5.3向量的坐標運算(第1課時)公開課一等獎省優(yōu)質課大賽獲獎課件

第五章平面向量向量的坐標運算第講3（第一課時）1考點搜索●平面向量基本定理及坐標運算●向量平行充要條件●向量坐標運算與函數(shù)(包含三角函數(shù))、解析幾何綜合題2高考猜想這一部分是向量關鍵內容，高考一個主要命題點.選擇題、填空題重在考查數(shù)量積概念、運算律、性質，向量平行與垂直、夾角與距離等；解答題重在考查與幾何、三角函數(shù)、代數(shù)等結合綜合題.3一、平面向量坐標表示

在平面直角坐標系內，分別取與x軸、y軸正方向相同兩個單位向量i、j作為基底，對任一向量a，有且只有一對實數(shù)x，y，使得a=xi+yj，則實數(shù)對(x，y)叫做向量a直角坐標，記作a=(x，y).其中x、y分別叫做a在x軸、y軸上坐標，a=(x，y)叫做向量a坐標表示.

相等向量其坐標相同，坐標相同向量是相等向量.4二、平面向量坐標運算

1.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a±b=①_______________;2.假如A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB=②______________;3.若a=(x，y)，則λa=③_________;4.假如a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a∥b充要條件是④_____________.(x1±x2，y1±y2)(x2-x1，y2-y1)(λx,λy)x1y2-x2y1=05三、平面向量數(shù)量積坐標表示

1.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a·b=⑤_____________;2.若a=(x，y)，則|a|2=a·a=⑥______，|a|=⑦___________;3.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|=⑧____________；

4.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a⊥b⑨_______________;x1x2+y1y2x2+y2x1x2+y1y2=065.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a與b夾角為θ，則cosθ=⑩________________.

71.對于n個向量a1,a2,…,an,若存在n個不全為零實數(shù)k1,k2,…，kn,使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立，則稱向量a1,a2,…,an是線性相關.按此要求，能使向量a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)是線性相關實數(shù)k1,k2,k3值依次為_________.(只需寫出一組值即可)

解：依據(jù)線性相關定義得k1(1,0)+k2(1,-1)+k3(2,2)=0，則令k3=1,則k2=2，k1=-4，所以k1,k2,k3一組值為-4,2,1.-4,2,182.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m)，且a∥b，則2a+3b=()A.(-2，-4)B.(-3，-6)C.(-4，-8)D.(-5，-10)

解：由a∥b，得m=-4，所以2a+3b=(2，4)＋(-6，-12)=(-4，-8)，故選C.C93.已知平面向量a=(1，-3)，b=(4，-2)，λa+b與a垂直，則λ=()A.-1B.1C.-2D.2

解：因為λa+b=(λ+4,-3λ-2),a=(1,-3),且(λa+b)⊥a,

所以(λ+4)-3(-3λ-2)=0，即10λ+10=0,

所以λ=-1，故選A.A10題型1向量坐標1.設向量a=(1，-3)，b=(-2，4)，c=(-1，-2)，若表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d有向線段首尾相接能組成四邊形，求向量d坐標解：依據(jù)題意，4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=0，即6a+4b-4c+d=0，所以d=4c-6a-4b=4(-1，-2)-6(1，-3)-4(-2，4)=(-2，-6).11點評：坐標向量加減運算，按對應坐標進行加減運算即可，包括到已知起點和終點坐標求向量時，用終點坐標減去起點坐標即可.12點P在平面上作勻速直線運動，速度向量v=(4，-3)(即點P運動方向與v相同，且每秒移動距離為|v|個單位長度).設開始時點P坐標為(-10，10)，則5秒后點P坐標為()A.(-2，4)B.(-30，25)C.(5，-10)D.(10，-5)

解：設點A(-10，10)，5秒后點P運動到B點，則=5v，所以=5v，所以+5v=(-10，10)+5(4，-3)=(10，-5).故選D.D13題型2向量模2.已知向量a=(cos23°，cos67°)，b=(cos68°，cos22°)，求|a+tb|(t∈R)最小值.

解：由已知得a=(cos23°，sin23°)，b=(sin22°，cos22°)，所以|a|=|b|=1，a·b=sin22°cos23°+cos22°sin23°=sin45°=.

所以|a+tb|2=(a+tb)2=a2+2ta·b+t2b2所以當t=-時，|a+tb|min=.14點評：坐標向量a=(x，y)模是一個非負數(shù)，包括到三角函數(shù)式運算時，注意先將三角函數(shù)式化簡再求解.15已知向量m=(cosθ，sinθ)和n=(-sinθ，cosθ)，θ∈［π，2π］.求|m+n|最大值.

解：m+n=(cosθ-sinθ+,cosθ+sinθ),因為θ∈［π，2π］，所以所以cos()≤1，所以|m+n|max=.16已知a、b、c是同一平面內三個向量，其中a=(1，2).(1)若|c|=，且c∥a，求c坐標;(2)若|b|=，且a+2b與2a-b垂直,求a與b夾角θ.

解：(1)設c=(x,y)，則|c|=

又c∥a，則2x=y,

所以或所以c=(2,4),或c=(-2,-4).題型3向量平行與垂直17(2)因為a+2b與2a-b垂直,所以(a+2b)(2a-b)=2|a|2+3a·b-2|b|2=0.因為|b|=，|a|=，所以a·b=-所以所以a與b夾角θ為135°.點評：兩坐標向量平行(或垂直)充要條件是將向量運算轉化為實數(shù)運算依據(jù)，注意平行與垂直充要條件極易弄錯或混同.18設向量m=a+(t2-k)b，其中k>0，且為常數(shù)，n=-sa+tb，其中s、t是兩個非零實數(shù)，若m⊥n

(1)試將s表示成關于t函數(shù)s=f(t);(2)若s=f(t)在區(qū)間［1，+∞)上是單調函數(shù)，求k取值范圍.解：(1)因為m⊥n，所以m·n=0，即［a+(t2-k)b］·(-sa+tb)=0.

所以-sa2+t(t2-k)b2+［t-s(t2-k)］a·b=0.19由題設知|a|=|b|=1，a·b=0，所以-s+t(t2-k)=0，即s=t3-kt.

所以s=f(t)=t3-kt(t≠0，k＞0，且k為常數(shù)).(2)若f(t)在區(qū)間［1，+∞)上是增函數(shù)，則當t≥1時，f′(t)=3t2-k≥0恒成立，即k≤3t2恒成立.

因為3t2≥3，所以k≤3.

若f(t)在區(qū)間［1，+∞)上是減函數(shù).

則當t≥1時，f′(t)=3t2-k≤0恒成立.

即k≥3t2恒成立，這不可能.

又k＞0，所以k取值范圍是(0，3］.201.

建立平面向量坐標，基礎是平面向