《工程制圖》中求解兩曲面立體相貫線的方法探討

?工程制圖?中求解兩曲面立體相貫線的方法討論〔〕:

摘要：相貫線是?工程制圖?教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。針對(duì)?工程制圖?課程中兩立體相交時(shí)求解相貫線內(nèi)容的易懂、難作的特點(diǎn)。本文重點(diǎn)分析了兩曲面立體相交時(shí)相貫線的不同求解方法。闡述了不同方法求解相貫線的根本原那么和適用條件，并結(jié)合實(shí)例進(jìn)展分析，以期為學(xué)生學(xué)習(xí)提供思路，進(jìn)步教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：工程制圖；曲面立體；相貫線

?工程制圖?是研究繪制、閱讀工程圖的理論與方法的學(xué)科【1】。是本、?？圃盒Ｃ嫦驒C(jī)械類、非機(jī)械類、水利、土建等各專業(yè)大一學(xué)生開(kāi)設(shè)的一門(mén)重要的專業(yè)根底課程，是學(xué)習(xí)專業(yè)課程的根底【2】。各制圖課程中均對(duì)相貫線內(nèi)容提出教學(xué)要求。雖然不同類型制圖課對(duì)相貫線要求有差異，但相貫線的教學(xué)內(nèi)容一樣【3】。在工程消費(fèi)實(shí)際中，常見(jiàn)兩立體相交的實(shí)例，例如壩體和閘墩的相貫線，建筑物群的相貫線，機(jī)械零件的相貫線等等。但要在圖紙上準(zhǔn)確表達(dá)兩立體相交線的投影，在學(xué)習(xí)過(guò)程中要掌握其投影特性和解題方法。

一相貫線的概念及投影特性

兩立體相交，也稱為兩立體相貫，其外表的交線稱為相貫線【4】。按照參與相交兩立體不同可分為，兩平面立體相貫、平面立體與曲面立體相貫、曲面立體與曲面立體相貫三種情況；根據(jù)立體相交位置不同可分為，全貫與互貫兩種情況，當(dāng)一立體全部元素與另一立體外表相交時(shí)稱為全貫，而當(dāng)一立體局部元素與另一立體外表相交稱為互貫；同時(shí)還有外外表相貫、內(nèi)外表和外外表相貫以及兩內(nèi)外表相貫。工程圖紙是繪制工程形體的正投影圖，因此由于立體的大小、形狀和相對(duì)位置不同，相貫線的形狀也各不一樣，在空間中可能是直線段或平面曲線段，也可能是空間曲線段【5】。但根據(jù)正投影原理都有共同的三個(gè)性質(zhì)：〔1〕共有性。相貫線是兩個(gè)立體的共有線，其投影必在兩立體投影的重疊局部范圍內(nèi)?！?〕外表性。由于工程制圖規(guī)定立體都是實(shí)體，因此，任何一個(gè)立體的輪廓線不能穿過(guò)相貫線進(jìn)入另外立體內(nèi)部。相貫線是兩個(gè)立體外表的分界限?！?〕封閉性。由于立體是有范圍的，一般情況下，相貫線是封閉的。解題時(shí)應(yīng)根據(jù)相貫線的投影特性求解。

二教與學(xué)中存在的問(wèn)題

相貫線尤其是兩曲面立體的相貫線是工程制圖教學(xué)中的難點(diǎn)。總結(jié)多年教學(xué)經(jīng)歷，筆者認(rèn)為教學(xué)學(xué)時(shí)不夠，很難在課堂時(shí)間將解題方法講透，學(xué)生需要課前加強(qiáng)預(yù)習(xí)，課后加強(qiáng)復(fù)習(xí)，強(qiáng)化練習(xí)才能掌握。但由于高等數(shù)學(xué)等難學(xué)課程的學(xué)習(xí)占用及社團(tuán)活動(dòng)的影響，學(xué)生沒(méi)有足夠的課外學(xué)習(xí)時(shí)間。加之學(xué)生在點(diǎn)、直線、平面和立體的投影特性上掌握不扎實(shí)，不結(jié)實(shí)，又缺乏空間思維和描繪空間形體的才能，學(xué)習(xí)中存在畏難和抵觸情緒【6】。大多數(shù)學(xué)生能聽(tīng)懂課堂例題，但對(duì)相貫線的根本性質(zhì)和根本投影原理掌握不透徹、不會(huì)靈敏運(yùn)用，解題時(shí)存在盲目性，容易出錯(cuò)。針對(duì)這些教學(xué)難點(diǎn)問(wèn)題，應(yīng)重視根底理論講解，強(qiáng)化根本定義、投影性質(zhì)，通過(guò)不同題型深化解讀解題方法，杜絕解題過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤，并重視學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主導(dǎo)作用，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極考慮，構(gòu)建解題思路。

三相貫線的求解方法

對(duì)于兩平面立體的相交情況，把平面立體拆分為構(gòu)成立體的棱面和底面，用貫穿點(diǎn)法或棱面交線法求解。主要根據(jù)平面與直線相交求交點(diǎn)和兩平面相交求交線的方法。而對(duì)于平面立體與曲面立體的相交情況，用截交線的方法，分別求出平面立體上參與相交的棱面或底面與曲面立體外表的截交線，由截交線圍成的圖形即是兩立體的相貫線。但對(duì)于兩曲面立體相交的情況那么要視立體是否具有積聚性、是否具有特殊輔助面和是否軸線相交且同時(shí)平行于同一投影面而選擇相應(yīng)的方法。

〔一〕面上取點(diǎn)法舉例

兩曲面立體相貫，常見(jiàn)相貫體主要有圓柱與圓柱、圓柱與圓錐、圓錐與球體、圓柱與球體相貫。當(dāng)參與相交的圓柱體在某一個(gè)投影面的投影積聚為一個(gè)圓的情況時(shí)，首先要強(qiáng)化一個(gè)根本概念，牢記求解相貫線過(guò)程中的總綱，即相貫線是兩立體相交外表公共點(diǎn)的連線，求作相貫線的投影,那么是求解兩相貫立體外表共有點(diǎn)的投影。因此面上取點(diǎn)法的適用條件是，立體投影具有積聚性。如圖1所示，求解大小圓柱的相貫線。首先對(duì)題目作形體分析，該形體是由兩個(gè)圓柱相交而成，小圓柱全部穿過(guò)大圓柱，為全貫，由于沒(méi)有貫穿，因此只有一條相貫線，相貫線為一條封閉的空間曲線；兩圓柱對(duì)稱相貫，呈前后對(duì)稱和上下對(duì)稱構(gòu)造。然后，對(duì)形體作投影分析，小圓柱垂直于側(cè)立投影面，其側(cè)面投影積聚為一個(gè)圓；大圓柱垂直于程度投影面，其程度投影積聚為一個(gè)圓。由于相貫線是兩個(gè)立體投影的共同局部，既是小圓柱外表的線也是大圓柱外表的線，因此相貫線的側(cè)面投影即是小圓的側(cè)面投影，相貫線的程度投影即是小圓柱的程度投影與大圓柱積聚的圓上共有局部的一段圓弧。由此分析可知，只需求解相貫線的正面投影即可。圓弧是由假設(shè)干點(diǎn)連接而成。這里必須注意的是兩曲面立體上的特殊點(diǎn)，這些相貫線上的控制點(diǎn)包括：曲面立體輪廓線上的點(diǎn)；可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界點(diǎn)；相貫線上最上、最下、最左、最右、最前及最后的點(diǎn)；控制相貫線走向和形狀的點(diǎn)。作圖求解過(guò)程中，先根據(jù)積聚投影在左視圖中標(biāo)出小圓柱上最上的點(diǎn)1""、最下的點(diǎn)2""、最前的點(diǎn)4""和最后的點(diǎn)3""，根據(jù)點(diǎn)的三面投影的作圖方法作出1、2、4、3，再作出正面投影1"、2"、4"〔3"〕，再根據(jù)要求作出假設(shè)干中間點(diǎn)Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ的正面投影，然后判斷可見(jiàn)性，連接成光滑曲線，最后補(bǔ)全圖形。尤其要注意的是可見(jiàn)性的判斷問(wèn)題和補(bǔ)全圖形的問(wèn)題，需要明確可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界點(diǎn)，只有在兩個(gè)立體共同的可見(jiàn)外表上才是可見(jiàn)的，在此例中1"和2"是可見(jiàn)性分界點(diǎn)。要結(jié)實(shí)掌握曲面立體的投影特性；補(bǔ)全圖形時(shí)注意分析和判斷曲面立體參與相交的輪廓線上的臨界點(diǎn)和沒(méi)有參與相交的輪廓線是否被遮擋。

〔二〕輔助平面法舉例

圓柱體的投影具有積聚性，而圓錐體與球體的投影不具有積聚性。因此，輔助平面法的適用條件是，當(dāng)兩立體都不具有積聚性時(shí)，用輔助平面法求解相貫線，其原理是三面共點(diǎn)。如圖2所示，圓錐體投影沒(méi)有積聚性，假設(shè)用程度面作輔助平面，那么輔助平面與圓柱體的交線是一個(gè)圓，與圓錐體的交線也是一個(gè)圓，兩個(gè)交線圓的交點(diǎn)必然是相貫線上的點(diǎn)，即可求解相貫線上的系列點(diǎn)。此時(shí)需牢記緯圓法求解圓錐體和球體外表點(diǎn)的方法。假設(shè)用鉛垂面作輔助平面，輔助平面與圓柱體的交線是矩形，與圓錐體的交線是三角形，此時(shí)需牢記素線法求解圓錐體外表點(diǎn)的方法。

求解時(shí)，首先進(jìn)展形體分析，該形體是由圓柱體和圓錐體相交而成，不對(duì)稱構(gòu)造，圓柱體的局部參與相貫，為互貫，相貫線為一條空間曲線，由于兩立體下底面共面，因此不封閉。再進(jìn)展投影分析，圓柱的程度投影積聚為一個(gè)圓，相貫線的程度投影在圓錐的程度投影與圓柱積聚投影的共同局部的圓弧上，只需求解相貫線的正面投影。用輔助平面法求解，輔助平面只能在兩立體投影的共同范圍內(nèi)選取，否那么失去意義。如圖2〔a〕所示用程度面作輔助面，相貫線上的點(diǎn)為兩個(gè)圓截交線的交點(diǎn)；如圖2〔b〕所示，用鉛垂面作輔助面，相貫線上的點(diǎn)為矩形和三角形截交線的交點(diǎn)。相貫線上的可見(jiàn)性分界點(diǎn)的判斷尤為重要，由于圓柱的軸面在前，圓錐的軸面在后，因此可見(jiàn)性分界點(diǎn)3在圓柱的最右邊輪廓線上，連線時(shí)3"之前的點(diǎn)連成實(shí)線，之后的點(diǎn)連成虛線。同時(shí)相貫線上的特征點(diǎn)是兩立體下底面的交點(diǎn)1和2、圓柱最后輪廓線上的點(diǎn)4和相貫線上的最高點(diǎn)5。再求解假設(shè)干一般點(diǎn)，連接成光滑曲線。最后要注意的是，補(bǔ)全圖形，圓錐左邊輪廓線與圓柱重影的局部需要擦去；圓柱最上輪廓線和最右輪廓線與圓錐重影局部需擦去。

〔三〕輔助球面法舉例

當(dāng)球體與其他回轉(zhuǎn)體相交時(shí)，如圖3〔a〕所示，只要球心在回轉(zhuǎn)體的軸線上，其相貫線必然是與回轉(zhuǎn)軸相垂直的圓。因此，輔助球面法的適用條件是，當(dāng)兩曲面體都是回轉(zhuǎn)體且軸線相交并平行于同一投影面時(shí)，用輔助球面法求解相貫線，其根本原理也是三面共點(diǎn)。這里需注意的是輔助球面半徑大小范圍的選擇，輔助球面必須同時(shí)與兩回轉(zhuǎn)體相交，因此，最大球面極限半徑Rmax是以兩回轉(zhuǎn)體軸線交點(diǎn)為圓心，兩立體輪廓線各交點(diǎn)中最遠(yuǎn)交點(diǎn)的間隔確定；最小極限半徑Rmin是由兩回轉(zhuǎn)體軸線交點(diǎn)為圓心，向兩回轉(zhuǎn)體輪廓線作垂線，其中較長(zhǎng)垂線的長(zhǎng)度確定。一般情況下，可用最小極限半徑確定的輔助球面求解相貫線上某特定方向上的特征點(diǎn)【7】。

如圖3〔b〕所示，首先形體分析，該形體是由斜置圓柱體和圓臺(tái)相貫而成，圓柱的柱面全部參與相交，為全貫，沒(méi)有貫穿，因此只有一條相貫線，為空間閉合曲線。兩軸線相交，且同時(shí)平行于正立投影面，前后對(duì)稱形體。再進(jìn)展投影分析，兩立體投影都不具有積聚性。用輔助球面法求解，最大極限半徑為兩軸線交點(diǎn)到兩立體輪廓線的交點(diǎn)，最小極限半徑是兩軸線交點(diǎn)與圓臺(tái)輪廓線的垂線。輔助球面與圓臺(tái)交線是程度圓，與圓柱交線是正垂圓，兩圓交點(diǎn)即為相貫線上的點(diǎn)，在兩極限半徑之間作假設(shè)干輔助球面，作出假設(shè)干中間點(diǎn)，連成光滑曲線，相貫線正面投影均可見(jiàn)，需要明確程度投影的可見(jiàn)性分界點(diǎn)，是圓柱最前最后輪廓線與最小極限半徑確定的輔助球面與圓柱面交線的交點(diǎn)，其上面的點(diǎn)連接可見(jiàn)，下面的點(diǎn)連接不可見(jiàn)。最后，補(bǔ)全圖形，主視圖擦去圓柱輪廓線與圓臺(tái)輪廓線的重影局部；俯視圖將圓柱最前和最后的輪廓線畫(huà)至可見(jiàn)性分界點(diǎn)，將圓臺(tái)下底面重影局部畫(huà)成虛線。

綜上所述,求解兩曲面立體的相貫線，通過(guò)形體分析和投影分析，選擇適宜的求解方法。要從根本概念入手，熟悉各方法的適用條件、投影特性和解題步驟,尤其注意特征點(diǎn)的判斷和補(bǔ)全圖形的繪圖，理清思路，前后融會(huì)貫穿，加強(qiáng)練習(xí)，逐步做到純熟掌握、得心應(yīng)手。

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