2021大學《線性代數(shù)》期末考試試卷及參考答案

a 0 1已知矩陣A0 2 0的3個特征值之積為14,則a -4 .課程名稱

線性代數(shù)A 試卷 C卷別

1 0 2 適用 智能、計算、軟件、網(wǎng)絡、通信、工程、電考試子、微電、船舶、電氣、光電、物理等專業(yè)方式年級

閉卷√

給定向量組1

(a,1,1)T,2

(1,a,1)T,3

(1,1,a)T,若,,1 2 3

線性相關，則a 2-1.12222222（9）計算12222222（9）計算nD2232.222n號 線 總分學欄名息 姓得分

一 二 三 四 五 六 七 八一、填空題（共24分，每小題3分）

得分解第2行乘以-1加到其它各行，然后第1行乘以2加到第2行得：101000100022220222D00100010(7000n2000n2班級 1．排列32514的逆序數(shù)為 5 .班3 1生 1 12.已知4階行列式D

3 13 5,則D的第2列各元素的代數(shù)余子式之和為 0 .

2(n

2)!. (9)1 3 3 3考 業(yè) 2 4 3 3專裝 3.設A為3階方陣，且A*為A的伴隨矩陣，則A*

2 0 00 2 0. 0 0 2 4.設和B都是n階對稱矩陣，則AB是對稱矩陣的充分必要條件是ABBA.院 1 2 1 學5.設A1 2 3, 2 1 0

AB

(2,0,4)T.xx 06.三元齊次線性方程組1 3 的一個基礎解系是.xx 02 3

P1 P2 1 3 3 得 三（10分）設A1 4 3,證明矩陣A可逆，并求A.1 3 分 1 3

（12）設向量組解因為

分 (1,1,1,1)T,1 2

(3,1,1,3)T,3

(2,0,1,1)T,4

(1,1,0,2)T,1 3 3

1 3 3

判斷向量組,

,

的線性相關性.A1 4 30 1 010,

1求向量組,

2 3,

41 3 4 0 0 1

1 2 3 432422163所以矩陣32422163

解(1) 以,1 2

,,3

A施行初等行變換：由于

3 2 1

1

3 2 1號 線 1

1 0 0

1 0 1 0

2

2 1 13310033100133430101034001001

A

， (5分)(A,E)1

0

1 0

1 1 1 0 0

1

0 0 0 01

0 1

1

3 1 2

3

0 0 0欄

1 3

0 4 0 3

1 0 0

3 3

RA24,所以向量組

,

線性相. (7分)00 10名

0 1 1 0

1 0

1 0

(8分)

,

,

,

1 2 3 4息 姓 0 0

1 1 0 1

0 1

0 1

(2)

是向量組1 2 1 2

的一個最大無關. (9)3 40所以0信 訂 A級班生

7 3 3 1 1 0. 1 0 1

10B000

3 2 12 1 1,對B施行初等行變換化為行最簡形矩陣：0 0 00 0 01 2 1 1 得

1 3 2 1 0 1 111 2 211B考 業(yè) 分B專

四（10分）設A3 2 1,已知R(2,求與的值.5 6 3

0 1 1 2

1 22 0 1 1 ,2 0 0

20 0 0 0 0裝 1

1 1

1

1 1

0 0

0

0 0 0 0解 A 0 4 3 4

0 4 3

, (6

由此可知 0 4 8

0 0 5 1

11,學院 因學

R2,故

3 2 1 1

2 21.

(12分)50 510,即1. (10

4 2 1 2 2 P3 P4xx x x 0得 1 2 3 4001111100（12001111100

x

0 的基礎解系及通. 分 1 2

3 4 0

得 八（13分

A A Axx 2x 2x

設 （）求

的所有特征值與特征向量（）矩陣1 2 3 4

分 解 對方程組的系數(shù)矩陣施行初等行變換：

與E是否相似？說明理由.1 1 1 1

1 1 1 1

解(1)矩陣A的特征多項式為A1 1 1 11 1 2 2

0 0 2 20 0 3 3

0 1

AE 1

1

1(1)

1 (.1 1 1 1 線 0 0 1 1

0100100100100

1 0

1 號 學 0 0 0 0 0 0

由AE0得A的特征值為

1. (5分)R)24,所以方程組有非零解，其同解方程組為欄

1 2 3xx 當 1時,1 2. 1x x名 x 3 4

1 0 1 1 0 1 1 0 1息姓 息分別取

102 , 得方程組的基礎解系為

x 0

1

A

E1 2 1 0 2 2 0 1 1,4 4

1 1 0 1 0 0 0 0 0 0(1,1,0,0)T,1 2

(0,0,1,1)T. (10

信 訂級 因而方程組的通解為k

k,

k,

為任意常. (12分)

xxx1 3x

x 1

(1,1,1)T.班 11 22 1 2

其同解方程組為 x ,取2 3

得基礎解系為得生 所以矩陣A的相應于特征值得1

1的所有特征向量為k(k0). (8分)分（10）Axb3,,分1 2 3

當2 3

1時,是它的三個解向量，且

(2,3,4,5)T,

(1,2,3,4)T.

1 0 1 1 0 1考 業(yè)

1 2 3

專 (1)

2 2 3 1

的值.

A

E

1 0 1 0 0 0,(2)證明Ax0裝 (3)求非齊次線性方程組Axb的通.

2 1 0 1 0 0 0

)2

(1,2,3,

2(2,3,4,5)

(3,4,5,6)T. (3

其同解方程組為x1

x得基礎解系為32 3 1

(1,0,1)T,

(0,1,0)T.(2)因為A

A 2

2A3 Ax

bb2b0,0

1 2A

kk

(k,

不全為0).所以為齊次線性方程組

的. (6分

所以矩陣

的相應于特征值

的所有特征向量為學院 (3)