微積分學課件：6-5 冪級數(shù)及其和函數(shù)_第1頁
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第五節(jié)冪級數(shù)第六章級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)二、冪級數(shù)及其收斂半徑三、冪級數(shù)的性質(zhì)及運算四、冪級數(shù)的和函數(shù)函數(shù)項級數(shù)的一般概念1.定義:2.收斂點與收斂域:函數(shù)項級數(shù)的部分和余項(x在收斂域上)注意函數(shù)項級數(shù)在某點x的收斂問題,實質(zhì)上是數(shù)項級數(shù)的收斂問題.3.和函數(shù):例解解由達朗貝爾判別法原級數(shù)絕對收斂.原級數(shù)發(fā)散.收斂;發(fā)散;二、冪級數(shù)及其收斂性1.定義:2.收斂性:證明由(1)結論幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域推論定義:

正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.規(guī)定問題如何求冪級數(shù)的收斂半徑?證明由比值審斂法,定理證畢.證明與定理２類似。例求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間:解該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散發(fā)散收斂故收斂區(qū)間為(0,1].例解：由級數(shù)收斂的必要條件,可知綜上所述,

解缺少偶次冪的項,不能直接應用定理級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂區(qū)間為注又解１.和函數(shù)的分析運算性質(zhì):三、冪級數(shù)的性質(zhì)及運算(收斂半徑不變)(收斂半徑不變)此推論表明：冪級數(shù)由(-R,R)上的和函數(shù)S(x)在x=0的各階導數(shù)所唯一確定。２.代數(shù)運算性質(zhì):性質(zhì)１(1)加減法(其中性質(zhì)２(2)乘法(其中柯西乘積(3)除法解兩邊積分得

注

例

求冪級數(shù)11-￥=?nnnx的收斂區(qū)間及和函數(shù)，并求

當x(-1,1)時，

冪級數(shù)11-￥=?nnnx的收斂區(qū)間為(-1,1)。

例解求冪級數(shù)和函數(shù)的方法：(1)利用冪級數(shù)的線性運算法則。(2)利用變量代換。解常用已知和函數(shù)的冪級數(shù)例

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