高數(shù)競(jìng)賽試題集

高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽一、二、填空題⒈若limsinx(cosxb)5，則a=，b=．x0exa⒉設(shè)f(x)lim(n21)x,則f(x)的間斷點(diǎn)為x．nnx1⒊曲線y=lnx上與直線xy1垂直的切線方程為．⒋已知f(ex)xex，且f(1)=0,則f(x)=．⒌設(shè)函數(shù)y(x)由參數(shù)方程xt33t1確定,則曲線yy(x)向上凸的x取值yt33t1范圍為．⒍設(shè)yarctanexlne2x，則dy．e2x1dxx11⒎若x0時(shí)，(1ax2)41與xsinx是等價(jià)無(wú)窮小，則a=.xex2,1x1設(shè)f(x)22，則21)dx⒏1f(x．121,x2nn⒐由定積分的定義知，和式極限lim．1n2k2nk⒑dx．1xx21三、四、單項(xiàng)選擇題11．把x0xcost2dt,x2x3dt，使排在后面的時(shí)的無(wú)窮小量0tantdt,sint00是前一個(gè)的高階無(wú)窮小，則正確的排列次序是【】(A),,.(B),,.(C),,.(D),,.12．設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且f(0)0,則存在0，使得【】(A) f(x)在（0， )內(nèi)單調(diào)增加. （B）f(x)在( ,0)內(nèi)單調(diào)減少 .（C）對(duì)任意的x (0, )有f(x)>f(0). (D) 對(duì)任意的x ( ,0)有f(x)>f(0).13.設(shè)f(x)x(1x),則【】（A）x0是f(x)的極值點(diǎn),但(0,0)不是曲線yf(x)的拐點(diǎn).（B）x0不是f(x)的極值點(diǎn),但(0,0)是曲線yf(x)的拐點(diǎn).（C）x0是f(x)的極值點(diǎn),且(0,0)是曲線yf(x)的拐點(diǎn).（D）x0不是f(x)的極值點(diǎn),(0,0)也不是曲線yf(x)的拐點(diǎn).14.limlnn(11)2(12)2L(1n)2等于【】nnnn2xdx.22lnxdx.（C）22x)dx.22(1x)dx（A）ln2（B）1ln(1（D）ln11115.|x|sin(x2)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界.【】函數(shù)f(x)1)(x2)2x(x(A)(1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).)內(nèi)有定義，且limf(x)a，g(x)f(1),x016.設(shè)f(x)在(,+x，則【】x0,x0(A)x=0必是g(x)的第一類間斷點(diǎn).(B)x=0必是g(x)的第二類間斷點(diǎn).(C)x=0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn).(D)g(x)在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān).17.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(a)0,f(b)0，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是【】(A)至少存在一點(diǎn)x0(a,b)，使得f(x0)>f(a).(B)至少存在一點(diǎn)x0(a,b)，使得f(x0)>f(b).(C)至少存在一點(diǎn)x0(a,b)，使得f(x0)0.(D)至少存在一點(diǎn)x0(a,b)，使得f(x0)=0.1,x0x18.設(shè)f(x)0,x0，F(xiàn)(x)f(t)dt，則【】01,x0(A)F(x)在x=0點(diǎn)不連續(xù).(B)F(x)在(,+)內(nèi)連續(xù)，但在x=0點(diǎn)不可導(dǎo).(C)F(x)在(,+)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足F(x)f(x).(D)F(x)在( ,+ )內(nèi)可導(dǎo)，但不一定滿足F(x) f(x).三、解答題12xcosx19．求極限lim1.x0x3320．設(shè)函數(shù)f(x)在（,）上有定義,在區(qū)間[0,2]上,f(x)x(x24),若對(duì)任意的x都滿足f(x)kf(x2),其中k為常數(shù).(Ⅰ)寫出f(x)在[2,0]上的表達(dá)式;(Ⅱ)問(wèn)k為何值時(shí),f(x)在x0處可導(dǎo).21．設(shè) f（x），g（x）均在［a,b］上連續(xù)，證明柯西不等式22．設(shè)eabe2,證明ln2bln2a4(ba).e2exex0,xt(t0)及y0圍成一曲邊梯形.該曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體,其23曲線y與直線x2t處的底面積為F(t).(Ⅰ)求S(t)的值;(S(t).體積為V(t),側(cè)面積為S(t),在xⅡ)limV(t)tF(t)xf(t)dtxbb24．設(shè)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，且滿足g(t)dt，x[a,b)，f(t)dtg(t)dt.aaaabb證明：xf(x)dxxg(x)dx.aa25．某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí)，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機(jī)尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛機(jī)迅速減速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī)，著陸時(shí)的水平速度為700km/h.經(jīng)測(cè)試，減速傘打開后，飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比（比例系數(shù)為k6.0106).問(wèn)從著陸點(diǎn)算起，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小時(shí).高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷一、單項(xiàng)選擇題x21、若lim( ax b) 0，則x1（A） a 1,b 1 （B）a 1,b 1（C） a 1,b 1 （D）a 1,b 1f(x)x02、設(shè)F(x),0處可導(dǎo)且f'(0)0，f(0)0，則x0是F(x)的x，其中f(x)在xf(0),x0（A）連續(xù)點(diǎn)（B）第一類間斷點(diǎn)（C）第二類間斷點(diǎn)（D）以上都不是3、設(shè)常數(shù)k0，函數(shù)f(x)lnxx)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（A）0（B）1（C）2（D）3k在(0,e14、若在[0,1]上有f(0)g(0)0,f(1)g(1)a0，且f''(x)0，g''(x)0，則I1f(x)dx，011I2g(x)dx，I3axdx的大小關(guān)系為00（A）I1I2I3（B）I2I3I1（C）I3I2I1（D）I2I1I35、由平面圖形0axb,0yf(x)繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為2b()（B）bb2（D）bVxfV2f(x)dxVf(x)dxVf(x)dx（A）aa（C）aa6、P(1,3,4)關(guān)于平面3xy2z0的對(duì)稱點(diǎn)是（A）(5,1,0)（B）(5,1,0)（C）(5,1,0)（D）(5,1,0)7、設(shè)D為x2y2R2，D1是D位于第一象限的部分，f(x)連續(xù)，則f(x2y2)dD（A）8f(x2)d（B）0RRf(x2y2)dy（D）4f(x2y2)d（C）RdxD1RD18、a為常數(shù)，則級(jí)數(shù)sin(na)1（A）絕對(duì)收斂（B）發(fā)散C）條件收斂（D）收斂性與a的取值有關(guān)n2nn1二、填空題32x(1xx1、limtan4e)。x0x12、具有n個(gè)不相等實(shí)根的n次多項(xiàng)式，其一階導(dǎo)數(shù)的不相等實(shí)根至少有個(gè)。3、對(duì)數(shù)螺線e在點(diǎn)(,)(e2,)處的切線的直角坐標(biāo)方程為。24、設(shè)f(x)是x的二次多項(xiàng)式，且(1x)f'(x)2f(x)0，f(0)1，則f(x)。5、設(shè)ysinx2，則dyd(x3)。6、28x7x44x32x23x1dx。2x217、若級(jí)數(shù)(1)na收斂，則常數(shù)a。nn18、三重積分zln(x2y2z21)dxdydz。x2y2z21x2y2z218*、已知曲線yx33a2xb與x軸相切，則b2可以通過(guò)a表示為b2。9、設(shè)為上半橢球面x2y2z21,(z0)，已知的面積為S，則曲面積分94(4x2 9y2 36z2)dS 。9*、級(jí)數(shù)x2n1。的收斂區(qū)間為n13n10、三元函數(shù)uzez2xy在點(diǎn)(1,1,1)處沿該點(diǎn)的向徑方向的方向?qū)?shù)為。10*、設(shè)f(1)xx，且f(x)可微，則f'(x)。x111、設(shè)yxsintdt(0x)，則曲線yy(x)的長(zhǎng)度為0。11*、若f(x)dxxexC，則f(x)。rrrrrrrrrrrrr12、設(shè)a,b,c都是單位向量，且滿足abc0，則abbcca。12*、函數(shù)y3x的拐點(diǎn)為。3三、按要求做下列各題。1、求極限limx2(x22x1x)。2、已知函數(shù)yf(x)對(duì)一切x滿足xxf''(x)3x[f'(x)]21ex且在點(diǎn)x00處取得極值，問(wèn)f(x0)是極大值還是極小值，并證明你的結(jié)論。四、計(jì)算下面積分。1、1lnxdx2、3xxdx五、f(x,y)為D:x2y2y,x0上的連續(xù)函數(shù)，f(x,y)1x2y28f(u,v)dudv,求f(x,y)D六、周長(zhǎng)為2l的等腰三角形繞其底邊旋轉(zhuǎn)，問(wèn)此等腰三角形的腰和底邊之長(zhǎng)各為多少時(shí)，才可使旋轉(zhuǎn)體的體積為最大？七、f(x)[a,b]連續(xù)(a,b)可導(dǎo)，f(a)f(b)0，f(a)f(ab)0。證明：在(a,b)內(nèi)存在，使得f'()f()。2八、設(shè)函數(shù)yy(x)由方程組t2xt22t2(0a1)所確定，求dy，d2y。yasinydxdx2九、1、已知ex2dx2，b為大于零的常數(shù)。設(shè)積分IL(ey2x2cos2xy3y)dx(ey2x2sin2xyby)dy。0其中L是依次連結(jié)A(a,0),B(a,),C(0,),O(0,0)的有向折線。求極限limI。aaa2、計(jì)算曲面積分Ixdydzydzdxzdxdy，其中為曲面1z(x2)2(y1)2(z0)的上側(cè)。(x2y2z2)35169提示：先補(bǔ)充兩個(gè)曲面1{(x,y,z)|z0,x2y2a2,(x2)2(y1)21}，取下側(cè)；1692{(x,y,z)|za2x2y2，取下側(cè)，其中常數(shù)a充分小，使上半球面2與積分曲面互不相交。九*、1、已知F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，而F(x)是微分方程xy'yex滿足初始條件limy(x)1的解，試將f(x)x 0展開成x的冪級(jí)數(shù)，并求n的和。n1(n1)!2、如下圖，曲線C的方程為yf(x)，點(diǎn)(3,2)是它的一個(gè)拐點(diǎn)，直線l1與l2分別是曲線C在點(diǎn)(0,0)與(3,2)處的32)f'''(x)dx。切線，其交點(diǎn)為(2,4)。設(shè)函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算定積分(xx0高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽一、二、填空題⒈lim2122LL2nnn1nn2nnxn⒊設(shè)函數(shù)yy(x)由方程y1xey確定，則dydx

。⒉lim11.2xtanxx0x1x0=。4.202xxdx。5.廣義積分xdx。6.x2y2a2繞xb(ba0)旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為。0(1x2)27.zz(x,y)由2x3z2y確定,則3zz。⒏zzexy⒐設(shè)rx2y2z2，則div(gradr)1,2,2。01y⒑交換二次積分次序的積分次序1dy2f(x,y)dx12.設(shè)L為正向圓周x2y22在第一象限中的部分，則曲線積分二、單項(xiàng)選擇題

x2 y2與2x 4y z 0平行的切平面的方程是1xysinz11.dxdydz00o1zxdy2ydx的值為.L13.設(shè)函數(shù)f(x)x31(x)，其中(x)在x1處連續(xù)，則(1)0是f(x)在x1處可導(dǎo)的【】(A)充分必要條件.（B）必要但非充分條件.(C)充分但非必要條件.(D)既非充分也非必要條件.14．設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且F(x)1f(x),a0,則f(ax)dx【】0（A）F(1)F(0).（B）F(a)F(0).（C）1[F(a)F(0)].（D）a[F(a)F(0)].a15．下列等式中正確的是【】（A）f(2x)dxf(2x)C.（B）df(2x)f(2x)C.（C）dxt)dtf(xt).1f(x).f(x（D）dxf(xt)dtdx0016.limlnn(11)2(12)2(1n)2等于nnnn222x)dx.（D）2ln2(1x)dx.（A）ln2xdx（B）2lnxdx.（C）2ln(11111121x217.設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則4d,rsin)rdr等于【2dxf(rcos】（A）f(x,y)dy.000x21x2f(x,y)dy.2dy1y22dy1y2f(x,y)dx.（B）2dx（C）2yf(x,y)dx.（D）20000018.設(shè)f(x,y)與(x,y)均為可微函數(shù)，且y(x,y)0.已知(x0,y0)是f(x,y)在約束條件(x,y)0下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是【】（A）若fx(x0,y0)0，則fy(x0,y0)0.（B）若fx(x0,y0)0，則fy(x0,y0)0.（C）若fx(x0,y0)0，則fy(x0,y0)0.（D）若fx(x0,y0)0，則fy(x0,y0)0.19.設(shè)l為橢圓x2y21，其周長(zhǎng)記為a,則?(2xy3x24y2)ds【】（A）4a.（B）8a.（C）12a（D）16a.43l20.級(jí)數(shù)an收斂，級(jí)數(shù)【】（A）an收斂.（B）(1)nan收斂.（C）anan1收斂.（D）anan1收斂.n1n1n1n1n12三、解答題sin2cos1x21．極限limxxx22．設(shè)函數(shù)f(x)在（,）上有定義,在區(qū)間[0,2]上,f(x)x(x24),若對(duì)任意的x都滿足f(x)kf(x2),其中k為常數(shù).(Ⅰ)寫出f(x)在[2,0]上的表達(dá)式;(Ⅱ)問(wèn)k為何值時(shí),f(x)在x0處可導(dǎo).23.求通過(guò)點(diǎn)1,1的直線yfx22fx2中，使得xdx為最小的直線方程。024．求曲面zx2y2夾在二曲面x2y2y,x2y22y之間的部分的面積。25．計(jì)算Ixcdxydyc0，其中AB是沿著橢圓x2y21的正向從Aa,0到B0,b的一段弧。3a2b2ABxc2y2226．設(shè)f(x)為可微函數(shù)，且f(0)0,f(0)2，試求limf(x2y2)y2t2ln(1t3dxdy。t027．設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，在a,b內(nèi)可導(dǎo)0ab，證明存在1,2(a,b)使f'(1)f'(2)(ab)。2228．已知曲線L的方程為xt21,(t0),（Ⅰ）討論L的凹凸性；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)1,0引L的切線，求切點(diǎn)(x0,y0)，y4tt2x0的部分）及x軸所圍成的平面圖形的面積。并寫出切線的方程；（Ⅲ）求此切線與L（對(duì)應(yīng)于x高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽一、填空題7、設(shè)曲線xyz0在點(diǎn)(11,,0)處的法平面為S，則點(diǎn)(0,2,2)到S的距離是()x2y2z208、設(shè)f(x,y)arcsiny，則fx'(2,1)()x二、選擇題13、曲線x2y253)處的切線方程為()zx2在點(diǎn)(1,2,y2A.x1y2z3x1y2z3x3y1z5x1y2z321821.21D.1888214、設(shè)zyyx，則z()yA.yxyyx1B.yxyyx1(lny)2C.yx1(lny)2D.yxyyx1xlnyyyyyfx,ydacosrcos,rsinrdr，則區(qū)域D可以表示為(15、若2df)D20A.x2y2a2B.x2y2a2,x0C.x2y2ax,a0D.x2y2ax,a016∑為z=2－(x2+y2)在xoy上方部分，ds17、若是某二元函數(shù)的全微分，則a,b的關(guān)系是()A.ab0B.ab0C.ab1D.ab118、設(shè)曲線C是由極坐標(biāo)方程r=r(θ)(θ1≤θ≤θ2)給出，則Ifx,ydscA.2rcos,rsinr2r2dB.2x,y1y2dxff112rcos,rsind2frcos,rsinrdC.fD.1 119、a為任意正的實(shí)數(shù)，若級(jí)數(shù)ann!，n2n2都收斂，有（）n1nnn2naA.aeB.ae1aeD.0a1C.2220、下列級(jí)數(shù)中發(fā)散的級(jí)數(shù)是（）1n1n1nnn；（C）1（A）n1；（B）n1；（D）n。n1n2n2n1n21n1、lim(ex1x)22、f(x)22cosx，x0a為何值時(shí)，f(x)在x0處連續(xù)。一、解答題求極限xx0tanxsin3xaex，x0dx。4、設(shè)f(x)在a，b上連續(xù)，且F(x)xt)f(t)dt，xa，b,試求F(x)。3、求(x2sinxcosx5axy5．設(shè)f(x,y)xsint2dt，求fx,。6．計(jì)算二次積分y447．計(jì)算二重積分1dxdy其中D：x2y24,x2y216,x2y24x。Dx2y28．計(jì)算極限lim1ex2y2lnx2y3d其中D：0xt,0yt。x0t2D二、證明題1．2．試證：F(t)ln(t22tcosx1)dx為偶函數(shù)。03．4．證明恒等式x2arctan(secxtanx)33在x時(shí)成立。2223．設(shè)f(x)對(duì)一切x，y滿足f(xy)eyf(x)exf(y)，且f(x)在x0處連續(xù)，求證：f(x)在任意x處連續(xù)。b2b2(x)dxb2(x)dxf(x)g(x)dx4．設(shè)f（x），g（x）均在［a,b］上連續(xù)，證明柯西不等式fgaaa三、應(yīng)用題ex e1．曲線y2

x與直線x 0,x t(t 0)及y 0圍成一曲邊梯形.該曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體,其體積為V(t),側(cè)面積為S(t),在xt處的底面積為F(t).(Ⅰ)求S(t)的值;(Ⅱ)計(jì)算極限limS(t).V(t)tF(t)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽一、填空1．設(shè)fxtanx,fgxx22，且gx4.則gx的定義域?yàn)?1113n2212求limarctann!n1nL2=.n223n1nn1sin2xxfx2fx2tanx102100，則lim.4．求limsinx3．設(shè)limx3x2sinx.x0x0x0．曲線yx2的拐點(diǎn)為.6．函數(shù)fxx2cosx在0,上的最大值為.51x222x3x211x7．求dx.8．求x2lndx.11x9．求1ex2dx.10．設(shè)fxd2fxtdt.連續(xù)，則11．求2dx12．由曲線yx12所圍圖形的面積S.3,x2及y01tanxx13．以向量rurrrurr為邊的三角形的面積為，其中urrurr.am2n和bm3nm5,n3,,mn614．設(shè)z1xyyxy,f,2z.f具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則xyx15．函數(shù)fx,y,zcosxyz在點(diǎn)1,1,處函數(shù)值增加最快的方向?yàn)?33nnjn16．求limi2sin.5n!.2n42n17．求limnni1j1n2n18．dex1冪級(jí)數(shù)表達(dá)式為.19