第四課柯西不等式與排序

一

二維形式的不等式定理1（二維形式的

不等式）:若a,b,c,d都是實(shí)數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí),等號成立.你能證明嗎？推論a2

b2

c2

d

2

ac

bda2

b2

c2

d

2

ac

|

|

bd(a

b)

(c

d

)

(

ac

bd

)2a,b,c,d為非負(fù)實(shí)數(shù)）。向量形式：ma2c2m

n

m

n

ac

|

m

|

b2|

n

|

d

2|

m

n

||

m

|

|

n

|

|

cos

||

m

|

|

n

||

m

n

||

m

|

|

n

|ac

bd

a2

b2

c2

d

2|

||

|

|

|設(shè)α,β是兩個(gè)向量,則當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量,或存在實(shí)數(shù)k,使α=kβ時(shí),等號成立.定理2:

（

不等式的向量形式）yP1(x1,y1)P2(x2,y2)x0yP1(x1,y1)xP2(x2,y2)0根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式以及三角形的邊長關(guān)系:x2

y2

x2

y2

(x

x

)2

(y

y

)21

1

2

2

1

2

1

2觀察定理３（二維形式的三角不等式）設(shè)

，那么121

2x

,

y

,

x

,

y

R(x

x

)2

(

y

y

)21

2

1

2x2

y2

2

2x2

y2

1

1例題例1.已知a,b為實(shí)數(shù),證明：(a4+b4)

(a2+b2)≥

(a3+b3)2x

1

例2.求函數(shù)y

510

2x的最大值.例3.設(shè)a,b∈R+,a+b=1,求證

1

41a

b注意應(yīng)用公式：(a

b)(

1

1

)

4a

b練習(xí)：已知2x2

3y2

6,求證x

2

y

11已知a2

b2

1,求證|a

cos

b

sin

|

1作業(yè)第37頁,第1,5,6題二

一般形式的不等式三維形式的

不等式）:(a2

a2

a2

)

(b2

b2

b2

)1

2

3

1

2

3

(a

b

a

b

a

b

)21

1

2

2

3

3n維形式的

不等式）:(a2

a2

...

a2

)

(b2

b2

...

b2

)1

2

n

1

2

n

(a

b

a

b

...

a

b

)21

1

2

2

n

n二維形式的

不等式）:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a2

a2

...

a2

)

(b2

b2

...

b2

)1

2

n

1

2

n

(a

b

a

b

...

a

b

)21

1

2

2

n

n定理設(shè)a1,a2

,a3

,...,an

,b1,b2

,b3

,...,bn是實(shí)數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)k使得或存在一個(gè)bi

0

(i=1,2,…,n)以上不等式稱為一般形式的

不等式。ai

kbi

(i=1,2,…,n)時(shí)等號成立。(xi

,

yi

R,

i

1,2,...,

n).1

1

2

21y2

y2

...

y22

n2n1212

x

)2

(

y

y

)2

(z

z

)21

2

(x21

1

1

2

2x2

x2

y2

z2

y2

z

2nn

y

)2

(x

y

)2

...

(x

y

)2

(x一般形式的三角不等式例1

已知

a1,

a2

,

a3

,...,

an

都是實(shí)數(shù)，求證：1

2

n

1

2

nn1

(a

a

...

a

)2

a2

a2

...

a2

.例2

已知a,b,c,d是不全相等的正數(shù)，證明：a2

b2

c2

d

2

>ab+bc+cd+da.例3

已知x+2y+3z=1,求

x2

y2

z2的最小值。例4：設(shè)a、b、c為正數(shù)且各不相等。求證：c

a a

b

c

a

b b

c922

2)11)111

a

b

b

c

c

a

[(a

b)

(b

c)

(c

a)](a

b

b

c

c

a1證明：

2(a

b

c)(

(111)2

9又a、b、c各不相等，故等號不能成立∴原不等式成立。

a

b

b

c

a

c41例5

若a>b>c

求證：1

(1

1)2

4111

)1a

b b

c )

[(a

b)

(b

c)](a

b b

c證明：(a

c)(∴

1

1

4

a

b b

c a

c例6：若求證：a,b,

c

Ra

b

2c

3

b

c c

aa

b分析：左端變形

1

1

1

a

bc

acbab

c1)11

b

c c

a a

b

(a

b

c)(2∴只需證此式

9

即可三

排序不等式定理（排序不等式，又稱排序定理）設(shè)a1

a2

...

an，b1

b2

...

bn為兩組實(shí)數(shù)c1,

c2

...cn是b1,

b2

...bn的任一排列，那么：a1bn

a2bn1

...

anb1

a1c1

a2c2

...

ancn

a1b1

a2b2

...

anb.n當(dāng)且僅當(dāng)a1

a2

...

an或b1

b2

...

bn時(shí),反序和等于順序和。反序和≤亂序和≤順序和例1：有10人各拿一只水桶去接水，設(shè)水龍頭注滿第i(i=1,2,…,10)個(gè)人的水桶需要ti分，假定這些ti各不相同。問：只有一個(gè)水龍頭時(shí)，應(yīng)該如何安排10人的順序，使他們等候的總時(shí)間最少？這個(gè)最少的總時(shí)間等于多少？解：總時(shí)間(分）是10t1+9t2+…+2t9+t10根據(jù)排序不等式，當(dāng)t1<t2<…<t9<t10時(shí)，總時(shí)間取最小值。即：按水桶的大小由小到大依次接水，則10人等候的總時(shí)間最少。最少的總時(shí)間是:10t1+9t2+…+2t9+t10例2設(shè)a1,a2,…,an是n個(gè)互不相等的正整數(shù)，求證：122

32n2

...

an2

3

n1

1

1

...

1

a

a2

a3證明：設(shè)b1,b2,…,bn是a1,a2,…an的一個(gè)排列，且有

b1<b2<…<bn因?yàn)閎1,b2,…,bn是互不相等的正整數(shù)，所以b1≥1,b2≥2,…,bn≥n.1

1

122

32

n21

...

1122

32a

a2

a3n222

32

n2...

an

b

b2

b3...

bn又因由排序不等式，得：22

32n22

3

n

11

2

1

3

1

...

n

1

1

1

1

...

11.設(shè)a1,a2

,...,an為實(shí)數(shù)，證明：a

c

a

c

...

a

c

a2

a2

...

a2

,1

1

2

2

n

n

1

2

n其中c1,c2

,...,cn是a1,a2

,...,an的任一排列。練習(xí)2.已知a,b,c為正數(shù)，用排序不等式證明2(a3

b3

c3

)

a2

(b

c)

b2

(a

c)

c2

(a

b).練習(xí)3.設(shè)a1

,a2

,...,a