線性代數(shù)常用公式合集

-.z.概念、性質(zhì)、定理、公式必須清楚，解法必須熟練，計(jì)算必須準(zhǔn)確eq\o\ac(○,注)：全體維實(shí)向量構(gòu)成的集合叫做維向量空間.eq\o\ac(○,注)√關(guān)于：=1\*GB3錯(cuò)誤！未找到引用源。稱(chēng)為的標(biāo)準(zhǔn)基，中的自然基，單位坐標(biāo)向量；=2\*GB3錯(cuò)誤！未找到引用源。線性無(wú)關(guān)；=3\*GB3錯(cuò)誤！未找到引用源。；④；⑤任意一個(gè)維向量都可以用線性表示.行列式的定義√行列式的計(jì)算：=1\*GB3錯(cuò)誤！未找到引用源。行列式按行〔列〕展開(kāi)定理：行列式等于它的任一行〔列〕的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.推論：行列式*一行〔列〕的元素與另一行〔列〕的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.=2\*GB3錯(cuò)誤！未找到引用源。假設(shè)都是方陣〔不必同階〕,則〔拉普拉斯展開(kāi)式〕=3\*GB3錯(cuò)誤！未找到引用源。上三角、下三角、主對(duì)角行列式等于主對(duì)角線上元素的乘積.④關(guān)于副對(duì)角線：〔即：所有取自不同行不同列的個(gè)元素的乘積的代數(shù)和〕⑤范德蒙德行列式：矩陣的定義由個(gè)數(shù)排成的行列的表稱(chēng)為矩陣.記作：或伴隨矩陣，為中各個(gè)元素的代數(shù)余子式.√逆矩陣的求法:=1\*GB3錯(cuò)誤！未找到引用源。eq\o\ac(○,注)：=2\*GB3錯(cuò)誤！未找到引用源。=3\*GB3錯(cuò)誤！未找到引用源?！谭疥嚨膬绲男再|(zhì)：√設(shè)的列向量為,的列向量為，則，為的解可由線性表示.即：的列向量能由的列向量線性表示，為系數(shù)矩陣.同理：的行向量能由的行向量線性表示，為系數(shù)矩陣.即：√用對(duì)角矩陣eq\o\ac(○,左)乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的eq\o\ac(○,行)向量；用對(duì)角矩陣eq\o\ac(○,右)乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的eq\o\ac(○,列)向量.√兩個(gè)同階對(duì)角矩陣相乘只用把對(duì)角線上的對(duì)應(yīng)元素相乘.√分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣：分塊矩陣的逆矩陣：分塊對(duì)角陣相乘：,分塊對(duì)角陣的伴隨矩陣：√矩陣方程的解法()：設(shè)法化成零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實(shí)向量正交.單個(gè)零向量線性相關(guān)；單個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān).局部相關(guān),整體必相關(guān)；整體無(wú)關(guān),局部必?zé)o關(guān).〔向量個(gè)數(shù)變動(dòng)〕原向量組無(wú)關(guān),接長(zhǎng)向量組無(wú)關(guān)；接長(zhǎng)向量組相關(guān),原向量組相關(guān).〔向量維數(shù)變動(dòng)〕兩個(gè)向量線性相關(guān)對(duì)應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無(wú)關(guān).向量組中任一向量≤≤都是此向量組的線性組合.向量組線性相關(guān)向量組中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線性表示.向量組線性無(wú)關(guān)向量組中每一個(gè)向量都不能由其余個(gè)向量線性表示.維列向量組線性相關(guān)；維列向量組線性無(wú)關(guān).假設(shè)線性無(wú)關(guān)，而線性相關(guān),則可由線性表示,且表示法唯一.矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩.行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù).行階梯形矩陣可畫(huà)出一條階梯線，線的下方全為；每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素非零.當(dāng)非零行的第一個(gè)非零元為1，且這些非零元所在列的其他元素都是時(shí)，稱(chēng)為行最簡(jiǎn)形矩陣矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線性關(guān)系；矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行向量間的線性關(guān)系.即：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩.√矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系：對(duì)施行一次初等eq\o\ac(○,行)變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣eq\o\ac(○,左)乘；對(duì)施行一次初等eq\o\ac(○,列)變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣eq\o\ac(○,右)乘.矩陣的秩如果矩陣存在不為零的階子式，且任意階子式均為零，則稱(chēng)矩陣的秩為.記作向量組的秩向量組的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，稱(chēng)為這個(gè)向量組的秩.記作矩陣等價(jià)經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為.記作：向量組等價(jià)和可以相互線性表示.記作：矩陣與等價(jià)，可逆作為向量組等價(jià),即：秩相等的向量組不一定等價(jià).矩陣與作為向量組等價(jià)矩陣與等價(jià).向量組可由向量組線性表示有解≤.向量組可由向量組線性表示,且，則線性相關(guān).向量組線性無(wú)關(guān),且可由線性表示,則≤.向量組可由向量組線性表示,且,則兩向量組等價(jià)；任一向量組和它的極大無(wú)關(guān)組等價(jià).向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià).向量組的極大無(wú)關(guān)組不唯一，但極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)唯一確定.假設(shè)兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組等價(jià),則它們包含的向量個(gè)數(shù)相等.設(shè)是矩陣,假設(shè)，的行向量線性無(wú)關(guān)；假設(shè)，的列向量線性無(wú)關(guān),即：線性