偏微分方程在計(jì)算流體中的應(yīng)用_第1頁
偏微分方程在計(jì)算流體中的應(yīng)用_第2頁
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偏微分方程在計(jì)算流體中的應(yīng)用——pb06001032張凌肖這學(xué)期我選了一門研究生課——計(jì)算流體力學(xué),在學(xué)習(xí)這門課的過程中,我充分感覺到了偏微分方程的重要,因?yàn)闊o論哪一章,都滲透著偏微分方程的思想,沒有偏微分方程,計(jì)算流體這門課顯得支離破碎。下面我就拿一個(gè)特殊的計(jì)算流體方程舉例子。因?yàn)橛?jì)算流體這門課的教材是英文的,所以有些專有名詞我將只寫出英文,還請(qǐng)多包涵。

我要說的是Shallow-waterequation,它是典型的雙曲線方程,它是源于Navier-Stokesequation,形如(1.1)和(1.2),——(1.1)——(1.2)它模擬了海峽,湖泊,河流以及海水中水流的流動(dòng)形式。大氣和海洋中的流體的核心模型是由Shallow-waterequation組成的。接下來我將分六個(gè)方面說明偏微分方程在Shallow-waterequation中的應(yīng)用。一、Shallow-waterequation中的控制方程對(duì)于一維的Shallow-waterequation來說(1.1)和(1.2)可以簡(jiǎn)化成(1.3)和(1.4)。——(1.3)——(1.4)U是流體的平均深度,d是水深,g表示重力加速度,H是底部的高度,而C是Chezy摩擦系數(shù)。二、Shallow-waterequation的分類(1.3)和(1.4)可以轉(zhuǎn)化成(1.5),——(1.5),其中,,,而(1.5)的性質(zhì)體現(xiàn)在特征值問題(1.6)。——(1.6)我們有——(1.7),如果——(1.8)成立。由于我們已經(jīng)找到兩個(gè)實(shí)線性獨(dú)立向量,系統(tǒng)(1.5)是雙曲線型的。而且,特征向量可以通過線性運(yùn)算簡(jiǎn)化成——(1.9)三、Shallow-waterequation的特征線在thefrozencoefficient的情形下,有wave-likesolution,其中和由于沿著曲線,,且,時(shí),W=const。而上面的曲線就是特征線,這與偏微教材第一章所介紹的特征線在概念和性質(zhì)上是統(tǒng)一的。四、Shallow-waterequation的對(duì)角化我們先引入新的變量Z,使得,我們令,則(1.5)變形成(2.1),——(2.1)這樣,是一個(gè)對(duì)角陣,使得(2.1)變成一個(gè)獨(dú)立的方程組。我們?cè)谶x取矩陣B是有技巧的,令B等于F的特征向量的組合,,,而且Z滿足等式,進(jìn)而,我們得到,——(2.2),所以(2.1)變形成(2.3)——(2.3)五、Shallow-waterequation的波動(dòng)性我們先假設(shè)H是恒定的,并忽略摩擦力作用,這樣(2.3)就變成了(2.4)——(2.4)因此沿著特征線,,=const,而且沿著特征線,,=const。我們稱變量和是黎曼不變量。我們不妨把和看作擁有速度和的信號(hào)。是由重力引起的。其中,叫做celerity,叫做Froudenumber。接下來,我們來考慮調(diào)和波,=const,這是(2.5)的解,如果。如果,那么存在非零解。之后,引入了很多波動(dòng)性的新的概念,解釋起來很麻煩,就不在這里一一介紹了。六、Shallow-waterequation的初邊值條件Shallow-waterequation的初邊值條件的討論與《偏微分方程》中第四十頁到第四十一頁所討論的內(nèi)容是完全一致的,在那里,引入了“影響區(qū)域”,“決定區(qū)域”,還有“依賴區(qū)域”的概念,本文就不一一介紹了。其實(shí),關(guān)于Shallow-waterequation的內(nèi)容并沒有介紹完,因?yàn)楹竺娴膬?nèi)容涉及到偏微分方程數(shù)值解和有限元的理論,所以,就不在這里詳細(xì)闡述。不過,由上面的六個(gè)方面可以看出,Shallow-waterequation的基礎(chǔ)是建立在偏微分方程知識(shí)的熟練

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