徑↑,加快豬的生長(zhǎng)速度↑

且↓,

降低飼養(yǎng)成本星期六5時(shí)57⑵最佳銷售時(shí)機(jī)的確定設(shè)t

時(shí)刻銷售生豬獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)(t),則L(t)

x(t)

P

x0

p0

y(t)令L(t)

x(t)

P

y(t)

0,得P

t

tXXXX

(1

0

)

eP

(1

0

)

eX(P

)(1

x0

)

e

X

t

解之，可得惟一駐點(diǎn)

t*

X

ln

(P

)(

X

x0

)

X顯然，這個(gè)惟一的駐點(diǎn)t*必為利潤(rùn)L(t)的最大值點(diǎn)。星期六5時(shí)57對(duì)L(t)的最大值點(diǎn)t*的分析。但是否t*就是最佳的銷售時(shí)機(jī)，還須根據(jù)tm(達(dá)到可出售豬最小體重所需要的飼養(yǎng)時(shí)間)的大小綜合評(píng)判后才能確定。這是因?yàn)?，若t*≥tm，則t*就是要求的最佳銷售時(shí)機(jī)；而若t*<tm，則由于豬的體重尚未達(dá)到要求而無(wú)法出售，那就只好等到t=tm時(shí)再出售了。事實(shí)上,由0

)

/(

t*

X

ln

(P

)(

X

x0

)

X

ln

(

)(

X

/(

m

xXln

(PX

)

/(m

tmm)m可得到t

*與t

之間的關(guān)系式

t*

X

ln

(P

)

t星期六5時(shí)57關(guān)系式

t*

mln

PX

)(

t

得出的結(jié)論:

/(

mmX

x

X

①當(dāng)

P

時(shí),

t*

t ,此時(shí)的最佳銷售時(shí)機(jī)即為t*

X

ln

(P

)(X

x0

)

XP

時(shí),t*

tm

,m②當(dāng)X

x

X

此時(shí)銷售時(shí)刻為ttm

xXm顯然不是“最佳”的時(shí)機(jī)，但也只好如此。況且只要(14.9)得到滿足，仍然是可以獲利的。星期六5時(shí)571.7、模型的檢驗(yàn)與評(píng)價(jià)檢驗(yàn):一個(gè)模型建立起來(lái)以后，是否有實(shí)用的價(jià)值，還必須用具體的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。下面，

就將針對(duì)某地區(qū)豬的飼養(yǎng)業(yè)所作的

分析獲得的一組數(shù)據(jù)代入模型進(jìn)行檢驗(yàn)?，F(xiàn)有數(shù)據(jù)如下x0:5(公斤);

xm:75(公斤);

X:200(公斤);

P:6(元/公斤);p0:10(元/公斤);:0.5(公斤/天);:1(元/天);:1.5(元/天).通過(guò)數(shù)學(xué)

Mathematica或

編程計(jì)算，輸出的結(jié)果是tm==177.87t*=382.20L(tm)=126.92L(t*)=333.08即生豬飼養(yǎng)到178天即可出售,除去各種開支后的凈利潤(rùn)約127元;飼養(yǎng)到382天為最佳售出時(shí)機(jī),凈利潤(rùn)約333元.星期六5時(shí)57評(píng)價(jià):>>據(jù)了解，以上的計(jì)算結(jié)果與當(dāng)?shù)氐膶?shí)際情況基本吻合，說(shuō)明上述的模型還是可用的。假如出現(xiàn)了計(jì)算結(jié)果與實(shí)際有較大誤差的情況，則可以對(duì)參數(shù)、、作適當(dāng)?shù)男拚?，直到得出較理想的結(jié)果為止。本模型的優(yōu)點(diǎn)在于它適用于絕大多數(shù)的動(dòng)物飼養(yǎng)業(yè)，有著較廣泛的實(shí)用價(jià)值，而且具有一定的可操作性。模型所涉及的參數(shù)都是比較容易得到的。例如，飼養(yǎng)物幼仔的重量與價(jià)格、允許出售時(shí)的最小體重與售價(jià)可以通過(guò)市場(chǎng)

得知；飼養(yǎng)物的最大體重可查閱相關(guān)的資料；參數(shù)、與則可以用統(tǒng)計(jì)分析的方法獲得。星期六5時(shí)57>>隨著衛(wèi)生設(shè)施的改善、醫(yī)療水平的提高以及人類文明的不斷發(fā)展，諸如霍亂、天花等曾經(jīng)肆虐全球的傳染性疾病已經(jīng)得到有效的控制。但是一些新的、不斷變異著的傳染十分險(xiǎn)惡的卻悄悄向人類襲來(lái)。20世紀(jì)80年代開始肆虐全球，至今帶來(lái)極大的危害。還有最近的SARS

和

、H7N9等，都對(duì)人類的生產(chǎn)生活造成了重大的損失。長(zhǎng)期以來(lái)，建立制止傳染病蔓延段等，一直是各國(guó)有關(guān)和

關(guān)注的課題。研究傳染病模型的目的是：1.描述傳染病的過(guò)程；2.分析受人數(shù)的變化規(guī)律；預(yù)報(bào)傳染病預(yù)防傳染病蔓延到來(lái)的時(shí)刻；段。星期六5時(shí)572.1、相對(duì)封閉環(huán)境中的傳染病模型>>假設(shè)N個(gè)人共同一個(gè)相對(duì)封閉的環(huán)境中，若其中一個(gè)人了某種傳染病，而且這種傳染病具有一定的潛伏期，因而未發(fā)病時(shí)人們（包括患者自己）是不知道的，一旦患者發(fā)病被

時(shí)，這種傳染病實(shí)際上已經(jīng)在

了。在這種情況下，傳染病在人群中的過(guò)程是怎樣的呢？星期六5時(shí)57>>如果

以I(t)表示發(fā)現(xiàn)首例后t時(shí)刻被

的人數(shù)，則N-I(t)就表示此時(shí)刻未被的人數(shù)。在傳染病流行的初期，由于I(t)較小，能接觸到

者的人數(shù)少，單位時(shí)間內(nèi)被

的人數(shù)也比較少，因而速度較慢；而在傳染病流行的后期，由于大多數(shù)人已經(jīng)被

（I(t)較大），未被已經(jīng)不多了，所以此時(shí)單位時(shí)間內(nèi)被的人數(shù)N-I(t)的人數(shù)也不多，因而

速度也很慢。排除上述兩種的情況，當(dāng)有很多的

者和很多的未

者時(shí)，傳速度是很快的。因此，傳染病的人數(shù)的影響，另一方面也受未

人染病的一方面受數(shù)的制約。星期六5時(shí)57基于以上的分析，就可以建立如下微分方程：dtdI

kI(

N

I

),N

11傳染病流行前期可用，學(xué)者曾用來(lái)預(yù)報(bào)

時(shí)刻。t

lim

I

N(14.11）其中k是比例常數(shù)，可根據(jù)發(fā)病情況的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來(lái)確定。不難求得方程（4.2.11）的通解為：N

I注意到I(0)

1,代入(4.2.12

式,)可求得C

I

C

e

N

k

t(14.12）e

NktI

1N

I N

1故該方程的特解為:

N即

I

這就是該傳染病的

規(guī)律。1

(

N

1)e

N

k

t星期六5時(shí)57在大洋上航行的一只游船上有800人，一名游客患了某種傳染病，12小時(shí)后有3人發(fā)病。由于這種傳染病沒有早期癥狀，故時(shí)間運(yùn)來(lái)者不能被及時(shí) 。直升機(jī)將在60至72小，試估算 運(yùn)到時(shí)患此傳染病的人數(shù)。實(shí)例模型實(shí)證

N

)e1(1

kNtNI

19600

797ln

2397

0.00011k

8001

799e0.092t

I

|

1908001

799e0.092tt

60

I

|8001

799e0.092tI

I

800

799

0.092e[1

799e0.092t

]I

0

t

69.6(小時(shí))2bO星期六5時(shí)57tyr

br在上一個(gè)模型中，

實(shí)際上只是對(duì)人群進(jìn)行了簡(jiǎn)單的劃分：在者與健康人。如果

把病愈免疫和

者也考慮況就會(huì)有很大的不同.人群分成三類S類：稱為易感類(Susceptible)，該類成員沒有染上傳染病，但缺乏免疫力，可以被

；I類：稱為傳染類(Infective)

，該類成員已經(jīng)染上了傳染病，而且可以

給S類；R類：稱為恢復(fù)類或排除類(Removed)，該類成員具有免疫能力或者已經(jīng)

。記以上三類

在t時(shí)刻的人數(shù)分別為S(t)、I(t)

、R(t)，總?cè)藬?shù)為N，則任一時(shí)刻有S(t)+I(t)+R(t)=N2.2、傳染病的SIR模型星期六5時(shí)57星期六5時(shí)57埠年香坦八家詩(shī)克月明雅學(xué)于丙花院蚌戌⑴單位時(shí)間內(nèi)，一個(gè)

傳染的人數(shù)與當(dāng)時(shí)健康者的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k

(稱為傳染系數(shù))

。⑵單位時(shí)間內(nèi)，病愈免疫(包括

)的人數(shù)與當(dāng)時(shí)者的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為l(恢復(fù)系數(shù))。模型建立S(t)

—t時(shí)刻易感類人數(shù);

I(t)

—t時(shí)刻傳染類人數(shù);R(t)

—t時(shí)刻恢復(fù)類人數(shù);

N

—總?cè)藬?shù);k

—傳染系數(shù);l

—恢復(fù)系數(shù);I0

—初始

數(shù);S0

—初始易

數(shù).由⑴,

S類成員t時(shí)單位時(shí)間內(nèi)被

人數(shù)為kS(t)I(t).由⑵,t時(shí)單位時(shí)間內(nèi)由I轉(zhuǎn)化為R的人數(shù)為lI(t)。故有

k

S

I

l

IdtdIdtdS且

k

S

I基本假設(shè)符號(hào)說(shuō)明星期六5時(shí)57

dS

dt

dt

dI

k

SI

lI

k

SI0I(0)

I0S(0)

N

I其初始條件為將方程組中的兩個(gè)方程相除，得雖然微分方程組的解析解難以求得，但是 可以通過(guò)對(duì)I、S之間函數(shù)關(guān)系的研究dI

k

S

I

l

I

l

1令

l

/

k dS

k

S

I k

S

1S其解的性態(tài)。特征指數(shù),同地同病為常量SIS()0ln

SStdI

(

1)dS

I

ln

|S

|

S