高中數(shù)學(xué) 直線與圓的位置關(guān)系課件

開始直線與圓的位置關(guān)系開始直線與圓的位置關(guān)系學(xué)點一學(xué)點二學(xué)點三學(xué)點四學(xué)點五學(xué)點一學(xué)點二學(xué)點三學(xué)點四學(xué)點五1.直線與圓有三種位置關(guān)系，即

、

、

.2.直線l:Ax+By+C=0與圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置關(guān)系：（1）幾何法：圓心(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離d=.d<r直線與圓

.d=r直線與圓

.d>r直線與圓

.相離相切相交相交相切相離返回1.直線與圓有三種位置關(guān)系，即（2）代數(shù)法：由Ax+By+C=0(x-a)2+(y-b)2=r2，消元得到的一元二次方程的判別式為Δ，則Δ>0直線與圓

.Δ=0直線與圓

.Δ<0直線與圓

.3.過圓上一點，與圓相切的直線有

條；過圓外一點，與圓相切的直線有

條.4.直線與圓相交時所截得弦長l=

,

或l=

.相交相切相離12返回（2）代數(shù)法：由Ax+By+C=0相交相切相離12返返回返回學(xué)點一判斷直線與圓的位置關(guān)系當(dāng)m為何值時，直線mx-y-m-1=0與圓x2+y2-4x-2y+1=0相交，相切，相離？【分析】解答本題可以嘗試用兩種方法：（1）代數(shù)法：用方程組解的組數(shù)來判定，（2）幾何法：用圓心到直線的距離與半徑比較來判定.【解析】解法一：將y=mx-m-1代入圓的方程化簡整理，得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.因為Δ=4(m2+2m+2)2-4(1+m2)(m2+4m+4)=4m(3m+4),返回學(xué)點一判斷直線與圓的位置關(guān)系當(dāng)m為何值時，直線mx-y返回返回返回【解析】在判定直線與圓的位置關(guān)系的兩種解法中，幾何法更容易顯現(xiàn)有關(guān)圖形的幾何特征，因此，通常情況下，不用判別式法而用幾何法.返回【解析】在判定直線與圓的位置關(guān)系的兩種解法中，幾何法更直線3x+2y-1=0與圓x2+y2+4x+2y-4=0的位置關(guān)系是（）A.相切B.相離C.相交且直線過圓心D.相交且直線不過圓心圓的方程可化為(x+2)2+(y+1)2=9,圓心為(-2,-1),半徑r=3,圓心到直線的距離d=<3.∴直線與圓相交，又d≠0,∴直線不過圓心.故應(yīng)選D.D返回直線3x+2y-1=0與圓x2+y2+4x+2y-4=0的位學(xué)點二直線與圓相切求經(jīng)過點A(0,5)，且與直線x-2y=0和2x+y=0都相切的圓的方程.【分析】利用圓的切線具有的平面幾何性質(zhì)圓心到切線的距離等于圓的半徑，求出兩直線的角平分線所在直線方程，設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求待定系數(shù)a,b,r.【解析】由于圓過定點A，只需求出圓心C的坐標(biāo)，半徑由r=|AC|確定.∵圓和兩直線x-2y=0和2x+y=0相切，∴圓心C在這兩直線的角平分線上.∵圓心C到兩直線x-2y=0和2x+y=0等距離，∴=,返回學(xué)點二直線與圓相切求經(jīng)過點A(0,5)，且與直線∴兩直線交角的平分線方程是x+3y=0或3x-y=0,∵圓經(jīng)過A(0,5),∴圓心C只能在直線3x-y=0上.設(shè)圓心C(t,3t)，則點C到直線2x+y=0的距離等于|AC|,即=,∴t=1或t=5.∴圓心是(1,3)時，半徑r=5；圓心是(5,15)時，半徑r=5∴所求圓的方程是(x-1)2+(y-3)2=5或(x-5)2+(y-15)2=125.【評析】解此類題目要注意圓的切線的有關(guān)性質(zhì)和點到直線距離的靈活應(yīng)用.返回∴兩直線交角的平分線方程是x+3y=0或3x-y=0,【評析設(shè)直線過點(0,a)，其斜率為1，且與圓x2+y2=2相切，則a的值為（）A.±4B.±2C.±2D.±直線方程為y=x+a，因為直線與圓相切，所以有

,解得a=±2.故應(yīng)選C.C返回設(shè)直線過點(0,a)，其斜率為1，且與圓x2+y2=2相切，學(xué)點三直線與圓相交m為何值時,直線2x-y+m=0與圓x2+y2=5，(1)截得的弦長為2;(2)交點處兩條半徑互相垂直.【分析】考查弦長與垂直.【解析】(1)如圖4-3-1,由平面幾何垂徑定理知r2-d2=12,即5-

=1,得m=±2

,∴當(dāng)m=±2

時,直線被圓截得的弦長為2.返回學(xué)點三直線與圓相交m為何值時,直線2x-y+m=0與圓【評析】雖然有關(guān)求弦長的方法很多，但首先要考慮半徑、弦長、弦心距之間的關(guān)系以及采用數(shù)形結(jié)合的思想方法，這樣可以獲得比較直觀、簡捷的解法.(2)如圖,由于交點處兩條半徑互相垂直,∴弦與過弦兩端的半徑組成等腰直角三角形,∴d=r,即,解得m=±.故當(dāng)m=±時,直線與圓兩交點處的兩條半徑互相垂直.返回【評析】雖然有關(guān)求弦長的方法很多，但首先要考慮半徑、弦長、弦直線經(jīng)過點P(5,5)且和圓C：x2+y2=25相交，截得弦長為4，求l的方程.當(dāng)l的斜率不存在時，方程是x=5,與圓C相切，∴l(xiāng)的斜率必存在，設(shè)為k，則l的方程是kx-y-5k+5=0,如圖所示，|OH|是圓心到直線的距離，|OA|是圓的半徑，|AH|是弦長|AB|的一半，在Rt△OAH中，|OA|=5，|AH|=|AB|=2,∴∴,解得k=或k=2.∴直線l的方程為x-2y+5=0或2x-y-5=0返回直線經(jīng)過點P(5,5)且和圓C：x2+y2=25相交，截得弦學(xué)點四圓的最值問題已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求

的最大值和最小值;(2)求y-x的最大值和最小值.【分析】方程x2+y2-4x+1=0表示圓心為(2,0)，半徑為3的圓;

的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，y-x可看作直線y=x+b在y軸上的截距,可借助于平面幾何知識，利用數(shù)形結(jié)合求解.返回學(xué)點四圓的最值問題已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y2【解析（1）原方程化為(x-2)2+y2=3，表示以點(2,0)為圓心，以3為半徑的圓，設(shè)=k，即y=kx.當(dāng)直線y=kx與圓相切時，斜率k取最大值和最小值，此時解之得k=±.故yx的最大值為，最小值為-.(2)設(shè)y-x=b，即y=x+b，當(dāng)y=x+b與圓相切時，縱截距b取得最大值和最小值，此時，即b=-2±.故y-x的最大值為-2+，最小值為-2-.返回【解析（1）原方程化為(x-2)2+y2=3，表示以點(2,【評析】與圓有關(guān)的最值問題，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解.一般地:①形如μ=

的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題;②形如t=ax+by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題;③形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為兩點間的距離平方的最值問題等.返回【評析】與圓有關(guān)的最值問題，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解已知點P（x，y）是圓（x+2）2+y2=1上任意一點.（1）求P到直線3x+4y+12=0的距離的最大值和最小值;（2）求x-2y的最大值和最小值；（3）求

的最大值和最小值.解:(1)圓心C（-2，0）到直線3x+4y+12=0的距離為∴P點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值為d+r=

+1=

，最小值為d-r=

-1=

.返回已知點P（x，y）是圓（x+2）2+y2=1上任意一點.解:（2）設(shè)t=x-2y，則直線x-2y-t=0與圓（x+2）2+y2=1有公共點.∴

≤1.∴-

-2≤t≤

-2,∴tmax=

-2,tmin=-2-

（3）設(shè)k=y-2x-1，則直線kx-y-k+2=0與圓（x+2）2+y2=1有公共點，∴

≤1.∴

≤k≤

,∴kmax=

,kmin=

.返回（2）設(shè)t=x-2y，則直線x-2y-t=0與圓（x+2）2學(xué)點五綜合應(yīng)用已知直線l:2mx-y-8m-3=0和圓C：(x-3)2+(y+6)2=25.（1）求證：不論m取什么實數(shù)，直線l與圓C總相交；（2）求直線l被圓C截得的線段最短時直線l的方程.【分析】靈活運用知識解決【解析】解法一：（1）證明：把y=2mx-8m-3代入C得(4m2+1)x2+2(-16m2+6m-3)x+(64m2-48m-7)=0，∵Δ=4(24m2+3m+4)>0，∴l(xiāng)與C總相交.返回學(xué)點五綜合應(yīng)用已知直線l:2mx-y-8m-3=0和圓（2）設(shè)交點為A，B，由弦長公式得|AB|=|x1-x2|,則|AB|=,令t=得4×(6-t)m2+3m+4-t=0.∵m∈R,∴Δ=9-4×4(6-t)(4-t)≥0,解得≤t≤,t的最小值為，此時m=.∴l(xiāng)被C截得的線段最小值為2，此時l的方程為x+3y+5=0.返回（2）設(shè)交點為A，B，由弦長公式得返回解法二：（1）證明：圓心C(3,-6)到l的距離d=整理得4(d2-1)m2+12m+d2-9=0(*)∵m∈R,∴Δ=122-4×4(d2-1)(d2-9)≥0,解得0≤d≤10d<r.∴不論m取什么實數(shù)，l與C總相交.（2）由（1）知d最大為，所以弦|AB|最小為2，把d=代入（*）得m=-.∴當(dāng)l被C截得的線段最短時直線l的方程為x+3y+5=0.返回解法二：（1）證明：圓心C(3,-6)到l的距離返回解法三：（1）由直線方程知l過定點M(4,-3),而(4-3)2+(-3+6)2=10<25,∴M在圓內(nèi)，∴不論m取什么實數(shù)，l與C總相交.（2）由幾何知識知，當(dāng)l被C截得線段中點為M時，弦心距最大而弦長最短，此時MC與l垂直.∴MC斜率為,l斜率為2m=-,即m=-.此時l的方程為x+3y+5=0.【評析】本題從不同角度進(jìn)行解答，綜合應(yīng)用了圓的幾何性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系.返回解法三：（1）由直線方程知l過定點M(4,-3),而(4-3已知圓x2+y2+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交于P，Q兩點.是否存在實數(shù)m,使OP⊥OQ(O為原點)?解:假設(shè)實數(shù)m存在，由得5y2-20y+12+m=0.設(shè)兩交點坐標(biāo)分別為P(x1,y1)，Q(x2,y2),則y1+y2=4,y1y2=

.又因為OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即(3-2y1)(3-2y2)+y1y2=0.解得m=3,此時Δ>0.所以存在m=3滿足題意.返回已知圓x2+y2+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交于直線與圓有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離.在平面幾何中借助圓心到直線的距離知道直線與圓的位置關(guān)系.在平面直角坐標(biāo)系中，應(yīng)用點到直線的距離公式來判斷這三種關(guān)系.設(shè)直線方程為Ax+By+C=0.圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心(a,b)，半徑為r.圓心到直線距離為d,則d.（1）相離d>r,圖示如.1.如何判定直線與圓的位置關(guān)系？返回直線與圓有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離.在平面幾何中借助圓（2）相切d=r,圖示如.（3）相交d〈r,圖示如.返回（2）相切d=r,圖示如.（3）相交d〈r,圖示由于直線與圓的三種位置關(guān)系也可用直線與圓公共點個數(shù)來判斷.因此,也可以從代數(shù)的角度去考慮，聯(lián)立直線與圓的方程，消去x（或y）后，整理成關(guān)于y（或x）的一元二次方程，利用Δ與0的大小關(guān)系進(jìn)行判斷.（1）Δ>0方程有兩組實數(shù)解直線與圓相交.（2）Δ=0方程有一組實數(shù)解直線與圓相切.（3）Δ<0方程無實數(shù)解直線與圓相離.返回由于直線與圓的三種位置關(guān)系也可用直線與圓公共點個數(shù)來判斷.因比較這兩種方法，第一種方法從“形”的角度考慮，比較簡單；第二種方法從“數(shù)”的角度也就是用代數(shù)的方法去考慮，這種方法在以后我們研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時會經(jīng)常用到，但在解有關(guān)圓的問題時，會比較麻煩，計算量較大，不宜采用.因此,我們常用第一種方法，利用平面幾何知識，這樣可以大大地簡化思維過程和解題過程.返回比較這兩種方法，第一種方法從“形”的角度考慮，比較簡單；第二（1）圓的切線的求法①求過圓上一點（x0,y0）的圓的切線方程：先求切點與圓心連線的斜率k，則由垂直關(guān)系，切線斜率為，由點斜式方程可求得切線方程.如果斜率不存在，則由圖形可直接得切線方程為x=x0.②求過圓外一點(x0,y0)的圓的切線方程：（?。缀畏椒ǎ涸O(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0)，即kx-y-kx0+y0=0.由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，切線方程即可求出.（ⅱ）代數(shù)方法：設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0)，即y=kx-kx0+y0，代入圓方程，得一個關(guān)于x的一元二次方程，由Δ=0求得k，切線方程即可求出.2.如何求圓的切線？返回（1）圓的切線的求法2.如何求圓的切線？返回（2）切線的條數(shù)過圓外一點的切線必有兩條，無論用幾何法還是代數(shù)法，當(dāng)求得k值是一個時，則另一條的切線斜率一定不存在，可由數(shù)形結(jié)合求出.（3）切線段長公式①從圓外一點P（x0,y0）引到圓(x-a)2+(y-b)2=r2的切線，則P到切點的切線段長.②從圓外一點P(x0,y0)引到圓x2+y2+Dx+Ey+F=0的切線，則P到切點的切線段長.返回（2）切線的條數(shù)返回（1）將直線與圓的方程聯(lián)立，解得兩交點，然后利用兩點間的距離公式，求弦長.（2）設(shè)直線的斜率為k，直線與圓聯(lián)立，消去y后所得方程兩根為x1,x2,則弦長d=|x1-x2|.（3）設(shè)弦長為l，弦心距為d,半徑為r，則有+d2=r2,即半弦長、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形，數(shù)形結(jié)合，利用勾股定理得到.3.直線與圓相交時弦長應(yīng)如何求解？返回（1）將直線與圓的方程聯(lián)立，解得兩交點，然后利用兩點間的距離研究直線與圓的位置關(guān)系要緊緊抓住圓心到直線的距離與圓半徑的大小關(guān)系這一知識點，這個過程充分體現(xiàn)并運用了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，這是解析幾何中重要的數(shù)學(xué)思想方法.運用數(shù)形結(jié)合思想時要注意作圖的準(zhǔn)確性,分類討論時要做到不重不漏.返回研究直線與圓的位置關(guān)系要緊緊抓住圓心到直線的距離與圓半徑的大返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回祝同學(xué)們學(xué)習(xí)上天天有進(jìn)步！祝同學(xué)們學(xué)習(xí)上天天有進(jìn)步！開始直線與圓的位置關(guān)系開始直線與圓的位置關(guān)系學(xué)點一學(xué)點二學(xué)點三學(xué)點四學(xué)點五學(xué)點一學(xué)點二學(xué)點三學(xué)點四學(xué)點五1.直線與圓有三種位置關(guān)系，即

、

、

.2.直線l:Ax+By+C=0與圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置關(guān)系：（1）幾何法：圓心(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離d=.d<r直線與圓

.d=r直線與圓

.d>r直線與圓

.相離相切相交相交相切相離返回1.直線與圓有三種位置關(guān)系，即（2）代數(shù)法：由Ax+By+C=0(x-a)2+(y-b)2=r2，消元得到的一元二次方程的判別式為Δ，則Δ>0直線與圓

.Δ=0直線與圓

.Δ<0直線與圓

.3.過圓上一點，與圓相切的直線有

條；過圓外一點，與圓相切的直線有

條.4.直線與圓相交時所截得弦長l=

,

或l=

.相交相切相離12返回（2）代數(shù)法：由Ax+By+C=0相交相切相離12返返回返回學(xué)點一判斷直線與圓的位置關(guān)系當(dāng)m為何值時，直線mx-y-m-1=0與圓x2+y2-4x-2y+1=0相交，相切，相離？【分析】解答本題可以嘗試用兩種方法：（1）代數(shù)法：用方程組解的組數(shù)來判定，（2）幾何法：用圓心到直線的距離與半徑比較來判定.【解析】解法一：將y=mx-m-1代入圓的方程化簡整理，得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.因為Δ=4(m2+2m+2)2-4(1+m2)(m2+4m+4)=4m(3m+4),返回學(xué)點一判斷直線與圓的位置關(guān)系當(dāng)m為何值時，直線mx-y返回返回返回【解析】在判定直線與圓的位置關(guān)系的兩種解法中，幾何法更容易顯現(xiàn)有關(guān)圖形的幾何特征，因此，通常情況下，不用判別式法而用幾何法.返回【解析】在判定直線與圓的位置關(guān)系的兩種解法中，幾何法更直線3x+2y-1=0與圓x2+y2+4x+2y-4=0的位置關(guān)系是（）A.相切B.相離C.相交且直線過圓心D.相交且直線不過圓心圓的方程可化為(x+2)2+(y+1)2=9,圓心為(-2,-1),半徑r=3,圓心到直線的距離d=<3.∴直線與圓相交，又d≠0,∴直線不過圓心.故應(yīng)選D.D返回直線3x+2y-1=0與圓x2+y2+4x+2y-4=0的位學(xué)點二直線與圓相切求經(jīng)過點A(0,5)，且與直線x-2y=0和2x+y=0都相切的圓的方程.【分析】利用圓的切線具有的平面幾何性質(zhì)圓心到切線的距離等于圓的半徑，求出兩直線的角平分線所在直線方程，設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求待定系數(shù)a,b,r.【解析】由于圓過定點A，只需求出圓心C的坐標(biāo)，半徑由r=|AC|確定.∵圓和兩直線x-2y=0和2x+y=0相切，∴圓心C在這兩直線的角平分線上.∵圓心C到兩直線x-2y=0和2x+y=0等距離，∴=,返回學(xué)點二直線與圓相切求經(jīng)過點A(0,5)，且與直線∴兩直線交角的平分線方程是x+3y=0或3x-y=0,∵圓經(jīng)過A(0,5),∴圓心C只能在直線3x-y=0上.設(shè)圓心C(t,3t)，則點C到直線2x+y=0的距離等于|AC|,即=,∴t=1或t=5.∴圓心是(1,3)時，半徑r=5；圓心是(5,15)時，半徑r=5∴所求圓的方程是(x-1)2+(y-3)2=5或(x-5)2+(y-15)2=125.【評析】解此類題目要注意圓的切線的有關(guān)性質(zhì)和點到直線距離的靈活應(yīng)用.返回∴兩直線交角的平分線方程是x+3y=0或3x-y=0,【評析設(shè)直線過點(0,a)，其斜率為1，且與圓x2+y2=2相切，則a的值為（）A.±4B.±2C.±2D.±直線方程為y=x+a，因為直線與圓相切，所以有

,解得a=±2.故應(yīng)選C.C返回設(shè)直線過點(0,a)，其斜率為1，且與圓x2+y2=2相切，學(xué)點三直線與圓相交m為何值時,直線2x-y+m=0與圓x2+y2=5，(1)截得的弦長為2;(2)交點處兩條半徑互相垂直.【分析】考查弦長與垂直.【解析】(1)如圖4-3-1,由平面幾何垂徑定理知r2-d2=12,即5-

=1,得m=±2

,∴當(dāng)m=±2

時,直線被圓截得的弦長為2.返回學(xué)點三直線與圓相交m為何值時,直線2x-y+m=0與圓【評析】雖然有關(guān)求弦長的方法很多，但首先要考慮半徑、弦長、弦心距之間的關(guān)系以及采用數(shù)形結(jié)合的思想方法，這樣可以獲得比較直觀、簡捷的解法.(2)如圖,由于交點處兩條半徑互相垂直,∴弦與過弦兩端的半徑組成等腰直角三角形,∴d=r,即,解得m=±.故當(dāng)m=±時,直線與圓兩交點處的兩條半徑互相垂直.返回【評析】雖然有關(guān)求弦長的方法很多，但首先要考慮半徑、弦長、弦直線經(jīng)過點P(5,5)且和圓C：x2+y2=25相交，截得弦長為4，求l的方程.當(dāng)l的斜率不存在時，方程是x=5,與圓C相切，∴l(xiāng)的斜率必存在，設(shè)為k，則l的方程是kx-y-5k+5=0,如圖所示，|OH|是圓心到直線的距離，|OA|是圓的半徑，|AH|是弦長|AB|的一半，在Rt△OAH中，|OA|=5，|AH|=|AB|=2,∴∴,解得k=或k=2.∴直線l的方程為x-2y+5=0或2x-y-5=0返回直線經(jīng)過點P(5,5)且和圓C：x2+y2=25相交，截得弦學(xué)點四圓的最值問題已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求

的最大值和最小值;(2)求y-x的最大值和最小值.【分析】方程x2+y2-4x+1=0表示圓心為(2,0)，半徑為3的圓;

的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，y-x可看作直線y=x+b在y軸上的截距,可借助于平面幾何知識，利用數(shù)形結(jié)合求解.返回學(xué)點四圓的最值問題已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y2【解析（1）原方程化為(x-2)2+y2=3，表示以點(2,0)為圓心，以3為半徑的圓，設(shè)=k，即y=kx.當(dāng)直線y=kx與圓相切時，斜率k取最大值和最小值，此時解之得k=±.故yx的最大值為，最小值為-.(2)設(shè)y-x=b，即y=x+b，當(dāng)y=x+b與圓相切時，縱截距b取得最大值和最小值，此時，即b=-2±.故y-x的最大值為-2+，最小值為-2-.返回【解析（1）原方程化為(x-2)2+y2=3，表示以點(2,【評析】與圓有關(guān)的最值問題，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解.一般地:①形如μ=

的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題;②形如t=ax+by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題;③形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為兩點間的距離平方的最值問題等.返回【評析】與圓有關(guān)的最值問題，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解已知點P（x，y）是圓（x+2）2+y2=1上任意一點.（1）求P到直線3x+4y+12=0的距離的最大值和最小值;（2）求x-2y的最大值和最小值；（3）求

的最大值和最小值.解:(1)圓心C（-2，0）到直線3x+4y+12=0的距離為∴P點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值為d+r=

+1=

，最小值為d-r=

-1=

.返回已知點P（x，y）是圓（x+2）2+y2=1上任意一點.解:（2）設(shè)t=x-2y，則直線x-2y-t=0與圓（x+2）2+y2=1有公共點.∴

≤1.∴-

-2≤t≤

-2,∴tmax=

-2,tmin=-2-

（3）設(shè)k=y-2x-1，則直線kx-y-k+2=0與圓（x+2）2+y2=1有公共點，∴

≤1.∴

≤k≤

,∴kmax=

,kmin=

.返回（2）設(shè)t=x-2y，則直線x-2y-t=0與圓（x+2）2學(xué)點五綜合應(yīng)用已知直線l:2mx-y-8m-3=0和圓C：(x-3)2+(y+6)2=25.（1）求證：不論m取什么實數(shù)，直線l與圓C總相交；（2）求直線l被圓C截得的線段最短時直線l的方程.【分析】靈活運用知識解決【解析】解法一：（1）證明：把y=2mx-8m-3代入C得(4m2+1)x2+2(-16m2+6m-3)x+(64m2-48m-7)=0，∵Δ=4(24m2+3m+4)>0，∴l(xiāng)與C總相交.返回學(xué)點五綜合應(yīng)用已知直線l:2mx-y-8m-3=0和圓（2）設(shè)交點為A，B，由弦長公式得|AB|=|x1-x2|,則|AB|=,令t=得4×(6-t)m2+3m+4-t=0.∵m∈R,∴Δ=9-4×4(6-t)(4-t)≥0,解得≤t≤,t的最小值為，此時m=.∴l(xiāng)被C截得的線段最小值為2，此時l的方程為x+3y+5=0.返回（2）設(shè)交點為A，B，由弦長公式得返回解法二：（1）證明：圓心C(3,-6)到l的距離d=整理得4(d2-1)m2+12m+d2-9=0(*)∵m∈R,∴Δ=122-4×4(d2-1)(d2-9)≥0,解得0≤d≤10d<r.∴不論m取什么實數(shù)，l與C總相交.（2）由（1）知d最大為，所以弦|AB|最小為2，把d=代入（*）得m=-.∴當(dāng)l被C截得的線段最短時直線l的方程為x+3y+5=0.返回解法二：（1）證明：圓心C(3,-6)到l的距離返回解法三：（1）由直線方程知l過定點M(4,-3),而(4-3)2+(-3+6)2=10<25,∴M在圓內(nèi)，∴不論m取什么實數(shù)，l與C總相交.（2）由幾何知識知，當(dāng)l被C截得線段中點為M時，弦心距最大而弦長最短，此時MC與l垂直.∴MC斜率為,l斜率為2m=-,即m=-.此時l的方程為x+3y+5=0.【評析】本題從不同角度進(jìn)行解答，綜合應(yīng)用了圓的幾何性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系.返回解法三：（1）由直線方程知l過定點M(4,-3),而(4-3已知圓x2+y2+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交于P，Q兩點.是否存在實數(shù)m,使OP⊥OQ(O為原點)?解:假設(shè)實數(shù)m存在，由得5y2-20y+12+m=0.設(shè)兩交點坐標(biāo)分別為P(x1,y1)，Q(x2,y2),則y1+y2=4,y1y2=

.又因為OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即(3-2y1)(3-2y2)+y1y2=0.解得m=3,此時Δ>0.所以存在m=3滿足題意.返回已知圓x2+y2+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交于直線與圓有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離.在平面幾何中借助圓心到直線的距離知道直線與圓的位置關(guān)系.在平面直角坐標(biāo)系中，應(yīng)用點到直線的距離公式來判斷這三種關(guān)系.設(shè)直線方程為Ax+By+C=0.圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心(a,b)，半徑為r.圓心到直線距離為d,則d.（1）相離d>r,圖示如.1.如何判定直線與圓的位置關(guān)系？返回直線與圓有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離.在平面幾何中借助圓（2）相切d=r,圖示如.（3）相交d〈r,圖示如.返回（2）相切d=r,圖示如.（3）相交d〈r,圖示由于直線與圓的三種位置關(guān)系也可用直線與圓公共點個數(shù)來判斷.因此,也可以從代數(shù)的角度去考慮，聯(lián)立直線與圓的方程，消去