圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問(wèn)題(教師版)

-PAGE.z.第四講圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問(wèn)題一、直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題例1.動(dòng)點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)分別作曲線的切線，切點(diǎn)為、,求證：直線恒過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；解：設(shè)，整理得：同理可得：，又，.例2、點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，直線的方程為，直線過(guò)P點(diǎn)與直線垂直，點(diǎn)M〔-1，0〕關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為N，直線PN恒過(guò)一定點(diǎn)G，求點(diǎn)G的坐標(biāo)。解：直線的方程為，即設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為則，解得直線的斜率為從而直線的方程為：即從而直線恒過(guò)定點(diǎn)二、恒為定值問(wèn)題例3、橢圓兩焦點(diǎn)、在軸上，短軸長(zhǎng)為，離心率為，是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，且，過(guò)P作關(guān)于直線F1P對(duì)稱的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn)。〔1〕求P點(diǎn)坐標(biāo)；〔2〕求證直線AB的斜率為定值；解：〔1〕設(shè)橢圓方程為，由題意可得，所以橢圓的方程為則，設(shè)則點(diǎn)在曲線上，則從而，得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為。〔2〕由〔1〕知軸，直線PA、PB斜率互為相反數(shù)，設(shè)PB斜率為，則PB的直線方程為：由得設(shè)則同理可得，則所以直線AB的斜率為定值。例4、動(dòng)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),點(diǎn)，求證：為定值.解:將代入中得，，所以。課后作業(yè)：1.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓.如下圖，斜率為且不過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，射線交橢圓于點(diǎn)，交直線于點(diǎn).〔Ⅰ〕求的最小值；〔Ⅱ〕假設(shè)?，求證：直線過(guò)定點(diǎn)；解：〔Ⅰ〕由題意:設(shè)直線,由消y得:,設(shè)A、B,AB的中點(diǎn)E,則由韋達(dá)定理得:=,即,,所以中點(diǎn)E的坐標(biāo)為,因?yàn)镺、E、D三點(diǎn)在同一直線上，所以，即，解得，所以=,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),即的最小值為2.〔Ⅱ〕證明:由題意知:n>0,因?yàn)橹本€OD的方程為,所以由得交點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為,又因?yàn)?,且?，所以,又由〔Ⅰ〕知:,所以解得,所以直線的方程為,即有,令得,y=0,與實(shí)數(shù)k無(wú)關(guān),所以直線過(guò)定點(diǎn)(-1,0).2.點(diǎn)為曲線上的一點(diǎn)，假設(shè)，是否存在垂直軸的直線被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？假設(shè)存在，求出直線的方程；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：設(shè)的中點(diǎn)為，垂直于軸的直線方程為，以為直徑的圓