數(shù)學(xué)五年級上冊《數(shù)學(xué)廣角─植樹問題》教材分析數(shù)學(xué)廣角植樹問題教案

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和前面幾冊教材一樣，本冊也特意安置了數(shù)學(xué)廣角單元，向?qū)W生滲透了一些重要的數(shù)學(xué)思想方法。本冊的數(shù)學(xué)廣角──植樹問題包含三個(gè)例題，主要是滲透有關(guān)植樹問題的一些思想方法，通過現(xiàn)實(shí)（生活）中一些常見的實(shí)際問題，讓學(xué)生從中察覺一些規(guī)律，抽取出其中的數(shù)學(xué)模型，然后再用察覺的規(guī)律來解決生活中的一些簡樸實(shí)際問題。

解決植樹問題的思想方法是實(shí)際生活中應(yīng)用對比廣泛的數(shù)學(xué)思想方法。植樹問題通常是指沿確定的路線植樹，這條路線的總長度被樹平均分成若干段（間隔），由于路線的不同、植樹要求的不同，路線被分成的段數(shù)（間隔數(shù)）和植樹的棵數(shù)之間的關(guān)系就不同。在現(xiàn)實(shí)生活中類似的問題還有好多，譬如馬路兩旁安裝路燈、花壇擺花、廣場敲鐘等，這些問題情境中都暗藏著總數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系問題，我們就把這類問題統(tǒng)稱為植樹問題。在植樹問題中，植樹的路線可以是一條線段，也可以是一條首尾相接的封閉曲線（如正方形、長方形或圓形等）。即使是（關(guān)于）一條線段的植樹問題，也可能有不同的情形（如兩端都要栽，只在一端栽另一端不栽，或是兩端都不栽）。

《義務(wù)教導(dǎo)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)：要從學(xué)生已有的生活閱歷啟程，讓學(xué)生親身體驗(yàn)將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并舉行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維才能、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和進(jìn)展。

教材在編排上，提防引導(dǎo)學(xué)生舉行查看、推測、驗(yàn)證、推理等數(shù)學(xué)活動，使學(xué)生初步體會解決植樹問題的思想方法（模型思想），培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問題中探索解決問題的有效方法的才能。在教學(xué)植樹問題時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題情境，從簡樸的處境入手，在解決問題的分析、斟酌過程中，逐步察覺隱含的規(guī)律，體驗(yàn)建立數(shù)學(xué)模型的過程，扶助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動的閱歷，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的才能。

下面就教材中安置的三個(gè)典型例題舉行分析。

一、體驗(yàn)解決問題的過程

教材第106頁例1通過學(xué)生熟諳的植樹情境，引導(dǎo)學(xué)生借助線段圖，體驗(yàn)揣摩、測驗(yàn)、抽象等數(shù)學(xué)活動過程，探索間隔與點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系，建立植樹問題的數(shù)學(xué)模型，再運(yùn)用模型解決實(shí)際問題。讓學(xué)生體驗(yàn)分析、斟酌、解決問題的全過程。

教材用幾個(gè)小摯友的對話和圖片來呈現(xiàn)學(xué)生探索解決問題的過程。首先由一個(gè)男孩說出學(xué)生們可能會想到的答案：1005=20（棵），接著一個(gè)女孩問：對嗎？檢驗(yàn)一下，來引發(fā)學(xué)生斟酌。接下來由小精靈提出了解決問題的常用方法──從簡樸的處境入手解決繁雜的問題。這里先呈現(xiàn)直觀的圖示法，讓學(xué)生看到把一條線段平均分成4段，加上兩個(gè)端點(diǎn)，一共有5個(gè)點(diǎn)，也就是要栽5棵樹。使學(xué)生察覺植樹時(shí)確定樹苗數(shù)量的問題并不能簡樸地用除法來解決。緊接著一個(gè)小男孩提出25m可以栽幾棵？這次用畫線段圖的方式解決問題，不僅在研究方法上從直觀轉(zhuǎn)為抽象，更是向?qū)W生滲透歸納思想──一個(gè)特例缺乏以說明問題，多個(gè)不同的事物才能透露規(guī)律。然后向?qū)W生提問：你察覺了（什么）規(guī)律？啟發(fā)學(xué)生透過現(xiàn)象察覺規(guī)律，也就是栽樹的棵數(shù)要比間隔數(shù)多1。同時(shí)教材進(jìn)一步提出不畫圖，你知道30m、35m要栽幾棵樹嗎？讓學(xué)生利用察覺的規(guī)律先解決簡樸的問題。結(jié)果教材要求應(yīng)用察覺的規(guī)律來解決前面的植樹問題：100m長的小路共有20個(gè)間隔，兩端都要栽，所以一共要栽21棵樹。這樣就把分析、斟酌、解決問題的整個(gè)全過程表示出來，讓學(xué)生體驗(yàn)這個(gè)過程并從中（學(xué)習(xí)）一些解決問題的方法和策略。即遇到問題時(shí)，可以先給出一個(gè)推測，要判斷這個(gè)推測對不對，可以用對比簡樸的例子來檢驗(yàn)，并且可以從簡樸的事例中察覺規(guī)律，然后應(yīng)用找到的規(guī)律來解決原來的問題。

對于例2（兩端不栽的處境）以及第107頁做一做第2題（一端栽一端不栽的處境），由于學(xué)生前面有了探索的閱歷，這里可以放手讓學(xué)生去探索，用自己的方法去察覺這兩種處境的植樹問題中隱含的規(guī)律。

二、體會根本的數(shù)學(xué)思想

本單元通過一些生活中的事例，讓學(xué)生根據(jù)不同的處境總結(jié)出規(guī)律，并利用這些規(guī)律解決問題。但是，本單元的教學(xué)最終目的并不只是讓學(xué)生明白規(guī)律，而是要引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步探究規(guī)律的產(chǎn)生理由，扶助其建立一一對應(yīng)的思維方式，形成解決問題的策略，從而體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。

在植樹問題中最重要的數(shù)學(xué)思想就是模型思想，而如何讓學(xué)生理解從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的過程是教學(xué)植樹問題的難點(diǎn)。為了突破這一難點(diǎn)，教材突出了線段圖的教學(xué)，通過幾何直觀扶助學(xué)生理解植樹問題的數(shù)學(xué)模型。例1是探討關(guān)于一條線段、并且兩端都要栽的植樹問題，讓學(xué)生通過畫線段圖來察覺栽樹的棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系。通過這兩幅圖，讓學(xué)生把點(diǎn)（樹）與線（間隔）一一對應(yīng)起來，結(jié)果察覺還多出一個(gè)點(diǎn)（樹），所以栽樹棵數(shù)=間隔數(shù)+1。例2通過遷移呈現(xiàn)出兩端都不栽的線段圖，做一做的第2題讓學(xué)生通過遷移畫出一端栽另一端不栽的線段圖。例3那么讓學(xué)生理解在封閉曲線上植樹的線段圖的畫法以及溝通它和一條線段上植樹中的一端栽另一端不栽的聯(lián)系。整個(gè)單元教材通過線段圖的教學(xué)，突出一一對應(yīng)的思想，并以此為根基分析植樹問題三種不同的處境，即兩端都栽只栽一端與兩端都不栽。無論哪種情形，都能用一一對應(yīng)的思想統(tǒng)領(lǐng)。

教材通過選取生活中不同的事例，讓學(xué)生體會一種在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究問題上都很重要的數(shù)學(xué)思想方法──化歸思想，使學(xué)生感悟到應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題所帶來的便利。同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生在解決實(shí)際問題中探索規(guī)律，找出解決問題的有效方法的才能，初步培養(yǎng)學(xué)生抽取數(shù)學(xué)模型的才能。

在練習(xí)中，教材以植樹問題為背景扶助學(xué)生領(lǐng)會地熟悉到路燈問題、敲鐘問題、鋸木問題等都與植樹問題有著一致的數(shù)學(xué)布局，讓學(xué)生建構(gòu)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

三、感受轉(zhuǎn)化的研究方法，積累根本的活動閱歷

教材第108頁例3議論的是在封閉圖形周邊栽樹的情形。學(xué)生學(xué)習(xí)了例1、例2后，掌管了直線段中的植樹問題（在線段的兩端都栽、兩端都不栽或只栽一端的處境下，栽的棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系）。教材這樣的編排意圖很鮮明是要用植樹問題的斟酌方法來解決封閉圖形中的植樹問題。

面對封閉圖形中的植樹問題，教材首先提示研究方法：先畫圖試試看。假設(shè)周長是40m，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)前面例1、例2的研究閱歷──直觀作圖、化繁為簡來嘗試解決問題。當(dāng)學(xué)生直觀看出能栽4棵后，教材并不急于讓學(xué)生探索出封閉圖形植樹問題中的規(guī)律（即間隔數(shù)等于棵數(shù)），而是請小精靈進(jìn)一步提出問題：假設(shè)把圓拉直成線段，你能察覺什么？從而把學(xué)生的思維引向深處。讓學(xué)生通過查看、斟酌察覺，化曲為直后，封閉圖形上植樹其實(shí)可以轉(zhuǎn)化成一端栽另一端不栽的情形。接下來，教材通過兩位學(xué)生的對話我察覺間隔數(shù)與樹一一對應(yīng)相當(dāng)于一端栽，一端不栽，不僅透露了封閉圖形上植樹的規(guī)律，更是為學(xué)生溝通了例3與前面的例1、例2間的聯(lián)系。

本單元提防讓學(xué)生體驗(yàn)查看、