有限元分析及工程應(yīng)用課件：第三章 桿梁結(jié)構(gòu)有限元分析

《有限元基本理論及應(yīng)用》第三章桿梁結(jié)構(gòu)有限元分析3.1桿梁結(jié)構(gòu)的直接解法

桿梁結(jié)構(gòu)是指長度遠(yuǎn)大于其橫截面尺寸的構(gòu)件組成的桿件系統(tǒng)，例如機(jī)床中的傳動軸，廠房剛架與橋梁結(jié)構(gòu)中的梁桿等,可以用桿單元或梁單元來進(jìn)行離散化?？臻g桿系：平面桿系是指各桿軸線和外力作用線位于一個(gè)平面內(nèi)，若各桿軸線和外力作用線不在一個(gè)平面內(nèi)。（1）平面壓桿有限元法的直接法

將壓桿件看成是連接三個(gè)節(jié)點(diǎn)的兩個(gè)單元

單元①，由材料力學(xué)公式：

可得到桿件一端位移為1，另一端位移為0時(shí)所需加的力。

同理，對單元②同樣處理(所有節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力均向右為正)。3.1桿梁結(jié)構(gòu)的直接解法（1）平面壓桿有限元法的直接法由作用和反作用定律可知，節(jié)點(diǎn)1、2、3的受力：3.1桿梁結(jié)構(gòu)的直接解法（1）平面壓桿有限元法的直接法由節(jié)點(diǎn)平衡有：即有：3.1桿梁結(jié)構(gòu)的直接解法（1）平面壓桿有限元法的直接法可求出節(jié)點(diǎn)位移3.1桿梁結(jié)構(gòu)的直接解法（2）平面梁單元有限元法的直接法

由材料力學(xué)中的力法求得，正方向與位移一致；圖中作用在單元上的力均滿足平衡方程；1）以節(jié)點(diǎn)位移表示節(jié)點(diǎn)力3.1桿梁結(jié)構(gòu)的直接解法（2）平面梁單元有限元法的直接法1）以節(jié)點(diǎn)位移表示節(jié)點(diǎn)力3.1桿梁結(jié)構(gòu)的直接解法（2）平面梁單元有限元法的直接法2）節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系由疊加原理：3.1桿梁結(jié)構(gòu)的直接解法（2）平面梁單元有限元法的直接法2）節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系單元剛度矩陣：3.1桿梁結(jié)構(gòu)的直接解法（2）平面梁單元有限元法的直接法2）節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系單元剛度矩陣：

同一行中的6個(gè)元素是由6個(gè)節(jié)點(diǎn)位移對某一節(jié)點(diǎn)力的影響系數(shù)。同一列中的6個(gè)元素是同一個(gè)節(jié)點(diǎn)位移對6個(gè)節(jié)點(diǎn)力的影響系數(shù)。

單元剛度矩陣每一列元素表示一組平衡力系，對于平面問題，每列元素之和為零。3.1桿梁結(jié)構(gòu)的直接解法（2）平面梁單元有限元法的直接法2）節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系他們在軸和軸的投影之和等于零：3.1桿梁結(jié)構(gòu)的直接解法（2）平面梁單元有限元法的直接法（3）平面桿單元坐標(biāo)變換

需要將原來在局部坐標(biāo)系中所得到的單元表達(dá)等價(jià)地轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系中。3.1桿梁結(jié)構(gòu)的直接解法（3）平面桿單元坐標(biāo)變換3.1桿梁結(jié)構(gòu)的直接解法（3）平面桿單元坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換矩陣當(dāng)用局部坐標(biāo)系位移表示總體坐標(biāo)系中的位移時(shí)有：3.1桿梁結(jié)構(gòu)的直接解法（3）平面桿單元坐標(biāo)變換總體坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)系間結(jié)點(diǎn)力的關(guān)系式:3.1桿梁結(jié)構(gòu)的直接解法（4）

空間單元坐標(biāo)變換

將局部坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣轉(zhuǎn)換為整體坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣，是通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣完成的。同理可得：3.1桿梁結(jié)構(gòu)的直接解法（4）

空間單元坐標(biāo)變換關(guān)系矩陣

整體坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)系桿端位移之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系:3.1桿梁結(jié)構(gòu)的直接解法（4）

空間單元坐標(biāo)變換

單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣”，它是12×12階的正交矩陣，故有:

為了確定剛架桿件在空間的確切位置，還需要在桿軸線外再取一點(diǎn)k，以確定其形心主軸的方向。3.1桿梁結(jié)構(gòu)的直接解法（4）

空間單元坐標(biāo)變換i、j、k三點(diǎn)在整體坐標(biāo)系xyz中的坐標(biāo)分別為(xi、yi、zi)、(xj、yj、zj)、(xk、yk、zk)，則

t中的第一行元素為：桿長：3.1桿梁結(jié)構(gòu)的直接解法（4）

空間單元坐標(biāo)變換設(shè)則有3.1桿梁結(jié)構(gòu)的直接解法（4）

空間單元坐標(biāo)變換以上三式可組成聯(lián)立方程：得（4）

空間單元坐標(biāo)變換式中代入3.1桿梁結(jié)構(gòu)的直接解法得到空間剛架桿件單元整體坐標(biāo)系中的單元剛度方程:3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（4）

空間單元坐標(biāo)變換設(shè)則空間單元在整體坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣（1）平面懸臂梁的材料力學(xué)求解任意橫截面上的彎矩為：

受載荷作用后梁產(chǎn)生變形，在xy平面內(nèi)梁的軸線將變成一條曲線，即撓曲線。3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（1）平面懸臂梁的材料力學(xué)求解根據(jù)材料力學(xué)有關(guān)假設(shè)，梁彎曲的撓曲線的近似微分方程為:積分得3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（1）平面懸臂梁的材料力學(xué)求解代入得代入得轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程：W處的橫坐標(biāo)x=L代入得梁右端受載荷截面的轉(zhuǎn)角和撓度分別為：3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（2）平面懸臂梁的彈性力學(xué)求解末端受集中載荷作用平面懸臂梁的位移場:x方向：y方向：梁的中性面(y=0)上的撓曲為：左側(cè)懸臂處(x=0)的撓曲為：右端處(x=L)受到集中載荷作用，撓曲為受載荷作用時(shí)懸臂梁上任何位置處的轉(zhuǎn)角為：3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（2）平面懸臂梁的彈性力學(xué)求解梁中性面(y=0)上的轉(zhuǎn)角為：左端點(diǎn)(x=0)為懸臂點(diǎn)，轉(zhuǎn)角為：右端點(diǎn)(x=L)為受集中載荷點(diǎn)，轉(zhuǎn)角為：受載荷作用的懸臂梁的應(yīng)變場可由彈性力學(xué)幾何方程求出：3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（2）平面懸臂梁的彈性力學(xué)求解

受載荷作用的懸臂梁的應(yīng)力場可在應(yīng)變場的基礎(chǔ)上，由彈性力學(xué)物理方程直接求出3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（3）平面桿件的有限元解法1)確定初始條件

鉸鏈桿單元，在小變形假設(shè)的前提下，與桿垂直方向的位移并不使桿產(chǎn)生應(yīng)變和應(yīng)力。

在以桿單元左端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸水平向右的局部坐標(biāo)系中，對每一個(gè)結(jié)點(diǎn)只需考慮一個(gè)結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力(二力桿單元)。

對于兩個(gè)節(jié)點(diǎn)桿單元，其節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間存在如下所示關(guān)系式：單元剛度矩陣3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（3）平面桿件的有限元解法2)確定位移模式

位移函數(shù):單元在結(jié)點(diǎn)力作用下各點(diǎn)的位移叫內(nèi)位移，描繪內(nèi)位移的函數(shù)。

由材料力學(xué)知道：僅受軸向作用的二力桿，其應(yīng)力及應(yīng)變在軸線各點(diǎn)處均是恒定常數(shù)，因而位移沿桿軸線呈線性變化:二力桿單元位移函數(shù)（位移插值模）：3)形函數(shù)矩陣的推導(dǎo)3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（3）平面桿件的有限元解法3)形函數(shù)矩陣的推導(dǎo)代入其位移插值模式公式后，有：對上式求解可得到:代入3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（3）平面桿件的有限元解法3)形函數(shù)矩陣的推導(dǎo)形函數(shù)矩陣：3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（3）平面桿件的有限元解法4)幾何關(guān)系和物理關(guān)系或應(yīng)變矩陣上式代入到彈性力學(xué)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，有：彈性矩陣應(yīng)力矩陣對于拉(壓)桿單元有:3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（3）平面桿件的有限元解法5)平衡關(guān)系

最小勢能原理：在滿足連續(xù)條件和邊界條件的位移中，滿足平衡條件的位移其總勢能最小，反之亦然。單元的勢能表達(dá)式：單元的應(yīng)變能單元的外力勢能3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（3）平面桿件的有限元解法5)平衡關(guān)系外力勢能：總勢能為：3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（3）平面桿件的有限元解法5)平衡關(guān)系根據(jù)最小勢能原理，勢能泛函取駐值的必要條件:桿單元的平衡方程：桿單元在局部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣為3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（3）平面桿件的有限元解法5)平衡關(guān)系桿單元單元剛度矩陣的表示式為:3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（3）平面桿件的有限元解法6)單元集成第一個(gè)單元：第二個(gè)單元：

3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（3）平面桿件的有限元解法6)單元集成表示為整體位移矢量的函數(shù)3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（3）平面桿件的有限元解法6)單元集成整體剛度矩陣：

根據(jù)最小勢能原理，由各單元剛度矩陣求出的整體剛度矩陣：7)引入邊界條件引入邊界條件：3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（3）平面桿件的有限元解法7)引入邊界條件基于許可位移場的系統(tǒng)總勢能為：8)建立系統(tǒng)彈性方程3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（3）平面桿件的有限元解法9)求解節(jié)點(diǎn)位移R2是內(nèi)力不做功。在求解過程中，可以視為0。10)求單元應(yīng)變與單元應(yīng)力將得到的位移代入到桿的幾何關(guān)系，可得到單元的應(yīng)變?yōu)椋?.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（3）平面桿件的有限元解法10)求單元應(yīng)變與單元應(yīng)力將得到的單元應(yīng)變代入到物理方程，即可求得單元的應(yīng)力11)支座反力3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（3）平面桿件的有限元解法11)支座反力彈性模量：桿的面積：桿的長度：作用力：位移：應(yīng)變：應(yīng)力：支座反力：3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（4）

空間桿件

力偶矩和角位移的指向按照右手定則用雙箭頭表示；力和線位移的指向用單箭頭表示3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（4）

空間桿件當(dāng)單元e的i端發(fā)生單位位移時(shí):3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（4）

空間桿件當(dāng)單元的桿端位移分量為任意值時(shí)

局部坐標(biāo)系中的空間單元剛度矩陣3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（5）典型例題及分析——四桿桁架結(jié)構(gòu)的有限元分析1、有限元理論求解(1)結(jié)構(gòu)的離散化與編號對該結(jié)構(gòu)進(jìn)行自然離散：3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（5）典型例題及分析——四桿桁架結(jié)構(gòu)的有限元分析(2)單元剛度矩陣由于結(jié)構(gòu)中包括有斜桿，所推導(dǎo)的單元剛度矩陣必須進(jìn)行變換。各單元經(jīng)坐標(biāo)變換后的剛度矩陣如下3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（5）典型例題及分析——四桿桁架結(jié)構(gòu)的有限元分析3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（5）典型例題及分析——四桿桁架結(jié)構(gòu)的有限元分析(3)建立整體剛度方程將所得到的各單元剛度矩陣按節(jié)點(diǎn)編號進(jìn)行組裝，可以形成整體剛度矩陣，同時(shí)將所有節(jié)點(diǎn)載荷也進(jìn)行組裝。剛度矩陣：節(jié)點(diǎn)位移：節(jié)點(diǎn)力：3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（5）典型例題及分析——四桿桁架結(jié)構(gòu)的有限元分析整體剛度方程為：(4)邊界條件的處理及剛度方程求解3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（5）典型例題及分析——四桿桁架結(jié)構(gòu)的有限元分析對該方程進(jìn)行求解，有則所有的節(jié)點(diǎn)位移為(5)各單元應(yīng)力的計(jì)算3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（5）典型例題及分析——四桿桁架結(jié)構(gòu)的有限元分析同理，可求出其它單元的應(yīng)力為：(6)支反力的計(jì)算將節(jié)點(diǎn)位移的結(jié)果式代入整體剛度方程中，可求出3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（5）典型例題及分析——四桿桁架結(jié)構(gòu)的有限元分析2、ANSYS軟件求解在ANSYS平臺上，完成相應(yīng)的力學(xué)分析，其求解過程和步驟如下。(1)選擇單元和輸入材料屬性①選取單元：MainMenu>Preprocessor>Elementtype>Add/Edit/Delete，出現(xiàn)一個(gè)對話框，單擊[Add]，又出現(xiàn)一個(gè)“ElementType”對話框，在“LibraryofElementType”左面的列表欄中選擇“Link”，在其右面的列表欄中選擇“3Dfinitstn180”，，單擊[OK]；再單擊[Close]。3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（5）典型例題及分析——四桿桁架結(jié)構(gòu)的有限元分析②輸入桿單元的屬性：MainMenu>Preprocessor>RealConstants>Add/Edit/Delete，出現(xiàn)一個(gè)“RealConstants”的對話框，單擊[Add]，又彈出一個(gè)“ElementTypeforRealConstants”對話框，選中“Type1Link180”，單擊[OK]，再次彈出一個(gè)“RealConstantSetNumber1forLINK180”的對話框，在其中“Crosssectionalarea”后面的輸入欄中輸入桿的面積即“100e-6”，單擊[OK]，再單擊[Close]，完成桿單元的實(shí)常數(shù)設(shè)置。3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（5）典型例題及分析——四桿桁架結(jié)構(gòu)的有限元分析③輸入材料參數(shù)：MainMenu>Preprocessor>MaterialProps>MaterialModels，在“MaterialModelAvailable”下面的對話框中，雙擊打開“Structural>Linear>Elastic>Isotropic”，又出現(xiàn)一個(gè)對話框，輸入“EX=2.95e11,PRXY=0”，單擊[OK]，單擊“Material>Exit”，完成材料屬性的設(shè)置。3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（5）典型例題及分析——四桿桁架結(jié)構(gòu)的有限元分析(2)建立單元模型①生成4個(gè)節(jié)點(diǎn)：MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Nodes>InActiveCS。在“Nodenumber”后面的輸入欄中輸入節(jié)點(diǎn)編號“1”，在“X,Y,ZLocationinactiveCS”后面的輸入欄中，對應(yīng)地輸入節(jié)點(diǎn)編號為“1”的坐標(biāo)位置，即“0,0,0”，單擊[Apply]，同樣操作輸入其它3個(gè)節(jié)點(diǎn)的編號及其坐標(biāo)位置，即“2：(0.4,0,0)、3：(0.4,0.3,0)、4：(0,0.3,0)”，輸入第4個(gè)節(jié)點(diǎn)編號及其坐標(biāo)位置后，單擊[OK]，這時(shí)屏幕會顯示4個(gè)節(jié)點(diǎn)的位置。3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（5）典型例題及分析——四桿桁架結(jié)構(gòu)的有限元分析②生成桿單元：MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Elements>AutoNumbered>ThruNodes，彈出一個(gè)“ElementfromNodes”的拾取框，在輸出窗口拾取節(jié)點(diǎn)編號“1”和“2”，單擊[Apply]，重復(fù)上述操作分別拾?。骸?”和“3”，“1”和“3”，“4”和“3”，最后單擊[OK]。(3)施加邊界條件并求解①在節(jié)點(diǎn)上施加全約束邊界條件：MainMenu>Solution>DefineLoads>Apply>Structural>Displacement>OnNodes，彈出一個(gè)“ApplyU,ROTonNodes”的拾取框，在輸出窗口拾取編號為“1”和“4”的節(jié)點(diǎn)，單擊[OK]，選擇“AllDOF”后，單擊[OK]。3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（5）典型例題及分析——四桿桁架結(jié)構(gòu)的有限元分析②在節(jié)點(diǎn)上施加UY方向的約束：MainMenu>Solution>DefineLoads>Apply>Structural>Displacement>OnNodes，彈出一個(gè)“ApplyU,ROTonNodes”的拾取框，在輸出窗口拾取編號為“2”的節(jié)點(diǎn)，單擊[OK]，選擇“UY”后，單擊[OK]。③施加集中力：MainMenu>Solution>DefineLoads>Apply>Structural>Force/Moment>OnNodes，彈出一個(gè)“ApplyF/MonNodes”的拾取框，在輸出窗口拾取編號為“3”的節(jié)點(diǎn)，單擊[OK]，在“Directionofforce/mom”后面的選擇框中選取“FY”，在“Force/momentvalue”后面的輸入欄中輸入“-25000”，單擊[Apply]；3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（5）典型例題及分析——四桿桁架結(jié)構(gòu)的有限元分析

再在輸出窗口拾取編號為“2”的節(jié)點(diǎn)，單擊[OK]，在彈出對話框中“Directionofforce/mom”后面的選擇框中選取“FX”，在“Force/momentvalue”后面的輸入欄中輸入“20000”，單擊[OK]④分析計(jì)算：MainMenu>Solution>Solve>CurrentLS，在彈出對話框后，單擊[OK]，則開始分析計(jì)算，當(dāng)出現(xiàn)“Solutionisdone”的對話框后，表示分析計(jì)算結(jié)束。(4)進(jìn)入后處理器查看計(jì)算結(jié)果①列表查看節(jié)點(diǎn)位移：MainMenu>GeneralPostproc>ListResults>NodalSolution，彈出一個(gè)“ListNodalSolution”選取框，選取“DOFSolution>Displacementvectorsum”后，單擊[OK]3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（5）典型例題及分析——四桿桁架結(jié)構(gòu)的有限元分析②列表查看支座反作用力：MainMenu>GeneralPostproc>ListResults>ReactionSolu，彈出一個(gè)“ListReactionSolution”的對話框，單擊[OK]3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（5）典型例題及分析——四桿桁架結(jié)構(gòu)的有限元分析③提取桿所承受的力：UtilityMenu>Parameters>GetScalarData，彈出一個(gè)“GetScalarData”選擇框，選取“Resultsdata”及后面的“Elementresults”，單擊[OK]；彈出一個(gè)“GetElementResultsData”對話框，在“Nameofparametertobedefined”后面輸入“F2”，“ElementnumberN”后面輸入編號“2”的單元，選取“Bysequencenum”及“SMISC,”，并在“SMISC，”后面輸入“1”，單擊[OK]，即可得到編號為“2”的單元所承擔(dān)的力。重復(fù)上述操作即可得到其它3根桿所承受的力。3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析（5）典型例題及分析——四桿桁架結(jié)構(gòu)的有限元分析④查看單元所承受的力：UtilityMenu>Parameters>ScalarParameters，其中列出了每根桿所承受力，將力除以桿的面積即可得到每根桿的應(yīng)力。從圖3-25可以看到，ANSYS軟件分析得到的應(yīng)力值與其理論分析是一致的。3、ANSYS軟件求解的APDL命令流FINISH/CLEAR,START!開始一個(gè)新的分析/TRIAD,OFF!關(guān)閉坐標(biāo)系的三角符號/PREP7!進(jìn)入前處理器ET,1,LINK180!選取桿單元R,1,100e-6,,!設(shè)置桿單元的面積MP,EX,1,2.95e11!輸入材料的彈性模量MP,PRXY,1,0!輸入材料的泊松比3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析N,1,,,,,,,!生成4個(gè)節(jié)點(diǎn)N,2,0.4,0,,,,,N,3,0.4,0.3,,,,,N,4,,0.3,,,,,E,1,2!由節(jié)點(diǎn)直接生成單元E,2,3E,1,3E,3,4FINISH/SOL!進(jìn)入到求解器D,1,,,,,,ALL,,,,,!在節(jié)點(diǎn)1上施加全約束D,4,,,,,,ALL,,,,,D,2,,,,,,UY,,,,,F,3,FY,-25000!在節(jié)點(diǎn)3上施加FY的集中力F,2,FX,20000SOLVE!求解計(jì)算FINISH3.2桿件系統(tǒng)的有限元分析/POST1!進(jìn)入到后處理器PRNSOL,U,COMP!列表出節(jié)點(diǎn)的位移值PRRSOL,!列表出支座反作用力*GET,F2,ELEM,2,SMISC,1!提出單元2的作用力*GET,F1,ELEM,1,SMISC,1*GET,F3,ELEM,3,SMISC,1*GET,F4,ELEM,4,SMISC,1FINISH!退出后處理器3.3梁的有限元分析

（1）平面純彎梁的有限單元法1）單元剛度矩陣彈性模量為E、橫截面面積為A的梁單元單元的節(jié)點(diǎn)位移(或稱為廣義位移)列陣為與之對應(yīng)的單元的等效節(jié)點(diǎn)力(或稱廣義力)列陣為3.3梁的有限元分析

（1）平面純彎梁的有限單元法1）單元剛度矩陣由材料力學(xué)知識知道，梁的轉(zhuǎn)角是用節(jié)點(diǎn)位移來表達(dá)該位移場，代入單元兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)和位移條件，即3.3梁的有限元分析

（1）平面純彎梁的有限單元法1）單元剛度矩陣平面梁單元的形函數(shù)節(jié)點(diǎn)位移向量3.3梁的有限元分析

（1）平面純彎梁的有限單元法1）單元剛度矩陣根據(jù)瑞利法，以節(jié)點(diǎn)位移的形式來表達(dá)梁單元的應(yīng)變能:3.3梁的有限元分析

（1）平面純彎梁的有限單元法1）單元剛度矩陣代入梁單元應(yīng)變能公式，同時(shí)假設(shè)EI對于該單元而言是常量：應(yīng)變能的一般形式可以表達(dá)成平面梁單元的單元剛度矩陣3.3梁的有限元分析

（1）平面純彎梁的有限單元法1）單元剛度矩陣2)整體剛度矩陣與坐標(biāo)變換

在組集整體剛度矩陣時(shí)，不能把局部坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣進(jìn)行直接簡單地疊加，必須建立一個(gè)統(tǒng)一的整體坐標(biāo)系。3.3梁的有限元分析

（1）平面純彎梁的有限單元法2)整體剛度矩陣與坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換矩陣為轉(zhuǎn)換矩陣的逆矩陣等于它的轉(zhuǎn)置矩陣，所以:

(2)一般平面梁的有限元分析

純彎梁的基礎(chǔ)上疊加軸向位移，則每個(gè)節(jié)點(diǎn)有3個(gè)自由度，共有6個(gè)自由度。3.3梁的有限元分析

(2)一般平面梁的有限元分析相應(yīng)的剛度方程為:3.3梁的有限元分析

(3)典型例題1、有限元的理論分析(1)結(jié)構(gòu)的離散化與編號將該結(jié)構(gòu)離散為3個(gè)單元

3.3梁的有限元分析

(3)典型例題節(jié)點(diǎn)位移列陣為

節(jié)點(diǎn)外載列陣為支反力列陣為3.3梁的有限元分析

(3)典型例題總的節(jié)點(diǎn)載荷列陣為

(2)各個(gè)單元的描述單元①的局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)是一致的

3.3梁的有限元分析

(3)典型例題

單元②和③的情況相同，只是節(jié)點(diǎn)編號不同而已，其局部坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣為：3.3梁的有限元分析

(3)典型例題可以計(jì)算出整體坐標(biāo)下，單元②和③的單元剛度矩陣對于單元②：

對于單元③：

(3)建立整體剛度方程組裝整體剛度矩陣并形成整體剛度方程其中剛度矩陣的組裝關(guān)系為

3.3梁的有限元分析

(3)典型例題

(4)邊界條件的處理及剛度方程求解該問題的位移邊界條件為處理該邊界條件后的剛度方程為求解后的結(jié)果為3.3梁的有限元分析

(3)典型例題

2、在ANSYS平臺上求解(1)選擇單元與輸入材料屬性①選取單元：MainMenu>Preprocessor>Elementtype>Add/Edit/Delete，出現(xiàn)一個(gè)對話框，單擊[Add]，又出現(xiàn)一個(gè)“ElementType”對話框，在“LibraryofElementType”左面的列表欄中選擇“Beam”，在其右面的列表欄中選擇“2node188”，單擊[OK]；再單擊[Close]

3.3梁的有限元分析

(3)典型例題

②輸入材料參數(shù)：MainMenu>Preprocessor>MaterialProps>MaterialModels，在“MaterialModelAvailable”下面的對話框中，雙擊打開“Structural>Linear>Elastic>Isotropic”，又出現(xiàn)一個(gè)對話框，輸入“EX=3.0e11,PRXY=0”，單擊[OK]，單擊“Material>Exit”，完成材料屬性的設(shè)置。3.3梁的有限元分析

(3)典型例題

3.3梁的有限元分析

(3)典型例題

(2)建立模型①生成4個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Keypoints>InActiveCS，在“Keypointnumber”后面的輸入欄中輸入關(guān)鍵點(diǎn)編號“1”，在“X,Y,ZLocationinactiveCS”后面的輸入欄中，對應(yīng)地輸入關(guān)鍵點(diǎn)編號為“1”的坐標(biāo)位置，即“0,0.96,0”，單擊[Apply]，同樣操作輸入其它3個(gè)節(jié)點(diǎn)的編號及其坐標(biāo)位置，即“2：(1.44,0.96,0)、3：(0,0,0)、4：(1.44,0,0)”，輸入第4個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)編號及其坐標(biāo)位置后，單擊[OK]，這時(shí)屏幕會顯示4個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的位置。3.3梁的有限元分析

(3)典型例題

②連線：MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Lines>Lines>StraightLine，彈出一個(gè)“CreateStraightLine”的拾取框，在輸出窗口拾取關(guān)鍵點(diǎn)編號“1”和“2”，單擊[Apply]，重復(fù)上述操作分別拾?。骸?”和“3”，“2”和“4”，最后單擊[OK]，生成的幾何模型。③設(shè)置梁單元的等份數(shù)：MainMenu>Preprocessor>Meshing>SizeCntrls>ManualSize>Lines>PickedLine，彈出一個(gè)“ElementSizeonPickedLine”的拾取框，在輸出窗口拾取編號為“1”的線，單擊[OK]，在彈出對話框中“No.ofelementdivisions”后面的輸入欄中輸入“6”，單擊[OK]，對其它2條線進(jìn)行同樣操作，不同的是其輸入欄要輸入“5”。3.3梁的有限元分析

(3)典型例題

⑤顯示節(jié)點(diǎn)編號：UtilityMenu>PlotCtrls>Numbering，在彈出的對話框中，選中“Nodenumbers”后面的單選框，使其變成“On”，單擊[OK]；再執(zhí)行：UtilityMenu>Plot>Element，輸出窗口顯示出了組成每個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)編號。

(3)施加邊界條件并求解①在節(jié)點(diǎn)上施加全約束邊界條件：MainMenu>Solution>DefineLoads>Apply>Structural>Displacement>OnNodes，彈出一個(gè)“ApplyU,ROTonNodes”的拾取框，在輸出窗口拾取編號為“8”和“13”的節(jié)點(diǎn)，單擊[OK]，選擇“AllDOF”后，單擊[OK]。④對線劃分單元：MainMenu>Preprocessor>Meshing>Mesh>Lines，在彈出拾取框后，單元拾取框上的[PickAll]，則完成對線進(jìn)行單元劃分。3.3梁的有限元分析

(3)典型例題

②施加集中力：MainMenu>Solution>DefineLoads>Apply>Structural>Force/Moment>OnNodes，彈出一個(gè)“ApplyF/MonNodes”的拾取框，在輸出窗口拾取編號為“1”的節(jié)點(diǎn)，單擊[OK]，彈出一個(gè)如圖3-34所示的對話框，在“Directionofforce/mom”后面的選擇框中選取“FX”，在“Force/momentvalue”后面的輸入欄中輸入“3000”，單擊[OK]3.3梁的有限元分析

(3)典型例題

③選取單元：UtilityMenu>Select>Entities，彈出一個(gè)“SelectEntities”的選擇框；

在最上端的框中選取“Node”，第二個(gè)框中選取“ByLocation”，單選框中選取“Ycoordinates”，并在輸入欄中輸入“0.96”，單擊[Apply]，則選中Y坐標(biāo)為“0.96”所有節(jié)點(diǎn)；

再在最上端中的框中選取“Element”，第二個(gè)框中選取“Attachedto”，在單選框中選取“Nodes,all”，單擊[OK]，則選取了在節(jié)點(diǎn)“1”和“2”之間的所有單元3.3梁的有限元分析

(3)典型例題

④在梁單元上施加均布載荷：MainMenu>Solution>DefineLoads>Apply>Structural>Pressure>OnBeams，彈出一個(gè)“ApplyPRESonBeams”的拾取框，單擊[PickAll]，則會彈出一個(gè)輸入框，在“Loadkey”后面欄中輸入“2”，“PressurevalueatnodeI”后面欄中輸入“4167”單擊[OK]；⑤選取所有實(shí)體：UtilityMenu>Select>Everything，再單擊：UtilityMenu>Plot>Element，則施加后的最終結(jié)果3.3梁的有限元分析

(3)典型例題

⑥分析計(jì)算：MainMenu>Solution>Solve>CurrentLS，在彈出對話框后，單擊[OK]，則開始分析計(jì)算，當(dāng)出現(xiàn)“Solutionisdone”的對話框后，表示分析計(jì)算結(jié)束。(4)進(jìn)入后處理器查看計(jì)算結(jié)果列表查看節(jié)點(diǎn)位移：MainMenu>GeneralPostproc>ListResults>NodalSolution，彈出一個(gè)“ListNodalSolution”選取框，選取“DOFSolution>Displacementvectorsum”后，單擊[OK]，彈出位移列表框；再選取“DOFSolution>Rotationvectorsum”，單擊[OK]，從列表中可以看到分析結(jié)果與其理論分析相同。3.3梁的有限元分析

(3)典型例題

3、ANSYS軟件求解的APDL命令流上述分析計(jì)算過程的命令流如下：FINISH/CLEAR,START