實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法誤差理論和最小二乘法市公開(kāi)課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第二部分試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析第五章誤差理論與最小二乘法第六章回歸分析第七章多變量分析第八章功率譜與周期分析試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法教材：《天文數(shù)據(jù)處理方法》：丁月蓉編著

主要參考書(shū)：《試驗(yàn)數(shù)學(xué)處理》：李惕陪著教學(xué)方法：基本理論

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詳細(xì)實(shí)例

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上機(jī)實(shí)習(xí)(課后)1試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第1頁(yè)第五章誤差理論與最小二乘法天文學(xué)很多理論是以天文觀察為基礎(chǔ)，如地球自轉(zhuǎn)理論、人造衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)理論等都離不開(kāi)天文觀察。人們經(jīng)過(guò)對(duì)某一天文量(靜態(tài)或動(dòng)態(tài))直接或間接觀察，取得大量數(shù)據(jù)。而任何觀察都不可防止含有誤差。所以，當(dāng)我們?cè)诶糜^察結(jié)果時(shí)，必須分析這些數(shù)據(jù)可靠程度：只有當(dāng)它們誤差在我們?cè)试S范圍之內(nèi)時(shí)，我們才能放心大膽去使用它，不然則不能使用。

誤差研究不論是對(duì)生產(chǎn)實(shí)踐還是基礎(chǔ)理論研究都有著主要意義！2試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第2頁(yè)例1：因?yàn)榕ｎD在其最初計(jì)算中使用了含有較大誤差地球半徑值，使得他測(cè)得月球加速度值和理論計(jì)算值相差約10％，因而推遲了發(fā)表他引力理論！例2：愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論觀察證實(shí)：19愛(ài)因斯坦在德國(guó)《物理學(xué)紀(jì)事》上發(fā)表了含有劃時(shí)代意義主要文件《廣義相對(duì)論基礎(chǔ)》。文章指出，當(dāng)光線行經(jīng)太陽(yáng)附近時(shí)，光線產(chǎn)生彎曲，其彎曲曲率預(yù)計(jì)為=1.”75，而19他用經(jīng)典方法得到=0.”9，相差兩倍。假如觀察能測(cè)得在1.”75附近，這將證實(shí)他廣義相對(duì)論是正確，假如測(cè)得值是在經(jīng)典值附近，則將否定其理論。幸好19英國(guó)天文學(xué)家愛(ài)丁頓爵士在西非幾內(nèi)亞灣普林西比島日全食觀察中測(cè)得＝1.”610.”30；與此同時(shí)有些人在巴西東北海岸外索伯雷爾日食觀察中測(cè)得＝1.”980.”12。這兩個(gè)結(jié)果與廣義相對(duì)論預(yù)言值相近，遠(yuǎn)大于經(jīng)典理論值，強(qiáng)有力證實(shí)了廣義相對(duì)論正確性!假如他們當(dāng)初觀察誤差很大，置信度很低，以致于和理論值相差甚遠(yuǎn)，那么也就極難由此來(lái)驗(yàn)證這個(gè)理論了。由此可見(jiàn)，觀察和誤差分析對(duì)基礎(chǔ)理論研究起了一個(gè)不可估量作用!3試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第3頁(yè)最小二乘法是用來(lái)處理含有誤差觀察數(shù)據(jù)一個(gè)有效方法，也是最早用于天文觀察資料處理一個(gè)數(shù)學(xué)工具。早在l794年，高斯為了利用小行星坐標(biāo)屢次觀察準(zhǔn)確地推算小行星軌道，第一次應(yīng)用了最小二乘法。18勒讓德應(yīng)用測(cè)量平差方法確定了彗星軌道和地球子午線弧長(zhǎng)。18高斯又推證了誤差概率定律，從而使最小二乘法高度完善化，成為數(shù)據(jù)處理中應(yīng)用最廣一個(gè)分支。伴隨概率統(tǒng)計(jì)學(xué)和矩陣?yán)碚摪l(fā)展以及電子計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用，最小二乘法進(jìn)入了近代數(shù)據(jù)處理方法行列。4試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第4頁(yè)誤差是試驗(yàn)科學(xué)術(shù)語(yǔ)，指測(cè)量結(jié)果偏離真值程度。對(duì)任何一個(gè)物理量進(jìn)行測(cè)量都不可能得出一個(gè)絕對(duì)準(zhǔn)確數(shù)值，即使采取測(cè)量技術(shù)所能到達(dá)最完善方法，測(cè)出數(shù)值也和真實(shí)值存在差異，這種測(cè)量值和真實(shí)值差異稱為誤差。(fromWiki)誤差按其表示形式分：絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差誤差按其性質(zhì)及產(chǎn)生原因分：系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差、過(guò)失（人為）誤差

誤差不但存在于測(cè)量值中，計(jì)算時(shí)采取近似理論模型，計(jì)算中一些理論常數(shù)不準(zhǔn)確以及數(shù)值計(jì)算中取位多少等也會(huì)在計(jì)算結(jié)果中產(chǎn)生誤差?！?.1誤差定義與分類5試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第5頁(yè)5.1.1絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差一個(gè)量值給出值絕對(duì)誤差定義為該量值給出值與其真值之差，或用公式表示為：

絕對(duì)誤差＝給出值-真值公式中給出值假如是被測(cè)量觀察結(jié)果，則對(duì)應(yīng)誤差為觀察誤差；假如給出值是某量計(jì)算近似值，則對(duì)應(yīng)誤差為計(jì)算近似值誤差。式中真值是被測(cè)量本身真實(shí)大小，它是一個(gè)理想概念：普通說(shuō)來(lái)，真值是未知，通慣用約定值來(lái)代替。比如某一系統(tǒng)天文常數(shù)也可看作對(duì)應(yīng)量值真值。從絕對(duì)誤差定義式不難看出，絕對(duì)誤差和被測(cè)量含有相同量綱。所以，若說(shuō)一顆星其位置誤差為0."1，測(cè)時(shí)統(tǒng)計(jì)誤差為0."0001，都是指絕對(duì)誤差。6試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第6頁(yè)我們把誤差反號(hào)值定義為修正值，則可得：真值＝給出值-誤差＝給出值+修正值這表明，帶有誤差給出值加上修正值后可消除或減小誤差影響。在有些情況下用絕對(duì)誤差來(lái)表示測(cè)量精度是不恰當(dāng)：如當(dāng)前衛(wèi)星激光測(cè)距準(zhǔn)確度(測(cè)量值與被測(cè)量真值之間偏離程度)已達(dá)cm級(jí)，衛(wèi)星距離普通為103km量級(jí)；但假如我們測(cè)定是恒星距離(這里指離太陽(yáng)在20pc以內(nèi)恒星)，用三角視差法普通可準(zhǔn)確到0.”02，相當(dāng)于2pc測(cè)距誤差，顯然它和衛(wèi)星測(cè)距誤差是無(wú)法直接比較！但假如我們引入相對(duì)誤差概念，它們測(cè)距誤差就有了可比性。7試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第7頁(yè)被測(cè)量絕對(duì)誤差?與其真值a之比定義為這個(gè)量相對(duì)誤差，并用下式表示：當(dāng)誤差較小時(shí)，相對(duì)誤差式中真值a可用給定值代替。對(duì)于上面例子，它們測(cè)距相對(duì)誤差分別為1×10和1×10-1。

即三角視差測(cè)量相對(duì)誤差反而要比衛(wèi)星激光測(cè)距相對(duì)誤差??！8試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第8頁(yè)由觀察環(huán)境原因差異、儀器性能、不一樣觀察者等原因造成按某一確定規(guī)律改變誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差大小和符號(hào)在屢次重復(fù)觀察中幾乎相同，通常使觀察值往一個(gè)方向偏離。另外，這種誤差能夠歸結(jié)為某一原因或某幾個(gè)原因函數(shù)，而這種函數(shù)通常能夠用解析公式表示出來(lái)。人們總是設(shè)法找出代表系統(tǒng)誤差解析表示式，然后在觀察結(jié)果中扣除。由一些難以控制隨機(jī)原因造成，絕對(duì)值和符號(hào)改變時(shí)大時(shí)小、時(shí)正時(shí)負(fù)，以不可預(yù)測(cè)方式改變誤差稱為隨機(jī)誤差。即使就其個(gè)體而言，隨機(jī)誤差沒(méi)有規(guī)律、不可預(yù)料，但就其總體而言，伴隨觀察次數(shù)增加，它又服從某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律。下面我們將從概率論角度出發(fā)討論隨機(jī)誤差所滿足統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

5.1.2系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和過(guò)失誤差

9試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第9頁(yè)古典誤差理論認(rèn)為，隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布，所以我們能夠用正態(tài)分布密度曲線來(lái)表征隨機(jī)誤差，隨機(jī)誤差分布密度曲線可表為：

其被稱為高斯誤差方程，其對(duì)應(yīng)圖形也常被稱為高斯誤差曲線。式中稱為精密度指數(shù)，=x-a,

為隨機(jī)誤差均方差。高斯誤差方程普通表示式：10試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第10頁(yè)隨機(jī)誤差有以下統(tǒng)計(jì)特征，當(dāng)觀察樣本足夠大時(shí)：(1)絕對(duì)值相等、符號(hào)相反正負(fù)誤差近于相等。所以，隨機(jī)誤差算術(shù)平均值伴隨觀察次數(shù)增加愈來(lái)愈小，以零為極限。(2)誤差概率與誤差大小相關(guān)，絕對(duì)值小誤差出現(xiàn)概率比絕對(duì)值大誤差出現(xiàn)概率大，絕對(duì)值很大誤差出現(xiàn)概率很小。依據(jù)隨機(jī)誤差這些特征，當(dāng)不存在系統(tǒng)誤差影響時(shí)，屢次測(cè)量結(jié)果平均值將更靠近于真值。隨機(jī)誤差產(chǎn)生原因很多，觀察時(shí)環(huán)境原因微小改變，設(shè)備中熱噪聲等都是產(chǎn)生隨機(jī)誤差主要原因。11試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第11頁(yè)實(shí)際上，系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差之間并沒(méi)有顯著界限有時(shí)，我們把一些含有復(fù)雜規(guī)律但暫末掌握系統(tǒng)誤差都看成隨機(jī)誤差處理。而伴隨人們對(duì)誤差及其規(guī)律認(rèn)識(shí)加深，就有可能把這些以往認(rèn)識(shí)不到因而歸之于隨機(jī)誤差這類誤差確認(rèn)為系統(tǒng)誤差。反之，在一個(gè)較短時(shí)期內(nèi)可能展現(xiàn)出某種規(guī)律，故而歸為系統(tǒng)誤差，但經(jīng)過(guò)一段較長(zhǎng)時(shí)間觀察，發(fā)覺(jué)這種改變規(guī)律破壞了，并展現(xiàn)出隨機(jī)性，這就是說(shuō)，伴隨時(shí)間推移，兩種不一樣性質(zhì)誤差有可能相互轉(zhuǎn)化。過(guò)失（人為）誤差是指測(cè)量結(jié)果與事實(shí)顯著不符一個(gè)誤差。如觀察時(shí)對(duì)錯(cuò)星或觀察過(guò)程中望遠(yuǎn)鏡/統(tǒng)計(jì)儀器小故障等過(guò)失原因造成結(jié)果異常。這種誤差普通比較輕易發(fā)覺(jué)，而且只要觀察人員認(rèn)真細(xì)致，基本上是能夠防止。12試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第12頁(yè)數(shù)據(jù)處理中一個(gè)很主要方面是評(píng)定一列觀察值可靠程度。它是指觀察結(jié)果與真值一致程度，是觀察結(jié)果中系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差大小綜合度量，慣用準(zhǔn)確度這個(gè)詞來(lái)表征。在消除了系統(tǒng)誤差之后，觀察可靠程度由隨機(jī)誤差大小來(lái)衡量。一列觀察值精度高低必須從全列觀察值誤差來(lái)衡量，而不能只依據(jù)個(gè)別值誤差來(lái)判斷。另外，觀察目標(biāo)是要從一列觀察值中確定(直接地或間接地)被測(cè)量真值，但因?yàn)橛^察伎倆和觀察次數(shù)限制，真值實(shí)際上是測(cè)不到，只能得到它一個(gè)近似值或預(yù)計(jì)值。在天文學(xué)中通常把最靠近于被測(cè)量真值一個(gè)近似值稱為它們最或然值，所以，數(shù)據(jù)處理又一個(gè)主要問(wèn)題是給出被測(cè)量最或然值及其精度。最或然值精度是衡量觀察結(jié)果精度和處理方法有效性綜合指標(biāo)。§5.2觀察精度13試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第13頁(yè)標(biāo)準(zhǔn)偏差(又稱均方誤差)是用來(lái)衡量一列觀察值精度高低一個(gè)很好指標(biāo)。設(shè)為被測(cè)量一組觀察值，a為被測(cè)量真值，且｛xi｝中只包含隨機(jī)誤差，則稱為｛xi｝真誤差，我們定義真誤差平方算術(shù)平均值平方根為這列觀察值標(biāo)準(zhǔn)偏差或標(biāo)準(zhǔn)誤差，天文上又常稱之為中誤差，并用表示，即：

這里定義標(biāo)準(zhǔn)誤差和統(tǒng)計(jì)學(xué)中從方差正平方根定義標(biāo)準(zhǔn)差是一致，因?yàn)閺母怕收摻嵌葋?lái)說(shuō)，xi真值可用其數(shù)學(xué)期望表示。5.2.1精度標(biāo)準(zhǔn)14試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第14頁(yè)下面我們來(lái)說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)偏差大小為何能夠用來(lái)衡量一列觀察值精度高低：由正態(tài)分布性質(zhì)可知，觀察值xi在（a，a+）區(qū)間上概率，或說(shuō)i出現(xiàn)在（，+）范圍內(nèi)概率為68.3%,已知1

2.則區(qū)間（a1，a+1）小于（a2,a+2），也就是說(shuō)=1觀察數(shù)據(jù)在a周圍分布較密集，而=２觀察值在a周圍分布較分散，即標(biāo)準(zhǔn)偏差

大小能夠衡量一列觀察值在真值周圍分布密度程度，而這種密集程度是含有概率含義，即誤差在（，+）內(nèi)置信水平是68.3%。15試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第15頁(yè)下表列出了一些慣用置信水平誤差限：置信水平誤差限置信水平誤差限50.0%68.3%95.0%0.6741.01.9695.5%99.0%99.7%22.583可見(jiàn)，誤差落在3中概率為99.7％,亦即絕對(duì)值大于3誤差僅有0.3%,這顯然是一個(gè)小概率事件。所以在有限次觀察中，誤差值大于3觀察值可能含有過(guò)失誤差，應(yīng)考慮舍去該觀察值;當(dāng)然,也有可能這個(gè)值并不含有過(guò)失誤差,如舍去它會(huì)犯“棄真”錯(cuò)誤，但這種誤差最大約率也只有0.3%。這種取舍觀察值標(biāo)準(zhǔn)稱為拉依達(dá)準(zhǔn)則或簡(jiǎn)稱為3準(zhǔn)則。

16試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第16頁(yè)高斯函數(shù)性質(zhì)17試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第17頁(yè)在比較兩個(gè)觀察結(jié)果時(shí)，應(yīng)在相同置信水平上比較它們誤差限，誤差限較小觀察較準(zhǔn)確，為了說(shuō)明觀察精度，通常把觀察結(jié)果報(bào)導(dǎo)為(置信水平)。凡是沒(méi)有注明置信水平，普通均指＝68.3％，對(duì)應(yīng)誤差限即為標(biāo)準(zhǔn)誤差。

在上述各式中，真值a(或x)通常是未知，所以真誤差也是未知，通慣用被測(cè)量最或然值或真值預(yù)計(jì)值代替真值，觀察值與其最或然值之差稱為觀察值殘差或離差。標(biāo)準(zhǔn)誤差不取決于觀察中個(gè)別誤差符號(hào)，對(duì)觀察值中較大誤差和較小誤差比較靈敏，是表示精度很好方法。實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)也慣用平均誤差離差絕對(duì)值算術(shù)平均值來(lái)表示精度；也有時(shí)采取概率誤差：即絕對(duì)值比它大誤差和絕對(duì)值比它小誤差出現(xiàn)可能性一樣大，將誤差絕對(duì)值按大小次序排列，序列中位數(shù)即為概率誤差。平均誤差和概率誤差只有當(dāng)N較大時(shí)才較可靠。天體物理中還經(jīng)常采取半峰寬度來(lái)表示觀察精度，所謂半峰寬度，即觀察值分布曲線在極大值半高度處全寬（FullWidthatHalfMaximum)。18試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第18頁(yè)在很多實(shí)際問(wèn)題中,待求量往往不能直接觀察得到，但它們可經(jīng)過(guò)對(duì)其它量觀察，再利用它們之間函數(shù)關(guān)系換算求得：這種情況就稱為間接觀察。間接觀察在天文觀察中是普遍存在，比如：在人造衛(wèi)星定軌預(yù)報(bào)中要測(cè)是衛(wèi)星在某一歷元軌道根數(shù)，但它們不能直接測(cè)得而只能經(jīng)過(guò)測(cè)定衛(wèi)星赤經(jīng)、赤緯換算而得到。對(duì)于間接觀察情況，應(yīng)首先由直接觀察量求出間接觀察量最或然值，然后由直接觀察量精度預(yù)計(jì)出間接觀察量精度。通慣用下面式子表示間接觀察量y與m個(gè)直接觀察量xk(k=1m)關(guān)系：5.2.2誤差傳遞公式19試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第19頁(yè)為了求得間接觀察時(shí)誤差傳遞關(guān)系，需要對(duì)上式進(jìn)行線性化處理假如直接觀察量誤差相對(duì)于它們觀察值來(lái)說(shuō)是較小量，則非線性函數(shù)能夠在各個(gè)觀察值鄰近點(diǎn)上展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，然后取誤差一階項(xiàng)而略去一切高階誤差項(xiàng)：式中為觀察量xk離差，我們把它記為νk。若對(duì)xk(k=1m)各進(jìn)行了N次觀察，設(shè)間接觀察量任一次觀察離差為νy＝y(tǒng)y0，y0＝f(x10，x20，…，xm0),將y＝νy+y0,νk=xkxk0代入上式，可得：直接觀察量xk誤差以形式出現(xiàn)在間接觀察量y誤差中，或說(shuō)間接觀察量y誤差是m個(gè)直接觀察量誤差加權(quán)和，權(quán)重因子稱為y誤差傳遞系數(shù)。

20試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第20頁(yè)設(shè)m個(gè)直接觀察量標(biāo)準(zhǔn)偏差為，依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)偏差定義及隨機(jī)變量方差運(yùn)算法則，可得間接觀察量y標(biāo)準(zhǔn)偏差為：

式中kj為第k個(gè)觀察量與第j個(gè)觀察量相關(guān)系數(shù)。當(dāng)各個(gè)直接觀察量相互獨(dú)立時(shí)，有kj=0,則有：

上式通常稱為獨(dú)立觀察量誤差合成定理。若間接觀察量與直接觀察量關(guān)系為線性關(guān)系時(shí)，即：。則有：此式即為線性情況下標(biāo)準(zhǔn)偏差傳遞公式。21試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第21頁(yè)例：利用IRAF進(jìn)行測(cè)光時(shí)，其會(huì)依據(jù)誤差傳遞以以下公式給出測(cè)光誤差：依據(jù)信噪比定義：S/N=Flux/Err，故1/Merr≈S/N，即IRAF里給出測(cè)光誤差倒數(shù)即為信噪比。除了信噪比會(huì)引發(fā)測(cè)光誤差外，還有很多其它原因也會(huì)帶來(lái)誤差，如減本底、除平場(chǎng)、減暗流等過(guò)程都會(huì)帶來(lái)附加誤差：普通平場(chǎng)精度能夠到達(dá)千分之五左右。目標(biāo)源測(cè)光誤差能夠按以下形式給出：

Eref為多顆比較星測(cè)光誤差平均值，Eobj為目標(biāo)源測(cè)光誤差，Eothers為其它誤差，依據(jù)不一樣情況確定，比如誤差小于千分之五時(shí)候“其它誤差”就可能需要包含平場(chǎng)誤差，再比如比較星定標(biāo)誤差等。22試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第22頁(yè)觀察精度高低是由觀察條件決定，它包含觀察伎倆、儀器精度、觀察次數(shù)、觀察者技術(shù)熟練程度等,所以我們按觀察時(shí)條件把觀察分成兩大類:假如某一列觀察是在完全相同條件下進(jìn)行，則為等精度觀察，所得到序列稱為等精度觀察列；假如某一列觀察是在不一樣條件下進(jìn)行，稱為非等精度觀察，對(duì)應(yīng)觀察序列為非等精度觀察列。

等精度觀察列標(biāo)準(zhǔn)偏差對(duì)于等精度觀察列，能夠用全列觀察值標(biāo)準(zhǔn)偏差來(lái)衡量這列觀察值精度。不過(guò)，因?yàn)橛^察值真誤差普通是未知，為此通慣用觀察值殘差代替真誤差。而對(duì)于一列等精度觀察值來(lái)說(shuō)，被測(cè)量最或然值就是這列觀察值算術(shù)平均值，則有殘差，而真誤差為:5.2.3等精度觀察和非等精度觀察

23試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第23頁(yè)為算術(shù)平均值真誤差，對(duì)上式兩邊求平方和，得：并有：

由線性情況下標(biāo)準(zhǔn)偏差傳遞公式，并將算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差代入上式則得：

整理后得到一等精度觀察列用殘差表示標(biāo)準(zhǔn)偏差公式(這里用高斯符號(hào)[]表示求和)：24試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第24頁(yè)

權(quán)與非等精度觀察列處理非等精度觀察序列情況在天文學(xué)中是很普遍：比如利用觀察星表編制基本星表就是一個(gè)經(jīng)典例子。各種星表中星位都含有誤差；即使是在同一星表中，它所包含星位也不都含有相同標(biāo)準(zhǔn)偏差。它們大多數(shù)和觀察次數(shù)多少相關(guān)，故而大多數(shù)星表中有一欄同時(shí)列出了各恒星觀察次數(shù)，對(duì)應(yīng)精度隨所用觀察數(shù)目標(biāo)增加而增加。所以，在編制基本星表時(shí)，需依據(jù)它們精度高低區(qū)分對(duì)待。在數(shù)據(jù)處理中，通慣用數(shù)值pi表示對(duì)某一觀察結(jié)果xi重視程度，并稱之為權(quán)。觀察值精度高低是和其誤差大小親密相關(guān)：誤差越大,觀察值精度就越低，對(duì)它重視程度也應(yīng)對(duì)應(yīng)減小。在觀察值只包含隨機(jī)誤差情況下，通常定義權(quán)與標(biāo)準(zhǔn)偏差平方成反比。25試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第25頁(yè)設(shè)非等精度觀察列標(biāo)準(zhǔn)偏差分別為1,2…,N

,通常把和最大標(biāo)準(zhǔn)偏差對(duì)應(yīng)觀察值權(quán)定為1，設(shè)1＝maxi(i=1N)，則標(biāo)準(zhǔn)偏差為i觀察值xi權(quán)為：不難看出p1=1，故x1被稱為單位權(quán)觀察值。對(duì)非等精度觀察序列被測(cè)量最或然值需要加權(quán)平均,即:標(biāo)準(zhǔn)偏差公式為:權(quán)只是從相對(duì)意義上表示一個(gè)量準(zhǔn)確程度：我們一樣能夠取和最小i對(duì)應(yīng)觀察值為單位權(quán)觀察值；這時(shí)即使各個(gè)觀察值權(quán)數(shù)值和原來(lái)不一樣了，但這些觀察值權(quán)比值并未改變。有時(shí)為了使全部觀察值權(quán)均為整數(shù)，能夠依據(jù)要求選取單位權(quán)觀察值。26試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第26頁(yè)因?yàn)楸粶y(cè)量真值在有限次觀察中是無(wú)法得到，數(shù)據(jù)處理任務(wù)是經(jīng)過(guò)對(duì)被測(cè)量有限次觀察求出被測(cè)量最靠近于真值量，即被測(cè)量最或然值?！?.3直接觀察量最或然值及其精度5.3.1最小二乘準(zhǔn)則

最小二乘法是求解被測(cè)量最或然值基本方法。按照最或然值定義，它是最靠近于真值值。設(shè)一組觀察值為x1,x2,…,xN

，待求最或然值為x*，則它們殘差為νi=xi-x*(i=1N),最小二乘準(zhǔn)則就是選擇x*，使得殘差平方和為最小。即x*必須滿足：27試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第27頁(yè)對(duì)于一列等精度觀察列，設(shè)由最小二乘準(zhǔn)則求出最或然值為x*，由N個(gè)觀察值可得N個(gè)殘差方程：

νi=xi-x*(i=1N)依據(jù)最小二乘準(zhǔn)則，最或然值x*應(yīng)滿足：由極值原理，有：于是得：設(shè)觀察值標(biāo)準(zhǔn)偏差為，則由上式并利用標(biāo)準(zhǔn)偏差傳遞公式得：5.3.2等精度觀察列最或然值及精度

屢次觀察取平均能夠減小觀察結(jié)果隨機(jī)誤差！28試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第28頁(yè)設(shè)x1,x2,…,xN為一非等精度觀察列，x*為被測(cè)量最或然值，因?yàn)楦鱾€(gè)xi精度不一樣，不能像處理等精度觀察列那樣直接應(yīng)用來(lái)求解x*，而必須先將它轉(zhuǎn)化為等精度觀察列，再利用等精度觀察列最小二乘準(zhǔn)則來(lái)求最或然值及其精度。設(shè)觀察值xi權(quán)為pi，能夠證實(shí)，只要將每個(gè)觀察值乘以對(duì)應(yīng)權(quán)平方根，就能夠把原來(lái)非等精度觀察列轉(zhuǎn)化為一等精度觀察列，與之對(duì)應(yīng)殘差序列為。由最小二乘準(zhǔn)則有：5.3.3非等精度觀察列最或然值及精度

則非等精度觀察列加權(quán)平均值為29試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第29頁(yè)非等精度觀察列最或然值標(biāo)準(zhǔn)偏差為：因?yàn)榉堑染扔^察列中每個(gè)觀察值標(biāo)準(zhǔn)偏差可表示為，則上式又可寫(xiě)為：

其中為單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)偏差，它可按等精度觀察列標(biāo)準(zhǔn)偏差公式計(jì)算，但它對(duì)應(yīng)殘差是，最終得：

實(shí)例30試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第30頁(yè)間接觀察中一個(gè)較普遍情況是觀察量為待求量線性函數(shù)。設(shè)對(duì)直接觀察量進(jìn)行了N次觀察，待求未知量為xk

(k=1m)，則可得N個(gè)觀察方程：假如li沒(méi)有誤差且各方程是獨(dú)立，則由其中m(m＜N)個(gè)方程能夠解出m個(gè)未知量真值。但實(shí)際上觀察值總會(huì)有誤差。假如我們用未知量最或然值代入上式,則觀察量li與待求量最或然值關(guān)系可表示成以下方程組：§5.4間接觀察量最或然值及其精度5.4.1誤差方程

式中ν1,ν2,…,νN分別為l1,l2,…,lN

殘差。31試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第31頁(yè)通常稱以上方程組為誤差方程或條件方程，在這個(gè)方程組中有N個(gè)方程，m+N個(gè)未知量,即使不考慮vi影響，也不能找出嚴(yán)格滿足全部方程解，更何況殘差νi必須要考慮，但它又是未知。所以，要求出未知量必須要有附加條件，而使用最小二乘準(zhǔn)則能得到這個(gè)方程圓滿解。依據(jù)最小二乘準(zhǔn)則，在等精度觀察列情況下，未知量最或然值是使殘差平方和最小那些值，即由極值原理，xk

(k＝1

m)應(yīng)滿足：5.4.2正態(tài)方程

32試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第32頁(yè)即：經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單整理并引用高斯符號(hào)，則由此可得到線性方程組常稱以上方程組為正態(tài)方程或法方程。33試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第33頁(yè)間接觀察另一個(gè)常見(jiàn)情況是觀察值是待求量非線性函數(shù)。比如，人造衛(wèi)星軌道更正中，觀察量是某一歷元衛(wèi)星球面坐標(biāo)，待求量是對(duì)應(yīng)歷元六個(gè)軌道根數(shù)，它們之間關(guān)系是很復(fù)雜非線性關(guān)系；利用甚長(zhǎng)基線(VLBI)觀察測(cè)定地球自轉(zhuǎn)參數(shù)，觀察量是來(lái)自射電源同一波前抵達(dá)VLBI兩個(gè)測(cè)站鐘面時(shí)之差即幾何延遲，待求量是地球自轉(zhuǎn)參數(shù)，它們之間關(guān)系也是很復(fù)雜非線性關(guān)系；又如，利用食雙星光變曲線確定其軌道要素是當(dāng)前測(cè)定食雙星軌道要素惟一方法，而食雙星光變曲線不但和軌道根數(shù)相關(guān)，還依賴于其它一些原因：包含兩顆子星大小、光度、形狀等…所以，利用光變曲線得到食雙星軌道要素(稱為食雙星測(cè)光軌道解)是一個(gè)經(jīng)典復(fù)雜非線性間接觀察問(wèn)題。34試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第34頁(yè)觀察量yi與待求量xk

(k=1m)之間非線性關(guān)系可寫(xiě)為設(shè)x0k為xk近似值(或初值)，并用xk表示xk與其近似值之差。則由上式能夠算出已知待求量近似值函數(shù)y0k，并記yi＝y(tǒng)i

–y0i，對(duì)上式在x0k(k＝1~m)上進(jìn)行泰勒展開(kāi)，并略去xk二次及二次以上項(xiàng)，這么可得：其中(k＝1m)當(dāng)x0k給定時(shí)為己知系數(shù)，下面我們用bik(k＝1m)表示。因?yàn)橛^察值yi有誤差，所以必須考慮yi中誤差，故而得到誤差方程：35試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第35頁(yè)利用最小二乘準(zhǔn)則，可得到法方程：

解此方程得到xk(k＝1m)，分別加上近似值x0k(k＝1m)，就可得待求量最或然值。當(dāng)|xk|較大時(shí)，可將得到xk代替原來(lái)近似值x0k重新算出系數(shù)bik

和yi并解法方程得到新xk。這種過(guò)程能夠重復(fù)迭代，直到最終|xk|值小于給定誤差限為止，這時(shí)最終得到xk即為所求。這種算法常被稱為高斯—牛頓法或泰勒展開(kāi)法，此法在求解過(guò)程中需重復(fù)迭代和修正，逐次迭代結(jié)果將使最終xk更靠近真解。當(dāng)初值選得很好時(shí)，伴隨迭代次數(shù)增加，修正值|k|將越來(lái)越小，即為迭代“收斂”；不然稱迭代“發(fā)散”：迭代得到新值可能比原來(lái)值更遠(yuǎn)離真解，而這種情況在實(shí)際應(yīng)用中時(shí)有發(fā)生，所以初值選取是至關(guān)主要。36試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第36頁(yè)為了求最或然值標(biāo)準(zhǔn)偏差，必須要知道它們與觀察值li標(biāo)準(zhǔn)偏差之間關(guān)系以及l(fā)i標(biāo)準(zhǔn)偏差；要求li標(biāo)準(zhǔn)偏差，首先要求出li殘差，而這只要將從法方程解得未知量最或然值代入誤差方程便可得到。(由殘差求標(biāo)準(zhǔn)偏差公式推導(dǎo)請(qǐng)?jiān)斠?jiàn)書(shū)中敘述)觀察值標(biāo)準(zhǔn)偏差為：其中，N－m稱為自由度，意思是指求解m個(gè)未知量只需在m個(gè)不一樣條件下測(cè)得m個(gè)觀察值；但現(xiàn)有N＞m個(gè)測(cè)得值，故而多測(cè)了N－m個(gè)值。從上面推導(dǎo)可知，用最小二乘法求解未知量時(shí)，為了得到較小標(biāo)準(zhǔn)偏差；通常要求N-

m越大越好。5.4.3最或然值標(biāo)準(zhǔn)偏差

=37試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第37頁(yè)有了觀察值標(biāo)準(zhǔn)偏差后,就能夠求m個(gè)最或然值標(biāo)準(zhǔn)偏差。設(shè)m個(gè)最或然值標(biāo)準(zhǔn)偏差為對(duì)應(yīng)權(quán)分別為，則由非等精度觀察列標(biāo)準(zhǔn)偏差公式能夠得到：式中按觀察值標(biāo)準(zhǔn)偏差公式計(jì)算。pxk計(jì)算可借助法方程求得，即只要將法方程右端項(xiàng)[b1l],[b2l],···,[bml]改為1,0,0,···0，解此法方程得到x1即為；若把法方程右端項(xiàng)分別改為0,1,···,0則由可解得px2。依次類推……

38試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第38頁(yè)§5.5最小二乘曲線擬合天文工作中常碰抵達(dá)樣兩個(gè)問(wèn)題，其一是：y和x是可被觀察天文量,且y是x函數(shù)，它們函數(shù)關(guān)系由公式(曲線)：y＝f(x，ck)(k＝1~m)給出，但式中含有m個(gè)未知參數(shù)ck

(k＝1~m)。我們?nèi)蝿?wù)是依據(jù)y和xN組觀察值尋求參數(shù)ck最正確預(yù)計(jì)?k，進(jìn)而得到以上公式(曲線)詳細(xì)形式最正確預(yù)計(jì)；另一問(wèn)題是：y和x之間函數(shù)形式未知，而需要利用對(duì)y和x觀察求出y和x之間關(guān)系一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式(或經(jīng)驗(yàn)曲線)。39試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第39頁(yè)因?yàn)橛^察值總含有誤差，通常只能用曲線擬合方法由y和x觀察值(yi,

xi)[i=1N]，求得理論曲線或經(jīng)驗(yàn)曲線中參數(shù)預(yù)計(jì)值。曲線擬合特點(diǎn)在于，被確定曲線標(biāo)準(zhǔn)上并不尤其要求真正經(jīng)過(guò)給定全部觀察點(diǎn)，而只要盡可能在絕大多數(shù)觀察點(diǎn)附近經(jīng)過(guò)。這對(duì)于含有誤差觀察來(lái)說(shuō)較之過(guò)全部點(diǎn)曲線擬合更合理，并有利于減小對(duì)未知數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)偏差*。確定表示式中參數(shù)是曲線擬合中基本問(wèn)題。另外，經(jīng)驗(yàn)公式確實(shí)定又是參數(shù)預(yù)計(jì)基礎(chǔ)，但它與客觀實(shí)際聯(lián)絡(luò)緊密，必須結(jié)合專業(yè)知識(shí)并依據(jù)經(jīng)驗(yàn)才能得到很好處理。40試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第40頁(yè)41試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第41頁(yè)最小二乘法（又稱最小平方法）是一個(gè)數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，它經(jīng)過(guò)最小化誤差平方和找到一組數(shù)據(jù)最正確函數(shù)匹配；其是用最簡(jiǎn)方法求得一些絕對(duì)不可知真值，而令誤差平方之和為最??；最小二乘法通慣用于曲線擬合。很多其它優(yōu)化問(wèn)題也可經(jīng)過(guò)最小化能量或最大化熵用最小二乘形式表示。1801意大利天文學(xué)家朱賽普·皮亞齊發(fā)覺(jué)了第一顆小行星谷神星，在40天跟蹤觀察后，谷神星運(yùn)行至太陽(yáng)背后。皮亞齊失去了谷神星位置。隨即全世界科學(xué)家經(jīng)過(guò)皮亞齊觀察數(shù)據(jù)開(kāi)始了尋找谷神星行動(dòng)。不過(guò)大多數(shù)計(jì)算都沒(méi)有結(jié)果，只有當(dāng)初年僅24歲高斯成功計(jì)算出了谷神星軌道，奧地利天文學(xué)家海因里?！W爾伯斯在高斯計(jì)算出軌道上重新發(fā)覺(jué)了谷神星，從此高斯聞名世界。他這個(gè)最小二乘方法發(fā)表在18著作《天體運(yùn)動(dòng)論》中。法國(guó)科學(xué)家勒讓德也于18獨(dú)立創(chuàng)造最小二乘法。1829年，高斯提供了這個(gè)方法較其它方法為優(yōu)證實(shí)：最小二乘法在很大方面上優(yōu)化效果強(qiáng)于其它方法，被稱為高斯-莫卡夫定理。42試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第42頁(yè)理論曲線(或經(jīng)驗(yàn)公式)中參數(shù)預(yù)計(jì)問(wèn)題可用以下數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述：若y是關(guān)于自變量x和待定參數(shù)ck(k=1m)形式已知函數(shù)：y＝f(x,c)。今給出(x,y)N對(duì)觀察值(xi,yi)(i=1N)，要確定參數(shù)ck(k=1m)，使某個(gè)目標(biāo)函數(shù)

取極值(極大值或極小值)。所以曲線擬合就是對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行最優(yōu)化計(jì)算，尋求使目標(biāo)函數(shù)d取極值一組參數(shù)值。目標(biāo)函數(shù)詳細(xì)形式可依據(jù)詳細(xì)問(wèn)題要求來(lái)選取,能夠在非最小二乘意義下確定c使得:5.5.1目標(biāo)函數(shù)和最優(yōu)化43試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第43頁(yè)到達(dá)極小。也能夠在最小二乘意義下求解c，即使目標(biāo)函數(shù)：到達(dá)極小。我們稱這種選取各觀察點(diǎn)殘差平方和作為目標(biāo)函數(shù)擬合為最小二乘曲線擬合最小二乘曲線擬適用擬合2量：

作為目標(biāo)函數(shù)。尋求使2最小參數(shù)c作為參數(shù)預(yù)計(jì)值。其中pi為觀察值yi權(quán)重因子：5.5.2最小二乘曲線擬合44試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第44頁(yè)滿足最小二乘準(zhǔn)則參數(shù)值?可由以下方程組解出，即由：解此參數(shù)最小二乘預(yù)計(jì)?k(k=1~m)?！€性情況：

理論曲線是未知參數(shù)線性情況時(shí)，它普通形式可表示為對(duì)于N組觀察值(xi,yi)，把線性函數(shù)代入上述方程組，則可得到未知參數(shù)c線性方程組：45試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第45頁(yè)比如在m=2且為等精度情況下（2個(gè)未知參數(shù)），方程組化為：已知：y=y0(x)+c1f1(x)+c2f2(x)c1f1(xi)f1(xi)+c2f2(xi)f1(xi)=[yi-y0(xi)]f1(xi)c1f1(xi)f2(xi)+c2f2(xi)f2(xi)=[yi-y0(xi)]f2(xi)解之便能夠得到c1和c2最正確預(yù)計(jì)值46試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第46頁(yè)把參數(shù)預(yù)計(jì)值代入理論關(guān)系式，能夠得到對(duì)應(yīng)各個(gè)自變量xiy預(yù)計(jì)值：線性情況最經(jīng)典例子是：這是標(biāo)準(zhǔn)線性模型，形式簡(jiǎn)單。不過(guò)有些看來(lái)較復(fù)雜模型，經(jīng)常能夠經(jīng)過(guò)變量代換方法簡(jiǎn)化成這么形式。下面我們給出幾個(gè)例子：例1：是一個(gè)多項(xiàng)式模型，盡管觀察值y對(duì)自變量而言是非線性，但它對(duì)參數(shù)是線性，所以仍屬線性問(wèn)題。只要作變量代換：則多項(xiàng)式即可化為標(biāo)準(zhǔn)線性形式47試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第47頁(yè)例2：觀察量y對(duì)自變量x及參數(shù)均為非線性，但經(jīng)過(guò)變量代換仍可化為線性問(wèn)題來(lái)處理。即對(duì)兩邊取導(dǎo)數(shù)，得令，得例3：

這是標(biāo)準(zhǔn)直線模型，解出C0，Cl后，用逆變換求c0，c1：式中Aj，j

(j＝1，2)分別為周期函數(shù)振幅和初相位，它們都是擬合過(guò)程中待預(yù)計(jì)參數(shù)pj為已知周期。48試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第48頁(yè)這個(gè)函數(shù)形式是非線性，但我們亦能夠經(jīng)過(guò)變量變換將其轉(zhuǎn)化為線性：這是以c1,c2,c3,c4參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化模型。由線性情況最小二乘擬合參數(shù)預(yù)計(jì)公式解得參數(shù)c1,c2,c3,c4

后可得周期函數(shù)擬合參數(shù)將它們代入周期函數(shù)公式中即得周期函數(shù)擬合曲線

變量變換方法能夠把看來(lái)較復(fù)雜模型化簡(jiǎn)，且變換既適合用于待定參數(shù)也適合用于觀察量和自變量。這種能經(jīng)過(guò)變量代換方法化為線性模型理論或經(jīng)驗(yàn)公式稱為廣義線性模型。49試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第49頁(yè)思索：若把觀察量y和x進(jìn)行調(diào)換，最終由上式得到最小二乘擬合結(jié)果是否不變？？—對(duì)dy—對(duì)dx—對(duì)(dx2+dy2)1/250試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第50頁(yè)實(shí)例：測(cè)定星系中心大質(zhì)量黑洞質(zhì)量UsingRBLRthecentralmassis:VistheBLRcloudsvelocity(eitherfromFWHMorsLINE)fisadimensionlessfactorthatdependsonthegeometryandkinematicsoftheBLR.

怎樣測(cè)定RBLR?Findingthecentral(blackhole)massisoneofthe“holygrails”ofreverberationmappinginthepastdecade….

(butthesamplemightbebiased….)51試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第51頁(yè)Continuumluminosityvary.BLRrespondtothevariations(viaphotoionization).測(cè)定RBLR：ReverberationMappingTheentireBLRdoesnotrespondatthesametime.AcloudatadistanceRfromthecentralsourceandangleq

tothelineofsightwillappeartorespondafteratime:qLine

ContinuumForathickshellBLRtheresponsetoacontinuumflashwillbe:TimeLineflux52試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第52頁(yè)TimeLightcurvesLineFluxContinuumFluxHbKaspietal.53試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第53頁(yè)BLRsize(RBLR)vs.Luminosity—Botharefundamentalmeasuredquantities.Petersonetal.()compiledallstudiestodate.35objectswithBalmer(mainlyHb)linestimelag.CharacteristicBLRsize=TimeLag*speedoflight.LuminositiesintheOptical,UV,andX-rays.BLRsizefromaveragingallBalmerlinestimelagsperobject.BLRSize–LuminosityRelation測(cè)定

RBLR

進(jìn)而計(jì)算黑洞質(zhì)量更普適方法54試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第54頁(yè)LinearRegressionUncertaintiesinbothquantitiesandIntrinsicscatterintherelationTworegressionmethods:1.FITEXYfromPressetal.(1992)implementedbyTremaineetal.().2.BCES(BivariateCorrelatedErrorsandintrinsicScatter)byAkritas&Bershady(1996).…andalsooutlierpoints…55試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第55頁(yè)HbRBLR–Opticalluminosity(5100A)RBLR

[lLl(5100?)](0.69±0.05)Kaspietal.56試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第56頁(yè)HbRBLR–UVluminosity(1450A)RBLR

[lLl(1450?)](0.56±0.05)Kaspietal.57試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第57頁(yè)—非線性情況：例：溫度為T，面積為A黑體，其輻射波長(zhǎng)為能量可用下式表示：不難看出，這個(gè)理論公式對(duì)參數(shù)而言也是非線性，而且也不能經(jīng)過(guò)變量變換轉(zhuǎn)化為線性形式。

對(duì)于理論公式是待定參數(shù)c非線性函數(shù)情況，最小二乘解?亦應(yīng)滿足準(zhǔn)則；但因?yàn)閷?duì)應(yīng)2量也是c非線性函數(shù)，所以無(wú)法得到關(guān)于?解析解。普通情況下，對(duì)非線性問(wèn)題可使用泰勒展開(kāi)使理論公式線性化，用逐次迭代法求解。58試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_Chap.5第58頁(yè)把函數(shù)y＝f(x,c)在參數(shù)初值c(0)＝(c1(0),c2(0),……,cm(0))附近作泰勒展開(kāi)，略去二次以上高階項(xiàng)，得到關(guān)于參數(shù)c更正值線性函數(shù)：利用線性擬合公式求出參數(shù)c一級(jí)更正值：將上述公式中c(0)換成c(1)，又能夠得到c二級(jí)近似值c(2)＝c(1)+(2)。如此重復(fù)迭代計(jì)算，由r級(jí)近似值c(r)求r+1級(jí)近似值c(r+1)公式為若從迭代第r步到第r+1步參數(shù)c更正值改變很