函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)

---【重點(diǎn)知識(shí)整合】1.導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)應(yīng)地有增量函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)y?于(x)在x■X0處附近有定義，當(dāng)自變量在X■Xnnnn0處有增量■X時(shí)，則函數(shù)y■f(X)相聆■f(X■IX)■f(X)00，如果小■0時(shí)，,與11r的比叫也叫函數(shù)的平均變化率)有極限即■y贏無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)，我們把這個(gè)極限值叫做函數(shù)X0處的導(dǎo)數(shù)，記作f■)■lim0Hr■0■X注意：在定義式中，設(shè)x■x■!XnnIX■x■xnn■xnnn0，則0，當(dāng)■優(yōu)趨近于0時(shí)，X趨近于X0，因此，導(dǎo)數(shù)的定義式可寫)■f(X0)■limX■X0f(X)■f(x0)2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)f*0)■lim

■r■0f(XMX)■f(X)■0■X0—是函數(shù)X0的處瞬時(shí)變化率，它反映的函數(shù)y■f(X)在點(diǎn)X0處變化的快慢程度.它的幾何意義是曲線y"f(X)上點(diǎn)(X0f(X),0)處的切線的斜率.因此，如果在點(diǎn)可導(dǎo)，則曲線y■f(X)在點(diǎn)(X0,f(X0))處的切線方程為y■f(x)■f■)(x■x)注意：“過點(diǎn)A的曲線的切線方程”與“在點(diǎn)A處的切線方程”是不相同的，后者A必為切點(diǎn)，前者未必是切點(diǎn)3.導(dǎo)數(shù)的物理意義：函數(shù)s■s(t)在點(diǎn)t0處的導(dǎo)數(shù)s，0),就是物體的運(yùn)動(dòng)方程s■s(t)在點(diǎn)0時(shí)刻的瞬時(shí)速度4．幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：C'■0(C為常數(shù))；(Xn)′■nxn-(n■Q)；(sinX)'■cosX；(l)■1(cosX)'BHsinx；x；1(logX),-loga；(ex)IHex；(ax)■axlna5.求導(dǎo)法則：法則1：[u(X)■v(X)]■u妣)■v?x)；法則2：[u(X)v(X)]■u妣)v(X)■u(X)v喙)[Cu(X)]■Cu'(X),；法則3：iu■u'vUuv'■■■v2(v■0)6.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)u■■(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)u■?■■■(x)，函數(shù)y-f(u)在點(diǎn)x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處有導(dǎo)數(shù)y■■f.■u，則復(fù)合函數(shù)y■f(■(x))在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù)，且y'■y'■u'或xux或7.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1.函數(shù)1.函數(shù)y?)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果f■(x)■0，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù),該區(qū)間是函數(shù)的增區(qū)間；若f■(x)■0，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)，該區(qū)間是函數(shù)的減區(qū)間2.利用導(dǎo)數(shù)研究多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟?fnx)?■fnx)■a,b?求f(x);確定f(x)在內(nèi)符號(hào)?fHX)■0?fHX)■0■a,b■若f(x)0在上恒成立，■a,b■上是增函數(shù)；■a,b■上恒成立，則f(X)在■a,,b?上是減函數(shù)8.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極(最)值1.極大值：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，x如果對(duì)0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)■1.極大值：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，x如果對(duì)0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)■f(x0)，就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值，記作y極大值■f(x0)x0是極大值點(diǎn)2.極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在X0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)■f(x0)就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，記作y極小值■f(x0)，x0是極小值點(diǎn)3.極值：極大值與極小值統(tǒng)稱為極值在定義中，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值請(qǐng)注意以下幾點(diǎn)：(1)極值是一個(gè)局部概念由定義，(1)極值是一個(gè)局部概念由定義，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小.并不意味著它xx4是極小值點(diǎn)，而xx4是極小值點(diǎn)，而f(x4)>f(x1)xs大值或極小值可以不止一個(gè)xx1是極大值點(diǎn)，在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小(2)函數(shù)的極值不是唯一的即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極(3)極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，(4)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)4.當(dāng)f(x)在點(diǎn)x連續(xù)時(shí)，判別f(x0)是極大、極小值的方法x0是f(x)ODDO,f(x0)是極值，并且如果x0是f(x)ODDO,f(x0)是極值，并且如果若0滿足0，且在0的兩側(cè)f(x)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則x在0兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則x0是f(x)的極大值O,f(x)0是極大值；如果f1(x)在x0兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”則“0是f(x)的極小值點(diǎn)，f(x0)是極小值5.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)■fax)■o求方程f(x)的根；用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f■(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)，那么f(x)在這個(gè)根處無(wú)極值.如果函數(shù)在某些點(diǎn)處連續(xù)但不可導(dǎo)，也需要考慮這些點(diǎn)是否是極值點(diǎn)9.函數(shù)的最大值和最小值:一般地，在閉區(qū)間b,上連續(xù)的函數(shù)b,上必有最大值與最小值．注意：在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f(x)不一定有最大值與最小值口如函數(shù)1f(x)?丫(0.■—x在(,)內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值；函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的．f(x)函數(shù)J(x)在閉區(qū)間b,上連續(xù)，是f(x)在閉區(qū)間b,上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能沒有一個(gè)10.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟由上面函數(shù)f(x)的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以得出函數(shù)的最值了．設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可口，則求b,上的最大值與最小值的步驟如下：求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值;f(x)將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較得出函數(shù)f(x)在a,b上的最值p.【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】1.利用導(dǎo)數(shù)求切線問題中的“在”與“過”在解決曲線的切線問題時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率是非常重要的一類方法.在求解過程中特別注意：曲線在某點(diǎn)處的切線若有則只有一條，曲線過某點(diǎn)的要切線往往不止一條；切線與曲線的公共點(diǎn)不一定只有一個(gè).因此在審題時(shí)應(yīng)首先判斷是“在”還是“過”.若“在”，利用該點(diǎn)出的導(dǎo)數(shù)為直線的斜率，便可直接求解；若“過”，解決問題關(guān)鍵是設(shè)切點(diǎn)，利用“待定切點(diǎn)法”,即：設(shè)點(diǎn)A(x0,y0)是曲線y■fx上的一點(diǎn)，則以A為切點(diǎn)的切線方程/((x)(x■x)y－y0=fx0xx0,再根據(jù)題意求出切點(diǎn)□□函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在其單調(diào)性研究的作用：□□函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在其單調(diào)性研究的作用：(1)當(dāng)函數(shù)在一個(gè)指定的區(qū)間內(nèi)單調(diào)時(shí)，需要這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)不改變符號(hào)(即恒大于或者等于零、恒小于或者等于零)，當(dāng)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)不單調(diào)時(shí)，這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)一定變號(hào)，如果導(dǎo)數(shù)的圖象是連續(xù)的曲線，這個(gè)導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)一定存在變號(hào)的零點(diǎn)，可以把問題轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的研究．(2)根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，在函數(shù)解析式中若含有字母參數(shù)時(shí)要進(jìn)行分類討論，這種分類討論首先是在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行，其次要根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)在其定義域內(nèi)的情況進(jìn)行，如果這樣的點(diǎn)不止一個(gè)，則要根據(jù)字母參數(shù)在不同范圍內(nèi)取值時(shí)，導(dǎo)數(shù)等于零的根的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，最后在分類解決問題后要整合一個(gè)一般的結(jié)論．在利用“若函數(shù)□□利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值：fH■單調(diào)遞增，則個(gè)一般的結(jié)論．在利用“若函數(shù)□□利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值：fH■單調(diào)遞增，則f’■X?0”求參數(shù)的范圍時(shí)，注意不要漏掉“等號(hào)”(1)確定定義域．f’■x■(2)求導(dǎo)0．(3)①若求極值，則先求方程f’(3)①若求極值，則先求方程f’■x?0的根，再檢驗(yàn)f’■x■在方程根左、右值的符號(hào)，求出極值．(當(dāng)根中有參數(shù)時(shí)要注意分類討論根是否在定義域內(nèi)②若已知極值大小或存在的情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程f②若已知極值大小或存在的情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程f’■x?0根的大小或存在情況，從而求解．□□求函數(shù)(1)求函數(shù)y■f■■?,b■在內(nèi)的極值；□□求函數(shù)(1)求函數(shù)y■f■■?,b■在內(nèi)的極值；(2)將函數(shù)y■fx的各極值與端點(diǎn)處的00值比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小y■f?■1,b■在上的最大值與最小值的步驟值．口.利用導(dǎo)數(shù)處理恒成立問題不等式在某區(qū)間的恒成立問題，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最值問題來解決，函數(shù)的最值問題的求解，利用求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性是常規(guī)途徑，例如：①f■(x)■0■f(X)00000f妣)■0■f(x)為減00).②f(x)在區(qū)間a,b上是增00■fe%0在■,b三成立;■a,,b?上為減00■f■(x)o0在■a,b?上恒成立.口.利用導(dǎo)數(shù)，如何解決函數(shù)與不等式大題在高考題的大題中，每年都要設(shè)計(jì)一道函數(shù)大題.在函數(shù)的解答題中有一類是研究不等式或是研究方程根的情況，在高考題的大題中，每年都要設(shè)計(jì)一道函數(shù)大題基本的題目類型是研究在一個(gè)區(qū)間上恒成立的不等式(實(shí)際上就是證明這個(gè)不等式)，研究不等式在一個(gè)區(qū)間上成立時(shí)不等式的某個(gè)參數(shù)的取值范圍，研究含有指數(shù)式、對(duì)數(shù)式、三角函數(shù)式等超越式的方程在某個(gè)區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)等，這些問題依據(jù)基礎(chǔ)初等函數(shù)的知識(shí)已經(jīng)無(wú)能為力，就需要根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行解決．使用導(dǎo)數(shù)的方法研究不等式和方程的基本思路是構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)的方法研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性、極值和特殊點(diǎn)的函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的性.因此入手大質(zhì)推斷不等式成立的情況以及方程實(shí)根的個(gè)數(shù)．因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的引入，為函數(shù)問題的解決提供了操作工具.因此入手大.原因是找不到兩者的結(jié)合點(diǎn)，不清楚解家比較清楚，但是深入解決函數(shù)與不等式相結(jié)合的題目時(shí)，往往一籌莫展決技巧.解題技巧總結(jié)如下.原因是找不到兩者的結(jié)合點(diǎn)，不清楚解（1）樹立服務(wù)意識(shí)：所謂“服務(wù)意識(shí)”是指利用給定函數(shù)的某些性質(zhì)（一般第一問先讓解決出來），如函數(shù)的單調(diào)TOC\o"1-5"\h\z性、最值等，服務(wù)于第二問要證明的不等式.（2）強(qiáng)化變形技巧：所謂“強(qiáng)化變形技巧”是指對(duì)于給出的不等式直接證明無(wú)法下手，可考慮對(duì)不等式進(jìn)行必要的等價(jià)變形后，再去證明.例如采用兩邊取對(duì)數(shù)（指數(shù)），移項(xiàng)通分等等.要注意變形的方向：因?yàn)橐煤瘮?shù)的性質(zhì)，力求變形后不等式一邊需要出現(xiàn)函數(shù)關(guān)系式.（3）巧妙構(gòu)造函數(shù)：所謂“巧妙構(gòu)造函數(shù)”是指根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的最值進(jìn)行解決.在構(gòu)造函數(shù)的時(shí)候靈活多樣，注意積累經(jīng)驗(yàn)，體現(xiàn)一個(gè)“巧妙”.【考場(chǎng)經(jīng)驗(yàn)分享】1．利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性需注意的幾個(gè)問題（1）確定函數(shù)的定義域，解決問題的過程中，只能在函數(shù)的定義域內(nèi)，通過討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）在對(duì)函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時(shí)，除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)外，還要注意定義區(qū)間內(nèi)的不連續(xù)點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)．（3）注意在某一區(qū)間內(nèi)fx■0（或fx■0）是函數(shù)fx在該區(qū)間上為增（或減）函數(shù)的充分條件．2．可導(dǎo)函數(shù)的極值（1）極值是一個(gè)局部性概念，一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極大值和極小值，在某一點(diǎn)的極小值也可能大于另一點(diǎn)的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系．（2）若fx在a,b內(nèi)有極值，那么fx在a,b內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值．3.如果一個(gè)函數(shù)單調(diào)性相同的區(qū)間不止一個(gè)，這些區(qū)間之間不能用“口”連接，只能用逗號(hào)或“和”字隔開，口把22口區(qū)間寫為“（m,口3）口（1,口口）”是不正確的，因?yàn)椤埃诳?，?）口（1,口口）”不是一個(gè)區(qū)間，該函數(shù)在2（DD,D3）口（1,皿）上不是單調(diào)遞增的口□□利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題的類型：⑴不等式恒成立：基本思路就是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或函數(shù)值域的端點(diǎn)值問題．（2）比較兩個(gè)數(shù)的大?。阂话愕慕鉀Q思路是把兩個(gè)函數(shù)作差后構(gòu)造一個(gè)新函數(shù),