數(shù)學(xué)分析知識點總結(jié)

.PAGE.>第一章實數(shù)集與函數(shù)§1實數(shù)授課章節(jié)：第一章實數(shù)集與函數(shù)——§1實數(shù)教學(xué)目的：使學(xué)生掌握實數(shù)的根本性質(zhì)．教學(xué)重點：(1)理解并熟練運用實數(shù)的有序性、稠密性和封閉性；(2)牢記并熟練運用實數(shù)絕對值的有關(guān)性質(zhì)以及幾個常見的不等式．〔它們是分析論證的重要工具〕教學(xué)難點：實數(shù)集的概念及其應(yīng)用．教學(xué)方法：講授．〔局部內(nèi)容自學(xué)〕教學(xué)程序：引言上節(jié)課中，我們與大家共同探討了"數(shù)學(xué)分析"這門課程的研究對象、主要內(nèi)容等話題．從本節(jié)課開場，我們就根本按照教材順序給大家介紹這門課程的主要內(nèi)容．首先，從大家都較為熟悉的實數(shù)和函數(shù)開場．[問題]為什么從"實數(shù)〞開場．答："數(shù)學(xué)分析"研究的根本對象是函數(shù)，但這里的"函數(shù)〞是定義在"實數(shù)集〞上的〔后繼課"復(fù)變函數(shù)"研究的是定義在復(fù)數(shù)集上的函數(shù)〕．為此，我們要先了解一下實數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．一、實數(shù)及其性質(zhì)1、實數(shù)．[問題]有理數(shù)與無理數(shù)的表示不統(tǒng)一，這對統(tǒng)一討論實數(shù)是不利的．為以下討論的需要，我們把"有限小數(shù)〞〔包括整數(shù)〕也表示為"無限小數(shù)〞．為此作如下規(guī)定：對于正有限小數(shù)其中，記；對于正整數(shù)則記；對于負(fù)有限小數(shù)〔包括負(fù)整數(shù)〕，則先將表示為無限小數(shù)，現(xiàn)在所得的小數(shù)之前加負(fù)號．0表示為0＝例：；利用上述規(guī)定，任何實數(shù)都可用一個確定的無限小數(shù)來表示．在此規(guī)定下，如何比較實數(shù)的大??？2、兩實數(shù)大小的比較1〕定義1給定兩個非負(fù)實數(shù)，.其中為非負(fù)整數(shù)，為整數(shù)，．假設(shè)有，則稱與相等，記為；假設(shè)或存在非負(fù)整數(shù)，使得，而，則稱大于或小于，分別記為或．對于負(fù)實數(shù)、，假設(shè)按上述規(guī)定分別有或，則分別稱為與〔或〕．規(guī)定：任何非負(fù)實數(shù)大于任何負(fù)實數(shù)．實數(shù)比較大小的等價條件〔通過有限小數(shù)來比較〕．定義2〔缺乏近似與過剩近似〕：為非負(fù)實數(shù)，稱有理數(shù)為實數(shù)的位缺乏近似；稱為實數(shù)的位過剩近似，.對于負(fù)實數(shù)，其位缺乏近似；位過剩近似.注：實數(shù)的缺乏近似當(dāng)增大時不減，即有；過剩近似當(dāng)n增大時不增，即有．命題：記，為兩個實數(shù)，則的等價條件是：存在非負(fù)整數(shù)n，使〔其中為的位缺乏近似，為的位過剩近似〕．命題應(yīng)用例1．設(shè)為實數(shù)，，證明存在有理數(shù)，滿足．證明：由，知：存在非負(fù)整數(shù)n，使得．令，則r為有理數(shù)，且．即．3、實數(shù)常用性質(zhì)〔詳見附錄Ⅱ．〕．1〕封閉性〔實數(shù)集對〕四則運算是封閉的．即任意兩個實數(shù)的和、差、積、商〔除數(shù)不為0〕仍是實數(shù)．2〕有序性：，關(guān)系，三者必居其一，也只居其一.3〕傳遞性：，．4〕阿基米德性：使得．5〕稠密性：兩個不等的實數(shù)之間總有另一個實數(shù)．6〕一一對應(yīng)關(guān)系：實數(shù)集與數(shù)軸上的點有著一一對應(yīng)關(guān)系．例2．設(shè)，證明：假設(shè)對任何正數(shù)，有，則．〔提示：反證法．利用"有序性〞，取〕二、絕對值與不等式1、絕對值的定義實數(shù)的絕對值的定義為．2、幾何意義從數(shù)軸看，數(shù)的絕對值就是點到原點的距離．表示就是數(shù)軸上點與之間的距離．3、性質(zhì)1〕〔非負(fù)性〕；2〕；3〕，；4〕對任何有〔三角不等式〕；5〕；6〕〔〕．三、幾個重要不等式1、2、均值不等式:對記(算術(shù)平均值)(幾何平均值)(調(diào)和平均值)有平均值不等式:即：等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立.3、Bernoulli不等式:(在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過)有不等式當(dāng)且,且時,有嚴(yán)格不等式證：由且4、利用二項展開式得到的不等式:對由二項展開式有上式右端任何一項.［練習(xí)］P4．5［課堂小結(jié)］：實數(shù)：.[作業(yè)]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3§2數(shù)集和確界原理授課章節(jié)：第一章實數(shù)集與函數(shù)——§2數(shù)集和確界原理教學(xué)目的：使學(xué)生掌握確界原理，建立起實數(shù)確界的清晰概念.教學(xué)要求：(1)掌握鄰域的概念；(2)理解實數(shù)確界的定義及確界原理，并在有關(guān)命題的證明中正確地加以運用.教學(xué)重點：確界的概念及其有關(guān)性質(zhì)〔確界原理〕.教學(xué)難點：確界的定義及其應(yīng)用.教學(xué)方法：講授為主.教學(xué)程序：先通過練習(xí)形式復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容，以檢驗學(xué)習(xí)效果，此后導(dǎo)入新課.引言上節(jié)課中我們對數(shù)學(xué)分析研究的關(guān)鍵問題作了簡要討論；此后又讓大家自學(xué)了第一章§1實數(shù)的相關(guān)內(nèi)容.下面，我們先來檢驗一下自學(xué)的效果如何！1、證明：對任何有：(1)；(2).〔〕〔〕2、證明：.3、設(shè)，證明：假設(shè)對任何正數(shù)有，則.4、設(shè)，證明：存在有理數(shù)滿足.[引申]：①由題1可聯(lián)想到什么樣的結(jié)論呢？這樣思考是做科研時的經(jīng)常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具體問題引出一般的結(jié)論：一般的方法？②由上述幾個小題可以體會出"大學(xué)數(shù)學(xué)〞習(xí)題與中學(xué)的不同；理論性強，概念性強，推理有理有據(jù)，而非憑空想象；③課后未布置作業(yè)的習(xí)題要盡可能多做，以加深理解，語言應(yīng)用.提請注意這種差異，盡快掌握本門課程的術(shù)語和工具.本節(jié)主要內(nèi)容：1、先定義實數(shù)集R中的兩類主要的數(shù)集——區(qū)間與鄰域；2、討論有界集與無界集；3、由有界集的界引出確界定義及確界存在性定理〔確界原理〕.一、區(qū)間與鄰域區(qū)間〔用來表示變量的變化范圍〕設(shè)且.，其中2、鄰域聯(lián)想："鄰居〞.字面意思："鄰近的區(qū)域〞.與鄰近的"區(qū)域〞很多，到底哪一類是我們所要講的"鄰域〞呢？就是"關(guān)于的對稱區(qū)間〞；如何用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)呢？〔1〕的鄰域：設(shè)，滿足不等式的全體實數(shù)的集合稱為點的鄰域，記作，或簡記為，即.其中〔2〕點的空心鄰域.〔3〕的右鄰域和點的空心右鄰域〔4〕點的左鄰域和點的空心左鄰域〔5〕鄰域，鄰域，鄰域〔其中M為充分大的正數(shù)〕；二、有界集與無界集定義1〔上、下界〕：設(shè)為，使得一切都有稱為S的上界〔下界〕；假設(shè)數(shù)集S既有上界，又有下界，則稱S為有界集.閉區(qū)間、開區(qū)間為有限數(shù)〕、鄰域等都是有界數(shù)集，集合也是有界數(shù)集.假設(shè)數(shù)集S不是有界集，則稱S為無界集.等都是無界數(shù)集,集合也是無界數(shù)集.注：1〕上〔下〕界假設(shè)存在，不唯一；2〕上〔下〕界與S的關(guān)系如何？看下例：例1討論數(shù)集的有界性.解：任取，顯然有，所以有下界1；但有上界M,則M>0，按定義，對任意，都有，這是不可能的，如取則，且.綜上所述知：是有下界無上界的數(shù)集，因而是無界集.例2證明：〔1〕任何有限區(qū)間都是有界集；〔2〕無限區(qū)間都是無界集；〔3〕由有限個數(shù)組成的數(shù)集是有界集.[問題]：假設(shè)數(shù)集S有上界，上界是唯一的嗎？對下界呢？(答：不唯一，有無窮多個).三、確界與確界原理1、定義定義2〔上確界〕設(shè)S是R中的一個數(shù)集，假設(shè)數(shù)滿足：(1)對一切有〔即是S的上界〕;(2)對任何，存在，使得〔即是S的上界中最小的一個〕，則稱數(shù)為數(shù)集S的上確界，記作從定義中可以得出：上確界就是上界中的最小者.命題1充要條件1〕；2〕.證明：必要性，用反證法.設(shè)2〕不成立，則，與是上界中最小的一個矛盾.充分性〔用反證法〕，設(shè)不是的上確界，即是上界，但.令，由2〕，，使得，與是的上界矛盾.定義3〔下確界〕設(shè)S是R中的一個數(shù)集，假設(shè)數(shù)滿足：〔1〕對一切有〔即是S的下界〕；〔2〕對任何，存在，使得〔即是S的下界中最大的一個〕，則稱數(shù)為數(shù)集S的下確界，記作.從定義中可以得出：下確界就是下界中的最大者.命題2的充要條件：1〕；2〕＞0，＜上確界與下確界統(tǒng)稱為確界.例3〔1〕則1；0.〔2〕則1；0.注：非空有界數(shù)集的上〔或下〕確界是唯一的.命題3：設(shè)數(shù)集有上〔下〕確界，則這上〔下〕確界必是唯一的.證明：設(shè)，且，則不妨設(shè)有對，使，矛盾.例：，，則有.開區(qū)間與閉區(qū)間有一樣的上確界與下確界例4設(shè)和是非空數(shù)集，且有則有.例5設(shè)和和都有則有證明：是的上界,是的下界,例6和為非空數(shù)集,試證明:證明：有或由和分別是和的下界,有或即是數(shù)集的下界,又的下界就是的下界,是的下界,是的下界,同理有于是有.綜上,有.數(shù)集與確界的關(guān)系:確界不一定屬于原集合.以例3⑵為例做解釋.確界與最值的關(guān)系:設(shè)為數(shù)集.〔1〕的最值必屬于,但確界未必,確界是一種臨界點.〔2〕非空有界數(shù)集必有確界(見下面確實界原理),但未必有最值.〔3〕假設(shè)存在,必有對下確界有類似的結(jié)論.4.確界原理:(確界原理).設(shè)非空的數(shù)集.假設(shè)有上界，則必有上確界；假設(shè)有下界，則必有下確界.這里我們給一個可以承受的說明非空，，我們可以找到一個整數(shù)，使得不是上界，而是的上界.然后我們遍查和，我們可以找到一個，，使得不是上界，是上界，如果再找第二位小數(shù)，如此下去，最后得到，它是一個實數(shù)，即為的上確界.證明：〔書上對上確界的情況給出證明，下面講對下確界的證明〕不妨設(shè)中的元素都為非負(fù)數(shù)，則存在非負(fù)整數(shù)，使得1〕，有；2〕存在，有；把區(qū)間10等分，分點為n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9,存在，使得1〕，有；；2〕存在，使得．再對開區(qū)間10等分，同理存在，使得1〕對任何，有；2〕存在，使繼續(xù)重復(fù)此步驟，知對任何，存在使得1〕對任何，；2〕存在，．因此得到．以下證明．〔ⅰ〕對任意，；〔ⅱ〕對任何，存在使．［作業(yè)］：P91〔1〕，〔2〕；2；4〔2〕、〔4〕；７§3函數(shù)概念授課章節(jié)：第一章實數(shù)集與函數(shù)——§3函數(shù)概念教學(xué)目的：使學(xué)生深刻理解函數(shù)概念.教學(xué)要求：〔１〕深刻理解函數(shù)的定義以及復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)和初等函數(shù)的定義，熟悉函數(shù)的各種表示法；〔２〕牢記根本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)及其圖象.會求初等函數(shù)的存在域，會分析初等函數(shù)的復(fù)合關(guān)系.教學(xué)重點：函數(shù)的概念.教學(xué)難點：初等函數(shù)復(fù)合關(guān)系的分析.教學(xué)方法：課堂講授，輔以提問、練習(xí)、局部內(nèi)容可自學(xué).教學(xué)程序：引言關(guān)于函數(shù)概念，在中學(xué)數(shù)學(xué)中已有了初步的了解.為便于今后的學(xué)習(xí)，本節(jié)將對此作進一步討論.一、函數(shù)的定義１．定義１設(shè)，如果存在對應(yīng)法則，使對，存在唯一的一個數(shù)與之對應(yīng)，則稱是定義在數(shù)集上的函數(shù)，記作.數(shù)集稱為函數(shù)的定義域，所對應(yīng)的，稱為在點的函數(shù)值，記為.全體函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域，記作.即.２．幾點說明〔1〕函數(shù)定義的記號中"〞表示按法則建立到的函數(shù)關(guān)系，表示這兩個數(shù)集中元素之間的對應(yīng)關(guān)系，也記作.習(xí)慣上稱自變量，為因變量.〔2〕函數(shù)有三個要素，即定義域、對應(yīng)法則和值域.當(dāng)對應(yīng)法則和定義域確定后，值域便自然確定下來.因此，函數(shù)的根本要素為兩個：定義域和對應(yīng)法則.所以函數(shù)也常表示為：.由此，我們說兩個函數(shù)一樣，是指它們有一樣的定義域和對應(yīng)法則.例如：1〕〔不一樣，對應(yīng)法則一樣，定義域不同〕2〕〔一樣，只是對應(yīng)法則的表達(dá)形式不同〕.〔3〕函數(shù)用公式法〔解析法〕表示時，函數(shù)的定義域常取使該運算式子有意義的自變量的全體，通常稱為存在域〔自然定義域〕.此時，函數(shù)的記號中的定義域可省略不寫，而只用對應(yīng)法則來表示一個函數(shù).即"函數(shù)〞或"函數(shù)〞.〔4〕"映射〞的觀點來看，函數(shù)本質(zhì)上是映射，對于，稱為映射下的象.稱為的原象.〔5〕函數(shù)定義中，，只能有唯一的一個值與它對應(yīng)，這樣定義的函數(shù)稱為"單值函數(shù)〞，假設(shè)對同一個值，可以對應(yīng)多于一個值，則稱這種函數(shù)為多值函數(shù).本書中只討論單值函數(shù)〔簡稱函數(shù)〕.二、函數(shù)的表示方法1主要方法：解析法〔公式法〕、列表法〔表格法〕和圖象法〔圖示法〕.2可用"特殊方法〞來表示的函數(shù).1〕分段函數(shù)：在定義域的不同局部用不同的公式來表示.例如，〔符號函數(shù)〕〔借助于sgn*可表示即〕.2〕用語言表達(dá)的函數(shù).〔注意；以下函數(shù)不是分段函數(shù)〕例１〕〔取整函數(shù)〕比方：[3.5]=3,[3]=3,[-3.5]=-4.常有,即.與此有關(guān)一個的函數(shù)〔非負(fù)小數(shù)函數(shù)〕圖形是一條大鋸，畫出圖看一看.２〕狄利克雷〔Dirichlet〕函數(shù)這是一個病態(tài)函數(shù)，很有用處，卻無法畫出它的圖形.它是周期函數(shù)，但卻沒有最小周期，事實上任一有理數(shù)都是它的周期.３〕黎曼〔Riemman〕函數(shù)三函數(shù)的四則運算給定兩個函數(shù)，記，并設(shè)，定義與在上的和、差、積運算如下：；；.假設(shè)在中除去使的值，即令，可在上定義與的商運算如下；.注：１〕假設(shè)，則與不能進展四則運算.２〕為表達(dá)方便，函數(shù)與的和、差、積、商常分別寫為：.四、復(fù)合運算１．引言在有些實際問題中函數(shù)的自變量與因變量通過另外一些變量才建立起它們之間的對應(yīng)關(guān)系.例：質(zhì)量為m的物體自由下落，速度為v，則功率為.抽去該問題的實際意義，我們得到兩個函數(shù)，把代入，即得.這樣得到函數(shù)的過程稱為"函數(shù)復(fù)合〞，所得到的函數(shù)稱為"復(fù)合函數(shù)〞.[問題]任給兩個函數(shù)都可以復(fù)合嗎？考慮下例；.就不能復(fù)合，結(jié)合上例可見，復(fù)合的前提條件是"內(nèi)函數(shù)〞的值域與"外函數(shù)〞的定義域的交集不空〔從而引出下面定義〕.2．定義〔復(fù)合函數(shù)〕設(shè)有兩個函數(shù)，，假設(shè)，則對每一個，通過對應(yīng)內(nèi)唯一一個值，而又通過對應(yīng)唯一一個值，這就確定了一個定義在上的函數(shù)，它以為自變量，因變量，記作或.簡記為.稱為函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，并稱為外函數(shù)，為內(nèi)函數(shù)，為中間變量.3.例子例求并求定義域.例⑴⑵則A.B.C.D.例討論函數(shù)與函數(shù)能否進展復(fù)合，求復(fù)合函數(shù).4說明１〕復(fù)合函數(shù)可由多個函數(shù)相繼復(fù)合而成.每次復(fù)合，都要驗證能否進展？在哪個數(shù)集上進展？復(fù)合函數(shù)的最終定義域是什么？例如：，復(fù)合成：.２〕不僅要會復(fù)合，更要會分解.把一個函數(shù)分解成假設(shè)干個簡單函數(shù)，在分解時也要注意定義域的變化.①②③五、反函數(shù)１.引言在函數(shù)中把叫做自變量，叫做因變量.但需要指出的是，自變量與因變量的地位并不是絕對的，而是相對的，例如：則對于來講是自變量，但對來講，是因變量.習(xí)慣上說函數(shù)中是自變量，是因變量，是基于隨隨的變化狀況，也要研究隨的變化的狀況.對此，我們引入反函數(shù)的概念.２.反函數(shù)概念定義設(shè)R是一函數(shù)，如果，,由(或由)，則稱在上是1-1的.假設(shè)，，稱為滿的.假設(shè)是滿的1-1的，則稱為1-1對應(yīng).R是1-1的意味著對固定至多有一個解，是1-1的意味著對，有且僅有一個解.定義設(shè)是1-1對應(yīng).,由唯一確定一個,由這種對應(yīng)法則所確定的函數(shù)稱為的反函數(shù)，記為.反函數(shù)的定義域和值域恰為原函數(shù)的值域和定義域顯然有(恒等變換〕(恒等變換).0*y從方程角度看，函數(shù)和反函數(shù)沒什么區(qū)別，作為函數(shù)，習(xí)慣上我們還是把反函數(shù)記為,這樣它的圖形與的圖形是關(guān)于對角線對稱的.0*y嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)是1-1對應(yīng)的，所以嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)有反函數(shù).但1-1對應(yīng)的函數(shù)〔有反函數(shù)〕不一定是嚴(yán)格單調(diào)的，看下面例子它的反函數(shù)即為它自己.實際求反函數(shù)問題可分為二步進展：1.確定的定義域和值域，考慮1-1對應(yīng)條件.固定，解方程得出.2.按習(xí)慣，自變量、因變量互換，得.例求：RR的反函數(shù).解固定，為解，令，方程變?yōu)?舍去)得，即，稱為反雙曲正弦.定理給定函數(shù)，其定義域和值域分別記為和，假設(shè)在上存在函數(shù)，使得,則有.分析：要證兩層結(jié)論：一是的反函數(shù)存在，我們只要證它是1-1對應(yīng)就行了；二是要證.證要證的反函數(shù)存在，只要證是到的1-1對應(yīng).，，假設(shè)，則由定理條件，我們有，即是1-1對應(yīng).再證.，，使得.由反函數(shù)定義，再由定理條件.例，假設(shè)存在唯一〔〕不動點，則也不動點.證存在性，設(shè)，，即是的不動點，由唯一性，即存在的不動點.唯一性：設(shè)，，說明是的不動點，由唯一性，=.從映射的觀點看函數(shù).設(shè)函數(shù).滿足：對于值域中的每一個值，Ｄ中有且只有一個值，使得，則按此對應(yīng)法則得到一個定義在上的函數(shù)，稱這個函數(shù)為的反函數(shù)，記作或.３、注釋a)并不是任何函數(shù)都有反函數(shù)，從映射的觀點看，函數(shù)有反函數(shù)，意味著是Ｄ與之間的一個一一映射，稱為映射的逆映射，它把；b)函數(shù)與互為反函數(shù)，并有:在反函數(shù)的表示中，是以為自變量，為因變量.假設(shè)按習(xí)慣做法用做為自變量的記號，作為因變量的記號，則函數(shù)的反函數(shù)可以改寫為應(yīng)該注意，盡管這樣做了，但它們的表示同一個函數(shù)，因為其定義域和對應(yīng)法則一樣，僅是所用變量的記號不同而已.但它們的圖形在同一坐標(biāo)系中畫出時有所差異.六、初等函數(shù)1.根本初等函數(shù)〔６類〕常量函數(shù)〔Ｃ為常數(shù)〕；冪函數(shù)；指數(shù)函數(shù)；對數(shù)函數(shù)；三角函數(shù)；反三角函數(shù).注：冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)都涉及乘冪，而在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中只給了有理指數(shù)乘冪的定義.下面我們借助于確界來定義無理指數(shù)冪，便它與有理指數(shù)冪一起構(gòu)成實指數(shù)乘冪，并保持有理批數(shù)冪的根本性質(zhì).定義２．給定實數(shù)，設(shè)為無理數(shù)，我們規(guī)定：這樣解決了中學(xué)數(shù)學(xué)僅對有理數(shù)ｘ定義的缺陷．[問題]：這樣的定義有意義否？更明確一點相應(yīng)的"確界是否存在呢？〞２．初等函數(shù)定義３．由根本初等函數(shù)經(jīng)過在有限次四則運算與復(fù)合運算所得到的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù)如：不是初等函數(shù)的函數(shù)，稱為非初等函數(shù).如Dirichlet函數(shù)、Riemann函數(shù)、取整函數(shù)等都是非初等函數(shù).注：初等函數(shù)是本課程研究的主要對象.為此，除對根本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)熟練掌握外，還應(yīng)常握確定初等函數(shù)的定義域.確定定義域時應(yīng)注意兩點.例２．求以下函數(shù)的定義域.〔１〕；〔２〕3.初等函數(shù)的幾個特例:設(shè)函數(shù)和都是初等函數(shù),則〔1〕是初等函數(shù),因為〔2〕和都是初等函數(shù),因為,.〔3〕冪指函數(shù)是初等函數(shù),因為［作業(yè)］：3；4:〔２〕、〔３〕；5:〔２〕；7:〔３〕；11§4具有*些特性的函數(shù)授課章節(jié)：第一章實數(shù)集與函數(shù)——§4具有*些特性的函數(shù)教學(xué)目的：熟悉與初等函數(shù)性態(tài)有關(guān)的一些常見術(shù)語.教學(xué)目的：深刻理解有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)的定義；理解奇偶函數(shù)、周期函數(shù)的定義；會求一些簡單周期函數(shù)的周期.教學(xué)重點：函數(shù)的有界性、單調(diào)性.教學(xué)難點：周期函數(shù)周期的計算、驗證.教學(xué)方法：有界函數(shù)講授，其余的列出自學(xué)題綱，供學(xué)生自學(xué)完成.教學(xué)程序：引言在本節(jié)中，我們將介紹以后常用的幾類具有*些特性的函數(shù)，如有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇偶函數(shù)與周期函數(shù).其中，有些概念在中學(xué)里已經(jīng)表達(dá)過，因此，這里只是簡單地提一下.與"有界集〞的定義類似，先談?wù)動猩辖绾瘮?shù)和有下界函數(shù).一、有界函數(shù)1、有上界函數(shù)、有下界函數(shù)的定義定義1設(shè)為定義在D上的函數(shù)，假設(shè)存在數(shù)，使得對每一個有，則稱為D上的有上〔下〕界函數(shù)，稱為在D上的一個上〔下〕界.注：〔1〕在D上有上〔下〕界，意味著值域是一個有上〔下〕界的數(shù)集；〔2〕又假設(shè)為在D上的一個上〔下〕界，則任何大于Ｍ〔小于Ｌ〕的數(shù)也是在D上的上〔下〕界.所以，函數(shù)的上〔下〕界假設(shè)存在，則不是唯一的，例如：，1是其一個上界，下界為－1，則易見任何小于－1的數(shù)都可作為其下界；任何大于1的數(shù)都可作為其上界；〔3〕任給一個函數(shù)，不一定有上〔下〕界；〔4〕由〔1〕及"有界集〞定義，可類比給出"有界函數(shù)〞定義：在D上有界是一個有界集在D上既有上界又有下界在D上的有上界函數(shù)，也為D上的有下界函數(shù).2、有界函數(shù)定義定義2設(shè)為定義在D上的函數(shù).假設(shè)存在正數(shù)Ｍ，使得對每一個有，則稱為D上的有界函數(shù).注：〔1〕幾何意義：為D上的有界函數(shù)，則的圖象完全落在和之間；〔2〕在D上有界在D上既有上界又有下界；例子：；〔3〕關(guān)于函數(shù)在D上無上界、無下界或無界的定義.例題例1證明有界的充要條件為：,，使得對,.證明如果有界，按定義>0，有，即,取,即可.反之如果,使得，令，則，即，使得對有，即有界.例2．證明為上的無上界函數(shù).例3．設(shè)為D上的有界函數(shù).證明：〔1〕；〔2〕.例4驗證函數(shù)在內(nèi)有界.解法一由當(dāng)時,有,對總有即在內(nèi)有界.解法二令關(guān)于的二次方程有實數(shù)根.解法三令對應(yīng)于是二、單調(diào)函數(shù)定義3設(shè)為定義在D上的函數(shù)，〔1〕假設(shè)，則稱為D上的增函數(shù)；假設(shè)，則稱為D上的嚴(yán)格增函數(shù).〔2〕假設(shè)，則稱為D上的減函數(shù)；假設(shè)，則稱為D上的嚴(yán)格減函數(shù).例5．證明：在上是嚴(yán)格增函數(shù).證明：設(shè)，如，則如，則故即得證.例6．討論函數(shù)在上的單調(diào)性.，當(dāng)時，有，但此函數(shù)在上的不是嚴(yán)格增函數(shù).注：1〕單調(diào)性與所討論的區(qū)間有關(guān).在定義域的*些局部，可能單調(diào)，也可能不單調(diào).所以要會求出給定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2〕嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的幾何意義：其圖象無自交點或無平行于軸的局部.更準(zhǔn)確地講：嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的圖象與任一平行于軸的直線至多有一個交點.這一特征保證了它必有反函數(shù).總結(jié)得下面的結(jié)論：定理1．設(shè)為嚴(yán)格增〔減〕函數(shù)，則必有反函數(shù)，且在其定義域上也是嚴(yán)格增〔減〕函數(shù).證明：設(shè)在.下面證明這樣的只有一個.事實上，對于內(nèi)任一由于在上嚴(yán)格增函數(shù)，當(dāng)時，當(dāng)時，總之.即，從而例7討論函數(shù)在上反函數(shù)的存在性；如果在上不存在反函數(shù)，在的子區(qū)間上存在反函數(shù)否？結(jié)論：函數(shù)的反函數(shù)與討論的自變量的變化范圍有關(guān).證明：當(dāng)時在Ｒ上嚴(yán)格增，當(dāng)時在上嚴(yán)格遞減.三、奇函數(shù)和偶函數(shù)定義4.設(shè)D為對稱于原點的數(shù)集，為定義在有〔1〕，則稱為D上的奇函數(shù)；〔2〕，則稱為D上的偶函數(shù).注：〔1〕從函數(shù)圖形上看，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱〔中心對稱〕，偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；〔2〕奇偶性的前提是定義域?qū)ΨQ，因此沒有必要討論奇偶性.〔3〕從奇偶性角度對函數(shù)分類：；〔4〕由于奇偶函數(shù)對稱性的特點，研究奇偶函數(shù)性質(zhì)時，只須討論原點的左邊或右邊即可四、周期函數(shù)1、定義設(shè)為定義在數(shù)集D上的函數(shù)，假設(shè)存在，使得對一切有，則稱為周期函數(shù)，稱為的一個周期.2、幾點說明：〔1〕假設(shè)是的周期，則也是.因此有如下"根本周期〞的說法，即假設(shè)在周期函數(shù)的所有周期中有一個最小的周期，則稱此最小周期為的"根本周期〞，簡稱"周期〞.如，周期為；〔2〕任給一個函數(shù)不一定存在周期，既使存在周期也不一定有根本周期，如：1〕，不是周期函數(shù)；2〕〔Ｃ為常數(shù)〕，任何正數(shù)都是它的周期.第二章數(shù)列極限引言為了掌握變量的變化規(guī)律，往往需要從它的變化過程來判斷它的變化趨勢.例如有這么一個變量，它開場是1，然后為如此，一直無盡地變下去，雖然無盡止，但它的變化有一個趨勢，這個趨勢就是在它的變化過程中越來越接近于零.我們就說，這個變量的極限為0.在高等數(shù)學(xué)中，有很多重要的概念和方法都和極限有關(guān)〔如導(dǎo)數(shù)、微分、積分、級數(shù)等〕，并且在實際問題中極限也占有重要的地位.例如求圓的面積和圓周長〔：〕，但這兩個公式從何而來？要知道，獲得這些結(jié)果并不容易！人們最初只知道求多邊形的面積和求直線段的長度.然而，要定義這種從多邊形到圓的過渡就要求人們在觀念上，在思考方法上來一個突破.問題的困難何在？多邊形的面積其所以為好求，是因為它的周界是一些直線段，我們可以把它分解為許多三角形.而圓呢？周界處處是彎曲的，困難就在這個"曲〞字上面.在這里我們面臨著"曲〞與"直〞這樣一對矛盾.辯證唯物主義認(rèn)為，在一定條件下，曲與直的矛盾可以相互轉(zhuǎn)化.整個圓周是曲的，每一小段圓弧卻可以近似看成是直的；就是說，在很小的一段上可以近似地"以直代曲〞，即以弦代替圓弧.按照這種辯證思想，我們把圓周分成許多的小段，比方說，分成個等長的小段，代替圓而先考慮其內(nèi)接正邊形.易知，正邊形周長為顯然，這個不會等于.然而，從幾何直觀上可以看出，只要正邊形的邊數(shù)不斷增加.這些正多邊形的周長將隨著邊數(shù)的增加而不斷地接近于圓周長.越大，近似程度越高.但是，不管多么大，這樣算出來的總還只是多邊形的周長.無論如何它只是周長的近似值，而不是準(zhǔn)確值.問題并沒有最后解決.為了從近似值過渡到準(zhǔn)確值，我們自然讓無限地增大，記為.直觀上很明顯，當(dāng)時，，記成.——極限思想.即圓周長是其內(nèi)接正多邊形周長的極限.這種方法是我國劉微〔張晉〕早在第3世紀(jì)就提出來了，稱為"割圓術(shù)〞.其方法就是——無限分割.以直代曲；其思想在于"極限〞.除之以外，象曲邊梯形面積的計算均源于"極限〞思想.所以，我們有必要對極限作深入研究.§1數(shù)列極限的概念教學(xué)目的：使學(xué)生建立起數(shù)列極限的準(zhǔn)確概念；會用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列極限等有關(guān)命題.教學(xué)要求：使學(xué)生逐步建立起數(shù)列極限的定義證明數(shù)列的有關(guān)命題，并能運用語言正確表述數(shù)列不以*實數(shù)為極限等相應(yīng)陳述.教學(xué)重點：數(shù)列極限的概念.教學(xué)難點：數(shù)列極限的定義及其應(yīng)用.教學(xué)方法：講授為主.教學(xué)程序：一、什么是數(shù)列1數(shù)列的定義數(shù)列就是"一列數(shù)〞，但這"一列數(shù)〞并不是任意的一列數(shù)，而是有一定的規(guī)律，有一定次序性，具體講數(shù)列可定義如下；假設(shè)函數(shù)的定義域為全體正整數(shù)集合，則稱為數(shù)列.注：1〕根據(jù)函數(shù)的記號，數(shù)列也可記為；2〕記，則數(shù)列就可寫作為：，簡記為，即；3〕不嚴(yán)格的說法：說是一個數(shù)列.2數(shù)列的例子〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕二、什么是數(shù)列極限1．引言對于這個問題，先看一個例子：古代哲學(xué)家莊周所著的"莊子.天下篇"引用過一句話："一尺之棰，日取其半，萬世不竭〞.把每天截下的局部的長度列出如下〔單位為尺〕；第1天截下，第2天截下，第3天截下，第天截下，得到一個數(shù)列：不難看出，數(shù)列的通項隨著的無限增大而無限地接近于零.一般地說，對于數(shù)列，假設(shè)當(dāng)無限增大時，能無限地接近*一個常數(shù)，則稱此數(shù)列為收斂數(shù)列，常數(shù)稱為它的極限.不具有這種特性的數(shù)列就不是收斂的數(shù)列，或稱為發(fā)散數(shù)列.據(jù)此可以說，數(shù)列是收斂數(shù)列，0是它的極限.數(shù)列都是發(fā)散的數(shù)列.需要提出的是，上面關(guān)于"收斂數(shù)列〞的說法，并不是嚴(yán)格的定義，而僅是一種"描述性〞的說法，如何用數(shù)學(xué)語言把它準(zhǔn)確地定義下來.還有待進一步分析.以為例，可觀察出該數(shù)列具以下特性：隨著的無限增大，無限地接近于1隨著的無限增大，與1的距離無限減少隨著的無限增大，無限減少會任意小，只要充分大.如：要使，只要即可；要使，只要即可；任給無論多么小的正數(shù)，都會存在數(shù)列的一項，從該項之后，.即，當(dāng)時，.如何找Ｎ？〔或存在嗎？〕解上面的數(shù)學(xué)式子即得：，取當(dāng)時，.綜上所述，數(shù)列的通項隨的無限增大，無限接近于1，即是對任意給定正數(shù)，總存在正整數(shù)，當(dāng)時，有.此即以1為極限的準(zhǔn)確定義，記作或.定義1設(shè)為數(shù)列,為實數(shù),假設(shè)對任給的正數(shù),總存在正整數(shù),使得當(dāng)時有,則稱數(shù)列收斂于,實數(shù)稱為數(shù)列的極限,并記作或.(讀作:當(dāng)趨于無窮大時,的極限等于或趨于).由于限于取正整數(shù),所以在數(shù)列極限的記號中把寫成,即或.假設(shè)數(shù)列沒有極限，則稱不收斂，或稱為發(fā)散數(shù)列.[問題]：如何表述沒有極限？定義來驗證數(shù)列極限例1.證明:.證明:不妨設(shè),要使|－0|<<.只要,取N=則當(dāng)n>N時,有|－0|=≤<例2求證.證明:不妨設(shè)，要使，只要〔注意這里〕，只要.取，則當(dāng)時，就有，即.例3求證.證法1先設(shè)，，要使，只要，只要，只要.取，當(dāng)時，就有，即.對，令，則.證法2令，則，,要使,只要，取，只要，就有，即.例4證.證明:因為，，要使，只要，取，則只要，就有，即.例5證明:注意到對任何正整數(shù)時有就有于是，對取例6證法一令有用Bernoulli不等式，有或證法二〔用均值不等式〕例7證一：時，證二：〔二項式展開〕因此，，取，則當(dāng)時就有即附：此題請注意以下的錯誤做法：〔注意不趨于零〕例8：證明證明：由于

〔〕〔*〕因此，只要取

便有由于〔*〕式是在的條件下成立的，故應(yīng)取，當(dāng)時就有

即總結(jié)用定義求極限或證明極限的關(guān)鍵是適當(dāng)放大不等式，關(guān)鍵的追求有兩點，一是把隱性表達(dá)式變成顯性表達(dá)式，在重鎖迷霧中看清廬山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得過份.4關(guān)于數(shù)列的極限的定義的幾點說明〔1〕關(guān)于：①的作用在于衡量數(shù)列通項與常數(shù)的接近程度，越小，表示接近得越好；而正數(shù)可以任意小，說明與常數(shù)可以接近到任何程度；②有其任意性，但一經(jīng)給出，就暫時地被確定下來，以便依靠它來求出；③的多值性.既是任意小的正數(shù)，則等等，同樣也是任意小的正數(shù)，因此定義1中的不等式中的可用等來代替.從而"〞可用"〞代替；④正由于是任意小正數(shù)，我們可以限定小于一個確定的正數(shù).〔2〕關(guān)于：①相應(yīng)性，一般地，隨的變小而變大，因此常把定作，來強調(diào)是依賴于的；一經(jīng)給定，就可以找到一個；②多值性.的相應(yīng)性并不意味著是由唯一確定的，因為對給定的，假設(shè)時能使得當(dāng)時,有,則不是唯一的.事實上，在許多場合下，最重要的是的存在性，而不是它的值有多大.基于此，在實際使用中的也不必限于自然數(shù)，只要是正數(shù)即可；而且把"〞改為"〞也無妨.〔3〕數(shù)列極限的幾何理解：在定義1中，"當(dāng)時有〞"當(dāng)時有〞"當(dāng)時有〞所有下標(biāo)大于的項都落在鄰域；而在之外，數(shù)列中的項至多只有個〔有限個〕.反之，任給，假設(shè)在之外數(shù)列中的項只有有限個，設(shè)這有限個項的最大下標(biāo)為，則當(dāng)時有，即當(dāng)時有，由此寫出數(shù)列極限的一種等價定義〔鄰域定義〕：定義任給，假設(shè)在之外數(shù)列中的項只有有限個，則稱數(shù)列收斂于極限.由此可見：1〕假設(shè)存在*個，使得數(shù)列中有無窮多個項落在之外，則一定不以為極限；2〕數(shù)列是否有極限，只與它從*一項之后的變化趨勢有關(guān)，而與它前面的有限項無關(guān).所以，在討論數(shù)列極限時，可以添加、去掉或改變它的有限項的數(shù)值，對收斂性和極限都不會發(fā)生影響.例1．證明和都是發(fā)散數(shù)列.例2．設(shè)，作數(shù)列如下：.證明.例3．設(shè)為給定的數(shù)列，為對增加、減少或改變有限項之后得到的數(shù)列.證明：數(shù)列與同時收斂或發(fā)散，且在收斂時兩者的極限相等.三、無窮小數(shù)列在所有收斂數(shù)列中，在一類重要的數(shù)列，稱為無窮小數(shù)列，其定義如下：定義2假設(shè)，則稱為無窮小數(shù)列.如都是無窮小數(shù)列.數(shù)列收斂于的充要條件：定理數(shù)列收斂于的充要條件是為無窮小數(shù)列.[作業(yè)]教材P273，4，5，7，8⑵.§2收斂數(shù)列的性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容：第二章數(shù)列極限——§2收斂數(shù)列的性質(zhì).教學(xué)目的：熟悉收斂數(shù)列的性質(zhì)；掌握求數(shù)列極限的常用方法.教學(xué)要求：〔1〕使學(xué)生理解并能證明數(shù)列性質(zhì)、極限的唯一性、局部有界性、保號性、保不等式性；〔2〕掌握并會證明收斂數(shù)列的四則運算定理、迫斂性定理，并會用這些定理求*些收斂數(shù)列的極限.教學(xué)重點：迫斂性定理及四則運算法則及其應(yīng)用.教學(xué)難點：數(shù)列極限的計算.教學(xué)方法：講練結(jié)合.教學(xué)程序：引言上節(jié)引進"數(shù)列極限〞的定義，并通過例題說明了驗證的方法，這是極限較根本的內(nèi)容，要求掌握.為了學(xué)習(xí)極限的技巧及其應(yīng)用極限來解決問題.還需要對數(shù)列的性質(zhì)作進一步討論.一、收斂數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì)1〔極限唯一性〕假設(shè)數(shù)列收斂，則它的極限唯一.證一：假設(shè)都是數(shù)列的極限，則由極限定義，對，，當(dāng)時，有；時，有取，則當(dāng)時有由的任意性，上式僅當(dāng)時才成立.證二：〔反證〕假設(shè)極限不唯一，即至少有兩個不相等的極限值，設(shè)為，且故不妨設(shè)，取由定義，，當(dāng)時有又，當(dāng)時有因此，當(dāng)時有矛盾，因此極限值必唯一.性質(zhì)2〔有界性〕如果數(shù)列收斂，則，使對有證明：設(shè)取，使得當(dāng)時有即令則有對即數(shù)列有界注：①有界性只是數(shù)列收斂的必要條件，而非充分條件，如②在證明時必須分清何時用取定，何時用任給，不能用任給，否則隨在變，找到的也隨在變，界的意義就不明確了.性質(zhì)3〔保序性〕設(shè)，，〔1〕假設(shè)，則存在使得當(dāng)時有〔2〕假設(shè)存在，當(dāng)時有，則〔不等式性質(zhì)〕證明：〔1〕取，則存在，當(dāng)時從而又存在，當(dāng)時當(dāng)時〔2〕〔反證〕如，則由⑴知必當(dāng)時這與矛盾推論〔保號性〕假設(shè)則，當(dāng)時.特別地，假設(shè)，則，當(dāng)時與同號.思考：如把上述定理中的換成，能否把結(jié)論改成？例：設(shè)〔〕，假設(shè)，則證明：由保序性定理可得假設(shè)，則，，當(dāng)時有即假設(shè)，則，，當(dāng)時有數(shù)列較為復(fù)雜，如何求極限？性質(zhì)4〔四則運算法則〕假設(shè)、都收斂，則、、也都收斂，且，特別地，，為常數(shù)如再有則也收斂，且證明：由于，，故只須證關(guān)于和積與倒數(shù)運算的結(jié)論即可.設(shè)，，，，當(dāng)時；，當(dāng)時取，則當(dāng)時上兩式同時成立.〔1〕由收斂數(shù)列的有界性，，對有故當(dāng)時，有由的任意性知〔2〕由保號性，及，對有〔如可令〕取，則當(dāng)時有由的任意性得用歸納法，可得有限個序列的四則運算：，.但將上述換成，一般不成立.事實上或本身也是一種極限，兩種極限交換次序是個非常敏感的話題，是高等分析中心課題，一般都不能交換，在一定條件下才能交換，具體什么條件，到后面我們會系統(tǒng)研究這個問題.性質(zhì)5〔兩邊夾定理或迫斂性〕設(shè)有三個數(shù)列、、，如，當(dāng)時有，且，則證明：，當(dāng)時，；當(dāng)時，取，則當(dāng)時以上兩式與條件中的不等式同時成立，故有時即該定理不僅提供了一個判定數(shù)列收斂的方法，而且也給出了一個求極限的方法.推論：假設(shè)，當(dāng)時有〔或〕且，則例：求證〔〕證明：使得，從而當(dāng)時有由于由推論即可得結(jié)論例：設(shè)，，…，是個正數(shù)，證明證明：設(shè)，則，由迫斂性得結(jié)論.例1：在證明中,令，，得，由此推出.由此例也看出由和,也推出.例2：證明.證明：令,，兩邊夾推出，即.在求數(shù)列的極限時，常需要使用極限的四則運算法則.下舉幾例；例3：求極限解.例4：求極限.解.例5：例6：求，，，解：原式即：有理式的極限如例7：例8：設(shè)，證明.證明：.二數(shù)列的子列1、引言極限是個有效的分析工具.但當(dāng)數(shù)列的極限不存在時，這個工具隨之失效.這能說明什么呢？難道沒有一點規(guī)律嗎？當(dāng)然不是！出現(xiàn)這種情況原因是我們是從"整個〞數(shù)列的特征角度對數(shù)列進展研究.則，如果"整體無序〞，"局部〞是否也無序呢？如果"局部〞有序，可否從"局部〞來推斷整體的性質(zhì)呢？簡而言之，能否從"局部〞來把握"整體〞呢？這個"局部數(shù)列〞就是要講的"子列〞.子列的定義定義1設(shè)為數(shù)列，為正整數(shù)集的無限子集，且，則數(shù)列稱為數(shù)列的一個子列，簡記為.注1由定義可見，的子列的各項都來自且保持這些項在中的的先后次序.簡單地講，從中取出無限多項，按照其在中的順序排成一個數(shù)列，就是的一個子列〔或子列就是從中順次取出無窮多項組成的數(shù)列〕.注2子列中的表示是中的第項，表示是中的第k項，即中的第k項就是中的第項，故總有.特別地，假設(shè)，則，即.注3數(shù)列本身以及去掉有限項以后得到的子列，稱為的平凡子列；不是平凡子列的子列，稱為的非平凡子列.如都是的非平凡子列.由上節(jié)例知：數(shù)列與它的任一平凡子列同為收斂或發(fā)散，且在收斂時有一樣的極限.則數(shù)列的收斂性與的非平凡子列的收斂性又有何關(guān)系呢？此即下面的結(jié)果：定理數(shù)列收斂的充要條件是：的任何非平凡子列都收斂．證明：必要性設(shè)是的任一子列．任給，存在正數(shù)N，使得當(dāng)時有由于故當(dāng)時有，從而也有，這就證明了收斂〔且與有一樣的極限〕．充分性考慮的非平凡子列，與．按假設(shè)，它們都收斂．由于既是，又是的子列，故由剛剛證明的必要性，〔9〕又既是又是的子列，同樣可得〔10〕〔9〕式與〔10〕式給出．所以由課本例7可知收斂．由定理2．8的證明可見，假設(shè)數(shù)列的任何非平凡子列都收斂，則所有這些子列與必收斂于同一個極限．于是，假設(shè)數(shù)列有一個子列發(fā)散，或有兩個子列收斂而極限不相等，則數(shù)列一定發(fā)散．例如數(shù)列其偶數(shù)項組成的子列收斂于1，而奇數(shù)項組成的子列收斂于，從而發(fā)散．再如數(shù)列，它的奇數(shù)項組成的子列即為，由于這個子列發(fā)散，故數(shù)列發(fā)散．由此可見，定理2．8是判斷數(shù)列發(fā)散的有力工具．§3數(shù)列極限存在的條件教學(xué)內(nèi)容：第二章數(shù)列極限——§3數(shù)列極限存在的條件教學(xué)目的：使學(xué)生掌握判斷數(shù)列極限存在的常用工具.教學(xué)要求：〔1〕掌握并會證明單調(diào)有界定理，并會運用它求*些收斂數(shù)列的極限；〔2〕初步理解Cauchy準(zhǔn)則在極限理論中的主要意義，并逐步會應(yīng)用Cauchy準(zhǔn)則判斷*些數(shù)列的斂散性.教學(xué)重點：單調(diào)有界定理、Cauchy收斂準(zhǔn)則及其應(yīng)用.教學(xué)難點：相關(guān)定理的應(yīng)用.教學(xué)方法：講練結(jié)合.教學(xué)程序：引言在研究比較復(fù)雜的極限問題時，通常分兩步來解決：先判斷該數(shù)列是否有極限〔極限的存在性問題〕；假設(shè)有極限，再考慮如何計算些極限〔極限值的計算問題〕.這是極限理論的兩根本問題.在實際應(yīng)用中，解決了數(shù)列極限的存在性問題之后，即使極限值的計算較為困難，但由于當(dāng)充分大時，能充分接近其極限，故可用作為的近似值.本節(jié)將重點討論極限的存在性問題.為了確定*個數(shù)列是否有極限，當(dāng)然不可能將每一個實數(shù)依定義一一加以驗證，根本的方法是直接從數(shù)列本身的特征來作出判斷.從收斂數(shù)列的有界性可知：假設(shè)收斂，則為有界數(shù)列；但反之不一定對，即有界缺乏以保證.但直觀看來，假設(shè)有界，又隨n的增大〔減少〕而增大〔減少〕，它就有可能與其上界〔或下界〕非常接近，從而有可能存在極限〔或收斂〕.為了說明這一點，先給出具有上述特征的數(shù)列一個名稱——單調(diào)數(shù)列.一、單調(diào)數(shù)列定義假設(shè)數(shù)列的各項滿足不等式，則稱為遞增〔遞減〕數(shù)列.遞增和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列．例如：為遞減數(shù)列；為遞增數(shù)列；不是單調(diào)數(shù)列.二、單調(diào)有界定理〔問題〕〔1〕單調(diào)數(shù)列一定收斂嗎？；〔2〕收斂數(shù)列一定單調(diào)嗎？一個數(shù)列，如果僅是單調(diào)的或有界的，缺乏以保證其收斂，但假設(shè)既單調(diào)又有界，就可以了.此即下面的極限存在的判斷方法.定理〔單調(diào)有界定理〕在實數(shù)系中，有界且單調(diào)數(shù)列必有極限.幾何解釋：單調(diào)數(shù)列只可能向一個方向移動，故僅有兩種可能：〔1〕點沿數(shù)軸移向無窮遠(yuǎn)；〔2〕無限趨于*一個定點，即.證明：不妨設(shè)單調(diào)增加有上界，把看作集合，有確界原理，存在即：〔1〕，；〔2〕，使由于單調(diào)增加，故當(dāng)時有即當(dāng)時亦即#例1：，證明數(shù)列，，，……，，……收斂，并求其極限.證明：從該數(shù)列的構(gòu)造，顯見它是單調(diào)增加的，下面來證它是有界的.易見，且，，…，，…從而兩端除以得，故有界即得極限存在設(shè)，對等式兩邊取極限，則有因為正數(shù)列，故，因此取即為所求極限例2：求〔為一定數(shù)，〕解：記，則且，則，當(dāng)時，故后，單調(diào)遞減，又有極限一定存在，設(shè)為由兩邊取極限得〔〕例3設(shè)證明數(shù)列{}收斂.例4求(計算的逐次逼近法,亦即迭代法).解：由均值不等式,有有下界;注意到對有有↘,三、柯西收斂準(zhǔn)則1、引言單調(diào)有界定理只是數(shù)列收斂的充分條件，下面給出在實數(shù)集中數(shù)列收斂的充分必要條件——柯西收斂準(zhǔn)則.Cauchy收斂準(zhǔn)則定理〔Ｃauchy收斂準(zhǔn)則〕數(shù)列收斂的充分必要條件是：對任給的，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時有.證明："〞收斂，則存在極限，設(shè)，則，，當(dāng)時有當(dāng)時有"〞先證有界性，取，則，特別地，時設(shè)，則，再由致密性定理知，有收斂子列，設(shè)，，，取，當(dāng)時有故列、根本列〔滿足收斂準(zhǔn)則的數(shù)列〕收斂準(zhǔn)則的另一表示形式：，，當(dāng)時，對有說明Cauchy收斂準(zhǔn)則從理論上完全解決了數(shù)列極限的存在性問題.Cauchy收斂準(zhǔn)則的條件稱為Cauchy條件，它反映這樣的事實：收斂數(shù)列各項的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何兩項之差的絕對值可以小于預(yù)先給定的任意小正數(shù).或者，形象地說，收斂數(shù)列的各項越到后面越是"擠〞在一起.Cauchy準(zhǔn)則把定義中與a的之差換成與之差.其好處在于無需借助數(shù)列以外的數(shù)a，只要根據(jù)數(shù)列本身的特征就可以鑒別其〔收〕斂〔發(fā)〕散性.例：如數(shù)列滿足〔〕且，證明數(shù)列收斂.證明：令，〔不妨設(shè)〕，取，則當(dāng)時，對任給自然數(shù)有.故由收斂準(zhǔn)則知數(shù)列收斂.例：證明數(shù)列發(fā)散證明：要證：，對，必有，使得設(shè)則因此，如，則這樣，對，不管多大，如取，則，且

，這說明不是一個數(shù)列.應(yīng)用例5證明:任一無限十進小數(shù)的缺乏近似值所組成的數(shù)列收斂.其中是中的數(shù).證明：令有……例6：設(shè)試證明數(shù)列{收斂.關(guān)于極限證明留在下節(jié)進展.例7：例8：例9：[作業(yè)]教材P38—391，3，5，6，10，11；教材P40—411〔1〕〔3〕，3，4(1)-(3)(6)(8)，5，10.〔P383〔4〕提示：考慮用雙逼原理可求得〕附：數(shù)列單調(diào)有界證法欣賞:Cauchy(1789—1857)最先給出這一極限，Riemann〔1826—1866〕最先給出以下證法一.證法一〔Riemann最先給出這一證法〕設(shè)應(yīng)用二項式展開，得，+注意到且比多一項即↗.有界.綜上,數(shù)列{}單調(diào)有界.證法二(利用Bernoulli不等式)注意到Bernoulli不等式為正整數(shù)),有由利用Bernoulli不等式,有↗.為證{}上方有界,考慮數(shù)列可類證↘.事實上,(此處利用了Bernoulli不等式)↘.顯然有有即數(shù)列{}有上界.證法三(利用均值不等式)在均值不等式中,令就有即↗.令可仿上證得時↗,(時無意義,時諸=,不能用均值不等式.)當(dāng)時,由由↗↘.<4.注:以上證法二和證法三可參閱"數(shù)學(xué)通報"1980.№4P22.證法四(仍利用均值不等式)<即↗.有界性證法可參閱上述各證法.注:證法四可參閱"數(shù)學(xué)教學(xué)研究"1991.№1馬德堯文"均值不等式妙用兩則〞.證法五先證明：對和正整數(shù)，有不等式事實上，<該不等式又可變形為(為正整數(shù))在此不等式中,取則有就有↗.取又有對成立，又由注:這一證法可參閱"TheAmericanMathematicalMonthly"1974.Vol81.№9P10—11函數(shù)極限引言在"數(shù)學(xué)分析"中，所討論的極限根本上分兩局部，第一局部是"數(shù)列的極限〞，第二局部是"函數(shù)的極限〞.二者的關(guān)系到是"特殊〞與"一般〞的關(guān)系；數(shù)列極限是函數(shù)極限的特例.通過數(shù)列極限的學(xué)習(xí).應(yīng)有一種根本的觀念："極限是研究變量的變化趨勢的〞或說："極限是研究變量的變化過程，并通過變化的過程來把握變化的結(jié)果〞.例如，數(shù)列這種變量即是研究當(dāng)時，的變化趨勢.我們知道，從函數(shù)角度看，數(shù)列可視為一種特殊的函數(shù)，其定義域為，值域是，即;或或.研究數(shù)列的極限，即是研究當(dāng)自變量時，函數(shù)變化趨勢.此處函數(shù)的自變量只能取正整數(shù)！因此自變量的可能變化趨勢只有一種，即.但是，如果代之正整數(shù)變量而考慮一般的變量為，則情況又如何呢？具體地說，此時自變量*可能的變化趨勢是否了僅限于一種呢？為此，考慮以下函數(shù):類似于數(shù)列，可考慮自變量時，的變化趨勢；除此而外，也可考慮自變量時，的變化趨勢；還可考慮自變量時，的變化趨勢；還可考慮自變量時，的變化趨勢,由此可見，函數(shù)的極限較之?dāng)?shù)列的極限要復(fù)雜得多，其根源在于自變量性質(zhì)的變化.但同時我們將看到，這種復(fù)雜僅僅表現(xiàn)在極限定義的表達(dá)有所不同.而在各類極限的性質(zhì)、運算、證明方法上都類似于數(shù)列的極限.下面，我們就依次討論這些極限.§1函數(shù)極限的概念教學(xué)內(nèi)容：第三章函數(shù)極限——§1函數(shù)極限的概念教學(xué)目的：掌握各種函數(shù)極限的分析定義，能夠用分析定義證明和計算函數(shù)的極限．教學(xué)要求：掌握當(dāng)；；；；；時函數(shù)極限的分析定義，并且會用函數(shù)極限的分析定義證明和計算較簡單的函數(shù)極限．教學(xué)建議：本節(jié)的重點是各種函數(shù)極限的分析定義．對多數(shù)學(xué)生要求主要掌握當(dāng)時函數(shù)極限的分析定義，并用函數(shù)極限的分析定義求函教學(xué)過程：一、時函數(shù)的極限1、引言設(shè)函數(shù)定義在上，類似于數(shù)列情形，我們研究當(dāng)自變量時，對應(yīng)的函數(shù)值能否無限地接近于*個定數(shù)Ａ.這種情形能否出現(xiàn)呢？答復(fù)是可能出現(xiàn)，但不是對所有的函數(shù)都具此性質(zhì).例如無限增大時，無限地接近于0；無限增大時，無限地接近于；無限增大時，與任何數(shù)都不能無限地接近.正因為如此，所以才有必要考慮時，的變化趨勢.我們把象，這樣當(dāng)時，對應(yīng)函數(shù)值無限地接近于*個定數(shù)的函數(shù)稱為"當(dāng)時有極限〞.[問題]如何給出它的準(zhǔn)確定義呢"類似于數(shù)列,當(dāng)時函數(shù)極限的準(zhǔn)確定義如下.2.時函數(shù)極限的定義定義1設(shè)為定義在上的函數(shù)，，存在正數(shù)，使得當(dāng)時有,則稱函數(shù)當(dāng)時以或.幾點注記定義1中作用與數(shù)列極限中作用一樣，衡量與的接近程度，正數(shù)的作用與數(shù)列極限定義中相類似，說明充分大的程度；但這里所考慮的是比大的所有實數(shù)，而不僅僅是正整數(shù)n.的鄰域描述：當(dāng)時，的幾何意義：對，就有和兩條直線，形成以為中心線，以為寬的帶形區(qū)域."當(dāng)時有〞表示：在直線的右方，曲線全部落在這個帶形區(qū)域內(nèi).如果給得小一點，即帶形區(qū)域更窄一點，則直線一般往右移；但無論帶形區(qū)域如何窄，總存在正數(shù)，使得曲線在的右邊的全部落在這個更窄的帶形區(qū)域內(nèi).現(xiàn)記為定義在或上的函數(shù)，當(dāng)或時，假設(shè)函數(shù)值能無限地接近于常數(shù)，則稱當(dāng)或時時以為極限，分別記作，或，或.這兩種函數(shù)極限的準(zhǔn)確定義與定義1相仿，簡寫如下：當(dāng)時，，當(dāng)時，.〔5〕推論：設(shè)為定義在上的函數(shù)，則.4．利用＝Ａ的定義驗證極限等式舉例例1證明.例2證明1〕；2〕.二、時函數(shù)的極限1、引言上節(jié)討論的函數(shù)當(dāng)時的極限，是假定為定義在上的函數(shù)，這事實上是，即為定義在上，考慮時是否趨于*個定數(shù).本節(jié)假定為定義在點的*個空心鄰域內(nèi)的函數(shù)，.現(xiàn)在討論當(dāng)時，對應(yīng)的函數(shù)值能否趨于*個定數(shù)Ａ數(shù)列.先看下面幾個例子：例1.〔是定義在上的函數(shù)，當(dāng)時，〕例2.〔是定義在上的函數(shù)，當(dāng)時，〕例3.〔是定義在上的函數(shù)，當(dāng)時，〕由上述例子可見，對有些函數(shù)，當(dāng)時，對應(yīng)的函數(shù)值時，的變化趨勢.我們稱上述的第一類函數(shù)為當(dāng)時以為極限，記作.和數(shù)列極限的描述性說法一樣，這是一種描述性的說法.不是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義.則如何給出這類函數(shù)極限的準(zhǔn)確定義呢？作如下分析："當(dāng)自變量越來越接近于時，函數(shù)值越來越接近于一個定數(shù)〞只要充分接近，函數(shù)值和的相差就會相當(dāng)小欲使相當(dāng)小，只要充分接近，當(dāng)時，都有.此即.2、時函數(shù)極限的定義定義2設(shè)函數(shù)在點的*個空心鄰域內(nèi)有定義，為定數(shù)，假設(shè)對任給的，使得當(dāng)時有，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時以為極限〔或稱Ａ為時的極限〕，記作或〔.函數(shù)極限的定義的幾點說明：〔1〕是結(jié)論，是條件，即由推出.〔2〕是表示函數(shù)與在的過程中，能夠任意地接近于，的第一個特性——任意性，即是變量；但一經(jīng)給定之后，暫時就把尋找，使得當(dāng)時的過程中是常量；另外，假設(shè)是任意正數(shù)，則均為任意正數(shù)，均可扮演的第三個特性——多值性；〔〕(3)是表示與的接近程度，它相當(dāng)于數(shù)列極限的定義中的Ｎ，都有一個與之對應(yīng)，所以是依賴于而適中選取的，為此記之為；一般說來，越小，越小.但是，定義中是要求由推出即可，故假設(shè)滿足此要求，則等等比還小的正數(shù)均可滿足要求，因此不是唯一的.這即的第二個特性——多值性.〔4〕在定義中，只要求函數(shù)在的*空心鄰域內(nèi)有定義，而一般不要求在處的函數(shù)值是否存在，或者取什么樣的值.這是因為，對于函數(shù)極限我們所研究的是當(dāng)趨于在點a的函數(shù)值是否存在，或取何值，因而限定"〞.〔5〕定義中的不等式；.從而定義2，當(dāng)時，都有，使得.〔6〕定義的幾何意義.設(shè)，證明：.設(shè)，討論時的極限.證明1〕；2〕.證明.證明.證明.例7．證明.證明：注意到，要想它任意小，可任意小，卻不能任意小，當(dāng)時，它必須遠(yuǎn)離零點.當(dāng)時，就遠(yuǎn)離零點了.,取，則當(dāng)時,有