小學(xué)數(shù)學(xué)講義秋季六年級(jí)秋季超常講義第13講抽屜原理進(jìn)階

第13講第十三講抽屜原理進(jìn)階知識(shí)站牌題綜合級(jí)春季級(jí)寒假塊選講（二）塊選講（一）級(jí)秋季屜原理進(jìn)階秋季中的計(jì)數(shù)復(fù)雜的抽屜原理構(gòu)造問(wèn)題，重點(diǎn)是數(shù)論中抽屜原理的應(yīng)用漫畫釋義第11級(jí)下超常體系教師版 教學(xué)目標(biāo)1. 2. 掌握數(shù)論中抽屜知識(shí)點(diǎn)回顧1. 樣，把32個(gè)蘋果放進(jìn)31個(gè)抽屜里，至少有一個(gè)抽屜里放至少兩個(gè)蘋果．因此至少有2名學(xué)是同一天出生．2. 班上有50名小朋友，老師至少拿幾本書，隨意分給小朋友，才能保證至少有一個(gè)小朋友能得到不少于兩本書？【分析】根據(jù)抽屜原理，至少要拿50151本書．名學(xué)生中，至少有兩個(gè)人在做同一科作業(yè)．抽屜原理，一定存在一個(gè)抽屜，在這個(gè)抽屜里至少有2個(gè)蘋果．即至少有兩名學(xué)生在做同一科的作業(yè)．4. 55. 有紅、黃、白三種顏色的小球各10個(gè)，混合放在一個(gè)布袋中，一次至少摸出 才能保證有5個(gè)小球是同色的．課堂引入“任意367個(gè)人中必有生日相同的人“從任意5雙手套中任取6只，其中至少有只恰為一雙手套．“從數(shù)12，...，10中任取個(gè)數(shù)，其中至少有個(gè)數(shù)為奇偶性不同...大家都會(huì)認(rèn)為上面所述結(jié)論是正確的這些結(jié)論是依據(jù)什么原理得出的呢們今天要2第11級(jí)下超常體系教師版第13講習(xí)的抽屜原理經(jīng)典精講抽屜原理有時(shí)也被稱為鴿籠原理，它由德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確提出來(lái)并用來(lái)證明一些數(shù)論中的問(wèn)題，因此，也被稱為狄利克雷原則．抽屜原理是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)重要而又基本的數(shù)學(xué)原理，利用它可以解決很多有趣的問(wèn)題，并且常常能夠起到令人驚奇的作用．許多看起來(lái)相當(dāng)復(fù)雜，甚至無(wú)從下手的問(wèn)題，在利用抽屜原則后，能很快使問(wèn)題得到解決．抽屜原理推廣到一般情形有以下兩種表現(xiàn)形式：2m應(yīng)用抽屜原理解題的步驟第一步：分析題意．分清什么是“蘋果”，什么是“抽屜”，也就是什么作“蘋果”，什么可作“抽屜”．第二步：制造抽屜．這個(gè)是關(guān)鍵的一步，這一步就是如何設(shè)計(jì)抽屜．根據(jù)題目條件和結(jié)論，結(jié)合有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，抓住最基本的數(shù)量關(guān)系，設(shè)計(jì)和確定解決問(wèn)題所需的抽屜及其個(gè)數(shù)，為使用抽屜鋪平道路．第三步：運(yùn)用抽屜原理．觀察題設(shè)條件，結(jié)合第二步，恰當(dāng)應(yīng)用各個(gè)原則或綜合運(yùn)用幾個(gè)原則，以求問(wèn)題之解決．[m1]表示.每一個(gè)類含有無(wú)窮多個(gè)數(shù)，例如[1]中含有1，m1，2m1，3m1，….在研究與整除.例題思路模塊一：抽屜原理的基本應(yīng)用模塊二：抽屜原理在數(shù)論中的應(yīng)用3模塊三：抽屜原理在其他方面的應(yīng)用例1的說(shuō)法是正確的，那么最多有多少個(gè)學(xué)校參加了這次入學(xué)考試？第11級(jí)下超常體系教師版 （學(xué)案對(duì)應(yīng)：超常1）有：1231124個(gè)學(xué)校(處理余數(shù)很關(guān)鍵，如果有125個(gè)學(xué)校則不能保證至少有10名同學(xué)來(lái)自同一個(gè)學(xué)校)例2⑴至少有5張牌的花色相同；⑵四種花色的牌都有；⑶至少有3張牌是紅桃．⑷至少?gòu)闹腥〕鰩讖埮?，才能保證至少有2張梅花和3張紅桃．【分析】一副撲克牌有四種花色，每種花色各13張，另外還有兩張王牌，共54張．”5”四種花色看作4個(gè)抽屜，要想有5張牌屬于同一個(gè)抽屜，只需再摸出44117(張)，也19“13能保證其中至少有3張紅桃牌．⑸因?yàn)槊糠N花色有13張牌，若考慮最“壞”的情況，即摸出2張王牌、方塊和黑桃兩種花色的所有牌共計(jì)：132228(張)，然后是摸出所有的梅花和3張紅桃(想想若摸出所有的紅桃和2張梅花，是最壞的情況么？)，共計(jì)：2813344張．例3（學(xué)案對(duì)應(yīng)：帶號(hào)2）【分析】我們用題目中的15個(gè)偶數(shù)制造8個(gè)抽屜，(2),(4,30)，(6,28)，…，(16,18),凡是抽屜中的有兩個(gè)數(shù)，都具有一個(gè)共同的特點(diǎn)：這兩個(gè)數(shù)的和是34．同一個(gè)抽屜中.由制造的抽屜的特點(diǎn)，這兩個(gè)數(shù)的和是34．例4 9（學(xué)案對(duì)應(yīng)：超常2）1，23，4，5，，7，8，910，11，1213，14，1516，171819，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36；…1963，1964，…，1979，1980；1981，1982，…，1994．4第11級(jí)下超常體系教師版第13講每一組中取前9個(gè)數(shù)，共取出9111999（個(gè)）數(shù)，這些數(shù)中任兩個(gè)的差都不等于9．因此，最多可以取999個(gè)數(shù)．方法二：構(gòu)造公差為9的9個(gè)數(shù)列（除以9的余數(shù)）2,11,20,29,,1991，共計(jì)222個(gè)數(shù)99能取相鄰的項(xiàng)．因此，前五個(gè)數(shù)列只能取出一半，后四個(gè)數(shù)列最多能取出一半多一個(gè)數(shù)，所以最多取1119999個(gè)數(shù)1958年6月7號(hào)的《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》上有這樣一道題目：“證明在任意個(gè)人的集會(huì)上，或者有相識(shí)，或者有三個(gè)人以前彼此不相問(wèn)題可以用如下方法簡(jiǎn)單明了地證出：此認(rèn)識(shí)，那么就在代表他們的兩點(diǎn)間連成一條紅線；否則連一條藍(lán)線．考慮A點(diǎn)與其余各點(diǎn)間的5條連線AB，AC，...，AF，它們的顏色不超過(guò)2種．根據(jù)抽屜原理可知其中至少有3條連也為紅色，那么三角形ABC即一個(gè)紅色三角形，A、B、C代表的3個(gè)人以前彼此相識(shí)：如果以前彼此不相識(shí)．不論哪種情形發(fā)生，都符合問(wèn)題的結(jié)論．第11級(jí)下超常體系教師版 例5任給11個(gè)數(shù)，其中必有6個(gè)數(shù)，它們的和是6的倍數(shù)．【分析】設(shè)這11個(gè)數(shù)為a1，a2，a3，……，11，由［鋪墊］的結(jié)論可知，在a1，a2，a3，a4，a5中必有3個(gè)數(shù)，其和為3的倍數(shù)，不妨設(shè)a1a2a33k1；在a4，a5，a6，a7，a8中必有3個(gè)數(shù)，其和為3的倍數(shù)，不妨設(shè)a4a5a63k2；在a7，a8，a9，10，a11中必有3個(gè)數(shù)，其和為3的倍數(shù)，不妨設(shè)a7a8a93k3．又在k1，k2，k3中必有兩個(gè)數(shù)的奇偶性相同，不妨設(shè)k1，k2的奇偶性相同，那么3k13k2是6的倍數(shù)，即a1，a2，a3，a4，a5，a6的和是6的倍數(shù)．，【分析】任何整數(shù)除以3的余數(shù)只能是0，1，2三種情形之一．現(xiàn)在，對(duì)于任意的五個(gè)自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)，于是可分下面兩種情形來(lái)加以討論．第一種情形：有三個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜里，即這三個(gè)數(shù)除以3后具有相同的余數(shù)．因?yàn)檫@三個(gè)數(shù)的余數(shù)之和是其中一個(gè)余數(shù)的3倍，故能被3整除，所以這三個(gè)數(shù)之和能被3整除．第二種情形：至多有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜里，那么每個(gè)抽屜里都有數(shù)，在每個(gè)抽屜里各取3綜上所述，在任意的五個(gè)自然數(shù)中，其中必有三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)．例6，（學(xué)案對(duì)應(yīng)：超常4）【分析】慮如下n1個(gè)數(shù)：7，77，777，……，777n

7770，1，2，……，n1中之一，共n種情況，根據(jù)抽屜原理，其中必有兩個(gè)數(shù)除以n的余數(shù)相同，不妨設(shè)為777p

和777q

(pq)，那么

777777777000p位 q位 (pq)位q位 q位例7不相同．當(dāng)兩個(gè)圓環(huán)按不同方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，必有某一時(shí)刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對(duì)數(shù)字相同的滾珠相對(duì)．（學(xué)案對(duì)應(yīng)：帶號(hào)4）6第11級(jí)下超常體系教師版第13講【分析】?jī)?nèi)外兩個(gè)圓環(huán)對(duì)轉(zhuǎn)可以看成一個(gè)靜止，只有一個(gè)環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)，一個(gè)環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)一周后，每個(gè)滾珠都會(huì)有一次與標(biāo)有相同數(shù)字的滾珠相對(duì)的局面出現(xiàn)，那么這種局面共要出現(xiàn)8次.將這8次局面看成8個(gè)蘋果，注意到一環(huán)每轉(zhuǎn)動(dòng)45角就有一次滾珠相對(duì)的局面出現(xiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周共有8次滾珠相對(duì)的局面，而最初相對(duì)滾珠所標(biāo)數(shù)字都不相同，所以相對(duì)的滾珠所標(biāo)的數(shù)字相同的情況只出現(xiàn)在以后的7次轉(zhuǎn)動(dòng)中，將7次轉(zhuǎn)動(dòng)看做7個(gè)抽屜，根據(jù)抽屜原理至少有2次數(shù)字相對(duì)的局面出現(xiàn)在同一次轉(zhuǎn)動(dòng)中即必有某一時(shí)刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對(duì)數(shù)字相同的滾珠相對(duì)．例8，7道題目．

a道題．顯然

a1420，而a1～13

a7，a7，

a7，……，

a7這28個(gè)數(shù)，它們都不超過(guò)27．a(chǎn)7，

a7，……，

a7也互不相等，因而這兩個(gè)相等的數(shù)只能一個(gè)在前一組，另一個(gè)在后一組中，即有：

aa7，所以j

ajai7．這表明從第i1天到第j天，小明恰據(jù)說(shuō)世界上沒(méi)有兩個(gè)人的手指紋是一樣的，因此警方在處理犯罪問(wèn)題時(shí)很重視手指紋，希望通過(guò)手指紋來(lái)破案或檢定犯人．誰(shuí)有多少頭發(fā)，誰(shuí)就進(jìn)入編號(hào)和他的頭發(fā)數(shù)相同的房子去．因此張樂(lè)平先生的“三毛”應(yīng)該進(jìn)入“3號(hào)房子”．現(xiàn)在假定每間房巳進(jìn)入一個(gè)人，那么還剩下“12億減N”個(gè)人，這數(shù)目不會(huì)等于零，我們現(xiàn)在隨便挑一個(gè)放進(jìn)一間和他頭發(fā)數(shù)相同的房子，他就會(huì)在里面遇到和他有相同頭發(fā)數(shù)目同志了．面來(lái)解決下面一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，伸手不見(jiàn)五指，而你又要出去，于是你就摸床在黑暗中不能知道哪一雙是顏色相同的．最少數(shù)目的襪子出去，在外面借街燈配成同顏色的一雙．這最少數(shù)目應(yīng)該是多少？答案：4只襪子第11級(jí)下超常體系教師版 思考題1. 某次數(shù)學(xué)、英語(yǔ)測(cè)試，所有參加測(cè)試者的得分都是自然數(shù)，最高得分198，最低得分人．【分析】1981691327種得分，2751136人．2. 【分析】20)，(7，14)，(9，18)，(11)，(13)，(15)，(17)，(19)，前5個(gè)抽屜中，任意兩個(gè)數(shù)都有倍數(shù)關(guān)系．從這10個(gè)抽屜中任選11個(gè)數(shù)，必有一個(gè)抽屜中要取2個(gè)數(shù)，它們只能從前5個(gè)抽屜中取出，這兩個(gè)數(shù)就滿足題目要求．3. (南京市首屆興趣杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽【分析】構(gòu)造公差為5的數(shù)列，如圖，有五條鏈，看成5個(gè)抽屜，每條鏈上取1個(gè)數(shù)，最多取5個(gè)數(shù)．1－6－11－16－21－26－31－362－7－12－17－22－27－323－8－13－18－23－28－334－9－14－19－24－29－34510152025304. 證明：任給12個(gè)不同的兩位數(shù)，其中一定存在著這樣的兩個(gè)數(shù)，它們的差是個(gè)位與十位數(shù)字相同的兩位數(shù)．【分析】?jī)晌粩?shù)除以11的余數(shù)有11種：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，按余數(shù)情況把所有這2個(gè)數(shù)除以11的余數(shù)相同，兩者的差一定能整除11．兩個(gè)不同的兩位數(shù)，差能被11整11字相同的兩位數(shù)．5. （第八屆小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽如果一定請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；如果不一定請(qǐng)舉出一個(gè)反例1意7個(gè)互不同類的自然數(shù)，放到這6個(gè)抽屜中，至少有1個(gè)抽屜里放2個(gè)數(shù)．因?yàn)?個(gè)數(shù)互不同類，所以后兩個(gè)抽屜中每個(gè)都不可能放兩個(gè)數(shù)．當(dāng)兩個(gè)互不同類的數(shù)放到前4個(gè)抽8第11級(jí)下超常體系教師版 第13講6. 形中，一定有一個(gè)三角形，它的最大邊同時(shí)是另外一個(gè)三角形的最小邊．【分析】我們先把題目解釋一下．一般情況下三角形的三條邊的長(zhǎng)度是互不相等的，因此必有最大邊和最小邊．在等腰三角形(或等邊三角形中)，會(huì)出現(xiàn)兩條邊，甚至三條邊都是最大邊(或最小邊我們用染色的辦法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題．分兩步染色：第一步：先將每一個(gè)三角形中的最大邊涂上同一種顏色，比如紅色；第二步，將其它的未涂色的線段都涂上另外一種顏色，比如藍(lán)色．這樣，我們就將所有三角形的邊都用紅、藍(lán)兩色涂好．這些三角形中至少有一個(gè)同色三角形．由于這個(gè)同色三角形有自己的最大邊，而最大邊涂成紅色，所以這個(gè)同色三角形必然是紅色三角形．由于這個(gè)同色三角形有自己的最小邊，而這條最小邊也是紅色的，說(shuō)明這條最小邊必定是某個(gè)三角形的最大邊．結(jié)論得證．7. 圓周上有2000個(gè)點(diǎn)，在其上任意地標(biāo)上0,1,2,,1999（每一點(diǎn)只標(biāo)一個(gè)數(shù)，不同的點(diǎn)標(biāo)上不同的數(shù)．證明必然存在一點(diǎn)兩個(gè)點(diǎn)和這點(diǎn)上所標(biāo)的三個(gè)數(shù)之和不小于【分析992 3

a2000a1a23a1a2

3(1231999)59970008. 將每一個(gè)小方格涂上紅色黃色或藍(lán)色．（每一列的三小格涂的顏色不相同涂色，其中至少有兩列，它們的涂色方式相同，你同意嗎？【分析】通過(guò)列舉我們發(fā)現(xiàn)給這些方格涂色，要使每列的顏色不同，最多有6種不同的涂法，涂到第六列以后，就會(huì)跟前面的重復(fù)．所以不論如何涂色，其中至少有兩列它們的涂色方式相同．知識(shí)點(diǎn)總結(jié)2mn第11級(jí)下超常體系教師版 家庭作業(yè)1. 球， 個(gè)盒子里的乒乓球數(shù)量相同．【分析】1234515，61÷154…1，415．2. 【分析】3. 104．【分析】

1，4，7，10，…，100共有34個(gè)數(shù)，將其分為(4，100)，(7，97)，…，(49，55)，(1)，44. （小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽【分析】將1～1989排成四個(gè)數(shù)列：1，5，9，…，1985，19892，6，10，…，19863，7，11，…，9874，8，12，…，198844能取相鄰的項(xiàng)．因此，第一個(gè)數(shù)列只能取出一半，因?yàn)橛?19891)41498項(xiàng)，所以最多取出249項(xiàng)，例如1，9，17，…，1985．同樣，后三個(gè)數(shù)列每個(gè)最多可取249項(xiàng)．因而5. 那么它們的差ab是m的倍數(shù).根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，本題只需證明這8個(gè)自然數(shù)中有2個(gè)自然7776. 【分析】19964499，下面證明可以找到1個(gè)各位數(shù)字都是1的自然數(shù)，它是499的倍數(shù)．個(gè)余數(shù)a1，a2，a3，…，a500．由于余數(shù)只能取0，1，2，…，498這499個(gè)值，所以根據(jù)抽屜原則，必有2個(gè)余數(shù)是相同的，這2個(gè)數(shù)的差就是499的倍數(shù)，差的前若干位是1，01第11級(jí)下超常體系教師版第13講7. 8位小朋友圍著一張圓桌坐下，在每位小朋友面前都放著一張紙條，上面分別寫著這8位小朋友的名字．開(kāi)始時(shí)，每位小朋友發(fā)現(xiàn)自己面前所對(duì)的紙條上寫的都不是自己的名字，請(qǐng)證明：經(jīng)過(guò)適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)圓桌一定能使至少兩位小朋友恰好對(duì)準(zhǔn)自己的名字【分析】沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)圓桌，每次轉(zhuǎn)動(dòng)一格，使每位小朋友恰好對(duì)準(zhǔn)桌面上的字條，經(jīng)過(guò)8次后，桌面又回到原來(lái)的位置．在這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，每位小朋友恰好對(duì)準(zhǔn)桌面上寫有自己名字的字條一次，我們把每位小朋友與自己名字相對(duì)的情況看作“蘋果”，共有8只“蘋果”．另一方面，由于開(kāi)始時(shí)每個(gè)小朋友都不與自己名字相對(duì)，所以小朋友與自己名字相對(duì)的情8. 時(shí)鐘的表盤上按標(biāo)準(zhǔn)的方式標(biāo)著1，2，3，…，11，12這12個(gè)數(shù)，在其上任意做n個(gè)120°41112110 【分析】（1）當(dāng)n8時(shí)，有可能不能覆蓋12個(gè)數(shù)，比如每塊扇形錯(cuò)開(kāi)1個(gè)數(shù)擺放，蓋住的數(shù)分別4超常班學(xué)案13人得得分相同．分，7分，47分，49分不可能出現(xiàn)．共有51645（種）不同得分．根據(jù)抽屜原理，至少有452191（人）參賽，才能保證至少有3人得分相同．【超常班學(xué)案2】從1、2、3、4、…、19、20這20個(gè)自然數(shù)中，至少任選幾個(gè)數(shù)，就可以保證其，．【分析】在這20個(gè)自然數(shù)中，差是12的有以下8對(duì)：第11級(jí)下超常體系教師版 1｝．4912【超常班學(xué)案3】從整數(shù)1、2、3、…、199、200中任選101個(gè)數(shù)，求證在選出的這些自然數(shù)中至少有兩個(gè)數(shù)其中的一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù)(1)1，12，122，123，…，127，(2)3，32，322，33，…，326，(3)5，52，522，523，…，525，(50)99，992，(52)103，以上共分為100類，即100個(gè)抽屜，顯然在同一類中的數(shù)若不少于兩個(gè)，那么這類中的任.因此其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù).【分析】把這2008個(gè)數(shù)先排成一行：a1，a2，a3，……，a2008，第1個(gè)數(shù)為a1；

aa；1

aaa；1 2

aa1

a2008

如果這2008個(gè)和中有一個(gè)是2008的倍數(shù)，那么問(wèn)題已經(jīng)解決；如果這2008個(gè)和中沒(méi)有2008的倍數(shù)，那么它們除以2008的余數(shù)只能為1，2，……，2007之一，根據(jù)抽屜原理，必有兩個(gè)和除以2008的余數(shù)相同，那么它們的差(仍然是a1，a2，a3，……，a2008中若干個(gè)數(shù)的和)是2008的倍數(shù)．所以結(jié)論成立．1第11級(jí)下超常體系教師版第13講123班學(xué)案【123班學(xué)案1】（2006年華羅庚金杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）⑴一次至少抽取

牌．【分析】⑴由于點(diǎn)數(shù)有13種情況，