無窮級(jí)數(shù)整理

無窮級(jí)數(shù)整理一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（一）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì).收斂的必要條件：收斂級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)必趨于0..收斂的充要條件（柯西收斂原理）：對(duì)任意給定的正數(shù)￡，總存在N使得對(duì)于任何兩個(gè)N大于的正整數(shù)m和n，總有1sm-5nl<e.（即部分和數(shù)列收斂）.收斂級(jí)數(shù)具有線性性（即收斂級(jí)數(shù)進(jìn)行線性運(yùn)算得到的級(jí)數(shù)仍然收斂），而一個(gè)收斂級(jí)數(shù)和一個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)的和與差必發(fā)散..對(duì)收斂級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)所成級(jí)數(shù)仍然收斂，且其和不變.在一個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)內(nèi)去掉或添上有限項(xiàng)不會(huì)影響斂散性.（二）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)及斂散性判斷.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判斷方法（1）正項(xiàng)級(jí)數(shù)基本定理：如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有上界，則正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂（2）比較判別法（放縮法）：若兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)￡n=1￡v之間自某項(xiàng)以后成立著關(guān)系:nn=1存在常數(shù)c>0，使u<cv(n=1,2,），那么（i）當(dāng)級(jí)數(shù)￡v收斂時(shí),

nn=1級(jí)數(shù)￡unn=1亦收斂;（ii）當(dāng)級(jí)數(shù)￡un發(fā)散時(shí)

n=1級(jí)數(shù)￡vnn=1亦發(fā)散.推論：設(shè)兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)￡n=1un和￡vnn=1uv且自某項(xiàng)以后有一"<一"，那么un vn（i）當(dāng)級(jí)數(shù)￡v收斂時(shí),

nn=1級(jí)數(shù)￡unn=1亦收斂;（ii）當(dāng)級(jí)數(shù)￡un發(fā)散時(shí)

n=1級(jí)數(shù)￡Vnn=1亦發(fā)散.一一u,若limn=l>0，nfgVn（3）比較判別法的極限形式（比階法）:給定兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)￡un和￡vnn=1 n=1那么這兩個(gè)級(jí)數(shù)斂散性相同.（注：可以利用無窮小階的理論和等價(jià)無窮小的內(nèi)容）另外，若i=0，則當(dāng)級(jí)數(shù)￡nn=1v收斂時(shí)，級(jí)數(shù)￡n=1u亦收斂；若1=8，則當(dāng)級(jí)數(shù)￡u發(fā)

nnn=1散時(shí)，級(jí)數(shù)￡vn亦發(fā)散.n=1

常用度量：①等比級(jí)數(shù)：￡qn，當(dāng)|q|<1時(shí)收斂，當(dāng)q>1時(shí)發(fā)散;n=0②p-級(jí)數(shù)：￡-1，當(dāng)p>1時(shí)收斂，當(dāng)p<1時(shí)發(fā)散（p=1時(shí)稱調(diào)和級(jí)數(shù)）;npn=1vW 1③廣義p-級(jí)數(shù)：￡/ \，當(dāng)p>1時(shí)收斂，當(dāng)p<1時(shí)發(fā)散.nMnn）pn=2④交錯(cuò)p-級(jí)數(shù)：￡（-1）n-1—，當(dāng)p>1時(shí)絕對(duì)收斂，當(dāng)0<p<1時(shí)條件收斂.npn=1（4）達(dá)朗貝爾判別法的極限形式（商值法）：對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)￡u，當(dāng)limUn^1-=r<1時(shí)TOC\o"1-5"\h\zn 、unf8n=1 n\o"CurrentDocument"級(jí)數(shù)￡u收斂；當(dāng)limJ=r>1時(shí)級(jí)數(shù)￡u發(fā)散；當(dāng)r=1或r=1時(shí)需進(jìn)一步判斷.n U nn=1 nf8n n=1⑸柯西判別法的極限形式（根值法）：對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)￡u」設(shè)r=limn￡，那么r<11 nfwn=1時(shí)此級(jí)數(shù)必為收斂，r>1時(shí)發(fā)散，而當(dāng)r=1時(shí)需進(jìn)一步判斷.（6）柯西積分判別法：設(shè)u為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，n非負(fù)的連續(xù)函數(shù)f（x）在區(qū)間［。,+8）上單調(diào)（6）柯西積分判別法：設(shè)u為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，n非負(fù)的連續(xù)函數(shù)f（x）在區(qū)間［。,+8）上單調(diào)n=1下降，且自某項(xiàng)以后成立著關(guān)系：f（un）=un,則級(jí)數(shù)￡u與積分廣8f（x）dx同斂散.n 0n=12.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的理論與性質(zhì)（1）絕對(duì)收斂與條件收斂：①絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)必為收斂級(jí)數(shù)，反之不然;②對(duì)于級(jí)數(shù)￡u，將它的所有正項(xiàng)保留而將負(fù)項(xiàng)換為0，組成一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)￡Vnn=1 n=1其中詈；將它的所有負(fù)項(xiàng)變號(hào)而將正項(xiàng)換為0，也組成一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)￡攻2 jn=1其中u-uw=n，n2那么若級(jí)數(shù)￡u絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù)￡V和￡攻都收斂；若級(jí)數(shù)￡un n n nn=1n=1 n=1n=1條件收斂，則級(jí)數(shù)￡v和￡攻都發(fā)散.nnn=1 n=1

③絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的更序級(jí)數(shù)（將其項(xiàng)重新排列后得到的級(jí)數(shù)）仍絕對(duì)收斂，且其和相同④若級(jí)數(shù)￡u和￡v都絕對(duì)收斂，它們的和分別為U和V，則它們各項(xiàng)之積按照任何方n nn=1 n=1式排列所構(gòu)成的級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂，且和為UV.特別地，在上述條件下，它們的柯西乘積1u11nn=1n=1nn=1也絕對(duì)收斂，且和也為UV.，這里c1u11nn=1n=1nn=1也絕對(duì)收斂，且和也為UV.，這里c=uv+uv+ +uv+uv.n1n2n-1n-12n1（2）交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性判斷（萊布尼茲判別法）:若交錯(cuò)級(jí)數(shù)￡（-1）n-1u滿足limu=0，1 n-8n=1且"J單調(diào)減少（即un>un+］），則￡（-1）n-1un收斂，其和不超過第一項(xiàng)，且余和的符號(hào)n=1與第一項(xiàng)符號(hào)相同，余和的值不超過余和第一項(xiàng)的絕對(duì)值.二、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（一）幕級(jí)數(shù)1.幕級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域（1）柯西-阿達(dá)馬定理：幕級(jí)數(shù)寸an（x-x0）n在X-x01VR內(nèi)絕對(duì)收斂，在X-xJ>Rn=0內(nèi)發(fā)散，其中R為幕級(jí)數(shù)的收斂半徑.（2）阿貝爾第一定理:若幕級(jí)數(shù)￡an（x-x0）n在x=&處收斂，則它必在|x-x0|<存-x01n=0內(nèi)絕對(duì)收斂；又若￡an（x-x0）n在x=己處發(fā)散，則它必在|x-x0|>g-xJ也發(fā)散.n=0推論1：若幕級(jí)數(shù)￡axn在x=5&w0）處收斂，則它必在|x|〈目?jī)?nèi)絕對(duì)收斂；又若幕nn=0級(jí)數(shù)￡axn在x=5&w0）處發(fā)散，則它必在|x|>|目時(shí)發(fā)散.nn=0推論2：若幕級(jí)數(shù)￡"x-x0）n在x=己處條件收斂，則其收斂半徑R年-n=0x01，若又有an>0，則可以確定此幕級(jí)數(shù)的收斂域.（3）收斂域的求法：令limn-8V1解出收斂區(qū)間再單獨(dú)討論端點(diǎn)處的斂散性，取并集..幕級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(1)幕級(jí)數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，收斂域取交集，滿足各項(xiàng)相加；進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，有:n=0nJnn=0nJn=0 i=0)ab型，收斂域仍取交集.(2)幕級(jí)數(shù)的和函數(shù)S(x)在收斂域內(nèi)處處連續(xù)，且若幕級(jí)數(shù)次a(x-x)n在x=nn=0處收斂，則S(x)在lx-R,x+R)內(nèi)連續(xù)；又若幕級(jí)數(shù)￡a(x-x)nn=0斂，則S(x)在(x-R,x+R]內(nèi)連續(xù).收斂半徑不變.(3)幕級(jí)數(shù)的和函數(shù)S(x)收斂半徑不變..函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開以及幕級(jí)數(shù)的求和(1)常用的幕級(jí)數(shù)展開:①ex=1①ex=1+x+—x2H F—xn+??2!n!Exn,x￡(-8,+8).n!n=0，一1 ￡,、從而！ (—x)1+，一1 ￡,、從而！ (—x)1+xn=01 ￡,八一 =Z-/(-1)nx2n.1+x2n=0③sinx=x-x3+x5-

3! 5!x2n+1…+(-1)n (2n+1)!+…二(-1)nn=0x2n+1(2n+1)!!x￡(一8,+8).1.1 x2n^0cosx—1———x2+—x4—?—+(—1)n 2! 4! (2n)!+…工n=0x2n(-1)n ，(2n)!xe(-8,+8).n=0②—=—=1+x+x2++xn+…=￡xn,x￡(-1,1).1n=0…、 1 1 .八1 V,八 xn⑤ln(1+x)—x--x2+—x3 F(-1)n xn+1F 乙(一1)n-1——，x￡(-1,1].2 3 n+1 nn=1⑥(1+x)a=1+ox+a(a⑥(1+x)a=1+ox+a(a-1) a(a-1)…(a-n+1) x2H F 2!n!xn+…，x￡(—1,1).. 1x3 (2n-1)!!x2n+1⑦arcsinx=x+ +—F 23 (2n)!!2n+1(2n)! x2n+1,4n(n!)2(2n+1)n=0x￡[-1,1]._ 1 /八1⑧arctanx=x-§x3h f(-1)n x2n+1+…工(-1)n1 x2n+1,x￡[T,1].n=02n+1(2)常用的求和經(jīng)驗(yàn)規(guī)律：①級(jí)數(shù)符號(hào)里的部分x可以提到級(jí)數(shù)外;②系數(shù)中常數(shù)的幕中若含有n，可以與x的幕合并，如將cn和xn合并為(cx)"；③對(duì)￡anxn求導(dǎo)可消去an分母因式里的n，對(duì)￡anxn積分可消去an分子因式里的n+1；n=0 n=0④系數(shù)分母含n!可考慮ex的展開，含(2n)!或(2n+1)!等可考慮正余弦函數(shù)的展開；⑤有些和函數(shù)滿足特定的微分方程，可以考慮通過求導(dǎo)發(fā)現(xiàn)這個(gè)微分方程并求解(二)傅里葉級(jí)數(shù).狄利克雷收斂定理(本定理為套話，不需真正驗(yàn)證，條件在命題人手下必然成立)若f(x)以21為周期，且在［—l,/］上滿足：①連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；②只有有限個(gè)極值點(diǎn)；則f(x)誘導(dǎo)出的傅里葉級(jí)數(shù)在［-1,1］上處處收斂..傅里葉級(jí)數(shù)S(x)與f(x)的關(guān)系：f(x) ，x為連續(xù)點(diǎn);S(x)=\以*+0)+以x-0) ，x為間斷點(diǎn);2f(-1+0)+f(1-0) 小港盟人- ——- ，x為邊界點(diǎn)I2.以21為周期的函數(shù)的傅里葉展開展開:' n^' n^xacos n.nnx'+bsin-j-(1)在［-1,(1)在［-1,1］上展開：\」11-1=1J11-1f(x)dxf(x)cosb=-J1f(x)sin,n1-1n兀x

~T

n兀x

I1dx；dx(2)正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)：a0=0①奇函數(shù)（或在非對(duì)稱區(qū)間上作奇延拓）展開成正弦級(jí)數(shù):<a=0①奇函數(shù)（或在非對(duì)稱區(qū)間上作奇延拓）展開成正弦級(jí)數(shù):b=-11f(x)sin竺xdxIn10 1②偶函數(shù)（或在非對(duì)稱區(qū)間上作偶延拓）展開成余弦級(jí)數(shù):a0<an=—i1f②偶函數(shù)（或在非對(duì)稱區(qū)間上作偶延拓）展開成余弦級(jí)數(shù):a0<an10=—f1f(x)cosn^xdx；10 14.一些在展開時(shí)常用的積分:（1）(-1)n+1+1fJsinnxdx= ;Jcosnxdx=0;0 n 0（2）正―J 1 .?n8sinnxdx=—;J2cosnxdx