概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)小結(jié)公開(kāi)課一等獎(jiǎng)省優(yōu)質(zhì)課大賽獲獎(jiǎng)?wù)n件

知識(shí)梳理概率分布分位數(shù)(分位點(diǎn))使P{X≥x}=，定義對(duì)總體X和給定(0<<1)，若存在x，則稱(chēng)x為X分布上側(cè)分位數(shù)或上側(cè)臨界值.如圖.xoyxP{X≥x}=若存在數(shù)1、2，使P{X≥1}=P{X≤2}則稱(chēng)1、2為X分布雙側(cè)分位數(shù)或雙側(cè)臨界值.oyx21雙側(cè)分位數(shù)或雙側(cè)臨界值特例當(dāng)X分布關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，則稱(chēng)為X分布雙側(cè)分位數(shù)或雙側(cè)臨界值.如圖.若存在使yxO小結(jié)正態(tài)總體樣本均值分布設(shè)總體，是一個(gè)樣本,則樣本均值服從正態(tài)分布U—分布——分布

定義設(shè)總體，是一個(gè)樣本,則稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n分布，記作自由度是指獨(dú)立隨機(jī)變量個(gè)數(shù)，n個(gè)相互獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之平方和服從自由度為n分布t—分布定義5.4設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，1)，Y～

2(n)

，且X與Y相互獨(dú)立，則稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量服從自由度為nt分布或?qū)W生氏分布，記作T～t(n).t-分布密度函數(shù)圖形相同于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù).當(dāng)n較大時(shí)，t分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.F分布服從第一自由度為n1，第二自由度為n2F分布，定義5.5

設(shè)隨機(jī)變量X～

2(n1)、Y～

2(n2)，且與相互獨(dú)立，則稱(chēng)隨機(jī)變量記作F～F(n1，n2).幾個(gè)常用結(jié)論和定理正態(tài)總體樣本均值分布設(shè)總體，是一個(gè)樣本,則樣本均值服從正態(tài)分布U—分布性質(zhì)設(shè)(X1，X2，…，Xn)為取自正態(tài)總體X～N(

，

2)樣本，則證實(shí)由已知，有Xi～N(

，

2)且X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，則且各相互獨(dú)立，由定義5.3得(P111第五題要用到此結(jié)論.)

定理5.1設(shè)(X1，X2，…，Xn)為來(lái)自正態(tài)總體X～N(

，

2)樣本，則(1)樣本均值與樣本方差S

2相互獨(dú)立；(2)(5.8)與以下補(bǔ)充性質(zhì)結(jié)論比較：性質(zhì)設(shè)(X1，X2，…，Xn)為取自正態(tài)總體X～N(

，

2)樣本，則定理5.2設(shè)(X1，X2，…，Xn)為來(lái)自正態(tài)總體X～N(

，

2)樣本，則統(tǒng)計(jì)量證因?yàn)榕cS

2相互獨(dú)立，且由定義5.4得定理5.3設(shè)(X1，X2，…，Xn1)和(Y1，Y2，…，Yn2)分別是來(lái)自正態(tài)總體N(1

，2)和N(2

，2)樣本，且它們相互獨(dú)立，則統(tǒng)計(jì)量其中、分別為兩總體樣本方差.(證略).定理5.4

為正態(tài)總體樣本容量和樣本方差；設(shè)為正態(tài)總體樣本容量和樣本方差；且兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，則統(tǒng)計(jì)量證實(shí)由已知條件知且相互獨(dú)立，由F分布定義有參數(shù)估計(jì)參數(shù)點(diǎn)預(yù)計(jì)點(diǎn)預(yù)計(jì)方法：數(shù)字特征法、矩法、極大似然法。樣本數(shù)字特征法：以樣本數(shù)字特征作為對(duì)應(yīng)總體數(shù)字特征預(yù)計(jì)量。以樣本均值作為總體均值點(diǎn)預(yù)計(jì)量，即點(diǎn)預(yù)計(jì)值點(diǎn)預(yù)計(jì)值以樣本方差作為總體方差點(diǎn)預(yù)計(jì)量，即定義設(shè)為隨機(jī)變量，若存在，則稱(chēng)為階原點(diǎn)矩，記作；若存在，則稱(chēng)為階中心矩，記作樣本階原點(diǎn)矩，記作樣本階中心矩，記作階矩概念結(jié)論：不論總體X服從何種分布，總體期望和方差矩預(yù)計(jì)量分別為樣本均值、樣本方差，即預(yù)計(jì)值為參數(shù)極大似然預(yù)計(jì)法求解方法：（2）取自然對(duì)數(shù)其解即為參數(shù)極大似然預(yù)計(jì)值。（3）令（1）結(jié)構(gòu)似然函數(shù)若總體密度函數(shù)中有多個(gè)參數(shù)1，2，…，n，則將第（3）步改為解方程組即可。區(qū)間估計(jì)小結(jié)總體服從正態(tài)分布均值或方差區(qū)間預(yù)計(jì)（1）方差已知，對(duì)均值區(qū)間預(yù)計(jì)

假設(shè)置信水平為1-結(jié)構(gòu)U-統(tǒng)計(jì)量，反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，確定U雙側(cè)分位數(shù)

得EX區(qū)間預(yù)計(jì)為小結(jié)總體服從正態(tài)分布均值或方差區(qū)間預(yù)計(jì)（2）方差未知，對(duì)均值區(qū)間預(yù)計(jì)

假設(shè)置信水平為1-結(jié)構(gòu)T-統(tǒng)計(jì)量，查t-分布臨界值表，確定T雙側(cè)分位數(shù)

得EX區(qū)間預(yù)計(jì)為小結(jié)總體服從正態(tài)分布均值或方差區(qū)間預(yù)計(jì)（3）均值已知，對(duì)方差區(qū)間預(yù)計(jì)

假設(shè)置信水平為1-結(jié)構(gòu)2-統(tǒng)計(jì)量，查2-分布臨界值表，確定2雙側(cè)分位數(shù)

得2區(qū)間預(yù)計(jì)為小結(jié)總體服從正態(tài)分布均值或方差區(qū)間預(yù)計(jì)（4）均值未知，對(duì)方差區(qū)間預(yù)計(jì)

假設(shè)置信水平為1-結(jié)構(gòu)2-統(tǒng)計(jì)量，查2-分布臨界值表，確定2雙側(cè)分位數(shù)

得2區(qū)間預(yù)計(jì)為（1）方差已知，對(duì)均值區(qū)間預(yù)計(jì)，結(jié)構(gòu)U統(tǒng)計(jì)量（2）方差未知，對(duì)均值區(qū)間預(yù)計(jì)，結(jié)構(gòu)T統(tǒng)計(jì)量總體服從正態(tài)分布對(duì)均值區(qū)間預(yù)計(jì)區(qū)間預(yù)計(jì)（4）均值未知，對(duì)方差區(qū)間預(yù)計(jì)，結(jié)構(gòu)2統(tǒng)計(jì)量（3）均值已知，對(duì)方差區(qū)間預(yù)計(jì)，結(jié)構(gòu)2統(tǒng)計(jì)量總體服從正態(tài)分布對(duì)方差區(qū)間預(yù)計(jì)區(qū)間預(yù)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)單個(gè)正態(tài)總體方差已知均值檢驗(yàn)問(wèn)題：總體 X~N（，2），2已知假設(shè)H0：=0；H1：≠0

結(jié)構(gòu)U統(tǒng)計(jì)量

由U檢驗(yàn)雙邊檢驗(yàn)假如統(tǒng)計(jì)量觀察值則拒絕原假設(shè)；不然接收原假設(shè)確定拒絕域H0為真前提下H0：=0；H1：0

H0：=0；H1：0

或單邊檢驗(yàn)拒絕域?yàn)榫芙^域?yàn)閱蝹€(gè)正態(tài)總體方差未知均值檢驗(yàn)問(wèn)題：總體 X~N（，2），2未知假設(shè)H0：=0；H1：≠0

結(jié)構(gòu)T統(tǒng)計(jì)量

由T檢驗(yàn)雙邊檢驗(yàn)假如統(tǒng)計(jì)量觀察值則拒絕原假設(shè)；不然接收原假設(shè)確定拒絕域H0：=0；H1：0

H0：=0；H1：0

或單邊檢驗(yàn)拒絕域?yàn)榫芙^域?yàn)閱蝹€(gè)正態(tài)總體均值已知方差檢驗(yàn)問(wèn)題：總體 X~N（，2），已知結(jié)構(gòu)2統(tǒng)計(jì)量由假如統(tǒng)計(jì)量觀察值則拒絕原假設(shè)；不然接收原假設(shè)確定臨界值或2檢驗(yàn)假設(shè)拒絕域一個(gè)正態(tài)總體均值未知方差檢驗(yàn)問(wèn)題：設(shè)總體 X~N（，2），未知結(jié)構(gòu)2統(tǒng)計(jì)量

由假如統(tǒng)計(jì)量觀察值則拒絕原假設(shè)；不然接收原假設(shè)確定臨界值或2檢驗(yàn)假設(shè)雙邊檢驗(yàn)例1由經(jīng)驗(yàn)知某零件重量X~N（，2），=15，=0.05；技術(shù)革新后，抽出6個(gè)零件，測(cè)得重量為（單位：克）14.715.114.815.015.214.6，已知方差不變，試統(tǒng)計(jì)推斷，平均重量是否仍為15克？（=0.05）解由題意可知：零件重量X~N（，2），且技術(shù)革新前后方差不變2=0.052，要求對(duì)均值進(jìn)行檢驗(yàn)，采取U檢驗(yàn)法。假設(shè)H0：=15；H1：≠15結(jié)構(gòu)U