2023屆高三新高考數(shù)學(xué)試題一輪復(fù)習(xí)專題7.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 教案講義 （Word解析版）

共13頁/第頁7.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示課標(biāo)要求考情分析核心素養(yǎng)1.了解平面向量的基本定理及其意義；2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.該專題一般不單獨(dú)命題，但與其它知識(shí)結(jié)合考查數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀想象1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有使a=λ1e1+λ2e22.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.(2)向量加法、減法、數(shù)乘及數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)a=x1,y1，b=xa=x12+(3)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)Ax1,y1，3.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a=x1,y1，b=x21.不共線的兩個(gè)向量可作為一組基底,基底可以有無窮多組;0不能作為基底;基底一旦確定,分解方式唯一;2.若a與b不共線,λa+μb=03.向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系，兩個(gè)相等的向量，無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.4.定比分點(diǎn)公式(1)向量形式：設(shè)D為△ABC一邊BC上一點(diǎn),設(shè)BD=(2)坐標(biāo)形式：已知兩點(diǎn)Ax1,y1，Bx21.【P35T5多選】當(dāng)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

)A.43,2 B.43,32.【P27T3】如圖所示△ABC中，AB=a，AC=b，2AE=AB，3AF=AC.線段BF，CE相交于點(diǎn)P．

(1)用向量a與b表示BF及CE;考點(diǎn)一平面向量基本定理及其應(yīng)用【方法儲(chǔ)備】應(yīng)用平面向量基本定理表示向量,實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算。用平面向量基本定理解決問題的一般思路:角度1用基底表示平面向量【典例精講】例1.(2022·天津市期中)如圖，在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，E為CD的中點(diǎn)，設(shè)AB=a，AC=b，以向量a，b為基底，則向量AEA.12a+b B.14a【名師點(diǎn)睛】本題考查向量的四則運(yùn)算，向量在幾何中的應(yīng)用，利用向量的加減法運(yùn)算法則，化簡求解即可．【靶向訓(xùn)練】練1-1(2021·山東省青島市期末.多選)設(shè)e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則以下a，b可作為該平面內(nèi)一組基底的(

)A.a=e1+e2，b=e1B.a=2練1-2(2022·浙江省模擬)如圖，F(xiàn)為線段BC的中點(diǎn)，CE=2EF，DF=35AF，設(shè)AC=a，AB=b，試用a，b表示AE，AD，BD角度2平面向量基本定理的應(yīng)用【典例精講】例2.(2022·山東省淄博市期中.多選)

等邊三角形ABC中，BD=DC，EC=2AE，AD與BE交于F，則下列結(jié)論正確的是A.AD=12(AB+AC)B.【名師點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算以及平面向量基本定理的應(yīng)用.【靶向訓(xùn)練】練1-3(2022·河南省鄭州市模擬)正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是DC，BC的中點(diǎn)，那么EF=(

)A.12AB+12AD練1-4(2022·山東省泰安市期末)如圖，在△ABC中，BD=13BC，點(diǎn)E在線段AD上移動(dòng)(不含端點(diǎn)若AE=λAB+μAC，則λμ=

考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【方法儲(chǔ)備】1.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題步驟2.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式3.平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的常見類型及解題策略【特別提醒】利用向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行,也可以由向量平行求參數(shù),當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均為非零實(shí)數(shù)時(shí),也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來求解.角度1平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【典例精講】

例3.(2022·全國乙卷文科)已知向量a=(2,1)，b=(-2,4)，則|aA.2 B.3 C.4 D.5【名師點(diǎn)睛】本題主要考查向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及向量模的坐標(biāo)運(yùn)算．【靶向訓(xùn)練】練2-1(2022·浙江省臺(tái)州市期中)已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量AC=(-4,-3)，則向量BC=(

)A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)練2-2(2022·浙江省模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)O(0,0)，P(6,8)，將向量OP繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)3π4后得向量OQ，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(

)A.(-72,-2) B.(-72,角度2向量平行(共線)的坐標(biāo)表示【典例精講】例4.(2022·廣東省茂名市月考)已知a=(1,0)，b(1)當(dāng)k為何值時(shí)，ka-b與(2)若AB=2a+3b，BC→=a→+m【名師點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量共線的充要條件．

(1)結(jié)合已知易得ka-b=k-2,-1,a+2b=5,2，再結(jié)合向量共線定理可得2(k-2)-(-1)×5=0，解方程即可求出k的值；(2)【靶向訓(xùn)練】練2-3(2021·湖南省邵陽市期中)已知向量a=(1,2),b=(-2,m)，若a//bA.-1 B.-4 C.4 D.1練2-4(2022·山東省臨沂市期中)已知向量a=(1,2)，b=(2,-2)，c=(1,λ).若c//(2a+角度3定比分點(diǎn)坐標(biāo)表示【典例精講】例5.(2021·福建省福州市模擬)設(shè)D,E,F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且DC=2CE=2EA,AF=2FBA.互相垂直B.同向平行C.反向平行D.既不平行也不垂直【名師點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的共線定理與定比分點(diǎn)的應(yīng)用問題，是中檔題目．根據(jù)平面向量基本定理和向量的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，將AD，BE，CF分別表示出來，再進(jìn)行運(yùn)算，即可得出結(jié)論．

【靶向訓(xùn)練】練2-5(2021·江蘇省蘇州市模擬.多選)在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知OA=(-1,4)，OB=(8,-5)，若P是線段AB的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(

)A.(2,1) B.(3,0) C.(4,-1) D.(5,-2)練2-6(2022·遼寧省模擬)(1)若a,b是不共線的兩個(gè)向量，設(shè)OAOC=a+mb((2)已知A(1,1),B(5,9)，點(diǎn)C為線段AB上靠近B的四等分點(diǎn)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．考點(diǎn)三坐標(biāo)法在向量中的應(yīng)用【方法儲(chǔ)備】1.建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量間的關(guān)系，或者具體圖形的結(jié)構(gòu)特征，給向量賦予坐標(biāo)，再進(jìn)行向量間的運(yùn)算，凸顯向量的代數(shù)特征.2.向量與三角函數(shù)、解析幾何、函數(shù)等結(jié)合考查時(shí)，難度較大，往往選擇將向量坐標(biāo)化，轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決.【典例精講】例6.(2022·湖北省襄陽市模擬)如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量OA，OB，OC的模分別為1，1，2，OA與OC的夾角為α，且tanα=7，OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB(m,n∈R)，則m+n=【名師點(diǎn)睛】建立適當(dāng)平面直角坐標(biāo)系，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系和兩角和差的三角函數(shù)的公式求得各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到關(guān)于m，n的方程組，求得m，n的值．【靶向訓(xùn)練】練3-1(2022·山東省菏澤市模擬)如圖，在長方形ABCD中，M，N分別為線段BC，CD的中點(diǎn)，若MN=λ1AM+λ2BN，λ練3-2(2022·湖北省聯(lián)考)已知四邊形ABCD為矩形，AB=2，AD=1，動(dòng)點(diǎn)P滿足|CP|=1，若AP=xAB+yAD則2x+y核心素養(yǎng)系列數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算——平面向量與三角形的四心向量具有代數(shù)與幾何形式的雙重身份，它是聯(lián)系多個(gè)知識(shí)的媒介，因此理所當(dāng)然的成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，因此，將平面幾何與平面向量融合交匯是新課程高考命題改革的一個(gè)發(fā)展方向和創(chuàng)新的必然趨勢．【方法儲(chǔ)備】1.四心的概念介紹2.四心與向量的結(jié)合(1)重心的向量形式①GA+GB+②PG=13PA+PB③若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為Ax1,y1,Bx(2)內(nèi)心的向量形式①設(shè)a,b,c是△ABC的三條邊長,O是②P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn),若AP=λABAB+ACAC,λ>0(3)垂心的向量形式OA?OB(4)外心的向量形式OA=OB=【典例精講】例7.(2022·山東省煙臺(tái)市模擬.多選)對(duì)于給定的△ABC，其外心為O，重心為G，垂心為H，則下列結(jié)論正確的是(

)AOB.OA?OB=OA?OC=OB?OC

C.過點(diǎn)G的直線l交AB、AC于E、F，若【名師點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的綜合應(yīng)用，涉及了三角形外心、重心、垂心的應(yīng)用，屬于拔高題．

利用向量數(shù)量積的定義即可判斷選項(xiàng)A，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算法則將OA?OB=OA?OC變形，得到OA⊥BC，利用三角形的外心的定義即可判斷選項(xiàng)B，利用平面向量基本定理的推論即可判斷選項(xiàng)C，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算和向量垂直的條件可判斷【靶向訓(xùn)練】練4-1(2021·甘肅省蘭州市期末)在△ABC中，設(shè)AC2-AB2=2AM?BC，則動(dòng)點(diǎn)A.垂心 B.內(nèi)心 C.重心 D.外心練4-2(2022·安徽省合肥市期中)若G是△ABC的重心，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若aGA+bGB+A.90° B.60° C.45° D.30°

易錯(cuò)點(diǎn)1．平面向量基本定理理解錯(cuò)誤例8.(2022·福建省福州市模擬)若α，β是一組基底，向量γ=xα+yβ(x,y∈R)，則稱(x,y)為向量γ在基底α,β下的坐標(biāo)．現(xiàn)已知向量a在基底p=(1,-1)，q=(2,1)下的坐標(biāo)為(-2,2)，則a在另一組基底m=(-1,1)，A.(2,0) B.(0,-2) C.(-2,0) D.(0,2)易錯(cuò)點(diǎn)2．混淆點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)致錯(cuò)例9.(2021·遼寧省期中)已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2)，B(-1,-2)，C(3,1)，且BC=2AD，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(

)A.(2,72) B.(2,-1易錯(cuò)點(diǎn)3．記錯(cuò)兩個(gè)向量平行(共線)的坐標(biāo)關(guān)系例10.(2022·山東省臨沂市模擬)已知向量a=(x,1),b=(4,x),則“x=2”是“a//A.必要不充分條件 B.充分不必要條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件答案解析【教材改編】1.【解析】由題意，設(shè)Px,y，∵P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，∴P1P=2即x=8-2xy-1=8-2y或x=2-x2y-1=2-y2,解得2.【解析】(1)由題設(shè)，BF=BA+AF=13AC-AB=13b-a，

CE=CA+AE=12AB-AC=12a-b．【考點(diǎn)探究】例1.【解析】因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，則AE=12(AD+AC).因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，則AD=12AB．

所以練1-1.【解析】對(duì)A，因?yàn)閍不能用b表示，所以a，b不共線，故A符合題意；

對(duì)B，因?yàn)閎=14a，所以a，b共線，故B不符合題意；

對(duì)C，因?yàn)閍不能用b表示，所以a，b不共線，故C符合題意；

對(duì)D，因?yàn)閍不能用b表示，所以a，b不共線，故D練1-2.【解析】因?yàn)镃B=AB-AC=b-a，CE=23CF=13CB=1例2.【解析】如圖，

等邊三角形ABC中，BD=DC，D是BC中點(diǎn)，所以AD=12(AB+AC)，A正確；

EC=2AE，所以BE=BC+CE=BC+23CA=BC+23(BA-BC)=13BC練1-3.【解析】∵E，F(xiàn)分別是DC，BC的中點(diǎn)，

∴EF=12練1-4.【解析】因?yàn)樵凇鰽BC中，點(diǎn)E在線段AD上移動(dòng)(不含端點(diǎn))，

所以設(shè)AE=mAD(0<m<1)．

因?yàn)锽D=13BC，

所以AE=m(AB+13BC)=m[AB+13(BA+AC)]，即

例3.【解析】∵a=(2,1)，b=(-2,4)，∴故選D.練2-1.【解析】設(shè)C(x,y)，因?yàn)锳(0,1)，AC=(-4,-3)，所以x=-4,y-1=-3,

解得x=-4,y=-2,所以C(-4,-2)，又B(3,2)，所以BC=(-7,-4)練2-2.【解析】設(shè)∠POx=α，

因?yàn)镻(6,8)，所以O(shè)P=(10cosα,10sinα)，所以cosα=35，sinα=45，例4.【解析】(1)ka-b因?yàn)閗a-b與a+2b(2)因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以AB=λBC(λ∈R)，即2a+3練2-3.【解析】∵a//b；∴1?m-(-2)?練2-4.【解析】∵向量a=(1,2)，b=(2,-2)，∴2a+b=(4,2)，∵c=(1,λ)，c例5.【解析】如圖所示，

△ABC中，DC=2BD，CE=2EA，AF=2FB，

根據(jù)定比分點(diǎn)的向量式，得

AD=AC+2AB1+2=13故選C．練2-5.【解析】∵OA=(-1,4)，OB=(8,-5)，∴AB=OB-OA=(9,-9)，

∵P是線段AB的三等分點(diǎn)，∴AP=13AB或AP=23AB，

則AP=13(9,-9)=(3,-3)或AP練2-6.【解析】(1)由題意得，AB=OB-OA=(2a-b)-(3a+b)=-a-2b，

BC=OC-OB=(a+mb)-(2a-b)=-a+(m+1)b，

∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴AB，BC共線，∴m+1=-2例6.【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(1,0)，

由OA與OC的夾角為α，且tanα=7，∴cosα=152，sinα=752，∴C(1∴B(-35,45)．

解得n=74，m=54，則m+n=3練3-1.【解析】設(shè)AB=a，AD=ba≠0,b≠0，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立如圖所示坐標(biāo)系，

則A0,0，Ba,則MN=-12a即-1則-12a=λ1a-12λ2a練3-2.【解析】建系如圖

設(shè)C(0,0)，D(2,0)，A(2,1)，B(0,1)，P(c