【新教材】棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征

8.1基本立體圖形8.1.1棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征要點一空間幾何體1.概念：如果只考慮物體的

和

，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的

叫做空間幾何體.答案空間圖形形狀大小2.多面體與旋轉(zhuǎn)體答案類別定義圖示多面體由若干個

圍成的幾何體旋轉(zhuǎn)體由一個

繞它所在平面內(nèi)的一條

旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體，其中定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸平面多邊形定直線平面圖形

要點二棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征答案多面體定義圖形及表示相關(guān)概念分類棱柱有兩個面互相

，其余各面都是____

，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相

，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.如圖可記作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′底面(底)：兩個互相

的面.側(cè)面：

.側(cè)棱：相鄰側(cè)面的

.頂點：側(cè)面與底面的

.按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱柱、四棱柱、……平行公共頂點平行四邊形平行其余各面公共邊答案棱錐有一個面是__

，其余各面都是有一個公共頂點的__

，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.如圖可記作，棱錐S－ABCD底面(底)：___

面.側(cè)面：有公共頂點的各個___

.側(cè)棱：相鄰側(cè)面的

.頂點：各側(cè)面的

.按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱錐、四棱錐、……角形公共頂點多邊形三多邊形三角形面公共邊答案棱臺用一個______________的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺.如圖可記作：棱臺ABCD－A′B′C′D′上底面：原棱錐的_____.下底面：原棱錐的_____.側(cè)面：其余各面.側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊.頂點：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點.由三棱錐、四棱錐、五棱錐…截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺……于棱錐底面底面平行截面題型一棱柱的結(jié)構(gòu)特征例1下列說法中，正確的是(

)A.棱柱中所有的側(cè)棱都相交于一點B.棱柱中互相平行的兩個面叫做棱柱的底面C.棱柱的側(cè)面是平行四邊形，而底面不是平行四邊形D.棱柱的側(cè)棱相等，側(cè)面是平行四邊形解析答案反思與感悟反思與感悟解析A選項不符合棱柱的特點；B選項中，如圖①，構(gòu)造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四邊形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但這兩個面不能作為棱柱的底面；C選項中，如圖②，底面ABCD可以是平行四邊形；D選項是棱柱的特點.故選D.答案D解析答案跟蹤訓(xùn)練1下列關(guān)于棱柱的說法錯誤的是(

)A.所有的棱柱兩個底面都平行B.所有的棱柱一定有兩個面互相平行，其余各面每相鄰面的公共邊互相

平行C.有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體一定是棱柱D.棱柱至少有五個面..解析對于A、B、D，顯然是正確的；對于C，棱柱的定義是這樣的：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的幾何體叫做棱柱，顯然題中漏掉了“并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行”這一條件，因此所圍成的幾何體不一定是棱柱.如圖所示的幾何體就不是棱柱，所以C錯誤.答案C解析答案

題型二棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征例2下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法：①棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形；②由四個平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；③棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.其中正確說法的序號是______.反思與感悟解析①正確，棱臺的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；②正確，由四個平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；③錯誤，如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐.①②解析答案

跟蹤訓(xùn)練2下列說法中，正確的是(

)①棱錐的各個側(cè)面都是三角形；②有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是

棱錐；③四面體的任何一個面都可以作為棱錐的底面；④棱錐的各側(cè)棱長相等.A.①②

B.①③

C.②③

D.②④

解析由棱錐的定義，知棱錐的各側(cè)面都是三角形，故①正確；有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，如果這些三角形沒有一個公共頂點，那么這個幾何體就不是棱錐，故②錯；四面體就是由四個三角形所圍成的幾何體，因此四面體的任何一個面作底面的幾何體都是三棱錐，故③正確；棱錐的側(cè)棱長可以相等，也可以不相等，故④錯.答案B解析答案反思與感悟

題型三多面體的表面展開圖例3畫出如圖所示的幾何體的表面展開圖.反思與感悟

解表面展開圖如圖所示：解析答案跟蹤訓(xùn)練3如圖是三個幾何體的側(cè)面展開圖，請問各是什么幾何體？

解由幾何體的側(cè)面展開圖的特點，結(jié)合棱柱、棱錐、棱臺的定義，可把側(cè)面展開圖還原為原幾何體，如圖所示：所以(1)為五棱柱；(2)為五棱錐；(3)為三棱臺.截面周長最小問題解析答案解后反思例4如圖所示，在側(cè)棱長為2的正三棱錐V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，過點A作截面AEF分別交VB，VC于點E，F(xiàn)，求截面△AEF周長的最小值.返回解析答案解將三棱錐V－ABC沿側(cè)棱VA剪開，將其側(cè)面展開圖平鋪在一個平面上，如圖所示，則△AEF的周長＝AE＋EF＋FA1.因為AE＋EF＋FA1≥AA1，所以線段AA1(即A，E，F(xiàn)，A1四點共線時)的長即為所求△AEF周長的最小值.作VD⊥AA1，垂足為點D.解后反思解后反思由VA＝VA1，知D為AA1的中點.由已知∠AVB＝∠BVC＝∠CVA1＝40°，得∠AVD＝60°.即AA1＝2AD＝6.所以截面△AEF周長的最小值是6.12345解析答案1.下列命題中，真命題是(

)A.頂點在底面上的投影到底面各頂點的距離相等的三棱錐是正三棱錐B.底面是正三角形，各側(cè)面是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐C.頂點在底面上的投影為底面三角形的垂心的三棱錐是正三棱錐D.底面是正三角形，并且側(cè)棱都相等的三棱錐是正三棱錐解析對于選項A，到三角形各頂點距離相等的點為三角形外心，該三角形不一定為正三角形，故該命題是假命題；對于選項B，如圖所示，△ABC為正三角形，若PA＝PB＝AB＝BC＝AC≠PC，△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，但它不是正三棱錐，故該命題是假命題；對于選項C，頂點在底面上的投影為底面三角形的垂心，底面為任意三角形皆可，故該命題是假命題；對于選項D，頂點在底面上的正投影是底面三角形的外心，又因為底面三角形為正三角形，所以外心即為中心，故該命題是真命題.答案D12345解析答案2.下列三個命題：①用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺；②兩個底面平行且相似，其余各面都是菱形的多面體是棱臺；③有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺.其中，正確的有(

)A.0個

B.1個

C.2個

D.3個A解析①中的平面不一定平行于底面，故①錯；②中側(cè)面是菱形，所以側(cè)棱互相平行，延長后無交點，故②錯；③用反例驗證(如圖)，故③錯.1234512345解析答案3.如圖所示，不是正四面體(各棱長都相等的三棱錐)的展開圖的是(

)A.①③

B.②④

C.③④

D.①②解析可選擇陰影三角形作為底面進行折疊，發(fā)現(xiàn)①②可折成正四面體，③④不論選哪一個三角形作底面折疊都不能折成正四面體.C解析答案123454.下列幾何體中，________是棱柱，____是棱錐，____是棱臺(僅填相應(yīng)序號).解析結(jié)合棱柱、棱錐和棱臺的定義可知①③④是棱柱，⑥是棱錐，⑤是棱臺.①③④⑥⑤12345解析答案5.如圖，將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后將水槽傾斜一個小角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體的形狀是

.解析

由于傾斜角度較小，所以傾斜后水槽中水形成的幾何體的形狀應(yīng)為四棱柱.四棱柱課堂小結(jié)1.棱柱、棱錐、棱臺的關(guān)系在運動變化的觀點下，棱柱、棱錐、棱臺之間的關(guān)系可以用下圖表示出來(以三棱柱、三棱錐、三棱臺為例).2.(1)各種棱柱之間的關(guān)系①棱柱的分類②常見的幾種四棱柱之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系(2)棱柱、棱錐、棱臺在結(jié)構(gòu)上既有區(qū)別又有聯(lián)系，具體見下表：名稱底面?zhèn)让鎮(zhèn)壤飧咂叫杏诘酌娴慕孛胬庵崩庵叫星胰鹊膬蓚€多邊形平行四邊形平行且相等

與底面全等直棱柱平行且全等的兩個多邊形矩形平行、相等且垂直